课件15张PPT。一元二次方程应用(2)解应用题的一般步骤？第一步：设未知数(单位名称);第二步：列出方程；第三步：解这个方程，求出未知数的值；第四步：查(1)值是否符合实际意义,
(2)值是否使所列方程左右相等;第五步：答题完整（单位名称）。 如图，一块长方形铁皮的长是宽的2倍，四角各截去一个相等的小正方形，制成高是5cm，容积是500cm3的长方体容器，求这块铁皮的长和宽.问题1分析： 如果设这块铁皮的宽是xcm，那么制成的长方体容器底面的宽是_________长是________1.这个问题的等量关系是：“长×宽×高=容积” , “长=宽×2”。3.如何设未知数？xx2x2x55555555长宽高2.你知道图中长方体容器长、宽、高分别指哪些？(2x-10)cm.(x-10)cm,解:设这块铁皮的宽是xcm，那么制成的长方体容器底
面的宽是(x-10)cm,长是(2x-10)cm.根据题意得:5(x-10)(2x-10)=500整理,得: x2-15x=0 解这个方程,得:x1=15 x2=0(不合题意,舍去) ∴x=152x=30答:这块铁皮的宽是15cm，长是30cm.动手试一试1.一块长方形菜地的面积是150m2,如果它的长减少5m,那么菜地就变成正方形.求原菜地的长和宽.分析： 画草图 5 5 如果设原菜地宽为xm x x x x x(x+5)=150 可得方程 动手试一试2.如图,在一幅长70cm,宽50cm的风景画四周镶上一条宽度相同的金色纸边,制成一幅挂画.如果要使金色纸边的面积是1300cm2,求金色纸边的宽度.问题2 某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，平均每月增长的百分率是多少？ 则:7月份比6月份利润增长________ 元.
7月份的利润是 _______________元
8月份比7月份利润增长____________ 元
8月份的利润是 ____________ 元分析:2500x 2500(1+x)2500(1+x) ·x2500(1+x)22500(1+x)+2500(1+x) ·X= 2500(1+x)2如果设平均每个月增长的百分率为x解:设平均每个月增长的百分率是x.根据题意得:
2500(1+x)2 =3600整理,得: (1+x)2= 1.44解这个方程,得:x1=0.2=20％ x2=-2.2(不合题意,舍去) 答:平均每个月增长的百分率是20％.
1.两次增长后的量=原来的量(1+增长率)2
若原来为a,平均增长率是x,增长后的量为b
则 第1次增长后的量是 a(1+x) =b
第2次增长后的量是 a(1+x)2=b
…
第n次增长后的量是 a(1+x)n=b2.反之，若为两次降低，则
平均降低率公式为a(1-x)2=b3.平均增长(降低两次率)公式4.注意:(1) 1与x的位置不要调换
小结(2) 解这类问题用 直接开平方法动手试一试 某蔬菜交易市场2月份的蔬菜交易量是5000t，4月份达到7200t，平均每月增长的百分率是多少？ 解：设平均每月增长的百分率是x.根据题意得：5000（1+x）2=7200(1+x)2=1.44x1=0.2=20％ x2=-2.2(不合题意,舍去) 答:平均每个月增长的百分率是20％动手试一试 某种服装原价为每件80元,经两次降价,现售价为每件51.2元,求平均每次降价的百分率. 某服装店花2000元进了批服装，按50%的利润定价，无人购买。决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完。经结算，这批服装共盈利430元。如果两次打折相同，每次打了几折？1.某厂1月份生产零件2万个，一季度共生产零件7.98万个，若每月的增长率相同，求每月的增长率.
2.某公司计划两年内把产量翻两番，如果每年比上一年提高的百分数相同，求这个百分数。
列方程解应用题的一般步骤？第一步：设未知数(单位名称);第二步：列出方程；第三步：解这个方程，求出未知数的值；第四步：查(1)值是否符合实际意义,
(2)值是否使所列方程左右相等;第五步：答题完整（单位名称）。课堂小结课件19张PPT。4.1一元二次方程解：设花圃的宽是 则花圃
的长是 。（1）正方形桌面的面积是2m2，求它的边长？解：设正方形桌面的边长是（2）矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19米。如果花圃的面积是24m2，求花圃的长和宽？根据题意，得问题情境
（3）我校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到7.2万册，平均每年增长的百分率是多少？解：根据题意，得问题情境
解：设梯子滑动的距离是X米。根据勾股定理，滑动前梯子的顶端离地面4米，则滑动后梯子的顶端离地面（4－X）米，梯子的底端与墙的距离是（3＋X）米。根据题意得（4）长5米的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离是3米。如果梯子底端向右滑动的距离与梯子顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑动的距离。X问题情境 这三个方程是不是一元一次方程？有何特点？ ? 特点:①都是整式方程;②只含一个未知数;③未知数的最高次数是2. ?特点:①都是整式方程;②只含一个未知数;③未知数的最高次数是2. ?探究新知:像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程(quadratic equation in one unknown) 一元二次方程的概念 一元二次方程是刻画现实世界的一种数学模型看谁眼力好！下列方程中，哪些是一元二次方程？先看是不是整式方程，然后整理看是否符合另外两个条件
把下列一元二次方程化简为右边为0的形式 a x 2 + b x + c = 0(a、b、c为常数且a ≠ 0) a x 2 + b x + c = 0(a、b、c为常数且a ≠ 0)一元二次方程的一般形式 一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 的形式,我们把
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？二次项系数一次项系数常数项b x叫一次项 a x 2 又叫二次项指出下列方程的二次项、一次项和常数项及它们的系数：即学即用例题讲解[例1] 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数：
(1)
例题讲解 ?(2)解：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的 牛刀小试1、把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和
常数项。课堂练习根据题意列出方程： （1）剪出一张面积是240平方厘米的长方形彩纸，使它的长比宽多8厘米，这张彩纸的长是多少？ （2）一枚圆形古钱币的中间是一个边长为1厘米的正方形孔。已知正方形面积是圆面积的 ，求圆的半径。 牛刀小试课堂练习1、（2007·苏州）若 是关于 的一元二次方程，则（ ）走进中考2、是关于 的一元二次方程，则m的值为。C(2007·南京)变式以－2、3、0三个数作为一个一元二次方程的系数和常数项，请尽可能多的写出满足条件的不同的一元二次方程？开放性试题1.一元二次方程的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式 ?再见课件15张PPT。配方法解一元二次方程(1)知识回顾因式分解的完全平方公式完全平方式填一填14它们之间有什么关系? 变成了(x+h)2=k的形式 以上解法中,为什么在方程 两边加9?加其他数行吗?像上面那样,通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法.这个方程怎样解？变形为的形式．（ａ为非负常数）变形为X2－4x＋1＝0（x－2）2=3合作探究x2-4x+4=-1+4解一元二次方程的基本思路 把原方程变为(x+h)2＝k的形式(其中h、k是常数）。
当k≥0时，两边同时开平方，这样原方程就转化为两个一元一次方程。
当k<0时，原方程的解又如何？例1：用配方法解下列方程
(1)x2 － 4x ＋3 =0
(2)x2 ＋ 3x －1=0
把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 配方时, 等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方注意书P87练习：1填空 2解下列方程用配方法解一元二次方程的步骤:移项:把常数项移到方程的右边;
配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;
开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
求解:解一元一次方程;
定解:写出原方程的解.总结(2) －x2＋4x－3=0(1) x2＋12x =－9做一做1：用配方法解下列方程： 2. 用配方法说明：不论k取何实数，多项式
k2－3k＋5的值必定大于零.配方的过程可以用拼图直观地表示。谈谈你的收获！！ 1.一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,
根据平方根的定义,可解得
这种解一元二次方程的方法叫做开平方法. 2.把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 注意:配方时, 等式两边同时加上的是一次项
系数一半的平方.用配方法解一元二次方程的步骤:移项:把常数项移到方程的右边;
配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;
开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
求解:解一元一次方程;
定解:写出原方程的解.作业1、书P93习题4.2 2
2、《数学补充习题》P41思考：先用配方法解下列方程：
（1） x2－2x－1＝0 （2） x2－2x＋4＝0
（3） x2－2x＋1＝0
然后回答下列问题：
（1）你在求解过程中遇到什么问题？你是怎样处理所遇到的问题的？
（2）对于形如x2＋px＋q＝0这样的方程，在什么条件下才有实数根？
课件14张PPT。配方法解一元二次方程(二)配方法我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法(solving by completing the square)平方根的意义:完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且a2±2ab+b2 =(a±b)2. 如果x2=a,那么x=用配方法解一元二次方程的方法的助手:配方法用配方法解一元二次方程的步骤:1.移项:把常数项移到方程的右边;
2.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;
3.变形:方程左边分解因式,右边合并同类项
4.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
5.求解:解一元一次方程;
6.定解:写出原方程的解.你能行吗用配方法解下列方程.
1.x2 – 2 = 0;
2.x2 -3x- =0 ;
3.x2－6x＋1＝0 ； 5.3x2 +8x –3=0 ; 这个方程与前4个方程不一样的是二次项系数不是1,而是3.基本思想是:
如果能转化为前4个方程的形式,则问题即可解决.你想到了什么办法?配方法 例2 解方程 3x2+8x-3=0. 1.化1:把二次项系数化为1;3.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类项;5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;6.求解:解一元一次方程;7.定解:写出原方程的解.2.移项:把常数项移到方程的右边;练习3、书P88练习你能行吗做一做
一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出,它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系:
h=15t-5t2 .
小球何时能达到10m的高度?再做做书P88的回味无穷本节课复习了哪些旧知识呢？
继续请两个“老朋友”助阵和加深对“配方法”的理解运用:
平方根的意义:
完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且a2±2ab+b2 =(a±b)2. 如果x2=a,那么x=本节课你又学会了哪些新知识呢？
用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程的步骤:
1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数);
2.移项:把常数项移到方程的右边;
3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;
4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类;
5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
6.求解:解一元一次方程;
7.定解:写出原方程的解.
用一元二次方程这个模型来解答或解决生活中的一些问题(即列一元二次方程解应用题).知识的升华《数学补充习题》P43;
祝你成功！成功者是你吗用配方法解下列方程.
1. 4x2 - 12x - 1 = 0 ;
2. 3x2 + 2x – 3 = 0 ;
3. 2x2 + x – 6 = 0 ;
4. 4x2+4x+10 =1-8x .5. 3x2 - 9x +2 = 0 ;
6. 2x2 +6=7x ;
7. x2 – x +56 = 0 ;
8. -3x2+22x-24=0.知识的升华根据题意，列出方程：1.印度古算书中有这样一首诗:“一群猴子分两队,高高兴兴在游戏,八分之一再平方,蹦蹦跳跳树林里;其余十二叽喳喳,伶俐活泼又调皮.告我总数共多少”？解：设总共有 x 只猴子，根据题意得 即x2 - 64x+768 ＝0.解这个方程,得x1 ＝48;
x2 ＝16.答:一共有猴子48只或者说6只.知识的升华2. 解下列方程:
(1).6x2 -7x+ 1 = 0;
(2).5x2 -9x –18=0;
(3).4x 2 –3x =52;
(4). 5x2 =4-2x.2. 参考答案:配方法是一种重要的数学方法——配方法,它可以助你到达希望的顶点.
一元二次方程也是刻画现实世界的有效数学模型.课件10张PPT。初中数学九年级 上册
(苏科版)4.2一元二次方程的解法3一、复习解下列方程：
（1）
（2） 二、探索活动问题1：解方程：
小组讨论：对于二次项系数不为1的一元二次方程，如何应用配方法求解？如何转化?
解方程
解方程二次项系数化成1配方法的几个注意点转化的步骤:____,____,____,____,____;
系数化成1的方法:
移项的目标是:
配方的方法是:移项配方化简分解 二次项与一次项放在方程的左边,常数项放在方程的右边;方程两边都加上一次项系数的一半的平方系数化成1方程两边都乘以二次项系数的倒数;练习：用配方法解方程：
（1）
（2）问题2：解方程：
小组讨论：对于二次项系数是负数的一元二次方程，如何用配方法求解？如何用配方法解4.1节“花园围栏问题”中的方程 ？练习：一个小球竖直上抛的过程中,它离上抛点的距离h(m)与抛出后小球运动的时间t(s)有如下关系:
经过多少时间,小球离上抛点的高度是16m?思考与探索课堂小结1.配方法的主要步骤;
2.几个注意点;
3.转化思想的应用;课件10张PPT。初中数学九年级 上册
(苏科版)4.2一元二次方程的解法4一、复习旧知
1、用配方法解下列方程：
（1） (2)
2、用配方解一元二次方程的步骤是什么？
二、探索活动
问题1：如何解一般形式的一元二次方程
？
小组讨论交流后解答.推导公式解方程:ax2+bx+c=0(a≠0);当b2-4ac≥0时,问题2：为什么在得出求根公式时有限制条件
？
求根公式法公式:
注意点:
1.化成一般形式再确定a，b，c；
2.计算b2-4ac，看结果的符号再代入公式.
三、例题教学解下列方程:
①x2+3x+2=0;
②2x2-7x=4;四、练习用求根公式解方程：
课堂小结1.求根公式;
2.步骤;化成一般形式确定a,b,c计算b2-4acb2-4ac≥0代入公式b2-4ac<0???【课堂测试】
1.用公式法解下列方程：
（1）
（2）
2.两个连续正偶数的积等于168，求这两个偶数.课件14张PPT。一元二次方程应用解一元一次方程应用题的一般步骤？一、复习第一步：弄清题意和题目中的已知数、未知数，用字母表示题目中的一个未知数；第二步：找出能够表示应用题全部含义的相等关系；第三步：根据这些相等关系列出需要的代数式（简称关系式）从而列出方程；第四步：解这个方程，求出未知数的值；第五步：在检查求得的答数是否符合应用题的实际意义后，写出答案（及单位名称）。 解一元二次方程的应用题的步骤与解一元一次方程应用题的步骤一样。例 某旅行社的一则广告如下：我社组团去龙湾风景区旅游，收费标准为：如果人数不超过30人，人均旅游费用为800元；如果人数多于30人，那么每增加1人，人均旅游费用降低10元，但人均旅游费用不得低于500元。甲公司分批组织员工到龙湾风景区旅游，现计划用28000元组织第一批员工去旅游，问这次旅游可以安排多少人参加？ 如何设未知数？如何找出表达实际问题的相等关系？这个问题中的相等关系是什么？如何解此题呢？ 1.一般情况下，应设要求的未知量为未知数
3.这个问题的等量关系是什么?：分析： 首先知道总费用是28000元即有等量关系“人均费用×人数=28000元” 2.从题中寻找未知数所表示的未知量与已知量之间的等量关系这种称直接设未知数,反之叫间接设未知数4.人数可设未知数x人,人均费用呢?(1)根据:“如果人数不超过30人，人均旅游费用为800元”
(2)根据:“如果人数多于30人，那么每增加1人，人均旅游费用降低10元，但人均旅游费用不得低于500元” 则总费用不超过30×800=24000＜28000;而现用28000元,所以人数应超过30人 a.设的x人,比30人多了多少人？（x－30）人b.降了多少元?10(x-30)元c.实际人均费用是多少?[800－10(x－30)]元5.本题实际意义是:人均旅游费用不得低于500元. 解:设这次旅游可以安排x人参加,根据题意得:[800－10(x－30)]·x = 28000整理,得: x2-110x+ 2800=0 解这个方程,得:x1=70 x2=40当x1=70时,800-10(x-30)=400<500 不合题意,舍去.
当x2=40时, 800-10(x-30)=700>500∴x=40答:问这次旅游可以安排40人参加.解应用题的一般步骤？第一步：设未知数(单位名称);第二步：根据相等关系列出列出方程；第三步：解这个方程，求出未知数的值；第四步：检查求得的值是否符合实际意义；小结第五步：写出答案（及单位名称）。课堂练习：
P95练习解：设该公司第二批参加旅游的有x人 ，根据题意的：[800-10(x-30)] ·x=29250X1=45 x2=65 ∴x=45当x1=45时,800-10(x-30) >500
当x2=65时, 800-10(x-30)<500不合题意,舍去.
答:该公司第二批参加旅游的有45人.1、在三位数345中，3，4，5是这个三位数的什么？2、如果a ,b ,c 分别表示百位数字、十位数字、个位数字，这个三位数能不能写成abc形式？为什么？100a+10b+c345=3×100+4×10+5×1例：有一个两位数，十位数字比个位数字大3，而此两位数比这两个数字之积的二倍多5，求这个两位数。解：设个位上的数为x,则十位上的数为 x+3,根据题意得：
[10(x+3)+x]-2x(x+3)=5
解得 x1=5 x2=- 2.5(不合题意,舍去)∴ x=5 x+3=8
答：所求两位数为85.
解：设较小的一个奇数为x，则另一个为 x+2, 根据题意得：x(x+2)=323
x2+2x-323=0
解得：x1=17 x2=-19
由x1=17 得：x+2=19
由 x2=-19 得：x+2=-17
答：这两个数奇数是17，19，或者-19，-17。问：如果设这两个数奇数中较小的一个为x-1, 另一个为x+1,这道题该怎么解？例、两个连续奇数的积是323，求这两个数。课堂练习：
1、已知两个数的和等于12，积等于32，则这两个是 。4，8３、三个连续整数两两相乘后，再求和，得362，求这三个数。２、求 x:(x-1)=(x+2):3 中的x.解应用题的一般步骤？第一步：设未知数(单位名称);第二步：根据相等关系列出列出方程；第三步：解这个方程，求出未知数的值；第四步：检查求得的值是否符合实际意义；小结第五步：写出答案（及单位名称）。课件13张PPT。一元二次方程复习一元二次方程一元二次方程的定义一元二次方程的解法一元二次方程的应用：关键是审题，找出相等关系把握住：整理后 一个未知数，最高次数是2， 整式方程一般形式：ax2+bx+c=0（a?0）直接开平方法：
适应于形如（x-k）2 =h（h>0）型
配方法： 在a=1的前提下,方程两边同时加上一次项系数一半的平方
公式法： 通法
因式分解法： 适应于左边能分解为两个一次式的积，右边是0的方程1.关于y的一元二次方程2y(y-3)= -4的一般形式是___________,它的二次项系数是_____,一次项是_____,常数项是_____2y2-6y+4=02-6y4B一：基础概念（ ）3、方程（m-2)x|m| +3mx-4=0是关于x的一元二次方程，则 （ ）
A.m=±2 B.m=2 C.m=-2 D.m≠ ±2
4、写出一个以2、-3为根的一元二次方程 。
5、关于x的一元二次方程
有实数解的条件是_______
C
6、 已知:关于x的一元二次方程
(m-1) + x+1=0
当m为何值时，有两个实数根
当m为何值时，方程没有实数根。3.公式法：总结：解方程时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法。1、填空：
① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0 ③ -3t2+t=0
④ x2-4x=2 ⑤ 2x2－x=0 ⑥ 5(m+2)2=8
⑦ 3y2-y-1=0 ⑧ 2x2+4x-1=0 ⑨ (x-2)2=2(x-2)
适合运用直接开平方法
适合运用因式分解法
适合运用公式法
适合运用配方法 ② 3x2-1=0 ⑥ 5(m+2)2=8③ -3t2+t=0⑤ 2x2－x=0 ⑨ (x-2)2=2(x-2)① x2-3x+1=0 ⑦ 3y2-y-1=0 ⑧ 2x2+4x-1=0④ x2-4x=2 公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是 最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）知识的升华 课外生物活动小组要在兔舍外面开设一个面积为20平方米的长方形活动场地，它的一面靠墙，其余三边利用长为13米的旧围栏。已知兔舍墙面宽7米。
1、求兔活动场地的长和宽
2、能否围成面积为22平方米的长方形？
3、能够围成面积最大的长方形的面积是多少？为什么？应用题知识的升华请你根据生活经验，编一道关于增长率的应用题，并解答。要求：
1、符合生活实际；
2、语言表达清晰。
C1.下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题，其中答对的是（ ）
A、若x2=4，则x=2
B、若3x2=6x，则x=2
C、若x2+x-k=0的一个根是1，则k=2课堂测评应用题某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，现采用提高售价，减少进货量的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件，问应将售价定为多少元时，才能使所赚利润为600元。（只列方程）
2、 已知: (a2+b2)(a2+b2-3)=10
求a2+b2 的值。1)（3x-2）2-49=0
2)（3x-4）2=（4x-3）2
3) 4y=1－ y2
二：选用比较简便的方法解方程
