高一年级数学科教案 第 27 节
§3.1.1方程的根与函数的零点(1)
知识与技能:：（1）了解函数零点的概念；
（2）理解函数零点存在性定理，了解图象连续不断的意义及作用；
（3）能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数及所在区间。
过程与方法:：经历“类比—归纳—应用”过程，感悟由具体到抽象的研究方法。
情感、态度和价值观：（1）体会函数与方程的形与数、动与静、整体与局部的内在联系；
（2）培养学生自主探究，合作交流的能力和严谨的科学态度。
重点：了解函数零点概念，掌握函数零点存在性定理。
难点：对零点存在性定理的准确理解．
问题引入：已知二次函数y =x2+x-6，试问当x取哪些值时y=0？
合作探究1:请画出一元二次函数y =x2+x-6的图像并讨论与对应方程根之间的关系。
练习1：求下列函数的零点
(1) (2) (3)
合作探究2:某地0—12时气温变化如图，中间
一部分看不清楚，假设气温是连续变化的，请将
图形补充成完整的函数图像，这段时间内，是否
一定有某时刻的气温为0℃？ 为什么？
合作探究3.观察下图：
（1）f(a)·f(b) 0（“＜”或“＞”），在区间 (a，b) 上 (有/无)零点。
（2）f(c)·f(d) 0 （“＜”或“＞”）,区间 (c，d) 上零点个数为 。
（3）f(a)·f(c) 0 （“＜”或“＞”）,区间 (a，c) 上零点个数为 。
（4）区间 (b，c) 上零点个数为 ，f(b)·f(c) 0 （“＜”或“＞”）。
练习2:观察下表，函数f(x) 在定义域内是否是否存在零点。
x
-2
-1
0
1
2
f(x)
-40
-8
-6
-4
28
典例导析
例1：求函数f(x)＝的零点的个数
分析：用计算器算出x，f(x)的对应值表。
x
1
2
3
4
f(x)
练习3：求函数f(x)=-x3-3x+5的零点个数。
课堂小结：
作业 P88 1 P92 2
《方程的根与函数的零点》教学设计
一、基本说明
1、教学内容所属模块：《必修一》
2、年级：高一
3、所用教材出版单位： 人民教育出版社A版
4、所属的章节： 第三章 函数的应用 3.1.1 方程的根与函数的零点
5、学时数： 45 分钟
二、教学设计
1、教学目标：
知识与技能：（1）掌握函数零点的概念； （2）了解方程的根、函数的零点和函数与x轴交点的横坐标三者之间的关系； （3）理解函数零点存在性定理，了解图象连续不断的意义及作用；（4）能判断某些函数的零点个数及所在区间。
过程与方法：经历“类比—归纳—应用”过程，感悟由具体到抽象的研究方法。
情感、态度价值观：（1）体会函数与方程的形与数、动与静、整体与局部的内在联系；（2）培养用函数观点处理问题的意识，进一步体会函数与方程的思想；（3）培养学生自主探究，合作交流的能力和严谨的科学态度。
2、内容分析：
重点：了解函数零点概念，掌握函数零点存在性定理。
难点：对零点存在性定理的准确理解和应用．
教材注重从学生已有的基础（一元二次方程及根的求法，一元二次函数及其图像与性质）出发，从具体（一元二次方程的根与对应的一元二次函数的图像与x轴的交点的横坐标之间的关系）到一般，揭示方程的根与对应函数的零点的关系；再以具体函数在某闭区间上存在零点的特点，探究在某区间上图像连续的函数存在零点的判定方法。在此基础上，本节内容还为下一节的用“二分法求函数零点的近似值”做好了铺垫，为学生后续学习算法内容埋下了伏笔。
3、学情分析：
学生已经掌握了一元二次方程及根的求法、一元二次函数及其图像与性质。在此基础上来理解函数的零点的概念，以及方程的根、函数的零点和函数图像与x轴交点的横坐标之间的关系，并不是一件难事，而重点是要引导学生去探究零点存在性定理及对定理的正确的理解。整节课的关键应是通过学生自主探究、合作交流的方式来发现定理，这样才能充分体现新课改的精神。
4、设计思路：
问题引入：可以用公式求解一元二次方程的根，但怎样求高次（五次及五次以上）的方程的根？→合作探究1 探究一元二次函数与对应方程的根的关系→零点的定义；结论1：方程的根、函数的零点和函数图像与x轴交点的横坐标之间的关系→练习1：找零点→小结找零点的两种方法：解方程和图像法→问题：当两种方法都难以找出零点的时候，又怎么办呢？→合作探究2 由具体的例子探究：怎样判断在区间（a，b）上存在零点？→归纳得出零点存在性定理 →合作探究3→结论2 →练习2 找零点的第三种方法：零点存在性定理→例1 教师引导，学生动手→结论3 如何确定函数在某个区间上有唯一的零点→练习3→课堂小结（生做）
5、教学方法：
本节课采用的是自主探究、合作交流的教学方法。在整个教学中，所有的问题都交给学生自己去思考、去探究，去总结。这里既可以自己独自思考，又可以分组相互交流，完全体现了以“学生为主体，老师为主导”的新课程理念，是一种开放式的教学模式，更是一种对新课改的有益探索。
三、教学过程
教学环节及时间
教师活动
学生活动
对学生学习过程的观察和考查，以及及设计意图
?问题引入
（4′）
问1：?已知二次函数y =x2+x-6，试问当x取哪些值时y=0？
问2：方程x2+x-6=0可以求解，方程x5+x-6=0怎么求解？
?学生回答。
出示灯片，让学生了解数学史《中外历史上的方程求解》。
激发学生的好奇心和求知欲。
让学生感受到数学文化方面的熏陶。
过渡
?
?我们可以从函数的角度来研究方程的根。
?
引出课题。（板书）
合作探究1?
?（5′）
?问：函数的图像与对应方程的根之间存在什么样的关系？
用几何画板作出函数图像。教师巡视指导。
?学生作图，分组探讨交流。请每组的学生代表回答。
引出零点的定义。（板书）
得出结论1：方程的根、函数的零点与函数的图像三者之间的关系。（板书）
练习1?
（4′）
用几何画板作出三个函数的图像。
问：有几种方法可以找函数的零点？
观察图像，进一步体会函数的零点与函数的图像之间的关系。
学生回答。
进一步巩固三个关系。
小结找零点的两种方法：解方程和图像法。（板书）
过渡
问：当图像不易画出，又不能求相应方程的根时，又怎样找函数的零点呢？
激发学生的求知欲。引出探究2。
合作探究2
（8′）
教师出示灯片，展示学生的多种画法。
问：怎样判断函数在区间[a,b]上有零点？
学生分组探讨交流。教师巡视指导。请每组的学生代表发言。
激发学生的想象力与交流合作的能力。引出函数的零点存在性定理，并归纳。（板书）
合作探究3
（5′）
教师巡视指导。
问：由此你可得到什么样的结论？
学生自主探究，再合作交流。
请每组的学生代表发言。
得出结论2 ：（1）图像要连续不断；（2）存在不一定唯一；（3）有零点，不一定有f(a)·f(b)< 0。（板书）
练习2
（3′）
教师引导。
问：怎样在定义域内找出函数的零点？
学生自主探究，回答。
小结用定理找零点的步骤。小结找零点的三种方法：解方程、图像法和零点存在性定理。（板书）
回答了引入中提出的问题。
例1
（7′）
教师引导：可用图像法和定理解题。展示学生的解答。
问1：本题分几步解决？
问2：如何确定函数在某个区间内有唯一零点？
学生学生自主探究，再合作交流。
进一步巩固定理。
得出结论3 确定函数在某个区间内有唯一零点的方法和步骤：（1）用定理判断存在性；（2）用单调性说明唯一性。
练习3
（5′）
教师巡视。
学生自主探究。
巩固结论3。
课堂小结
（4′）
教师最后归纳。
学生自主归纳，回答，教师最后归纳。
培养学生的自主性，加强对本节知识的归纳和梳理。
作业
课后完成。
巩固本节知识。
课件18张PPT。§3.1.1 方程的根与函数的零点想一想问题引入 已知二次函数y=x2+x-6，试问x取
哪些值时y=0？读一读 1778年，法国拉格朗日提出了五次方程根式解
不存在的猜想。
1824年，挪威阿贝尔成功地证明了五次以上一
般方程没有根式解。 请画出二次函数 y = x2+x－6的图像，并讨论与对应方程x2+x－6 =0的根之间的关系。合作探究一定义函数的零点：
一般地，对于函数y =f (x)，我们把使
f (x)=0 的实数x叫做函数 y =f (x)的零点。f (x)=0 结 论1 函数y=f (x)有零点x0函数y=f (x)的图像
与x轴有交点(x0,0)方程 f (x)=0 有实数根x=x0你能找出下列函数的零点吗？练习121、2、3、4没有零点 某地0—12时气温变化如图，中间一部分看不清楚，假设气温是连续变化的，请将图形补充成完整的函数图像，这段时间内，是否一定有某时刻的气温为0°C?合作探究二（2）f(a) ·f(b)<0;定 理零点存在性定理 （1）如果函数y=f (x)在区间[a,b]上的图像是连续
不断一条曲线；连续不断f(a) ·f(b)<0 则函数y=f (x)在区间(a,b)内有零点，即存在 c∈(a,b),使得f (c)=0，这个c也就是方程
f (x)=0的根。(1) f(a) ·f(b) 0，在区间(a,b)上 (有/无)零点;
(2) f(c) ·f(d ) 0,区间(c,d)上零点个数为 。
(3) f(a) ·f(c) 0,区间(a,c)上零点个数为 。
(4)区间(b,c)上零点个数为 , f(b) ·f(c) 0。合作探究三观察下图有<<><0个2个1个结论2（1）函数y=f (x)在[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线；
（2）函数y =f (x)在区间(a,b)内有零点,但不一定唯一；
（3）若函数y =f (x)在区间(a,b)内存在零点，则f(a) ·f(b)<0不一定成立。练习2分析：观察下表，函数f (x)=x5+x-6在定义域内是否存在零点?∵f (1) · f (2)<0,
∴函数f (x)在区间(1，2)存在零点典例导析例1：求函数f (x)=lnx+2x-6的零点的个数。 由上表及图像可知：f(2)<0，f(3)>0
且y =f (x)在(0，+∞)上单调递增，
所以它有且仅有一个零点。解：用计算器作出x，f(x)的对应值表：用计算机作出f(x)的图像：结论3如何确定函数在某个区间内有唯一零点
（1）利用零点存在定理判定存在性；
（2）利用单调性说明唯一性。练习3解：求函数f (x)=－x3－3x+5在的零点个数。 f (1) =－1－3+5=1 > 0
f (2)=－8－6+5=－9 < 0
∴ f (1) · f (2)<0,
且函数在R上单调递减，
∴函数f (x)仅有一个零点。课堂小结※一个定义：
※一个定理：
※三个结论：
※三种方法：函数的零点零点存在性定理解方程
数形结合
应用定理作 业P88 1
P92 2谢谢！
