2010-2011学年度高二上学期单元测试（苏教版）数学（3）

2010—2011学年度上学期单元测试
高二数学试题（3）【苏教版】
命题范围：必修五第3章
全卷满分150分，用时150分钟。
第Ⅰ卷（共60分）
一、（60分，每小题5分）
1．已知,则下列推证中正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
2．已知点A（2，3）与B在直线的两侧，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．不等式的解集是 （ ）
A． B． C． D．
4．当为两个不相等的正实数时，下列各式中最小的是 （ ）
　　　　 　　　 　　　
5．不等式表示的平面区域是一个 （ ）
A．三角形 B．直角三角形 C．梯形 D．矩形
6．不等式的解集是 （ ）
A． B．
C． D．
7． 不等式解集是 （　　）
A．（0,2）　 B．（2,+∞）　 C．　　 D．（－∞,0）∪（2,+∞）
8．不等式的解集是 （ ）
A．{x｜o＜x＜1} B． {x｜x＞1或x＜0}
C．{x｜x＞1} D． {x｜x＜1}
9．若，则不等式的解集是 （ ）
A． B．　 C．　 D．
10．已知函数，则不等式组表示的平面区域为（ ）
11．配制A、B两种药剂都需要甲、乙两种原料，用料要求如下表所示（单位：千克）
　　　原料
药剂　　　
甲
乙
A
2
5
B
5
4
药剂A、B至少各配一剂，且药剂A、B每剂售价分别为1百元、2百元．现有原料甲20千克，原料乙25千克，那么可获得的最大销售额为 （ ）
A．6百元 B．7百元 C．8百元 D．9百元
12．不等式的解集是，则a＋b的值是 （ ）
A．10 B．－10 C．14 D．－14
第Ⅱ卷 （共90分）
二、填空题（20分，每小题5分）
13．设x,y,且,则的最小值等于_________
14．不等式>1的解集为________
15．不等式的解集为
16．不等式对一切R恒成立，则实数a的取值范围是_____
三、解答题（70分）
17．（本题满分10分）已知函数f（x）＝ax2－c，－4≤f（1）≤－1，－1≤f（2）≤5，求f（3）的取值范围．
18．（本题满分12分）已知常数a，b和正变量x，y满足a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a，b的值．
19．（本题满分12分）已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞x的解集为（1,2），若f（x）的最大值大于1，求实数a的取值范围．
20．（本题满分12分）某厂用甲、乙两种原料生产A、B两种产品，制造1 tA、B产品需要各种原料数、可得到的利润以及工厂现有各种原料数如下表：
原料
每种产品所需原料（t）
A
B
现有原料数（t）
甲
2
1
14
乙
1
3
18
利润（万元/t）
5
3
问：（1）在现有原料条件下，生产A、B两种产品各多少时，才能使利润最大？
（2）每吨B产品的利润在什么范围变化时，原最优解不变？当超出这个范围时，最优解有何变化？
21．（本题满分12分）已知不等式ax2－3x＋6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}．
（1）求a、b；
（2）解不等式ax2－（ac＋b）x＋bc＜0．
22．（本题满分12分）已知函数f（x）＝－＋（x＞0）．
（1）判断f（x）在（0，＋∞）上的增减性，并证明你的结论；
（2）解关于x的不等式f（x）＞0；
（3）若f（x）＋2x≥0在（0，＋∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

参考答案
一、（60分）
1．C（对于选项A，当m=0时，不等式不成立；对于B当c<0时不等式也不成立；对于D当a，b都为负数时，不等式也不成立）、
2．C（由题意，解得）
3．A（原不等式等价于，解得）、
4．D（由基本不等式和可知选项中，最小．而，，，故选）、
5．C（考虑到第一个不等式的特点，据符号法则，原不等式组等价于或只需分别画出两个不等式组所表示的平面区域（图略），然后取其并集即可．}
6．B（原不等式等价于，即，所以，故选B）、
7．C（原不等式转化为，解此不等式组可得x的范围）、
8．A（ ＜ 0 <=> ＜ <=> ＞1）
9．A（依题意得．）、
10．C（不等式组即或 故其对应平面区域应为图C．）、
11．C（设配制药剂A x剂，药剂B y剂，则有不等式组成立，
即求z＝x＋2y在上述线性约束条件下的最大值，借助于线性规划图（图略）可得．）、
12．D（不等式的解集是,即方程的解为,故 ∴a+b=-14）、
二、（20分）
13．2（画出不等式表示的平面区域如图阴影所示，
当直线过点（1，1）时，取
得最小值3。）
14．{x|x<－3或x>4}（由>1，得>0，∴（x
－4）（x＋3）>0，解得x<－3或x>4，∴原不等
式的解集为{x|x<－3或x>4}．）、
15．（原不等式等价于，由序轴标根法解得
）、
16．（2，）（不等式对一切R恒成立,即
对一切R恒成立，（1）若=0,显然不成立；（2）若0，则， ∴）、
三、（70分）
17．解：因为f（x）＝ax2－c，所以即
解得所以f（3）＝9a－c＝f（2）－f（1）．
又因为－4≤f（1）≤－1，－1≤f（2）≤5，所以≤－f（1）≤，－≤f（2）≤．
所以－1≤f（2）－f（1）≤20，即－1≤f（3）≤20．
18．解：（x＋y）＝（x＋y）（＋）＝a＋b＋a·＋b·≥a＋b＋2＝（＋）2．由解得或
19．解：∵不等式f（x）＞x的解集为（1,2），∴设f（x）－x＝a（x－1）（x－2），且a＜0．
∴f（x）＝ax2＋（1－3a）x＋2a（a＜0）．
因此f（x）max＝＝．依题意＞1且a＜0，
解之得a＜0．因此实数a的取值范围是（－∞，0）．
20．解：（1）设生产A、B两种产品分别为x t、y t，则利润z＝5x＋3y（万元），x、y满足作出可行域如图：
当直线5x＋3y＝z过点B（，）时，z取得最大值37，即生产A产品t，B产品 t时可得最大利润．
（2）设每吨B产品的利润为m万元，则目标函数是z＝5x＋my，直线斜率k＝－，
又kAB＝－2，kCB＝－，要使最优解仍为B点，则－2≤－≤－，解得≤m≤15，
即B产品的利润在万元/t与15万元/t之间时，原最优解仍为生产A产品 t，
B产品 t．
若B产品的利润超过15万元/t，则最优解为C（0,6），即只生产B产品6 t．
若B产品的利润低于2．5万元/t，则最优解为A（7,0），即只生产A产品7 t．
21．解：（1）因为不等式ax2－3x＋6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且b＞1．由根与系数的关系得：解得
所以a＝1，b＝2．
（2）不等式ax2－（ac＋b）x＋bc＜0，即x2－（2＋c）x＋2c＜0，
即（x－2）（x－c）＜0．
所以，①当c＞2时，原不等式的解集为{x|2＜x＜c}；
②当c＜2时，原不等式的解集为{x|c＜x＜2}；
③当c＝2时，原不等式的解集为?．
22．（1）f（x）在（0，＋∞）上为减函数，设0＜x1＜x2，
f（x1）－f（x2）＝（－＋）－（－＋）
＝－＝＞0
∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（0，＋∞）上为减函数．
（2）不等式f（x）＞0，即－＋＞0，∴＞0，等价于（x－2a）·ax＜0
①当a＞0时，不等式化为x（x－2a）＜0，∴不等式的解集为{x|0＜x＜2a}；
②当a＜0时，不等式化为x（x－2a）＞0，∴不等式的解集为{x|x＞0}
（3）若f（x）＋2x≥0，在（0，＋∞）上恒成立，即－＋＋2x≥0，∴≤2（x＋）
∵2（x＋）的最小值为4，∴≤4，解之得a＜0或a≥．
因此实数a的取值范围是a＜0或a≥．