新课标A版必修5余弦定理
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文档简介
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《余弦定理》
一、教学内容分析：
“余弦定理”是人教版普通高中课程实验教科书（必修5）第一章“解三角形”的主要内容之一，是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一，也是初中“勾股定理”内容的直接延拓，它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。本节课是“余弦定理”教学的第一节课，其主要任务是引入并证明余弦定理，在课型上属于“定理教学课”。
二、学生学习情况分析：
学生已有的认知基础：1、在初中已经学习了解直角三角形的内容，在必修4中，又学习了三角函数的基础知识和平面向量的有关内容，对解直角三角形、三角函数、平面向量已形成初步的知识框架；2、本课之前学生已经学习了正弦定理有关内容，对正弦定理的探究过程有了一定的了解，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。
学生可能遇到的困难：由于学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度，即如何想到用向量、解析方法和三角方法等多种途径证明余弦定理有困难，即将求边的问题转化为求向量的模、两点间的距离的问题有困难。
三、教学目标：
知识目标：
１、通过对三角形边角关系的探索，能证明余弦定理，了解可以从向量、解析方法和三角方法等多种途径证明余弦定理。
２、能够从余弦定理得到它的推论。
３、能够应用余弦定理及其推论解三角形。
４、了解余弦定理与勾股定理之间的联系，知道解三角形的问题的几种情形及其基本解法。
情感目标：
通过相关教学知识的联系性，理解事物间的普遍联系性。
四、教学重点和难点：
重点：通过对三角形边角关系的探索，证明余弦定理及其推论，并能应用它们解三角形。
难点：在解三角形中两个定理的选择。
五、设计思想：
新课程的数学提倡学生动手实践，自主探索，合作交流，深刻地理解基本结论的本质，体验数学发现和创造的历程，力求对现实世界蕴涵的一些数学模式进行思考，作出判断；同时要求教师从知识的传授者向课堂的设计者、组织者、引导者、合作者转化，从课堂的执行者向实施者、探究开发者转化。本课尽力追求新课程要求，利用师生的互动合作，提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识和创新意识，深刻地体会数学思想方法及数学的应用，激发学生探究数学、应用数学知识的潜能。
六、教法和教具：
教学方法：启发发现法、课堂讨论探究法
教学手段：多媒体辅助教学
七、教学情景设计：
（一）余弦定理的证明及其应用
问题１：如果已知一个三角形的两条边及其所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形。怎样在这样的已知三角形的两边及其夹角的条件下解出三角形呢？
设计意图：把研究余弦定理的问题和平面几何中三角形全等判定的方法建立联系，沟通新旧知识的联系，引导学生体会量化的思想和观点。
师生活动：用数学符号来表达上述数学问题：如果已知三角形的两边，，和角。如何解出
问题２：可以先研究计算出第三边的长的问题。我们可以从那些角度来研究这个问题，得到一个关系式或计算公式呢？
设计意图：期望能引导学生从各个不同的方面（如从坐标方法，或向量方法，或三角方法）去研究、探索得到余弦定理。
师生活动：从某一个角度探索并得出余弦定理。
问题３：余弦定理与以前的关于三角形的什么定理在形式上非常接近？
设计意图：引入余弦定理和勾股定理的比较、联系的讨论。
师生活动：就三种不同情形研究两个定理之间的联系。
（二）余弦定理的推论
问题４：我们得到的余弦定理是关于三角形三边和一个角的一个关系式。把这个关系式作某些变形，是否可以解决其他类型的解三角形问题？
设计意图：（１）引入余弦定理的推论；（２）对一个数学关系式作某种变形，从而得到解决其他类型的数学问题，这是一种基本的研究问题的方法。
师生活动：对余弦定理作某种变形，研究变形后所得关系式的应用。老师应把重点引导到余弦定理的推论上去，即讨论已知三边求角的问题。
问题５：在解三角形的过程中，求某一个角时既可以用余弦定理也可以用正弦定理，两种方法有什么利弊呢？
设计意图：引导学生对应用两个定理的差异进行思考和探究。问题涉及到正弦函数和余弦函数在上的单调性。
师生活动：考察两种方法在解决不同问题时的差异。当所求的角是钝角时，用余弦定理可以立即判定所求的角，但用正弦定理则不能直接判定。
问题６：应用正弦定理和余弦定理可以解决哪些类型的解三角形问题？怎样求解？
设计意图：引导学生就解三角形问题做一分析、归纳和总结。
师生活动：可以一起总结得到以下几种类型：
（１）已知三角形的两边和其中一边所对的角时，应用正弦定理求出另一边所对的角。应用三角形内角和定理求第三个角，在用正弦定理求出第三条边；
（２）已知三角形的两角和其中一个角所对的边时，可应用三角形内角和定理求出三角形的第三个角，再应用正弦定理求出另两条边；
（３）已知两边和它们的夹角时，可以应用余弦定理求出第三条边。并把问题转化到前面的类型。
（４）已知三角形的三条边时，应用余弦定理的推论求出一个角，并把问题转化到前面的类型。
八、课堂小结知识梳理：
知识梳理：1、余弦定理及其推论；2、余弦定理在解三角形的应用；3、体会余弦定理的推导方法中蕴含的数学思想方法。
课堂小结：使学生对所学的知识有个比较全面的认识，对学生知识网络结构的建立有较好的指导作用。
九、作业布置
教材P10 3、4；目的使学生通过练习巩固所学知识，形成技能
十、教学反思
１．向量方法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。教师要适时引导，让学生自己探求出结论。
2．着重讲透例题，讲例题时可与学生配合，不要教师一讲到底。
3．强调余弦定理的应用性，加强对学生计算能力的培养。
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《余弦定理》
一、教学内容分析：
“余弦定理”是人教版普通高中课程实验教科书（必修5）第一章“解三角形”的主要内容之一，是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一，也是初中“勾股定理”内容的直接延拓，它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。本节课是“余弦定理”教学的第一节课，其主要任务是引入并证明余弦定理，在课型上属于“定理教学课”。
二、学生学习情况分析：
学生已有的认知基础：1、在初中已经学习了解直角三角形的内容，在必修4中，又学习了三角函数的基础知识和平面向量的有关内容，对解直角三角形、三角函数、平面向量已形成初步的知识框架；2、本课之前学生已经学习了正弦定理有关内容，对正弦定理的探究过程有了一定的了解，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。
学生可能遇到的困难：由于学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度，即如何想到用向量、解析方法和三角方法等多种途径证明余弦定理有困难，即将求边的问题转化为求向量的模、两点间的距离的问题有困难。
三、教学目标：
知识目标：
１、通过对三角形边角关系的探索，能证明余弦定理，了解可以从向量、解析方法和三角方法等多种途径证明余弦定理。
２、能够从余弦定理得到它的推论。
３、能够应用余弦定理及其推论解三角形。
４、了解余弦定理与勾股定理之间的联系，知道解三角形的问题的几种情形及其基本解法。
情感目标：
通过相关教学知识的联系性，理解事物间的普遍联系性。
四、教学重点和难点：
重点：通过对三角形边角关系的探索，证明余弦定理及其推论，并能应用它们解三角形。
难点：在解三角形中两个定理的选择。
五、设计思想：
新课程的数学提倡学生动手实践，自主探索，合作交流，深刻地理解基本结论的本质，体验数学发现和创造的历程，力求对现实世界蕴涵的一些数学模式进行思考，作出判断；同时要求教师从知识的传授者向课堂的设计者、组织者、引导者、合作者转化，从课堂的执行者向实施者、探究开发者转化。本课尽力追求新课程要求，利用师生的互动合作，提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识和创新意识，深刻地体会数学思想方法及数学的应用，激发学生探究数学、应用数学知识的潜能。
六、教法和教具：
教学方法：启发发现法、课堂讨论探究法
教学手段：多媒体辅助教学
七、教学情景设计：
（一）余弦定理的证明及其应用
问题１：如果已知一个三角形的两条边及其所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形。怎样在这样的已知三角形的两边及其夹角的条件下解出三角形呢？
设计意图：把研究余弦定理的问题和平面几何中三角形全等判定的方法建立联系，沟通新旧知识的联系，引导学生体会量化的思想和观点。
师生活动：用数学符号来表达上述数学问题：如果已知三角形的两边，，和角。如何解出
问题２：可以先研究计算出第三边的长的问题。我们可以从那些角度来研究这个问题，得到一个关系式或计算公式呢？
设计意图：期望能引导学生从各个不同的方面（如从坐标方法，或向量方法，或三角方法）去研究、探索得到余弦定理。
师生活动：从某一个角度探索并得出余弦定理。
问题３：余弦定理与以前的关于三角形的什么定理在形式上非常接近？
设计意图：引入余弦定理和勾股定理的比较、联系的讨论。
师生活动：就三种不同情形研究两个定理之间的联系。
（二）余弦定理的推论
问题４：我们得到的余弦定理是关于三角形三边和一个角的一个关系式。把这个关系式作某些变形，是否可以解决其他类型的解三角形问题？
设计意图：（１）引入余弦定理的推论；（２）对一个数学关系式作某种变形，从而得到解决其他类型的数学问题，这是一种基本的研究问题的方法。
师生活动：对余弦定理作某种变形，研究变形后所得关系式的应用。老师应把重点引导到余弦定理的推论上去，即讨论已知三边求角的问题。
问题５：在解三角形的过程中，求某一个角时既可以用余弦定理也可以用正弦定理，两种方法有什么利弊呢？
设计意图：引导学生对应用两个定理的差异进行思考和探究。问题涉及到正弦函数和余弦函数在上的单调性。
师生活动：考察两种方法在解决不同问题时的差异。当所求的角是钝角时，用余弦定理可以立即判定所求的角，但用正弦定理则不能直接判定。
问题６：应用正弦定理和余弦定理可以解决哪些类型的解三角形问题？怎样求解？
设计意图：引导学生就解三角形问题做一分析、归纳和总结。
师生活动：可以一起总结得到以下几种类型：
（１）已知三角形的两边和其中一边所对的角时，应用正弦定理求出另一边所对的角。应用三角形内角和定理求第三个角，在用正弦定理求出第三条边；
（２）已知三角形的两角和其中一个角所对的边时，可应用三角形内角和定理求出三角形的第三个角，再应用正弦定理求出另两条边；
（３）已知两边和它们的夹角时，可以应用余弦定理求出第三条边。并把问题转化到前面的类型。
（４）已知三角形的三条边时，应用余弦定理的推论求出一个角，并把问题转化到前面的类型。
八、课堂小结知识梳理：
知识梳理：1、余弦定理及其推论；2、余弦定理在解三角形的应用；3、体会余弦定理的推导方法中蕴含的数学思想方法。
课堂小结：使学生对所学的知识有个比较全面的认识，对学生知识网络结构的建立有较好的指导作用。
九、作业布置
教材P10 3、4；目的使学生通过练习巩固所学知识，形成技能
十、教学反思
１．向量方法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。教师要适时引导，让学生自己探求出结论。
2．着重讲透例题，讲例题时可与学生配合，不要教师一讲到底。
3．强调余弦定理的应用性，加强对学生计算能力的培养。
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