课件7张PPT。初中数学九年级下册
（苏科版）1.1等腰三角形的性质和判定你能说明“等腰三角形的两个底角相等。”这个命题的正确性吗？说明一个命题的正确性我们一般如何做的？问题1说明文字命题的正确性的一般步骤：1、将文字语言转化为符号语言和图形语言，即写出已知、求证和画图；
2、写出证明过程。问题2 你能说出“等腰三角形的两底角相等。”的逆命题吗？你能说明他的正确性吗？问题3 命题“等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。”一定正确吗？你能说明吗？
例题已知：如图∠EAC是△ABC的外角，
AD平分∠EAC， 且AD∥BC.
求证：AB＝AC
拓展：在上图中，如果AB＝AC，AD∥BC，那么AD平分∠EAC吗？为什么？课件6张PPT。初中数学九年级下册
（苏科版）1.2直角三角形的全等判定（1） 操作1.同桌各画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，直角边AC的长为2cm，斜边AB的长为3cm．把△ABC剪下，两位同学比较一下，看看两人剪下的Rt△是否可以重合．
2．你从中得到了什么结论？你能证明这个结论的正确性吗？验证：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（简写为“H L”） 已知：在△ABC和△AˊBˊCˊ中， ∠ACB=∠AˊCˊBˊ=90°，AB= AˊBˊ，AC= AˊCˊ，
求证：△ABC≌△AˊBˊCˊ
判定两个直角三角形全等的判定定理有哪些？知识回顾拓展 在上面的图（2）中，如果∠BAC=30°，那么BC=AB吗？你能证明吗？ 小结与思考课件11张PPT。初中数学九年级下册
（苏科版）1.2直角三角形的全等判定2问题一 1、你能用折纸的方法说明“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”吗？
2、你还能用什么方法说明这个结论是正确的？ 证明：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC 上 PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，
求证：PD=PE问题二1、角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”的逆命题是什么？试着说说看。
2、你能证明该命题的正确性吗？ 证明：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上已知：如图，点P是∠AOB内部的一 点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且 PD=PE，
求证：点P在∠AOB的平分线上问题三： 在角的外部，有没有到角的两边距离相等的点？你能说明吗？ 问题四： “如果一个点到角的两边的距离不相等，那么这个点不在这个角的平分线上”你认为这个结论正确吗？如果正确，你怎样说明它的正确性？例题 如图，△ABC的角平分线AD、BE相交于点O，点O到△ABC各边的距离相等吗？点O在∠C的平分线上吗？你能证明吗？们发现的结论吗？ 随堂练习 1、如图在△ABC中，∠C=90度，点D在BC上，DE垂直平分AB，且DE=DC求∠B的度数。 2、如图，已知点C是∠AOB平分线上一点，点P、P'分别在边OA、OB上。如果要得到PO=OP' ，需要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能结果的序号 。
① ∠ OCP= ∠OCP' ；② ∠ OPC= ∠OP' C；
③PC=PC ' ；④PP' ⊥OC小结本节课我们证明了角平分线的性质定理和逆定理，从中我们可以发现图形的位置关系与数量关系的内在联系。你能举例说明这种内在联系吗？
你认为“在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等”这个结论成立吗？如果成立，你能证明吗？课件8张PPT。初中数学九年级上册
（苏科版）1.3平行四边形的判定1、平行四边形的性质有哪些？
2、平行四边形有几种判定方法？知识扫描①两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（定义）
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
④对角线互相平分的四边形是平行四边形. 真知灼见证明：一组对边平行且相等的四边形
是平行四边形.已知：在四边形ABCD中，AB∥CD, AB=CD,
求证：四边形ABCD是平行四边形.
你认为“一组对边平行，另一组对边相等的
四边形是平行四边形”这个结论正确吗？
为什么？证明：对角线互相平分的四边形
是平行四边形. “在四边形ABCD中，如果OA=OC，OB＜OD，
那么四边形ABCD不是平行四边形.”
这个结论正确吗？为什么？假设四边形ABCD是平行四边形，那么OA=OC，
OB=OD，这与条件OB＜OD矛盾，所以四边形
ABCD不是平行四边形.反证法已知：如图，在□ABCD中，对角线AC、BD
相交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别
为E、F.
求证：四边形AECF是平行四边形.
例1：已知：如图，E、F是平行四边形ABCD
的对角线AC上的两点，AE=CF.
求证：四边形BFDE是平行四边形.
例2：若“AE=CF”改为下列条件：
1.若BE∥DF，四边形BFDE是平行四边形吗？
2.若BE⊥AC于E ，DF⊥AC于F，四边形BFDE是平行
四边形吗？
3.若BE=DF，四边形BFDE是平行四边形吗？已知：如图，已知E为平行四边形ABCD中
DC边的延长线上的一点，且CE=DC，连结
AE，分别交BC、BD于点F、G，连结AC交
BD于O，连结OF.
求证：AB=2OF.
例3：1、平行四边形的判定方法:课堂小结：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（定义）
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
④对角线互相平分的四边形是平行四边形. 2、反证法课件12张PPT。初中数学九年级上册
（苏科版）1.3平行四边形的性质教学目标:通过用全等来证明平行四边形的性质,感受数学中转化思想的应用;会证明平行四边形的性质,会利用性质解决有关的数学问题;经历探索平行四边形性质的过程，培养学生的动手能力、观察能力
及推理能力.回忆平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，在下表相应的空格内打“√”.温故而知新 从上表中，你能说说这4个特殊的四边形之间有什么
联系与区别吗？
真理再现:1、什么样的四边形是平行四边形？（定义） 今天我们一起用基本事实和学过的定理来证明平行四边形的性质.定理： 平行四边形的对边相等;
平行四边形的对角相等;
平行四边形的对角线互相平分．证明：平行四边形的对边相等．已知：如图，在□ABCD中．
求证：AB=CD ，AD=BC． 试一试证明:平行四边形的对角相等.
平行四边形的对角线互相平分．
你能自己尝试吗?证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C,AB=CD， AD=BC
∵Ｅ，F分别是AD，BC的中点，
∴ AE= AD， CF= BC．
∴ AE=CF．
∴△ABE≌△CDF(SAS)．
∴BE=DF例题精讲：例1.已知：如图，在□ABCD中，
E，F分别是AD，BC的中点．
求证：BE=DF．拓展:CＡＢD 如果AE= AD，CF= BC，BE与DF
相等吗？ 如果AE= AD，CF= BC，BE与DF
相等吗？ 如果AE= AD，CF= BC，BE与DF
相等吗？例2．已知：如图，□ABCD的对角线AC，
BD相交于点O，过点O的直线与AD，BC
分别相交于点E，F．
求证：OE=OF．相信你能行! 已知：如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线与BA，DC的延长线分别相交于点E，F．
求证：OE=OF．
你有什么收获?２、研究四边形问题常用的思考方法－－
将四边形问题转化为三角形问题．课件9张PPT。初中数学九年级下册
（苏科版）1.3正方形的判定一、知识回顾：1、正方形的性质有哪些？
2、正方形的定义如何描述？
3、判定一个图形是矩形还有哪些方法？
1.有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形是正方形。
2.对角线相等的菱形是正方形。
3.对角线垂直的矩形是正方形。
二、验证定理的正确性：1.对角线相等的菱形是正方形。
2.对角线垂直的矩形是正方形。
例1 :已知：如图，E、F、G、H分别是正方形各边的中点，AF、BG、CH、DE分别两两相交于点A’、B’、C’、D’.求证：四边形是正方形.
是否还有其他证明方法？与同学交流）例题 若点E、F、G、H分别在正方形ABCD的各边上，且AE=BF=CG=DH，则四边形A’B’C’D’还是正方形吗？证明你的结论。 拓展与延伸尝试练习 1. 已知：如图，点A‘、B’、C‘、D’分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AA‘＝BB’＝CC‘＝DD’。
求证：四边形A’B’C’D’是正方形 2.已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，E、F是垂足。
求证：四边形DECF是正方形。小结1.判定一个矩形是正方形的方法有哪些？
2.判定一个菱形是正方形的方法有哪些？。
3.如何判定一个图形是正方形，一般思考方法是什么？课件7张PPT。初中数学九年级上册
（苏科版）1.3正方形的性质你能利用下图理清下面四个特殊的四边形
之间的关系吗？ 正方形既是特殊的矩形，又是特殊的四边形，
所以正方形具有矩形和菱形的所有性质.你能
说出正方形有哪些性质吗？（1）正方形的定义:有一组邻边相等，有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.（2）正方形的性质: 如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交
于点O，正方形A′B′C′D′的顶点A′与点O
重合，A′B′交BC于点E，A′D′交CD于点F，
(1) 若E是BC的中点，求证：OE=OF.例1.(2)若正方形A′B′C′D′绕点O旋转某个角度
后，OE=OF吗？两正方形重合部分的面积怎样
变化？为什么？ 1.如图，将４个边长都为1cm的正方形按如图所示
摆放，点A1、A2、 A3 、An分别是正方形的中心，
则阴影部分面积和为
牛刀小试：2.如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示
摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中心，
则n个这样的正方形重叠部分的面积和为
已知：如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点， 点F在CD上，∠FAE=∠BAE， 求证：AF=BC+FCG例2.截长补短正方形的判定方法:(1)定义法：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形;
(2)矩形法：先判定四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形（一组邻边相等的矩形是正方形）；
(3)菱形法:先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形（有一个角是直角的菱形是正方形）.
课堂小结课件11张PPT。初中数学九年级下册
（苏科版）1.3矩形的判定一、知识回顾：1、矩形的性质有哪些？
2、矩形的定义如何描述？
3、判定一个图形是矩形还有哪些方法？
1.有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2. 对角线相等的平行四边形是矩形。
3、有三个角是直角的四边形是矩形。
二、验证定理的正确性：1、对角线相等的平行四边形是矩形。
2、有三个角是直角的四边形是矩形。1.已知：在平行四边形ABCD中， AC=BD
求证：四边形ABCD是矩形O2、在四边形ABCD中， ∠A=∠B=∠C=90o
求证：四边形ABCD是矩形。ABCD三、牛刀小试 1、已知：如图，E、F、G、H分别是菱形ABCD的各边上的点，且AE=CF=CG=AH。
求证：四边形ＡBCD是矩形。 ２、已知：矩形的对角线ABCD的对角线ＡＣ、ＢＤ相交于点Ｏ，点Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ分别在ＯＡ、ＯＢ、ＯＣ、ＯＤ上，且ＡＥ＝ＢＦ＝ＣＧ＝ＤＨ。求证：四边形ＥＦＧＨ是矩形ＢAＣＤＯＥＦＧＨ四、挑战自我 １、已知：平行四边形的对角线相交于点Ｏ。分别添加下列条件：
(1)∠ABC＝90o (2)AC⊥BD (3)AB=BC
(4)AC平分∠BAD(5)AO=DO
使得四边形ABCD为矩形的条件的序号为
O 2、已知：平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、 F、G、H。
试证明：四边形EFGH为矩形AＢＣＨＤＥＦＧ五、总结提升１、矩形的判定定理
（1）对角线相等的平行四边形是矩形。
（2）有三个角是直角的四边形是矩形。
２、矩形的性质在证明中的应用。
（对角线相等和四个角都是直角）
３、线段和角转移的方法。
课件11张PPT。初中数学九年级上册
（苏科版）1.3矩形的性质1、会证明矩形的性质定理及直角三角形斜边上
中线的有关性质定理.
2、能运用矩形的性质定理或有关定理进行简单
的计算与证明.
3、在进行探索、猜想、证明的过程中，能将命
题由文字语言转化为图形与符号语言，进一步发
展推理论证的能力.学习目标:大家动起来！ 在平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋
分别套在相对的两个顶点上，拉动一对不相邻
的顶点，改变平行四边形的形状．
① 随着∠α的变化，两条对角线的长度分别
是怎样变化的？
② 当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，
此时它的其他内角是什么样的角？它的两条
对角线的长度有什么关系？矩形的性质： 矩形是一种特殊的平行四边形，具有
平行四边形的一切性质．矩形的4个角都是直角;
矩形的对角线相等.
如图，矩形ABCD，对角线相交于E，图中全等
三角形有哪些？图中有哪些相等的线段？小菜一碟AD=BC
AB=CD
AC=BD
AE=EC=BE=DE 将目光锁定在Rt△ABC中，你能看到并想到直角
三角形有什么特殊的性质吗？直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.求证：斜边AB上的中线等于AB已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，
“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.”
它的逆命题是什么？你能证明吗？例1．如图，矩形ABCD的两条对角线
相交于点O ，且AC=2CD，
求证： △OCD为等边三角形. 本题若将“AC=2AB”改为“∠BOC=120°”，
你还能得到以上结论？例2．如图，在矩形ABCD中，BE平分
∠ABC，交CD于点E，点F在边BC上，
如果FE⊥AE，求证FE=AE.
②如果FE=AE 你能证明FE⊥AE吗？例3．如图 BD、CE 是△ABC的两条高，
M是BC的中点，求证：ME=MD.
1．矩形的定义、性质；
2．直角三角形斜边上的中线的性质；课堂小结：课件17张PPT。初中数学九年级下册
（苏科版）1.3菱形的判定1.菱形有哪些性质？复习与引入角对角相等；邻角互补边对边平行且四条边都相等对角线互相垂直平分且每条对角线
平分一组对角对称性轴对称图形 ；中心对称图形 S菱形ABCD= AC×BD 2.菱形形的定义是如何描述的？
3.判定一个图形是菱形的方法还有哪些？复习与引入2、菱形的判定(1)一组邻边相等的平行四边形是菱形(定义).(2)四条边都相等的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形,使用判定定理是要注意基础图形是
四边形还是平行四边形复习与引入2.四条边都相等的四边形是菱形证明： ∵ AB=CD，BC=DA∴四边形ABCD为平行四边形又∵AB=BC∴平行四边形ABCD是菱形已知： 在四边形 ABCD中，AB=BC=CD=DA 求证： 四边形ABCD是菱形(两组对边分别相等的四边形为平行四边形)(有一组邻边相等的平行四边形为菱形)新 课3、菱形的判定的证明∴ □ ABCD是菱形. （一组邻边相等的平行四边形是菱形）3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.证明：在□ ABCD中又∵AC⊥BD∴BD为AC的中垂线∴AB=ADAO=CO ，BO=DO已知： 在□ ABCD中，对角线AC⊥BD于点O 求证： □ ABCD是菱形(垂直平分线的性质)新 课3、菱形的判定的证明 你能用直尺和圆规作一个菱形吗？请作图并说明理由。思考与探索例1、如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于
点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E，连结AE、CD．
（1）求证：AD＝CE；
（2）填空：四边形ADCE的形状是 .并说明理由。 例2.已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AD是角平分线，点E、F分别在AC、AD上，且AE=AB，EF∥BC。
求证：四边形CDEF是菱形。1、已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、 BD相交于点O，AP∥BD，DP∥AC，AP、DP相交于点P。
求证：四边形AODP是菱形。练 习邻边相等对角线互相垂直AD=DC AC⊥BD 四边相等AD=DC=CB=BA对角线互相垂直平分AC⊥BD,AO=CO,BO=DOO归 纳尝试练习 1.已知：如图，在□ABCD中，对角线BD平分∠ABC。
2.求证：四边形ABCD是菱形。2.已知：平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD,BC分别交于E,F。 求证：四边形AFCE是菱形。ABEDCFO12证明：平行四边形ABCD中AD∥BC∴∠1=∠2，∠3=∠443EF垂直平分AC∴AO=CO,AF=CF,∴ △AOF≌△COE∴ AF=CE∴平行四边形四边形AFCE是菱形又AF∥CE∴四边形AFCE是平行四边形一组邻边相等的平行四边形是菱形3.如图，已知AD是△ABC的角平分线，
DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，
求证：AD⊥EF。
1 2
3
证明：∵DE∥AC ,DF∥AB∴四边形AEDF是平行四边形∴ ∠2=∠3∵ AD是△ABC的角平分线∴ ∠1=∠2∴ ∠1=∠3∴ AE=DE∴ □AEDF是菱形∴ AD⊥EF∵DE∥AC 4.如图, 在△ABC中, AB=AC, 点M在边BC上, 过点M分别作AB、AC的平行线, 与AC、AB分别相交于点D、E. 当点M位于BC的什么位置时, 四边形AEMD是菱形?请给予证明.证明：∵EM∥AC,DM∥AB∴四边形AEMD是平行四边形若EM=DM,则□AEMD是菱形∵AB=AC, ∴ ∠B=∠C又∵EM∥AC,DM∥AB∴∠BEM=∠EMD=∠MDC∠B=∠C, ∠BEM=∠CDM, EM=DM在△BME和△CMD中∴ △BME≌ △CDM∴BM=CM∴当M为BC的中点时，四边形AEMD是菱形4、已知如图，在△ABC,∠ACB=900，AD是角平分线，点E、F分别在AB、AD上，且AE=AC，EF∥BC。
求证：四边形CDEF是菱形O12挑战小 结1、菱形的判定定理的证明；
2、菱形与平行四边形的关系。课件9张PPT。初中数学九年级上册
（苏科版）1.3菱形的性质探索发现： 将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中
的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形? 有一组邻边相等的平行四边形叫菱形.请你观察剪下的菱形并填空：
(1)菱形是不是中心对称图形?对称中心是_____.
(2)是不是轴对称图形?对称轴有几条?_______.菱形是特殊的平行四边形，它有平行四边形的性质.
菱形特有的性质是：
菱形的四条边都相等；
菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线
平分一组对角.你能说出矩形与菱形的性质有哪些区别吗？ 已知:如图, □ABCD中,AB=AD,对角线AC、BD
相交于点O，
（1）求证：AB=BC=CD=AD；
（2）AC⊥BD
∠ABD=∠CBD定理证明：菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半.已知菱形的两条对角线长分别为6和8，由此你能获得有关这个菱形的哪些结论？
你能求得这个菱形的边长、周长、面积吗？例１ 如图，3个全等的菱形构成的活动衣帽架，顶点A、
E、F、C、G、H是上、下两排挂钩，根据需要可以改变挂钩之间 的距离(比如AC两点可以自由上下活动)，若菱形的边长为13厘米，要使两排挂钩之间 的距离为24厘米，并在点B、M处固定，则B、M之间的距离是多少？ 例2．已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、
BD相交于点O，E、F、G、H分别是菱形ABCD各边
的中点，
求证：OE=OF=OG=OH.
课堂小结：1．菱形的性质：
菱形的四条边都相等；
菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线
平分一组对角.
2．计算菱形的面积有两种方法，我们在解题过程
中要注意寻求简捷途径，这对于解决数学问题是
非常重要的.
3.菱形的对角线把菱形分成等腰三角形和直角三角
形，所以解决菱形问题，常常可以转化为等腰三角
形或直角三角形问题.课件14张PPT。初中数学九年级上册
（苏科版）1.4 等腰梯形的性质和判定学习目标：1、会能证明等腰梯形的性质定理和判定定理。
2、逐步学会分析和综合的思考方法，发展思考能力。
3、经历证明的过程，不断感受证明的必要性、感受合情
推理和演绎推理都是人们正确认识事物的重要途径。
4、感受探索活动中所体现的转化的数学思想方法。 1．等腰梯形概念：
_______________________________的图形叫做等腰梯形 我们一起来回忆2．等腰梯形的判定：
______________________________3．等腰梯形的性质：
_______________________________
_______________________________
在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形已知：在梯形ABCD中，AD//BC， ∠B=∠C．
求证：梯形ABCD是等腰梯形．思路1：转化方向——等腰三角形．思路2：转化方向——平行四边形．思路3：转化方向——全等三角形．等腰梯形的判定定理：
在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．等腰梯形的性质定理：定理1、等腰梯形同一底上的两底角相等。 定理2、等腰梯形的两条对角线相等。 证明定理2：已知：
求证：
思路1：转化方向——全等三角形．思路2：转化方向——平行四边形．例题分析： 图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD 延长线上一点，DE＝BC．
（1）求证：∠E＝∠DBC；
（2）判断△ACE的形状例题分析： 已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是BC 边的中点，EM⊥AB，EN⊥CD，垂足分别为M、N且 EM=EN．
求证：梯形ABCD是等腰梯形。 例题分析： 如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC和BD相交于点O，E是BC边上的一个动点（点E不于B、C两点重合），EF∥BD交AC于点F。EG∥AC交BD于点G。
（1）、求证：四边形EFOG的周长等于2OB；
（2）、请将上述题目的条件“梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论“四边形EFOG的周长等于2OB”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证，不必证明。 小结与思考： 解决梯形问题常用的方法： （1）平移腰：构造平行四边形
（2）“作高”：使两腰在两个直角三角形中．
（3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中．
（4）“延长两腰”：构造具有公共角的两个等腰三角形．
（5）取一腰的中点：构造全等三角形，将上底下移
新问题老问题等腰梯形三角形或特殊四边形转化转化学有所获思路1：转化方向——等腰三角形．证明：延长BA，CD相交于点E.
∵∠B=∠C，
∴BE=CE.
∵四边形ABCD是梯形，
∴AD∥BC.
∴∠EAD=∠B,∠EDA=∠C.
∴∠EAD=∠EDA.
∴AE=DE.
∴AB=CD．
∴梯形ABCD是等腰梯形.思路2：转化方向——平行四边形．证明：过点A作AE∥DC，交BC于点E.
此时四边形AECD是平行四边形.
则AE∥CD且AE=CD，
∴∠AEB=∠C.
又∵∠B=∠C，
∴∠B=∠AEB.
∴AB=AE.
∴AB=CD.
∴梯形ABCD是等腰梯形.思路3：转化方向——全等三角形．证明：过点A作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，
则有∠AEB=∠DFC.
∵AD∥BC，
∴AE=DF，
∵∠B=∠C，
∴△AEB≌△DFC(AAS)．
∴AB=CD.
∴梯形ABCD是等腰梯形.课件14张PPT。初中数学九年级上册
（苏科版）1.5 中位线（1）学习目标：1、能识别三角形的中位线; 能证明三角形中位线定理;
2、能用三角形中位线定理解决其它相关问题;
3、在自主探索与合作交流中, 经过猜想、验证过程,
进一步发展推理论证能力. 回顾与展望1、如图,点O为ABCD对角线的交点,
过O的直线EF与边AD、BC分别相交于E、F,
图中全等三角形最多有__________对. 2.已知：如图，E、F是ABCD的对角线AC上的点，
且AE=CF.
(1) BE与DF有什么关系?
? (2) 证明你的结论.
3. 已知：四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，给出下列5个条件：
①AB∥CD；②OA=OC；③AB=CD；④∠BAD=∠DCB；⑤AD∥BC.
（1）从以上5个条件中任意选取2个条件，能推出四边形ABCD是
平行四边形的有（用序号表示）：如①与⑤ .
（2）对由以上5个条件中任意选取2个条件，不能推出四边形ABCD是平行四边形的，
请选取一种情形举出反例说明 探究与成果一、三角形中位线的概念： ?? (1)在△ABC中,请你画出AB边上的中线CD;
(2)对于△ABC来说, 中线CD是由怎样的两点连接而成的? (3)若E为△ABC周边 (折线BA-AC-CB) 上的一点,连接DE,当E运动到AC边中点时, 线段DE称为△ABC的中位线 (4) 三角形中位线与中线有什么区别?
(5) 当E在△ABC周边上运动时,还有哪些位置使线段DE成为三角形ABC的中位线? 探究与成果识图练习： (1) 如图, △ABC中,D、E、F三等分AB,G、H、K三等分AC ,
则△ABC 的中位线是_______________;
DG是△__________的中位线.
(2)读句画图并填空
△ABC的中线BD、CE相交于点O,F、G分别是OB、OC的中点
则FG是△__________的中位线;
DE是△__________的中位线. 探究与成果二、三角形中位线定理 已知;如图, △ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,
(1)猜想DE与BC在位置和数量上各有什么关系?
(2)证明你的猜想. 思路：转化方向——平行四边形．F如何将三角形纸片剪拼成平行四边形呢？证明：延长DE到F，使EF=DE，连接CF．请同学完成下面的证明还有其他的转化方法吗？请你来尝试 定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．例1 已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AB，DC的中点．
求证：EF∥BC，EF= 1/2（BC+AD）．
G思路一：将梯形转化为三角形，利用三角形中位线定理进行证明．证明：连接AF并延长，交BC的延长线于点G．
∵AD∥BC，
∴∠D =∠FCG．
在△ADF和△GCF中，
∠D=∠FCG ，
DF=CF ，
∠AFD=∠GFC，
∴△ADF≌△GCF（ASA）．
∴AF=GF，AD=GC(全等三角形对应边相等)．
又∵AE=EB，
∴EF是△ABG的中位线．
∴EF∥BC，EF =1/2 BG = 1/2(BC+CG )
(三角形中位线定理)．
∵AD=GC，
∴EF= 1/2(AD+BC)．
思路二：将梯形转化为平行四边形，利用平行四边形的性质定理进行证明．MN证明：过点F作MN∥AB，交AD的延长线于点M，交BC于点N．
∵AD∥BC，
∴四边形AMNB是平行
四边形，且∠MDF=∠FCN．
∴AB=MN．
在△DFM和△CFN中，
∠MDF=∠FCN ，
DF=CF ，
∠DFM=∠CFN ，
∴△DFM≌△CFN(ASA)．
∴DM=CN，MF=FN=1/2 MN．
又∵AE=EB=1/2 AB．
∴AE=EB=MF=FN．
∴四边形AEFM，EBNF是平行四边形．
∴AM=EF=BC，
EF∥BC∥AD．
∴ EF=1/2 (AD+BC)．
归纳与概括:你能仿照三角形中位线定理，用文字语言来概括
梯形中位线的性质吗?大显身手已知△ABC，分别连接三边中点D，E，F（如图），
你能得到哪些结论呢? 我们可以从线段的数量关系、三角形是否全等、是否有平行四边形等不同的角度来寻找．连接AF，你有什么发现呢?若请你添加一个条件,你又有什么发现呢?学有所获2.从实验操作中发现添加辅助线的方法．3.转化思想的应用——将三角形问题转化为平行四边形问题，
将梯形中位线问题转化为三角形中位线．课外思考 小明有一个解不开的迷：他任意画了三个△ABC（不全等），
发现只要向图中的角平分线BG、CF作垂线AG、AF，连接两
垂足F、G，则FG总是与BC平行，但他不会证明，你能解开
这个迷吗？
课件6张PPT。初中数学九年级上册
（苏科版）第一章 图形与证明(二) 复习(1)知识整理我们学习了四边形和一些特殊的四边形，右图表示了在
某种条件下它们之间的关系.如果①，②两个条件分别
是：①两组对边分别平行；②有且只有一组对边平行.
那么请你对标上的其他6个数字序号写出相对应的条件.知识大串联如图，已知四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，
E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而
点R不动时，那么下列结论成立的是（ ）
A、线段EF的长逐渐增大
B、线段EF的长逐渐减小
C、线段EF的长不变
D、线段EF的长与点P的位置有关
如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的
中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，
且AF=BD，连结BF.
(1)求证：BD=CD；
(2)如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明
你的结论.
如图，在梯形ABCD中,AD∥BC,AB∥DE, AF∥CD,E、F两点在边BC上，且四边形AEFD 是平行四边形． （1）AD与BC有何等量关系？请说明理由； （2）当AB=DC时，求证：□AEFD是矩形 课件9张PPT。初中数学九年级上册
（苏科版）第一章 图形与证明(二) 复习(2)1、等腰三角形的一个底角为30°,则顶角的
度数是 度．2、等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三
边长为 热身练习3、下列命题为真命题的是（ ）
A：三角形的中位线把三角形的面积分成相等的两部分;
B：对角线相等且相互平分的四边形是正方形;
C：关于某直线对称的两个三角形是全等三角形;
D：一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是
等腰梯形4、下列命题是假命题的是( ) A、四个角相等的四边形是矩形; B、对角线互相平分的四边形是平行四边形; C、四条边相等的四边形是菱形; D、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形5、在□ ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，且AE＝2，
DE＝1，则□ ABCD的周长等于 ．6、如图，点D、E、F 分别是△ ABC三边上的
中点．若△ ABC的面积为12，则△ DEF的面积
为 ． 1、如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．
(1)求证：AD⊥CF；
(2)连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．例题学习 2、已知：如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点O关于直线AD的对称点是E，连结AE、DE．
(1)试判断四边形AODE的形状,说明理由；
(2)请你连结EB、EC，并证明EB=EC． 3、已知：平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，M，N分别是OA，OC的中点，
求证：BM=DN ，BM∥DN.4、如图所示,以△ABC的三边为边,分别作三个
等边三角形.
(1)求证四边形ADEF是平行四边形.
(2)△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是菱形?
是矩形?
(3)这样的平行四边形ADEF是否总是存在?
5、如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是
AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于
F，且AF=DC，连接CF．
（1）求证：D是BC的中点；
（2）如果AB=AC，试猜测四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
