第22章.一元二次方程导学案（2010年9月整理）

22.1一元二次方程（第1课时）
【学习目标】
1.一元二次方程的定义、各项系数的辨别，根的作用．根的作用的理解．
2.通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念
【自主探究一】
1.如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm．在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
　　　　　　　　　　
解：
只列方程： 。
2.再观察下列各式：
1. 2. 3. 4.
问题一：上面1、2题目中含有 个未知数？
问题二：按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是 次？
类比一元一次方程的定义，那么上面的方程叫做 。
方程的特点：
（1）都只含一个未知数x；
（2）它们的最高次数都是2次的；
归纳一元二次方程定义：只含有 ，并且未知数的
为 的 方程，叫做一元二次方程．
【知识梳理】
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．
一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
【典例分析】
例1.将方程化成一元二次方程的一般形式，并指出各项系数．
解：去括号得
，
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式
．
其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10．
【尝试练习】
1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并指出各项系数．
1. (2x-1)=7 2.
【自主探究二】
1.什么是一元一次方程的解？一个一元一次方程有几个解？
2．你能猜测方程的解是什么吗？那一元二次方程应该有几个解？
【小试牛刀】
1. 将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．
2.你能根据所学过的知识解出下列方程的解吗？
（1）； （2）．
【应用拓展】
求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
22.2降次——解一元二次方程（1）（第2课时）
【学习目标】
1.本节课主要学习运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．
2.运用开平方法解形如（m x+ n）2=p（p≥0）的方程．
3.通过根据平方根的意义解形如x2=n的方程，知识迁移到解形如（m x+ n）2=p（p≥0）的方程．体会由未知向已知转化的思想方法．
【复习引入】
1.求出下列各式中x的值，并说说你的理由．
（1）x2=9 （2）x2=5 （3）x2=a（a>0）．
【自主探究】
一桶某种油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体的盒子的全部外表，你能算出盒子的棱长吗？
解：设，
列方程，
猜想上述方程的解为：
【尝试练习】
问题1：对照上述解方程的过程，你能解下列方程吗？从中你能得到什么结论？
（1）；（提示：开平方得到）
（2）
【知识梳理】：
1简单的解一元二次方程的思想“降次”——把二次降为一次，进而解一元一次方程．即在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．
2如果方程能化成或的形式，那么直接开平方可得或．
【巩固练习】
解下列方程．
1．x2-3=0 2．4x2-9=0
3. 4x2+4x+1=1 4. x2-6x+9=0
【拓展练习】
市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．
【聚焦中考】
1．（2009温州）方程x 2-9=0的解是(　　)
A．xl=x2=3 B. xl=x2=9 C．xl=3，x2=-3 D. xl=9，x2=-9
2．（2010沈阳）某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程。原计划每天拆迁1250m2，因为准备工作不足，第一天少拆迁了20％。从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了1440m2。
求：(1)该工程队第一天拆迁的面积；
(2)若该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增加的百分数相同，求这个百分数。
22.2.降次——解一元二次方程（2）配方法（第3课时）
【学习目标】
1.本节课主要学习运用配方法，即通过变形运用开平方法降次解方程。
2.探索利用配方法解一元二次方程的一般步骤；能够利用配方法解一元二次方程。渗透配方法是解决某些代数问题的一个很重要的方法．
【复习引入】
请同学们解下列方程
（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9
知识归纳：上面的方程都能化成x2 = p或（mx+n）2 = p（p≥0）的形式，那么可得
x=±或mx+n=±（p≥0）．
如：4x2+16x+16=（2x+4）2
【典例分析】
例1，要使一块矩形场地的长比宽多6 cm，并且面积为16 cm2，场地的长和宽分别是多少？
分析：设场地的宽为x m，则长为 m，根据矩形面积为16 cm2，得到方程 ＝16，整理得到x2+6x－16＝0，如何解方程x2+6x－16＝0？只要把上述方程左边化成一个完全平方式的形式，问题就解决了，于是想到把方程左边进行配方，对于代数式x2+6x只需要再加上9就是完全平方式（x＋3）2，因此方程x2+6x=16可以化为
x2+6x＋9=16＋9，
即 ＝25，问题解决。
小结：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程。
例2. （配方法）
解：移项，得
由此可得，
所以，，
【小试牛刀】
1. 2.
【阶段总结】
1.利用上面配方法解方程的过程，你能从中得到在配方时具有的规律吗？
（1）x2－8x + 1 = 0；
（2）；
（3）．
（1）中经过移项可以化为，为了使方程的左边变为完全平方式，可以在方程两边同时加上42，得到，得到（x－4）2=15；
（2）中二次项系数不是1，此时可以首先把方程的两边同时除以二次项系数2，然后再进行配方，即，方程两边都加上，方程可以化为；
2.配方法解方程时应该遵循的步骤：
（1）把方程化为一般形式；
（2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边；
（3）方程两边同时除以二次项系数a；
（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
（5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．
【巩固练习】
解下列方程：
（1）x2+2x-35=0 （2）2x2-4x-1=0
　　
【应用拓展】
例：如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
【聚焦中考】
1．（2009聊城）用配方法解方程：
2．（2008辽宁）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（　　　）
A 　 B 　C 　 D
3．（2010台湾）将一元二次方程化成的形式，则ｂ等于（　　　）
A　－4　　　B　4　　　C　-14　　　D　14
4．（2009杭州）已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成下列的
A． B．
C． D．
5．（2009安顺）某商场将进货价为每个30元的台灯以每个40元出售，平均每月能售出600个．经过调查表明：如果每个台灯的售价每上涨1元，那么其销售数量就将减少10个．为了实现平均每月10000元的销售利润，问每个台灯的售价应定为多少元？
22.2降次——解一元二次方程（3）（第4课时）
【学习目标】
1用公式法解一元二次方程。
2掌握一元二次方程求根公式的推导，会运用公式法解一元二次方程．
3通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性．
【复习引入】
1.用配方法解下列方程
（1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52
【自主探索】
提出问题：如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？
例，已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，试推导它的两个根为x1=，x2=
提示：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．
解：移项，得：
二次项系数化为1，得
配方，得：x2+x+（ ）2=-+（ ）2
即（x+）2=
∵ 且4a2>0
∴≥0
直接开平方，得：x+=±
即x=
∴x1=，x2=
注意：
（）即是一元二次方程的求根公式。
例2.利用公式法解下列方程，从中你能发现什么？
（1）
（2）
（3）
※总结步骤：
1.确定的值；
2.算出的值；
3.代入求根公式求解．
（1）一元二次方程的根是由一元二次方程的系数确定的；
（2）在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在的前提下，把的值代入 （）中，可求得方程的两个根；
（3）我们把公式（）称为一元二次方程的求根公式，用此公式解一元二次方程的方法叫公式法；
（4）由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根．
【巩固练习】
用公式法解下列方程．
（1）x2-5x-6=0 （2）7x2+2x-1=0 （3）3x2-5x+2=0
（4）5x2+2x-6=0 （5）4x2-7x+2=0 （6）2x2-x-=0
　　
【应用拓展】
例：某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下面的问题．若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．
【聚焦中考】
1．（2009淮安）方程x2+4x=2的正根为（　　　）
A．2- B．2+ C．-2- D．-2+
2．（2010泰州）先化简，再求值：，其中a是方程x2+3x+1=0的根．
3．（2009武汉）解方程：
4．（2010临沂）从社会效益和经济效益出发，某地制定了三年规划，投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业。根据规划，第一年度投入资金800万元，第二年度比第一年度减少，第三年度比第二年度减少。第一年度当地旅游业收入估计为400万元，要使三年内的投入资金与旅游业总收入持平，旅游业收入的年增长率应是多少？（以下数据供选用：，计算结果精确到百分位）
22.2降次——解一元二次方程（4）（第5课时）
【学习目标】
1.用根的判别式b2-4ac来判别ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况及其运用。
2.掌握b2-4ac>0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实根，反之也成立；b2-4ac=0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，反之也成立；b2-4ac<0，ax2+bx+c=0（a≠0）没实根，反之也成立；及其它们关系的运用．
【复习引入】
1.用公式法解下列方程,并说明根的情况，观察b2-4ac的值。
（1）2x2-3x=0 （2）3x2-2x+1=0 （3）4x2+x+1=0
（1）b2-4ac=9>0，方程有 ；
（2）b2-4ac=12-12=0，方程 ；
（3）b2-4ac=│-4×4×1│=<0，方程 ；
2.总结一元二次方程根的规律和的关系。
【巩固练习】
例：不解方程，判定方程根的情况
（1）16x2+8x=-3 （2）9x2+6x+1=0
（3）2x2-9x+8=0 （4）x2-7x-18=0
【反馈练习】
不解方程判定下列方程根的情况:
（1）x2+10x+26=0 （2）x2-x-=0
（3）3x2+6x-5=0 （4）4x2-x+=0
（5）x2-x-=0 （6）4x2-6x=0
　
【应用拓展】
例1：某养鸡厂的矩形鸡舍长靠墙．现在有材料可以制作竹篱笆13米，若欲围成20平方米的鸡舍，鸡舍的长和宽应是多少？能围成22平方米的鸡舍吗，若可以求出长和宽，若不能说明理由．
【阅读理解】
从前面的具体问题，我们已经知道b2-4ac>0（<0，=0）与根的情况，现在你把这个问题一般化，从求根公式的角度来分析来得出结论。
求根公式：x=，当b2-4ac>0时，根据平方根的意义，等于一个具体数，所以一元一次方程的x1=≠x1=，即有两个不相等的实根．当b2-4ac=0时，根据平方根的意义=0，所以x1=x2=，即有两个相等的实根；当b2-4ac<0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数解．
因此，（结论）（1）当b2-4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等实数根即x1=，x2=．
（2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根即x1=x2=．
（3）当b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根．
【聚焦中考】
1．（2009上海）在下列方程中，有实数根的是（ ）
（A）x2+3x+1=0 （B）=-1 （C）x2+2x+3=0 （D）=
2．（2010连云港）关于x的一元二次方程x2＋kx－1=0的根的情况
A、有两个不相等的同号实数根 B、有两个不相等的异号实数根
C、有两个相等的实数根 　 D、没有实数根
3． （2010天门）关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2＋3a－4＝0有一个实数根是x＝0．则a的值为（ ）．
A、1或－4 B、1 C、－4 D、－1或4
4．（2009北京）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
5．（2010绵阳）若0是关于x的方程（m-2）x2+3x+m2-2m-8=0的解，求实数m的值，并讨论此方程解的情况．
6．（2010广东）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少
(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．
22.2降次——解一元二次方程（5）（第6课时）
【学习目标】
1应用分解因式法解一些一元二次方程．
2能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．
3体会“降次”化归的思想。
【复习引入】
解下列方程．
（1）2x2+x=0（用配方法） （2）3x2+6x=0（用公式法）
【自主探究】
例题，仔细观察方程特征，除配方法或公式法，你能找到其它的解法吗？
（1）上面两个方程中有没有常数项？
（2）等式左边的各项有没有共同因式？
　　
上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解:
2x2+x= ，3x2+6x=
因此，上面两个方程都可以写成：
（1）x（2x+1）=0
所以x=0或2x+1=0，因此，x1=0，x2=-．
你知道为什么吗？我认为： 。
（2）3x（x+2）=0
解：
【知识梳理】
1.上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．
2.归纳：利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解法叫作因式分解法．
【小试牛刀】
通过解下列方程，你能发现在解一元二次方程的过程中需要注意什么？
（1）；
（2）； （3）；
（4）．
【巩固练习】
1根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么经过x s物体离地面的高度（单位：m）为 ．
你能根据上述规律求出物体经过多少秒回到地面吗？
2 解下列方程．
1．12（2-x）2-9=0 2．x2+x（x-5）=0
【聚焦中考】
1.（2009南宁）方程的解为 ．
2.（2009内江）方程x（x+1）=3（x+1）的解的情况是（ ）
A．x=-1 B.x=3 C. D.以上答案都不对
3.（2009兰州）在实数范围内定义一种运算“＊”，其规则为，根据这个规则，方程的解为 。
4.（2010北京）已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：
（1）请解上述一元二次方程<1>、<2>、<3>、；
（2）请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可。
　　
22.2降次——解一元二次方程（6）（第7课时）
十字相乘法分解因式
【阅读理解】
阅读：我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，
请你用上面的方法解下列方程．
（1）x2-3x-4=0
（2）x2-7x+6=0
（3）x2+4x-5=0
提示：二次三项式x2-（a+b）x+ab的最大特点是x2项是由x·x而成，常数项ab是由-a·（-b）而成的，而一次项是由-a·x+（-b·x）交叉相乘而成的．根据上面的分析，我们可以对上面的三题分解因式．
【巩固练习】
1. 2.
【阅读】
配方法、公式法、因式分解法联系与区别：
联系：
①降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次．
②公式法是由配方法推导而得到．
③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程．
区别：
①配方法要先配方，再开方求根．
②公式法直接利用公式求根．
③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0。
22.2．4一元二次方程根与系数之间的关系（第8课时）
【学习目标】
（1）掌握一元二次方程根与系数的关系。
（2）能运用根与系数的关系求：已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数； 根据方程求代数式的值。
（3）学生经历观察→发现→猜想→证明的思维过程，培养学生的分析能力和解决问
【探索新知】
1.请同学们完成下面的表格：
方程 x x
x
2.观擦上面的规律，运用你发现的规律填空：
（1）已知方程x的根是x和x，则= ；=
（2）已知方程x+3x－5=0的根是x和x，则= ；=
猜想：如果方程的根是x和x，则= ；=
【典例分析】
1.证明猜想： 如果方程的根是x和x，那么=－m，=n
证明：方程的△=m
当△=m≥0时，方程的根是x=，x=
=+=m
==n
2.提出疑问：如果一元二次方程的一般式的根是x和x，那么 ， = ；=
【应用新知】
例1． 已知方程的一个根是3，求方程的另一个根及c的值。
解.设方程的另一个根是，则
3+=2
解之得=－1。
∵3=c
∴3×（－1）=c
∴c=－3
故：方程的另一个根是－1，c=－3。
【尝试练习】
1.求下列方程两个根的和与积
（1） x2－3x+2=0 （2） 2x2+3x－4=0
2.方程2的两个根是x和x，则= ； =
3.已知方程的一个根是2，求方程的另一个根及的值。
【应用拓展】
例，已知方程的根是x和x，求下列式子的值：
（1）+ （2）
解.由一元二次方程根与系数的关系知：=5，=－6
（1）原式=+2－
=
=5－（－6）
=31
（2）原式=
=
=
=
【巩固练习】
一、填空题
1． 若方程(a≠0)的两根为，则= ，= __
2 ．方程 则= ，= __
3 ．若方程的一个根2，则它的另一个根为____ ，p=____
4 ．已知方程的一个根1，则它的另一根是____， m= ____
5 ．若0和-3是方程的两根，则p+q= ____
6 ．在解方程x2+px+q=0时，甲同学看错了p，解得方程根为x=1与x=-3；乙同学看错了q，解得方程的根为x=4与x=-2，你认为方程中的p=——，q=——。
二、选择题
1 ．两根均为负数的一元二次方程是 （ ）
A. B. C. D.
2 ．若方程的两根中只有一个为0，那么 （ ）
A. p=q=0 B. P=0,q≠0 C. p≠0,q=0 D. p≠0, q≠0）
三、解答题
1．已知方程的一个根是2，求另一个根及c的值.
2．已知方程2的两个根分别是x和x，求下列式子的值：
（1）（x+2）（x+2） （2）
22.3实际问题与一元二次方程（1）（第9课时）
【学习目标】
1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．
2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述。
【自主探究】
回顾：列方程解应用题的基本步骤有哪些？应注意什么？
【问题情境】
例，有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（1）本题中有哪些数量关系？
（2）如何理解“两轮传染”？
（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？
（4）能否把方程列得更简单，怎样理解？
（5）解方程并得出结论，对比几种方法各有什么特点？
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意第一轮传染后有x+1人患了流感，第二轮传染后有x(1+x)人患了流感。
于是可列方程：
。
【变式练习】
如果按这样的传播速度，三轮传染后有多少人患了流感？
【小试牛刀】
1．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，那么根据题意列出的方程是（ ）
A．x（x+1）=182 B．x（x-1）=182
C．2x（x+1）=182 D．x（1-x）=182×2
2．一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共（ ）．
A．12人 B．18人 C．9人 D．10人
　
【应用拓展】
1．参加足球联赛的每两队之间都进行了两次比赛（双循环比赛），共要比赛90场，共有多少个队参加了比赛？
2. 学校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间都进行了一次比赛），共进行了15场比赛，那么有几个球队参加了这次比赛？
3. （2010年聊城市）如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第8层中含有正三角形个数是（ ）
A．54个 B．90个 C．102个 D．114个
22.3实际问题与一元二次方程（2）（第10课时）
【学习目标】
1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．
2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述。
【复习引入】
1．某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为6万kg，第二年的产量为_______kg，第三年的产量为_______，三年总产量为_______．
2．某糖厂2002年食糖产量为at，如果在以后两年平均增长的百分率为x，那么预计2004年的产量将是________．
【自主探究】
例1两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大
解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，
则一年后甲种药品成本为 元，两年后甲种药品成本为 元．
依题意，得5000 =3000
解得：x1≈ ，x2≈ 。
设乙种药品成本的平均下降率为y．
则：6000（1-y）2=3600 整理，得：
解得：y≈ 。
答：两种药品成本的年平均下降率一样大．
【思考】
经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状态？
【小试牛刀】
1．某电脑公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．
2．某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．
　
【应用拓展】
1. 某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元
分析：总利润=每件平均利润×总件数．设每张贺年卡应降价x元，则每件平均利润应是（0.3-x）元，总件数应是
解：设每张贺年卡应降价x元
则列方程 =120 解得：x= 。
答：每张贺年卡应降价0.1元．
2.（2010年贵州）汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率相同．
（1）该公司2006年盈利多少万元？
（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元？
3.（2009南京）西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利2O0元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元
22.3实际问题与一元二次方程（3）（第11课时）
【学习目标】
1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．
2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述。
【复习引入】
1．直角三角形的面积公式是什么？一般三角形的面积公式是什么呢？
2．正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？
3．菱形、平行四边形、梯形、圆的面积公式是什么？
【典例分析】
例，要设计一本书的封面，封面长27 cm ,宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1 cm）.
【分析】
（1）本题中有哪些数量关系？
（2）如何理解“正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形”？
（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？
（4）解方程并得出结论，对比几种方法各有什么特点？
【解答】
依据题意知：中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比＝9：7，由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为9：7，设上、下边衬的宽均为9xcm，则左、右边衬的宽均为7xcm，依题意，得：中央矩形的长为（27-18x）cm，宽为（21-14x）cm．
因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的，则中央矩形的面积是封面面积的．
所以（27-18x）（21-14x）=×27×21
整理，得：16x2-48x+9=0
解方程，得：x=， x1≈2.8cm，x2≈0.2
所以：9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm
因此，上下边衬的宽均为1.8cm，左、右边衬的宽均为1.4cm．
【小试牛刀】
1．某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．
（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？
2．有一张长方形的桌子，长6尺，宽3尺，有一块台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少 （精确到0．1尺）
【应用拓展】
1 如图，某中学为方便师生活动，准备在长30 m，宽20 m的矩形草坪上修两横两纵四条小路，横纵路的宽度之比为3∶2，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，则路宽应为多少？
2如图（a）、（b）所示，在△ABC中∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动．
（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟，使S△PBQ=8cm2．
3.（2009年南京）某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为．在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是？
4.（2010.梅州）如图所示，在长和宽分别是、的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为的正方形．
(1) 用，，表示纸片剩余部分的面积；
(2) 当=6，=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．
22.3实际问题与一元二次方程（4）（第12课时）
【学习目标】
1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．
2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述。
【问题情境】
例，一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m后停车．
（1）从刹车到停车用了多少时间
（2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少
（3）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间（精确到0.1s）
分析：（1）刚刹车时时速还是20m/s，以后逐渐减少，停车时时速为0．因为刹车以后，其速度的减少都是受摩擦力而造成的，所以可以理解是匀速的，因此，其平均速度为=10m/s，那么根据：路程=速度×时间，便可求出所求的时间．
（2）很明显，刚要刹车时车速为20m/s，停车车速为0，车速减少值为20-0=20，因为车速减少值20，是在从刹车到停车所用的时间内完成的，所以20除以从刹车到停车的时间即可．
（3）设刹车后汽车滑行到15m时约用除以xs．由于平均每秒减少车速已从上题求出，所以便可求出滑行到15米的车速，从而可求出刹车到滑行到15m的平均速度，再根据：路程=速度×时间，便可求出x的值．
【思考】
刹车后汽车行驶20ｍ时用多少时间？（精确到0.1秒）
【小试牛刀】
　一个小球以10m/s的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减速，滚动20m后小球停下来．
（1）小球滚动了多少时间
（2）平均每秒小球的运动速度减少多少
（3）小球滚动到5m时约用了多少时间（精确到0.1s）
【聚焦中考】
（2010年南昌市）甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线起跑，绕过P点跑回到起跑线（如图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜．结果：甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完．事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒”，乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍”．根据图文信息，请问哪位同学获胜？
第22章一元二次方程复习题（第13课时）
一、选择题
1．下面关于x的方程中①ax2+bx+c=0；②3（x-9）2-（x+1）2=1；③x+3=；
④（a2+a+1）x2-a=0；④=x-1．一元二次方程的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．要使方程（a-3）x2+（b+1）x+c=0是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．a≠0 B．a≠3
C．a≠1且b≠-1 D．a≠3且b≠-1且c≠0
3．若（x+y）（1-x-y）+6=0，则x+y的值是（ ）
A．2 B．3 C．-2或3 D．2或-3
4．若关于x的一元二次方程3x2+k=0有实数根，则（ ）
A．k>0 B．k<0 C．k≥0 D．k≤0
5．下面对于二次三项式-x2+4x-5的值的判断正确的是（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．不小于0 D．可能为0
6．下面是某同学在九年级期中测试中解答的几道填空题：（1）若x2=a2，则x= a ；
（2）方程2x（x-1）=x-1的根是 x=0 ；（3）若直角三角形的两边长为3和4，则第三边的长为 5 ．其中答案完全正确的题目个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．某种商品因换季准备打折出售，如果按原定价的七五折出售，将赔25元，而按原定价的九折出售，将赚20元，则这种商品的原价是（ ）
A．500元 B．400元 C．300元 D．200元
8．利华机械厂四月份生产零件50万个，若五、六月份平均每月的增长率是20%，则第二季度共生产零件（ ）
A．100万个 B．160万个 C．180万个 D．182万个
二、填空题
9．若ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程，则不等式3a+6>0的解集是________．
10．已知关于x的方程x2+3x+k2=0的一个根是-1，则k=_______．
11．若x=2-，则x2-4x+8=________．
12．若（m+1）+2mx-1=0是关于x的一元二次方程，则m的值是________．
13．若a+b+c=0，且a≠0，则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一个定根，它是_______．
14．若矩形的长是6cm，宽为3cm，一个正方形的面积等于该矩形的面积，则正方形的边长是_______．
15．若两个连续偶数的积是224，则这两个数的和是__________．
三、计算题（每题9分，共18分）
1．按要求解方程：
（1）4x2-3x-1=0（用配方法）； （2）5x2-x-6=0（精确到0．1）
2．用适当的方法解方程：
（1）（2x-1）2-7=3（x+1）； （2）（2x+1）（x-4）=5；
（3）（x2-3）2-3（3-x2）+2=0．
3．若方程x2-2x+（2-）=0的两根是a和b（a>b），方程x-4=0的正根是c，试判断以a、b、c为边的三角形是否存在．若存在，求出它的面积；若不存在，说明理由．
4．已知关于x的方程（a+c）x2+2bx-（c-a）=0的两根之和为-1，两根之差为1，其中a，b，c是△ABC的三边长．
（1）求方程的根；（2）试判断△ABC的形状．
【应用题】
1．某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？
2．李先生乘出租车去某公司办事，下午时，打出的电子收费单为“里程11公里，应收29.10元”．出租车司机说：“请付29.10元．”该城市的出租车收费标准按下表计算，请求出起步价N（N<12）是多少元．
里程（公里） 06
价格（元） N
【中考搜寻】
1.（2010广州）方程的根是（ ）
A B C D
2.（2010襄樊）某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的，则平均每次降价（ ）
A． B． C． D．
3.（2010威海）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
4．（2010四川省资阳）已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程(a + b)x2 + 2cx + (a + b)＝0的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．可能有且只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
5．（2010年湖北省仙桃市潜江市江汉油田）关于的一元二次方程的一个根为1，则方程的另一根为 .
6.（2010江苏省淮安市）小华在解一元二次方程x2-4x=0时．只得出一个根是x=4,则被他漏掉的一个根是x=_____．
7．(2010东莞市)在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，求所截去小正方形的边长。
8．2010年湘潭)阅读材料：
如果，是一元二次方程的两根，那么有
.
这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题:
设是方程的两根，求的值.
解法可以这样：则
. 请你根据以上解法解答下题：
已知是方程的两根，求：
（1）的值；（2）的值.
_
B
_
C
_
A
_
Q
_
P
l
30米
P
前
侧
空
地
蔬菜种植区域
PAGE
- 30 -