椭圆的参数方程教学设计
一、基本说明
1、教学内容所属模块：选修4-4
2、年级：高三?
3、所用教材出版单位：人民教育出版社（A版）
4、所属的章节：第二讲第二节第1课时
5、学时数：45 分钟?
二、教学设计?
（一）、内容分析
1、内容来源
普通高中课程标准试验教科书 人民教育出版社A版 数学选修4-4第二讲第三课时：椭圆的参数方程
2、地位与作用
参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式。本节知识以学生学习和了解了椭圆的普通方程和圆的参数方程为载体，从另一个角度认识椭圆。在建立椭圆方程过程中，展示引进参数的意义和作用。以及根据椭圆的特点，选取适当的方程表示形式，体现解决有关椭圆问题中数学方法的灵活性，拓展学生的思路，开阔学生的视野。
（二）、教学目标
1、知识与技能：
（1）理解椭圆的参数方程及其参数的几何意义。
（2）引导学生体验构造参数法的应用思想，探讨如何运用参数方程在解决与椭圆有关问题。
（3）会根据条件构造参数方程实现问题的转化，达到解题的目的。
2、 过程和方法：
（1）通过以熟悉的椭圆为载体，进一步学习建立参数方程的基本步骤，加深对参数方程的理解，同时引导学生从不同角度认识椭圆的几何性质，体会参数对研究曲线问题的作用。
（2）通过利用信息技术从参数连续变化而形成椭圆的过程中认识参数的几何意义。
3、 情感、态度和价值：
通过师生共同探究进一步学习建立参数方程的基本步骤，加深对参数方程的理解，体会参数法的应用。同时引导学生从不同角度认识椭圆的几何性质。以及用参数方程解决某些曲线问题的过程中分享体会类比思想、数形结合的思想、构造转化思想。培养学生用“联系”的观点看问题，进一步增强“代数”与“几何”的联系，培养学生学好数学的信心。
（三）、教学重点、难点
重点：椭圆的参数方程及其参数的几何意义
难点：巧用椭圆的参数方程解题
（四）、学情分析：
“坐标法 ”是现代数学最重要的基本思想之一。坐标系是联系几何与代数的桥梁，是数形结合的有力工具。虽然我们的学生已经学习和了解了椭圆的普通方程和圆的参数方程有关知识，但我们的学生对其了解甚少，再说椭圆参数方程的探求与应用，与代数变换、三角函数有密切联系，以及由学生独立获取椭圆参数方程中的参数的几何意义是极其困难的。因此我们必须从实际问题入手，由浅入深的帮助学生学习理解知识，通过“思考”、“探究”、“信息技术应用”等来启发和引导学生的数学思维，养成主动探索、积极思考的好习惯。
（五）、设计思路：
参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式。教师首先应通过实例展示在建立椭圆方程过程中，引进参数的意义和作用。使学生体会到有时用参数方程表示曲线比用普通方程表示更方便，理解参数的几何意义。?
? 根据本节课的教学内容和学生实际水平，本节课采用“复习导入发现法”。通过具体实例问题，引导和激发学生的探究热情，通过“师生”和“生生”的交流合作，掌握椭圆参数的深层实质。教学流程为：创设情境引入新知→实例探究启发思维→类比启发形成新知→应用研究明确原理→例题讲解运用新知→课堂实践巩固新知→归纳总结完善→课外强化提升能力。
（六）、教具准备：
多媒体、PowerPoint课件、《几何画板》
（七）、教学过程：
教学环节
教师活动
学生活动
学生学习过程的观察和考查及设计意图
创设情境引入新知
一、复习探究、思考引入（8分钟）
1．（填空）（1）圆心为原点，半径为r的圆x2＋y2＝r2（r>0）的参数方程为 ；
（2）圆心为（a,b）,半径为r的圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2（r>0）的参数方程为 。
2．思考：设是参数，求椭圆的参数方程。
学生充分发表自己的意见，并讨论。
复习旧知
激发学生的思维。
实例探究
启发思维
提示：
(法一) 将代入中求出y.
（法二）将变为求解y
学生思考动手求解后请代表回答，让学生讨论评判后，在老师的引导下探究出椭圆的参数方程
通过类比学习，和具体实例明确椭圆的参数方程的形式。
类比启发形成新知
二、探究总结、形成新知（10分钟）
1、椭圆的参数方程
（1）椭圆的参数方程的推导
（探究一）类比椭圆的参数方程，教师启发学生总结得出?椭圆的一个参数方程。
（2）探究二： 类比圆的参数方程中参数的意义，此椭圆的参数方程中参数( 的意义是什么？
? 以原点为圆心，分别以a、b(a＞b＞0)为半径作两个同心圆.设A是大圆上的任一点，连接OA，与小圆交于点B.过点A，B分别作x轴，y轴的垂线，两垂线交于点M.
问题：求点M的参数方程.
当半径OA绕点O旋转一周时，就得到了点M的轨迹，它的参数方程是
1、学生讨论，引导学生得出结论。
2、学生动手：利用《几何画板》 演示体会当(变化时点M的轨迹的形状，学生通过观察得出结论：参数(是点M所对应的圆的半径OA (或OB)的旋转角(称为点M的离心角)。
利用信息技术让学生明确理解椭圆参数的几何意义。
和了解椭圆规的构造原理。
例题讲解运用新知
三、例题讲解（学生动手完成，教师点评）
示例1. 在椭圆上求一点M，使点M到直线x＋2y－10＝0的距离最小，并求出最小距离。
分析：本题如果用直角坐标，则点到直线的距离表达式中有两个变量，虽然可以借助椭圆方程转化一个变量的，但是表达式比较复杂，而利用参数方程，只有一个参变量(距离表达式可以得到简化，而且可以用到三角变换，从而拓广了解决问题的途经。学生可以感受曲线的参数方程在代数“消元”变形中具有重要作用，体现了参数方程的优势.
探究三：与简单的线性规划问题进行类比，你能在实数x，y满足的前提下，求出z＝x－2y的最大值和最小值吗？由此可以提出哪些类似的问题？
示例2 由圆上动点M作y轴的垂线，交y轴于点N，设线段MN的中点为P，求点P的轨迹方程。
分析：本题把参数方程的作用体现得淋漓尽致。
1、在学生熟悉椭圆的普通方程的基础上，写出椭圆的一个参数方程，学习用参数方程解决实际问题。
?2、师生合作共同完成，熟练明确椭圆参数的几何意义。
3、师生合作探究、深化认识
1、正确书写解题过程，明确解题格式。
2、培养学生合作能力。
3、类比思想运用深化对参数方程认识，提升学生能力。
课堂实践巩固新知
四、自主练习（10分钟）
练习1.（1）把下列普通方程化参数方程。
（2）把下列参数方程化普通方程。
练习2 椭圆(a>b>0)求其内接矩形面积的最大值
学生独立完成后相互检查
培养学生自觉性、自主性、独立性的个性品质。
归纳总结完善
五、课堂小结（2分钟）
1. 椭圆 的一个参数方程
2. 椭圆参数的意义
?
学生回顾总结归纳这节课所学知识， 教师补充.
?培养学生总结、表达能力、语言组织能力
课后巩固提升
1. (教材第34版)一个人造地球卫星的运行轨道是一个椭圆，长轴长为15 565km，短轴长为15 443km.取椭圆中心为坐标原点，求卫星轨道的参数方程.
2. 已知实数x、y满足z＝x＋2y的最大值与最小值
课后独立完成
信息反馈、检查学生知识掌握情况。
三、板书设计
椭圆的参数方程
一．椭圆的参数方程
1.复习引入
探究一
2.椭圆的参数方程
四．探索、理解、应用椭圆的参数方程
例1
例2
探究四
示例分析；师生合作探究；学生练习
二．椭圆参数的意义：
探究二.
五．课堂总结
三．椭圆规的构造原理：
探究三
六．课后作业
四、教学后记
本堂课中对涉及到代数变换、三角知识等及时进行了复习或提示，同时对于学生的语言与行为的表现，及时给予肯定性的表扬和鼓励；对的学生思维暴露出问题及时评价和矫正，我随时调整教学思路；用课外作业和课堂练习等方式收集反馈信息，通过观察学生完成作业情况，了解学生在知识技能和数学方法方面的收获和不足，为指导我今后教学提供依据．整个教学是在突出学生的主体地位的师生互动中完成的，因而课堂气氛较活跃。但在时间安排上把握不太好，在语言表达上还欠精简。对课堂上出现的意外情况思考不周到。
课件17张PPT。
椭圆的参数方程填空:
(1) 圆心为原点,半径为r的圆:x2＋y2＝r2
（r＞０）的参数方程为: (2) 圆心为（a,b),半径为r的圆：
(x－a)2＋(y－b)2＝r2 （r＞０）的参数方程为：复习引入:思考:设 是参数，
求椭圆 的一个参数方程。 探究一：
你能写出椭圆
的一个参数方程吗?探究新知:1. 椭圆的参数方程椭圆 的一个
参数方程探究新知:1. 椭圆的参数方程椭圆 的一个
参数方程这是中心在原点O，焦点在x轴上的
椭圆的参数方程.探究新知:【练习1】把下列普通方程化为参数方程. (1)(2)(3)(4)把下列参数方程化为普通方程 类比圆的参数方程中参数的意义，此椭
圆的参数方程中参数?的几何意义是什么？ 椭圆
的一个参数方程探究二：探究新知 如图,以原点为圆心,分别以a,b（a>b>0）为半径作两个圆,设Ａ为大圆上的任一点，连接ＯＡ,与小圆交于点Ｂ，过点A作AN⊥Ox,垂足为N,过点B作BM ⊥ AN,垂足为M,设以Ox为始边，OA为终边的角为 ,当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹为: xOyAMNB ——此即为椭圆的参数方程,其中 的几何意义为——离心角.参数 的几何意义:椭圆圆的参数方程与椭圆的参数方程中参数的几何
意义:MOxyN(x,y)NM(x,y) 为OX轴逆时针旋转到与OM重合时所转过的角度 并非为OX轴逆时针旋转到与OM重合时所转过的角度例1、如图，在椭圆 上求一点M，使点M
到直线 l：x+2y-10=0的距离最小.方法1：几何法平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求.例题讲解：l小结：借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一点的坐标用三角函数表示，利用三角函数知识加以解决。方法2：参数法M例1、如图，在椭圆 上求一点M，使点M到
直线 l：x+2y-10=0的距离最小.解：因为椭圆的参数方程为： 由点到直线的距离公式，得到点Ｍ到直线l的距离为：l【练习2】已知椭圆 ,求椭圆内接矩形面积的最大值.解：设椭圆内接矩形的一个顶点坐标为所以椭圆内接矩形面积的最大值为2ab.xyMNP解：依题意，将圆的普通方程化为参数方程为：相关点法课堂小结（1）椭圆的参数方程注意：椭圆与圆的参数方程中参数的几何意义不同。（2）利用椭圆的参数方程处理最值问题（３）利用椭圆的参数方程求轨迹的问题1. 一个人造地球卫星的运行轨道是一
个椭圆，长轴长为15 565km，短轴长
为15 443km.取椭圆中心为坐标原点，
求卫星轨道的参数方程.2. 已知点P(x,y)是椭圆求z＝x＋2y的最大值与最小值.课后作业
