第四章 圆与方程 复习
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第四章 圆与方程 复习
¤学习目标：掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程；能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系；能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置；会推导空间两点间的距离公式；初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
¤例题精讲：
【例1】设直线与圆相交于P、Q两点，O为坐标原点，若，求的值.
解：圆过原点，并且，
∴ PQ是圆的直径，圆心的坐标为
又在直线上， ∴ ，解得.
【例2】（1997上海）设圆x2+y2－4x－5=0的弦AB的中点为P（3，1），则直线AB的方程是 .
解法一：已知圆的方程为（x－2）2+y2=9，可知圆心C的坐标是（2，0），
又知AB弦的中点是P（3，1），所以kCP==1，而AB⊥CP，所以kAB=－1.
故直线AB的方程是x+y－4=0.
解法二：设所求直线方程为y－1=k（x－3）. 代入圆的方程，得关于x的二次方程：
（1+k2）x2－（6k2－2k+4）x+9k2－6k－4=0，由韦达定理：x1+x2==6，解得k=－1.
解法三：设所求直线与圆交于A、B两点，其坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），
则有， 两式相减，得（x2+x1－4）（x2－x1）+（y2－y1）（y2+y1）=0.
又AB的中点坐标为（3，1），∴x1+x2=6，y1+y2=2.
∴ =－1，即AB的斜率为－1，故所求方程为x+y－4=0.
【例3】长为的线段AB的两端点A和B，分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB中点的轨迹方程.
解：设线段AB的中点坐标为，则 点，.
由，得.所以，所求轨迹方程为.
点评：此解体现了求曲线轨迹方程的基本思路，先设动点的坐标，再写出题目所满足的几何条件，然后由所写条件式列出方程，最后化简即得所求轨迹方程.
另解：∵ ，M是AB中点，x轴⊥y轴， ∴ ，
即线段AB中点M的轨迹是以原点O为圆心，为半径的圆.
∴ 所求轨迹方程为.
点评：由已知条件分析得出动点的轨迹，再由轨迹写出方程，这种解法类似于数形结合思想，关键找出图形的重要特征.
【例4】已知圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0（m∈R）.
（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；
（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.
解：（1）证明：l的方程可化为（x+y－4）+m（2x+y－7）=0.
∵m∈R，∴，得，即l恒过定点A（3，1）.
∵圆心C（1，2），｜AC｜＝＜5（半径），∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点.
（2）弦长最小时，l⊥AC，由kAC＝－，∴l的方程为2x－y－5=0.
点评：本题考查了圆的弦长问题，直线系的知识，进一步考查了参数思想. 解题关键是抓住图形的几何性质，灵活运用几何知识和代数知识将条件恰当转化，推演，达到合乎逻辑、说理充分、陈述严谨.
对应练习 第四章 圆与方程 复习
※基础达标
1．（06年江苏卷）圆的切线方程中有一个是（ ）.
A. x－y＝0 B. x＋y＝0 C. x＝0 D. y＝0
2．（04年天津卷）若为圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是（ ）.
A． B． C． D．
3．（06年陕西卷）设直线过点(0,a)，其斜率为1, 且与圆x2+y2=2相切，则a 的值为（ ）.
A.± B.±2 B.± D.±4.
4．（06年重庆卷）以点（2，－1）为圆心且与直线相切的圆的方程为（ ）.
A. B.
C. D.
5．（06年湖南卷）圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是（ ）.
A．36 B. 18 C. D.
6．（07年湖南.文理11）圆心为且与直线相切的圆的方程 .
7．（06年全国卷Ⅱ）过点的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝ .
※能力提高
8．一圆的圆心在直线x-y-1=0上, 与直线4x+3y+14=0相切, 在3x+4y+10=0上截得弦长为6, 求圆的方程.
9．已知圆和直线交于P、Q两点且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.
※探究创新
10．某铝制品厂在边长为40cm的正方形铝板上割下四个半径为20厘米的圆形（如图所示的阴影部分）．为节约铝材，该厂打算用余下部分制作底面直径和高相等的圆柱形包装盒（接缝用料忽略不计）．问：
（1）包装盒的最大直径是多少？(精确到0.01厘米)
（2）画出你设计的剪裁图．
答案：
1～5 CABCC； 6. ； 7. .
8. 解：由圆心在直线x-y-1=0上, 可设圆心为（a,a-1）,半径为r, 由题意可得
, 经计算得a=2, r=5. 所以所求圆的方程为（x-2）2+（y-1）2=25
9. 解： 将代入方程，得
设、Q，则满足条件：
∵ OP⊥OQ, ∴ ，即，从而
又，，∴，
∴m=3，此时Δ>0，圆心坐标为（-，3），半径.
10. 解：如图建立直角坐标系，依题意，若使圆柱底面直径最大，应如图所示剪裁．设底面半径为r，由于2r为圆柱的高，故AD＝2r，AB＝2πr， 于是A点的坐标为(πr，r)．
∴ AC的直线方程为 ①；
⊙O′的方程为：(x－20)2＋(y－20)2＝20 2 ②.
将①代入②，得 (πy－20)2＋(y－20)2＝20 2，
求解得 y1≈3.01(cm)，y2≈12.23(cm)(舍去)． ∴ r≈3.01(cm)．
于是O″(0，6.02)，O′(20，20)，
∴ .
而 r＋20＝23.01＜24.41，
所以，在裁下矩形ABCD后，可在余下部分裁下两个半径为3.01的圆(⊙O″)．这样，每块余料做一圆柱形(直径与高相等)的包装盒，底面最大直径是6.02(cm)．
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第四章 圆与方程 复习
¤学习目标：掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程；能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系；能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置；会推导空间两点间的距离公式；初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
¤例题精讲：
【例1】设直线与圆相交于P、Q两点，O为坐标原点，若，求的值.
解：圆过原点，并且，
∴ PQ是圆的直径，圆心的坐标为
又在直线上， ∴ ，解得.
【例2】（1997上海）设圆x2+y2－4x－5=0的弦AB的中点为P（3，1），则直线AB的方程是 .
解法一：已知圆的方程为（x－2）2+y2=9，可知圆心C的坐标是（2，0），
又知AB弦的中点是P（3，1），所以kCP==1，而AB⊥CP，所以kAB=－1.
故直线AB的方程是x+y－4=0.
解法二：设所求直线方程为y－1=k（x－3）. 代入圆的方程，得关于x的二次方程：
（1+k2）x2－（6k2－2k+4）x+9k2－6k－4=0，由韦达定理：x1+x2==6，解得k=－1.
解法三：设所求直线与圆交于A、B两点，其坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），
则有， 两式相减，得（x2+x1－4）（x2－x1）+（y2－y1）（y2+y1）=0.
又AB的中点坐标为（3，1），∴x1+x2=6，y1+y2=2.
∴ =－1，即AB的斜率为－1，故所求方程为x+y－4=0.
【例3】长为的线段AB的两端点A和B，分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB中点的轨迹方程.
解：设线段AB的中点坐标为，则 点，.
由，得.所以，所求轨迹方程为.
点评：此解体现了求曲线轨迹方程的基本思路，先设动点的坐标，再写出题目所满足的几何条件，然后由所写条件式列出方程，最后化简即得所求轨迹方程.
另解：∵ ，M是AB中点，x轴⊥y轴， ∴ ，
即线段AB中点M的轨迹是以原点O为圆心，为半径的圆.
∴ 所求轨迹方程为.
点评：由已知条件分析得出动点的轨迹，再由轨迹写出方程，这种解法类似于数形结合思想，关键找出图形的重要特征.
【例4】已知圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0（m∈R）.
（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；
（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.
解：（1）证明：l的方程可化为（x+y－4）+m（2x+y－7）=0.
∵m∈R，∴，得，即l恒过定点A（3，1）.
∵圆心C（1，2），｜AC｜＝＜5（半径），∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点.
（2）弦长最小时，l⊥AC，由kAC＝－，∴l的方程为2x－y－5=0.
点评：本题考查了圆的弦长问题，直线系的知识，进一步考查了参数思想. 解题关键是抓住图形的几何性质，灵活运用几何知识和代数知识将条件恰当转化，推演，达到合乎逻辑、说理充分、陈述严谨.
对应练习 第四章 圆与方程 复习
※基础达标
1．（06年江苏卷）圆的切线方程中有一个是（ ）.
A. x－y＝0 B. x＋y＝0 C. x＝0 D. y＝0
2．（04年天津卷）若为圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是（ ）.
A． B． C． D．
3．（06年陕西卷）设直线过点(0,a)，其斜率为1, 且与圆x2+y2=2相切，则a 的值为（ ）.
A.± B.±2 B.± D.±4.
4．（06年重庆卷）以点（2，－1）为圆心且与直线相切的圆的方程为（ ）.
A. B.
C. D.
5．（06年湖南卷）圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是（ ）.
A．36 B. 18 C. D.
6．（07年湖南.文理11）圆心为且与直线相切的圆的方程 .
7．（06年全国卷Ⅱ）过点的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝ .
※能力提高
8．一圆的圆心在直线x-y-1=0上, 与直线4x+3y+14=0相切, 在3x+4y+10=0上截得弦长为6, 求圆的方程.
9．已知圆和直线交于P、Q两点且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.
※探究创新
10．某铝制品厂在边长为40cm的正方形铝板上割下四个半径为20厘米的圆形（如图所示的阴影部分）．为节约铝材，该厂打算用余下部分制作底面直径和高相等的圆柱形包装盒（接缝用料忽略不计）．问：
（1）包装盒的最大直径是多少？(精确到0.01厘米)
（2）画出你设计的剪裁图．
答案：
1～5 CABCC； 6. ； 7. .
8. 解：由圆心在直线x-y-1=0上, 可设圆心为（a,a-1）,半径为r, 由题意可得
, 经计算得a=2, r=5. 所以所求圆的方程为（x-2）2+（y-1）2=25
9. 解： 将代入方程，得
设、Q，则满足条件：
∵ OP⊥OQ, ∴ ，即，从而
又，，∴，
∴m=3，此时Δ>0，圆心坐标为（-，3），半径.
10. 解：如图建立直角坐标系，依题意，若使圆柱底面直径最大，应如图所示剪裁．设底面半径为r，由于2r为圆柱的高，故AD＝2r，AB＝2πr， 于是A点的坐标为(πr，r)．
∴ AC的直线方程为 ①；
⊙O′的方程为：(x－20)2＋(y－20)2＝20 2 ②.
将①代入②，得 (πy－20)2＋(y－20)2＝20 2，
求解得 y1≈3.01(cm)，y2≈12.23(cm)(舍去)． ∴ r≈3.01(cm)．
于是O″(0，6.02)，O′(20，20)，
∴ .
而 r＋20＝23.01＜24.41，
所以，在裁下矩形ABCD后，可在余下部分裁下两个半径为3.01的圆(⊙O″)．这样，每块余料做一圆柱形(直径与高相等)的包装盒，底面最大直径是6.02(cm)．
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