一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系学案

一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系
一、知识要点：
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式 是用来判别一元二次方程根的情况的；即方程有 的实数根；方程有 的实数根；方程 无实数根。
2、（1）如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，那么x1+x2= ，x1x2= 。
（2）以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 。
二、典例精析：
一元二次方程根的判别式
[基础知识]
例1、不解方程，判断关于x的方程(6m-1)x2+6mx+2=0的根的情况。
[跟踪练习]
1、不解方程判断下列方程的根的情况
（1）2x2+3x-4=0 （2）3x2+x+5=0 （4）7x2+(m+5)x+m-6=0
例2、若关于x的方程m2x2+(2m+1)x+1=0有两个实数根，求m的取值范围。
[跟踪练习]
已知关于x的方程(m-1)x2+2(m+2)x+m=0，根据下列条件求实数m的取值范围：
（1）有两个不相等的实数根；
（2）有两个相等的实数根；
（3）有两个实数根；
（4）没有实数根；
（5）有实数根。
[拓展研究]
例3、已知：方程x2-2ax+a2-a-1=0有两个实数根，化简。
[跟踪练习]
已知关于x的方程有两个不相等的实数根。
（1）求m的取值范围；
（2）化简。
例4、已知a、b、c分别为△ABC三条边的长，并且关于x的二次方程2ax2+2bx+c=0有两个相等的实数根，当∠B=90o时试判断△ABC的形状。
例5、已知x2+2x=m-1没有实数根，求证：x2+mx=1-2m必定有两个不相等的实数根。
同步练习：（中考链接）
1、（2009上海金山）下列一元二次方程没有实数解的是（ ）
A、x2-2x-1=0 B、(x-1)(x-3)=0 C、x2-2=0 D、x2+x+1=0
2、（2008四川）已知关于x的方程x2-(2k-1)x+k2=0有两个不相等的实数根，那么k的最大整数值是（ ）
A、-2 B、-1 C、0 D、1
3、（2009北京石景山）若关于x的方程2x2-ax+a-2=0有两个相等的实数根，则a的值是 。
4、（2008天津）已知关于x的一元二次方程(m-2)2x2+(2m+1)x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 。
5、（2008浙江宁波）已知：关于x的方程x2-2(m+1)x+m2=0
（1）当m取何值时，方程有两个实数根；
（2）当m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个根。
一元二次方程根与系数的关系
例1、设x1，x2是方程x2-6x+3=0的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值。
（1）x1+x2 （2）x1x2 （3）x12+x22 （4） （5）|x1-x2|
[跟踪练习]
若方程2x2-2x-1=0的两根为α、β，不解方程，求①α+β= ，②αβ= ，③α2+β2= ，④= ，⑤（α-1）（β-1）= 。
例2、已知方程2x2+kx-8=0的一个根是，求另一个根及k的值。
[跟踪练习]
已知一元二次方程x2+4x-m=0的一个根为，则另一个根是 ，且m= 。
例3、已知关于x的方程2x2-mx-2m+1=0的两个实数的平方和等于，求m的值。
[跟踪练习]
1、（2007重庆市）已知关于x的一元二次方程x2+(2m-3)x-m2=0的两个不相等的实数根为α、β，满足，求m的值。
2、已知方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有两个实数根且这两个实数根的平方和比两个实数根的积大21，求m的值。
例4、已知一元二次方程的根为3，-4，求这个方程。
[跟踪练习]
已知一元二次方程的根为-1，2，求这个方程。
例5、（2006青岛市）已知α2+α-1=0，β2+β-1=0且α≠β，则αβ+α+β的值为 。
同步练习：
1、（2009兰州）若x1，x2是方程x2+6x+3=0的两个实数根，则的值为 。
2、（2008成都）已知x=1是关于x的一元二次方程2x2+kx-1=0的一个根，则实数k的值是 。
3、（2007锦州）设方程x2+x-2=0的两个根为α、β，则（α-1）（β-1）的值等于 。
4、已知是关于x的方程x2-4x+c=0的一个根，则c的值是 。
5、若方程组的解是某个一元二次方程的两个根，则这个一元二次方程是 。
6、已知一元二次方程x2-2x+m-1=0。
（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根。
（2）设x1，x2是方程的两个实数根，且满足x12+x1x2=1，求m的值。
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