(共17张PPT)
授课人：黄奎飞
玉山一中数学组
〖引例〗 解方程：
（2）
（3）
（6）
（1）
（一）设问激疑，创设情景
无根
（4）2-x=4；
（5）2-x=x；
玉山一中数学组
方 程 x2-2x-3=0 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0
方程的根
函 数 y=x2-2x-3 y=x2-2x+1 y=x2-2x+3
函数y=ax2 +bx+c
(a>0)的图象
函数的图象与x轴的交点
一元二次方程的实数根 二次函数图象与x轴交点的横坐标
x1=-1，x2=3
x1=x2=1
无实数根
2
-2
-4
3
-1
1
2
O
x
y
4
2
3
-1
1
2
O
x
y
4
2
3
-1
1
2
O
x
y
两个交点
(-1,0)，(3,0)
一个交点
(1,0)
没有交点
问题1:从该表你可以得出什么结论？
问题2:这个结论对一般的二次函数和方程成立吗？
（二）启发引导，形成概念
玉山一中数学组
方 程 x2-2x-3=0 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0
方程的根
函 数 y=x2-2x-3 y=x2-2x+1 y=x2-2x+3
函数y=ax2 +bx+c
(a>0)的图象
函数的图象与x轴的交点
结论：一元二次方程的实数根就是
相应二次函数图象与x轴交点的横坐标．
x1=-1，x2=3
x1=x2=1
无实数根
2
-2
-4
3
-1
1
2
O
y
4
2
3
-1
1
2
x
O
x
y
4
2
3
-1
1
2
O
x
y
两个交点
(-1,0)，(3,0)
一个交点
(1,0)
没有交点
判别式Δ
Δ> 0
Δ= 0
Δ< 0
方程ax2 +bx+c=0
(a>0)的根
两个不相等的
实数根x1 、x2
有两个相等的
实数根x1 = x2
没有实数根
x1
x2
x1
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
问题3:其他函数与方程之间也有同样结论吗？请举例!
（二）启发引导，形成概念
玉山一中数学组
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点．
〖即兴练习〗函数f (x)=x(x2－16)的零点为( )
A. (0,0), (4,0) B. 0, 4
C. (– 4 ,0), (0,0),(4,0) D. – 4 , 0, 4
D
注意：零点是自变量的值，而不是一个点．
－1，4
1，－ 5
函数零点既是对应方程的根，又是函数图象与x轴交点的横坐标！
〖即兴练习〗求下列函数的零点：
(1)f(x)=-x2+3x+4 (2)f(x)=lg(x2+4x-4)
函数零点的定义：
（二）启发引导，形成概念
玉山一中数学组
2、区别：
1、联系：
①数值上相等：求函数零点就是求方程的根.
②存在性相同：函数y=f(x)有零点
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
零点对于函数而言，根对于方程而言．
问题4:函数的零点与方程的根有什么联系和区别？
函数零点的定义：
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点．
要解方程2-x=x，即2-x-x=0，只要求函数f(x)=2-x-x的零点!
玉山一中数学组
（三）讨论探究，揭示定理
探究:在什么情况下，函数f(x)在区间(a,b)一定存在零
点呢？
1.如果把函数比作一部电影，那么函数的零点就像是电影的一个瞬间，一个镜头。有时我们会忽略一些镜头，但是我们仍然能推测出被忽略的片断。现在我有两组镜头（下图），哪一组能说明他的行程一定曾渡过河？
2.将河流抽象成x轴，将前后的两个位置视为A、B两点。请问当A、B与x轴怎样的位置关系时，AB间的一段连续不断的函数图象与x轴一定会有交点？
3.A、B与x轴的位置关系，如何用数学符号（式子）来表示？
用f（A）·f（B）<0来表示
玉山一中数学组
观察二次函数f(x)=x2－2x－3的图象:
[－2,1] f(－2)>0 f(1)<0 f(－2)·f(1)<0
（－2,1） x＝－1是x2－2x－3＝0的一个根
[2,4] f(2)<0 f(4)>0 f(2)·f(4)<0
（2,4） x＝3是x2－2x－3＝0的另一个根
.
.
.
.
.
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
－1
－2
－3
－4
－2
4
观察对数函数f(x)=lgx的图象:
[0.5 , 1.5] f(0.5)<0 f(1.5)>0
f(0.5)·f(1.5)<0（0.5 , 1.5)
x＝1是lgx=0的一个根.
x
y
0
1
2
1
.
.
.
（三）讨论探究，揭示定理
问题5:函数y＝f(x)在某个区间上是否一定有零点？怎样的条件下，函数y＝f(x)一定有零点？
玉山一中数学组
〖即兴练习〗下列函数在相应区间内是否存在零点？
（1）f(x)=log2x，x∈[0.5，2]；
（2）f(x)=2x·ln(x-2)-3，x∈[3，5] ．
函数零点存在性定理：
x
y
O
x
y
O
b
a
a
b
c
c
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点．即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根．
玉山一中数学组
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a) ·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点．
即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根．
函数零点存在性定理：
x
y
O
b
a
c
x
y
O
a
b
c
x
y
O
b
a
c
x
y
O
a
b
c
例1 判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例
（1）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f (a) ·f(b) < 0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点. （ ）
（2）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f (a) ·f(b) ≥0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点. （ ）
（3）已知函数y=f (x)在区间[a,b] 满足f (a) ·f(b) < 0，则f(x)在区间(a,b)内存在零点. （ ）
玉山一中数学组
例1 判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例
（1）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f (a) ·f(b) < 0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点. （ ）
（2）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f (a) ·f(b) ≥0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点. （ ）
（3）已知函数y=f (x)在区间[a,b] 满足f (a) ·f(b) < 0，则f(x)在区间(a,b)内存在零点. （ ）
a
b
O
x
y
a
b
O
x
y
a
b
O
x
y
画图象举反例：
玉山一中数学组
x 1 2 3 4 5 6 7
f(x) 23 9 –7 11 –5 –12 –26
那么函数在区间[1，6]上的零点至少有（ ）个
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
C
B
1、已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下对应值表：
（四）知识应用，尝试练习
2、函数f (x)=–x3–3x + 5的零点所在的大致区间为（ ）
A. ( – 2 ，0) B. (1，2) C. (0，1) D. (0，0.5)
玉山一中数学组
由表可知f(2)<0，f(3)>0，从而f(2)·f(3)<0， ∴函数f(x)在区间(2,3)内有零点．
由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点．
用计算器或计算机列出x、f(x)的对应值表：
例2 求函数f(x)=lnx+2x－ 6的零点的个数.
解
问题6:如何说明零点的唯一性？
10
8
6
4
2
-2
-4
5
1
2
3
4
6
x
y
O
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
f(x)
-4
-1.3
1.1
3.4
5.6
7.8
10.0
12.1
14.2
法1：
f(x)=lnx+2x－ 6
（五）观察感知，例题学习
玉山一中数学组
解法2：
将函数f(x)= lnx+2x－6的零点的个数转化为函数y= lnx与y=－2x +6的图象交点的个数．
y=－2x +6
y= lnx
6
O
x
1
2
3
4
y
求函数f(x)= －x3－3x+5零点的个数
解：作出函数的图象，如下：
因为f(1)=1>0,f(1.5)=－2.875<0,
所以f(x)= －x3－3x+5在区间(1, 1.5)
上有零点。又因为f(x)是(－∞,＋∞）
上的减函数，所以在区间(1, 1.5)上有
且只有一个零点。
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
5
4
3
.
玉山一中数学组
一个关系：函数零点与方程根的关系:
函数
方程
零点
根
数 值
存在性
个 数
两种思想：函数方程思想；数形结合思想．
三种题型：求函数零点、确定零点个数、
求零点所在区间．
（六）反思小结，培养能力
玉山一中数学组
1．利用函数图象判断下列方程有几个根：
（1）2x(x－2)＝－3；（2）ex－1＋4＝4x．
2．写出并证明下列函数零点所在的大致区间：
（1）f(x)=2xln(x-2)-3；
（2）f(x)＝3(x＋2)(x－3)(x＋4)＋x
3．思考题：方程2-x =x在区间______内有解，如何求 出这个解的近似值？ 请预习下一节．
（七）课后作业，自主学习
玉山一中数学组
板书设计
多
媒
体
演
示
学生练习
玉山一中数学组
