用二分法求方程的近似解

课件21张PPT。学点一学点二学点三1.对于在区间［a,b］上连续不间断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 ，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做 .
2.给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：
（1）确定区间［a,b］，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε;
（2）求区间(a,b)的中点c;
（3）计算f(c):一分为二二分法①若 ，则c就是函数的零点；②若 ，则令b=c（此时零点x0∈(a,c)）;③若f(c)·f(b)<0,则
令 (此时零点x0∈(c,b)).
（4）判断是否达到精确度ε:即若 ，则得到零点近似值a(或b)；否则重复（2）~（4）.
3.判断二次函数f(x)在区间［m,n］(m0，因此，可取区间［1,2］作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表.【评析】此类问题的求解，首先是大致区间的确定要使区间长度小，否则会增加运算次数和运算量.虽然此类题要求用计算器运算，但也应注意运算的准确性.另外在计算到第n步时，区间［an,bn］的长度应小于精确度，此时区间中点 才是零点近似解；若|an-bn|<2ε,则区间［ an， ］, 和［ ,bn ］的长度都小于ε（且 经过四舍五入的近似计算以后，与零点的真实值误差就会超过ε）,所以在计算此类问题时应注意对精确度的要求.求方程2x3+3x-3=0的一个实数解（精确到0.01）.考查函数f(x)=2x3+3x-3，从一个两端函数值反号的区间开始，应用二分法逐步缩小方程实数解所在区间.
经试算，f(0)=-3<0,f(2)=19>0，所以函数f(x)=2x3+3x-3在［0,2］内存在零点，即方程2x3+3x-3=0在［0,2］内有解.
取［0,2］的中点1，经计算，f(1)=2>0,又因为f(0)<0,所以方程2x3+3x-3=0在［0,1］内有解.
如此下去，得到方程2x3+3x-3=0实数解所在区间的表：可以看出区间［0.742 187 5,0.744 140 675］内的所有值，若精确到0.01，都是0.74，所以0.74是方程2x3+3x-3=0精确到0.01的实数解.学点二 二分法的应用如果在一个风雨交加的夜里查找线路，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障.这是一条10 km长的线路，如何迅速查出故障所在？
如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多.每查一个点要爬一次电线杆子，10 km长，大约有200多根电线杆子.
想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，算一算，要把故障可能发生的范围缩小到50 m~100 m左右，即一两根电线杆附近，要查多少次？【分析】根据二分法原理求解.【评析】此方案应该说方便、迅速、准确，而且很科学，在实际生活中处处有数学，碰到问题时多用数学方法去思考，会使我们变得更聪明，更具有数学素养.中央电视台有一档娱乐节目“幸运52”，主持人李咏给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会.如果猜中，就把物品奖给选手，同时获得一枚商标.某次猜一种品牌的手机，手机价格在500~1 000元之间，选手开始报价：1 000元，主持人说：高了，紧接着报价900元，高了；700元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，猜中了.表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？
价格区间［500,1 000］的中点750,如果主持人说低了，就再取［750,1 000］的中点875；否则取另一个区间［500,750］的中点，若遇到小数，则取整数，照这种方案，游戏过程猜价如下：750,875,812,843,859,851，经过6次可以猜中价格.学点三 一元二次方程根的分布（1）关于x的方程x2+2(m+3)x+2m+14=0有两实根，且一个大于1，一个小于1，求m的取值范围;
（2）关于x的方程x2+2(m+3)x+2m+14=0有两实根，一根小于1，另一根大于3，求m的取值范围；
（3）关于x的方程mx2+2(m+3)x+2m+14=0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围.【分析】一元二次方程根的分布问题通常转化为一元二次函数，利用一元二次函数的性质和图象来解决.（3）令g(x)=mx2+2(m+3)x+2m+14.
当m=0时，g(x)=6x+14，这时它只有一个实根，不符合题意，需舍去，
当m≠0时，依题意得 m>0 m<0
g(4)<0或 g(4)>0,
解得 - （1）均为正数；
（2）一正一负；
（3）都大于1.1.用二分法求函数的近似零点需注意什么问题？

2.在解决一元二次方程根的分布问题时，应注意哪几个方面？（1）首先是大致区间的确定要使区间长度小，否则会增加运算次数和运算量.虽然此类题要求用计算器运算，但也应注意运算的准确性. （2）在计算到第n步时，区间［an,bn］的两个端点an与bn按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值才是函数y=f(x)的近似零点，所以在计算此类问题时应注意对精确度的要求.在解决一元二次方程根的分布问题时，函数的零点在什么区间内，我们主要是利用二次函数、二次方程和二次不等式之间的关系进行研究的，注意考虑函数在所给区间的端点值，二次函数的开口方向与对称轴位置以及判别式大小.祝同学们学习上天天有进步！