§4.3.1 空间直角坐标系
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§4.3.1 空间直角坐标系
¤学习目标：通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置.
¤知识要点：
1. 空间直角坐标系：从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴Ox、Oy、Oz，这样的坐标系叫做空间直角坐标系O-xyz，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴. 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面.
2. 右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
3. 空间直角坐标系中的坐标：对于空间任一点M，作出M点在三条坐标轴Ox轴、Oy轴、Oz轴上的射影，若射影在相应数轴上的坐标依次为x、y、z，则把有序实数组(x, y, z)叫做M点在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x, y, z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标.
4. 在xOy平面上的点的竖坐标都是零，在yOz平面上的点的横坐标都是零，在zOx平面上的点的纵坐标都是零；在Ox轴上的点的纵坐标、竖坐标都是零，在Oy轴上的点的横坐标、竖坐标都是零，在Oz轴上的点的横坐标、纵坐标都是零
¤例题精讲：
【例1】在空间直角坐标系中，作出点M(6，－2, 4).
解：点M的位置可按如下步骤作出：
先在x轴上作出横坐标是6的点，再将沿与y轴平行的方向向左移动2个单位得到点，然后将沿与z轴平行的方向向上移动4个单位即得点M.
M点的位置如图所示.
【例2】在长方体中，AB=12，AD=8，=5，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.
解：以A为原点，射线AB、AD、分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)、B(12,0,0)、C(12,8,0)、D(0,8,0)、
(0,0,5)、(12,0,5)、(12,8,5)、(0,8,5).
【例3】已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.
分析：先由条件求出正四棱锥的高，再根据正四棱锥的对称性，建立适当的空间直角坐标系.
解：正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，
∴正四棱锥的高为.
以正四棱锥的底面中心为原点，平行于AB、BC所在的直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则正四棱锥各顶点的坐标分别为
A(2,-2,0)、B(2,2,0)、C(-2,2,0)、D(-2,-2,0)、P(0,0,).
点评：在求解此类问题时，关键是能根据已知图形，建立适当的空间直角坐标系，从而便于计算所需确定的点的坐标.
【例4】在空间直角坐标系中，求出经过A(2,3，1)且平行于坐标平面yOz的平面的方程.
分析：求与坐标平面yOz平行的平面的方程，即寻找此平面内任一点所要满足的条件，可利用与坐标平面yOz平行的平面内的点的特点来求解.
解：坐标平面yOz⊥x轴，而平面与坐标平面yOz平行，
∴平面也与x轴垂直，
∴平面内的所有点在x轴上的射影都是同一点，即平面与x轴的交点，
∴平面内的所有点的横坐标都相等。
平面过点A(2,3,1)，
∴平面内的所有点的横坐标都是2，
∴平面的方程为x=2.
点评：对于空间直角坐标系中的问题，可先回忆与平面直角坐标系中类似问题的求解方法，再用类比方法求解空间直角坐标系中的问题。本题类似于平面直角坐标系中，求过某一定点且与x轴(或y轴)平行的直线的方程.
对应练习 §4.3.1 空间直角坐标系
※基础达标
1．点在空间直角坐标系的位置是（ ）.
A. y轴上 B. 平面上 C. 平面上 D. 平面上
2．在空间直角坐标系中，下列说法中：①在x轴上的点的坐标一定是；②在平面上的点的坐标一定可写成；③在z轴上的点的坐标可记作；④在平面上的点的坐标是. 其中正确说法的序号依次是（ ）.
A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ②③④
3．结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图. 其中实点●代表钠原子，黑点 代表氯原子. 建立空间直角坐标系O―xyz后，图中最上层中间的钠原子所在位置的坐标是（ ）.
A． B． C． D．
4．点在x轴上的射影和在平面上的射影点分别为（ ）.
A. 、 B. 、
C. 、 D. 、
5．点分别在面（ ）.
A. 上 B. 上 C. 上 D. 上
6．点关于原点对称的点的坐标是 .
7．连接平面上两点、的线段的中点M的坐标为，那么，已知空间中两点、，线段的中点M的坐标为 .
※能力提高
8．如图，点，在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC=CD，∠BCD=90°，∠ADB=30°，E、F分别是AC、AD的中点. 求D、C、E、F这四点的坐标.
9．在空间直角坐标系中，给定点，求它关于坐标平面、坐标轴和原点的对称点的坐标.
※探究创新
10．在空间直角坐标系中，求出经过B(2,3,0)且垂直于坐标平面xOy的直线方程
答案：
1～5 CDABA； 6. ； 7. .
8. 解：由及∠ADB=30°，得到点D坐标.
又BC=CD，∠BCD=90°，得.
由E、F分别是AC、AD的中点，得，.
9. 解：点关于平面、平面、平面的对称点的坐标分别是、、.
点关于x轴、y轴、z轴、原点的对称点的坐标分别是、、、.
10. 解：所求直线的方程为x=2, 且y=3.
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§4.3.1 空间直角坐标系
¤学习目标：通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置.
¤知识要点：
1. 空间直角坐标系：从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴Ox、Oy、Oz，这样的坐标系叫做空间直角坐标系O-xyz，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴. 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面.
2. 右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
3. 空间直角坐标系中的坐标：对于空间任一点M，作出M点在三条坐标轴Ox轴、Oy轴、Oz轴上的射影，若射影在相应数轴上的坐标依次为x、y、z，则把有序实数组(x, y, z)叫做M点在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x, y, z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标.
4. 在xOy平面上的点的竖坐标都是零，在yOz平面上的点的横坐标都是零，在zOx平面上的点的纵坐标都是零；在Ox轴上的点的纵坐标、竖坐标都是零，在Oy轴上的点的横坐标、竖坐标都是零，在Oz轴上的点的横坐标、纵坐标都是零
¤例题精讲：
【例1】在空间直角坐标系中，作出点M(6，－2, 4).
解：点M的位置可按如下步骤作出：
先在x轴上作出横坐标是6的点，再将沿与y轴平行的方向向左移动2个单位得到点，然后将沿与z轴平行的方向向上移动4个单位即得点M.
M点的位置如图所示.
【例2】在长方体中，AB=12，AD=8，=5，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.
解：以A为原点，射线AB、AD、分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)、B(12,0,0)、C(12,8,0)、D(0,8,0)、
(0,0,5)、(12,0,5)、(12,8,5)、(0,8,5).
【例3】已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.
分析：先由条件求出正四棱锥的高，再根据正四棱锥的对称性，建立适当的空间直角坐标系.
解：正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，
∴正四棱锥的高为.
以正四棱锥的底面中心为原点，平行于AB、BC所在的直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则正四棱锥各顶点的坐标分别为
A(2,-2,0)、B(2,2,0)、C(-2,2,0)、D(-2,-2,0)、P(0,0,).
点评：在求解此类问题时，关键是能根据已知图形，建立适当的空间直角坐标系，从而便于计算所需确定的点的坐标.
【例4】在空间直角坐标系中，求出经过A(2,3，1)且平行于坐标平面yOz的平面的方程.
分析：求与坐标平面yOz平行的平面的方程，即寻找此平面内任一点所要满足的条件，可利用与坐标平面yOz平行的平面内的点的特点来求解.
解：坐标平面yOz⊥x轴，而平面与坐标平面yOz平行，
∴平面也与x轴垂直，
∴平面内的所有点在x轴上的射影都是同一点，即平面与x轴的交点，
∴平面内的所有点的横坐标都相等。
平面过点A(2,3,1)，
∴平面内的所有点的横坐标都是2，
∴平面的方程为x=2.
点评：对于空间直角坐标系中的问题，可先回忆与平面直角坐标系中类似问题的求解方法，再用类比方法求解空间直角坐标系中的问题。本题类似于平面直角坐标系中，求过某一定点且与x轴(或y轴)平行的直线的方程.
对应练习 §4.3.1 空间直角坐标系
※基础达标
1．点在空间直角坐标系的位置是（ ）.
A. y轴上 B. 平面上 C. 平面上 D. 平面上
2．在空间直角坐标系中，下列说法中：①在x轴上的点的坐标一定是；②在平面上的点的坐标一定可写成；③在z轴上的点的坐标可记作；④在平面上的点的坐标是. 其中正确说法的序号依次是（ ）.
A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ②③④
3．结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图. 其中实点●代表钠原子，黑点 代表氯原子. 建立空间直角坐标系O―xyz后，图中最上层中间的钠原子所在位置的坐标是（ ）.
A． B． C． D．
4．点在x轴上的射影和在平面上的射影点分别为（ ）.
A. 、 B. 、
C. 、 D. 、
5．点分别在面（ ）.
A. 上 B. 上 C. 上 D. 上
6．点关于原点对称的点的坐标是 .
7．连接平面上两点、的线段的中点M的坐标为，那么，已知空间中两点、，线段的中点M的坐标为 .
※能力提高
8．如图，点，在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC=CD，∠BCD=90°，∠ADB=30°，E、F分别是AC、AD的中点. 求D、C、E、F这四点的坐标.
9．在空间直角坐标系中，给定点，求它关于坐标平面、坐标轴和原点的对称点的坐标.
※探究创新
10．在空间直角坐标系中，求出经过B(2,3,0)且垂直于坐标平面xOy的直线方程
答案：
1～5 CDABA； 6. ； 7. .
8. 解：由及∠ADB=30°，得到点D坐标.
又BC=CD，∠BCD=90°，得.
由E、F分别是AC、AD的中点，得，.
9. 解：点关于平面、平面、平面的对称点的坐标分别是、、.
点关于x轴、y轴、z轴、原点的对称点的坐标分别是、、、.
10. 解：所求直线的方程为x=2, 且y=3.
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