2010-2011学年度高二上学期单元测试（湘教版）数学（3）

2010—2011学年度上学期单元测试
高二数学试题（3）【湘教版】
选修2-1第1、2单元
说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共60分）。
1．函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是 （ ）
A．ab=0 B．a+b=0 C．a=b D．a2+b2=0
2．“至多有三个”的否定为 （ ）
A．至少有三个 B．至少有四个 C．有三个 D．有四个
3．有金盒、银盒、铅盒各一个，只有一个盒子里有肖像．金盒上写有命题p：肖像在这个盒子里；银盒上写有命题q：肖像不在这个盒子里；铅盒上写有命题r：肖像不在金盒里．p、q、r中有且只有一个是真命题，则肖像在 （　　）
A．金盒里 B．银盒里
C．铅盒里 D．在哪个盒子里不能确定
4．x=表示的曲线是 （ ）
A．双曲线 B．椭圆 C．双曲线的一部分 D．椭圆的一部分
5．下列命题中的假命题是 （ ）
A． B．
C． D．
6．已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 （ ）
A．m<2 B．1 C．m<－1或17．若命题“p或q”为真，“非p”为真，则 （　 ）
　 A．p真q真　　 B．p假q真 C．p真q假　　 D．p假q假
8．记实数，，……中的最大数为max，最小数为min。已知ABC的三边长位a,b,c（），定义它的亲倾斜度为
则“=1”是“ABC为等边三角形”的 （ ）
A．必要而不充分的条件 B．充分而不必要的条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．已知椭圆和双曲线＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是 （ ）
A．x＝± B．y＝± C．x＝± D．y＝±
10．已知F1, F2是双曲线的两个焦点, Q是双曲线上任意一点, 从某一焦点引∠F1QF2平分线的垂线, 垂足为P, 则点P的轨迹是 （ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
11．已知抛物线y=2x2上两点A(x1,y1), B(x2,y2)关于直线y=x+m对称, 且x1x2=－, 那么m的值等于 （ ）
A． B． C．2 D．3
12．椭圆的右焦点为F，其右准线与轴的交点为．在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是 （ ）
A．（0，） B．（0，） C．[，1 D．[，1）
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）。
13．下列命题中_________为真命题．
①“A∩B=A”成立的必要条件是“AB”；
②“若x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题；
③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；
④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题。
14．若p：“平行四边形一定是菱形”，则“非p”为___ _____。
15．设P为双曲线y2＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是 ．
16．定长为l (l>)的线段AB的端点在双曲线b2x2－a2y2=a2b2的右支上, 则AB中点M的横坐标的最小值为
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共74分)。
17．（12分）分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假。
（1）矩形的对角线相等且互相平分；（2）正偶数不是质数。
18．（12分）写出由下述各命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题，并指出所构成的这些复合命题的真假。
（1）p：连续的三个整数的乘积能被2整除，q：连续的三个整数的乘积能被3整除；
（2）p：对角线互相垂直的四边形是菱形，q：对角线互相平分的四边形是菱形；
19．（12分）已知抛物线的弦AB与直线y=1有公共点，且弦AB的中点N到y轴的距离为1，求弦AB长度的最大值，并求此直线AB所在的直线的方程。
20．（12分）已知椭圆的方程为，、和为的三个顶点．
（1）若点满足，求点的坐标；
（2）设直线交椭圆于、两点，交直线于点．若，证明：为的中点；
（3）设点在椭圆内且不在轴上，如何构作过中点的直线，使得与椭圆的两个交点、满足？令，，点的坐标是（-8，-1），若椭圆上的点、满足，求点、的坐标．
21．（14分）设022．（14分）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A,B两点各建一个考察基地。视冰川面为平面形，以过A,B两点的直线为x轴，线段AB的的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图6）在直线x=2的右侧，考察范围为到点B的距离不超过km区域；在直线x=2的左侧，考察范围为到A,B两点的距离之和不超过km区域。
（Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；
（Ⅱ）如图6所示，设线段P1P2,P2P3是冰川的部分边界线（不考虑其他边界线），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0．2km,以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间。
参考答案
一、选择题
DBBDA DBADB BD
二、填空题
13．②④；14．平行四边形不一定是菱形；或至少有一个平行四边形不是菱形；15．x2－4y2＝1；16．；
三、解答题
17．解：（1）逆命题：若一个四边形的对角线相等且互相平分，则它是矩形（假命题）．
否命题：若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等或不互相平分（假命题）．
逆否命题：若一个四边形的对角线不相等或不互相平分，则它不是矩形（真命题）．
（2）逆命题：如果一个正数不是质数，那么这个正数是正偶数（假命题）．
否命题：如果一个正数不是偶数，那么这个数是质数（假命题）．
逆否命题：如果一个正数是质数，那么这个数不是偶数（假命题）．
18．解：（1）根据真值表，复合命题可以写成简单形式：
p或q：连续的三个整数的乘积能被2或能被3整除．
p且q：连续的三个整数的乘积能被2且能被3整除．
非p：存在连续的三个整数的乘积不能被2整除．
∵连续的三整数中有一个（或两个）是偶数，而有一个是3的倍数，
∴p真，q真，∴p或q与p且q均为真，而非p为假．
（2）根据真值表，只能用逻辑联结词联结两个命题，不能写成简单形式：
p或q：对角线互相垂直的四边形是菱形或对角线互相平分的四边形是菱形．
p且q：对角线互相垂直的四边形是菱形且对角线互相平分的四边形是菱形．
非p：存在对角线互相垂直的四边形不是菱形．
∵p假q假，∴p或q与p且q均为假，而非p为真．
19．解：设、，中点
当AB直线的倾斜角90°时，AB直线方程是（2分）
当AB直线的倾斜角不为90°时，相减得
所以（4分）
设AB直线方程为：，由于弦AB与直线y=1有公共点，故当y=1时，
所以，
故

故当
20．解析：(1) ； （2）由方程组，消y得方程， 因为直线交椭圆于、两点， 所以(>0，即， 设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)， 则， 由方程组，消y得方程(k2(k1)x(p， 又因为，所以， 故E为CD的中点； （3）因为点P在椭圆Γ内且不在x轴上，所以点F在椭圆Γ内，可以求得直线OF的斜
率k2，由知F为P1P2的中点，根据(2)可得直线l的斜率，从而得直线l的方程．，直线OF的斜率，直线l的斜率，解方程组，消y：x2(2x(48(0，解得P1((6,(4)、P2(8,3)．
21．证明：用反证法，假设，①+②+③得：
，左右矛盾，故假设不成立，∴（1－a）b,（1－b）c，（1－c）a不同时大于．
22．（I）设边界曲线上点P的坐标为（x，y）
当时，由题意知
当x<2时，由|PA|+|PB|=知，
点P在以A，B焦点，长轴长为的椭圆上，此时短半轴长
因而其方程为
故考察区域边界曲线（如图）的方程为
（II）设过点P1，P2的直线为点P2，P3的直线为，
则直线的方程分别为
设直线平行于直线其方程为，
代入椭圆方程，消去y，得
由，
解得，
从图中可以看出，当m=8时，直线与C2的公共点到直线的距离最近，
此时直线的方程为
之间的距离为
又直线到C1和C2的最短距离
而，所以考察区域边界到冰川边界的最短距离为3。
设冰川边界线移动到考察区域所需时间为n年，
则由题设及等比数列求和公式，得
冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间为4年
【命题意图】本题以应用题为背景，考查考生数学建模能力，考查圆的方程、椭圆的定义与方程、直线与圆锥曲线的益关系，等比数列求和，本题属难题。