华师版数学八年级上讲义
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八年级上
第12章 数的开方
1．平方根
（1）如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。
（2）一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
其中正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”，另一个平方根是它的相反数，即。因此，正数a的平方根可以记作。a称为被开方数。
0的平方根只有一个，就是0，记作。
负数没有平方根。
（a）
（3）求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。
例题：
（1）求下列各数的平方根和算术平方根
① 121 ②（－3）2 ③3 ④ ⑤
（2）下列说法正确的是（ ）
①1的平方根是1 ②1是1的平方根 ③的平方根是-1 ④若一个数的平方根等于它的算术平方根，则这个数只能是零 ⑤只有正数才有平方根
（3）解下列方程
① ②
（4）若，则2x+y= 。
练习：
（1）的平方根是 ，16的算术平方根是 。
（2）一个数的平方根等于它的本身，这个数是 。
（3）如果x,y（x≠y）是同一个不为零的数的平方根，那么x+y= 。
（4）若2m+4与3m-1是同一个数的平方根，试求m+3的平方根和算术平方根。
作业：
（1）与是同一个不为零的数的平方根，那么x+y=
（2）若，求的平方根。
2．立方根
（1）如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。
（2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
（3）数a的立方根，记作，读作“三次根号a”，其中a称为被开方数，3称为根指数。
（4）任何数（正数、负数、0）都有立方根，并且只有一个。
正数有一个正的立方根。
负数有一个负的立方根。
0的立方根是0。
例题：
（1）求下列各数的立方根：
①－ ②0.064 ③1－ ④ ⑤
（2）下列说法正确的是（ ）
① 一个数的立方根有两个，它们互为相反数 ②一个数的立方根的符号与被开方数的符号相同 ③负数没有平方根，也没有立方根 ④若一个数有立方根，则这个数一定有算术平方根
（3）解方程
①
（4）若则= 。
练习：
（1）当ｘ＝－8时，则的值是（ ）
A －8 B －4 C 4 D ±4
（2）若，则x与y的关系是 。
（3）的相反数是 。
（4）立方根等于本身的有 。
作业：
（1）已知：+5＝ｙ，求ｘ+ｙ的立方根。
（2）已知：（ｘ－1）2+＝0，求ｘ+ｙ－ｚ的立方根。
3．无理数 无限不循环小数叫做无理数。
例题：
（1）下列说法中正确的是( )
①带根号的数是无理数 ②不带根号的数不是无理数 ③无限小数是无理数 ④无理数是无限小数 ⑤是分数
（2）下列各数：1.414 ，其中无理数有 个，分别是 。
4．实数 有理数和无理数统称为实数。
5．实数与数轴上的点一一对应。
例题：
（1）比较大小
3 -1.731
（2）数轴上表示1的点到原点的距离是 。
（3）的整数部分是 。
练习：
（1）已知0（2）的整数部分是 。
（3）估计68的立方根的大小在 （ ）
A）2与3之间 B）3与4之间 C）4与5之间 D）5与6之间
作业：
（1）若x，y都是无理数，且x+y=2，则x,y的值可以是 。
（2）写出一个比0.1小的无理数 。
第13章 整式的乘除
1．幂的运算
（1）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
（m、n为正整数）
例题：
（1）计算
①=
④
⑤
（2）若求的值。
练习：
（1）用简便方法计算
① ②
（2）若，则n= .
作业：
（1），则 。
（2）
(2)幂的乘方
幂的乘方，底数不变，指数相乘。
（m、n为正整数）
例题：
（1）计算
① ②
③ ④
（2）若求的值。
练习：
（1）计算
① ②=
（2）已知n为正整数，且求9的值。
作业：
（1）如果，求n的值。
（2）已知，，求的值。
(3)积的乘方
积的乘方，等于把积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
（n为正整数）
例题：
（1）计算
① ②
③ ④
（2）若求的值。
练习：
（1）计算
①=
②
（2）比较与的大小
作业：
（1）
（2）已知P=,那么=
(4)同底数幂的除法
同底数幂相除，底数不变，指数相减。（m、n为正整数，m>n，a）
例题：
（1）计算
①= ②
③=
④
（2）已知则
练习：
（1）计算
① ②
（2）已知求的值。
作业：
（1）
（2）已知2a-3b-4c=4,求的值。
2.整式的乘法
（1）单项式与单项式相乘 将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。
例题：
（1）计算
① ②
③ （用科学记数法表示）
（2）计算变压器铁芯片的面积。
1.5a
2.5a
a 2a 2a 2a a
练习：
（1）
（2）先化简，在求值
，其中a=-1,b=1,c=-1
作业：
如果单项式与是同类项，那么这两个单项式的积为 。
（2）单项式与多项式相乘 将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。
例题：
（1）计算
① ②
（2）已知，则a= 。
练习：
（1）已知中不含有x的三次项，试确定a的值。
（2）当，求代数式的值。
作业：
（1）解方程：
（2）解不等式：
（3）多项式与多项式相乘 先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
（a+b）(m+n)=am+bm+an+bn
例题：
（1）计算
①（2x-3y）(4x+5y)= ②2(2a-5)()=
（2）化简，并计算当时的值。
（3）如果，那么（a-5）(a-6)= 。
练习：
（1）如果x+q与x+0.2的积中不含有x项，则q的值为 。
（2）若使恒成立，则a= ,b= 。
作业：
已知x=(a+3)(a-4)，y=(2a-5)(a+2)，比较x,y的大小。
3.乘法公式
(1)平方差公式：两数和乘以这两数的差，等于这两个数的平方差。
例题：
（1）计算
①(4x+5y)(4x-5y) ②(-4x-5y)(-4x+5y)
③(m+n+p)(m+n-p) ④ m+n-p)(m-n+p)
⑤ ⑥
（2）用简便方法计算
①103×97 ②
练习：
（1）计算
①
②
③112×108
（2）已知，x+y=6,求的值。
(2)完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）这两数积的2倍。
例题：
（1）计算
① ②
③ ④
（2）用简便方法计算
① ②
（3）填空
①
②
③
练习：
（1）
（2）如果是一个完全平方式，那么k= 。
（3）已知，则。
（4）已知，则
（5）已知则
作业：
已知a,b,c为△ABC的三边，试确定的符号。
4．整式的除法
（1）单项式除以单项式 把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
例题：
（1）计算
① ②
③ ④
（2）化简
（3）已知有四个单项式：，请你用加减乘除四种运算中的一种或几种，使它们的结果为，请你写出算式。
（2）多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
例题：
（1）计算
① ②
③
（2）化简求值
，其中x=3,y=1.5。
练习：
（1）若多项式M与的乘积为，则M为 。
（2）长方形的面积为，若它的一条边为2x，则它的周长是 。
（3）已知多项式能被整除，且商式为3x+1，求的值。
5．因式分解
例题：
下列各式从左到右属于因式分解的是( )
① am+bm-1=m(a+b)-1 ②
③ ④
⑤
（2）公因式：多项式ma+mb+mc中的每一项都含有一个相同的因式m，我们称之为公因式。
例题：
找出的公因式。
（3）提取公因式法：把公因式提出来，多项式ma+mb+mc就可以分解成两个因式m和（a+b+c）的乘积，这种因式分解的方法，叫做提取公因式法。
例题：
（1）用提取公因式法分解因式
① ②
③
（2）用简便方法计算
① ②13.7×9＋13.7×11－1.37×20
③
练习：
（1）如果，那么m的值为 。
（2）分解因式：
（3）当，求的值。
（4）公式法：将乘法公式反过来用，对多项式进行因式分解的，这种因式分解的方法成为公式法。
例题1：
（1）用平方差公式分解因式
① ②
（2）用简便方法计算
① ② 9.9×10.1
练习1：
（1）分解因式
① ②
（2）计算：
例题2：
（1）用完全平方公式分解因式
① ②
（2）用简便方法计算：
① ②
练习2：
（1）分解因式
① ②
（2）已知a,b,c是△ABC的三条边，①判断的值的正负。②若a,b,c满足，判断△ABC的形状。
（5）十字相乘法：
=（a、b是常数）
例题：因式分解
① ② ③
第14章勾股定理
1．对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
例题：
（1）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A、25 B、14 C、7 D、7或25
（2）直角三角形一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt△的周长为（ ）
A、121 B、120 C、132 D、不能确定
（3）在Rt△ABC中，∠C=90°
①若a=5，b=12，则c=___________；
②若a=15，c=25，则b=___________；
③若c=61，b=60，则a=__________；
④若a∶b=3∶4，c=10则Rt△ABC的面积是=________。
练习：
（1）如果直角三角形的两直角边长分别为，2n（n>1），那么它的斜边长是（ ）
A、2n B、n+1 C、n2－1 D、
（2）已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（ ）
A、24 B、36 C、48 D、60
（3）等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（ ）
A、56 B、48 C、40 D、32
（4）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。
作业：
（1）已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）
A、6 B、8 C、10 D、12
（2）在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_________________________米。
2．直角三角形的判定：如果三角形的三边长a,b,c有关系，，那么这个三角形是直角三角形。
例题：
（1）已知两条线段的长为5cm和12cm，当第三条线段的长为 cm时，这三条线段能组成一个直角三角形。
（2）若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为（ ）
A、2∶3∶4 B、3∶4∶6 C、5∶12∶13 D、4∶6∶7
（3）三角形的三边长为，则这个三角形是( )
A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C.直角三角形; D. 锐角三角形
练习：
（1）已知两条线段的长为5cm和12cm,当第三条线段的长为 cm时,这三条线段能组成一个直角三角形。
（2）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。
(
A
B
C
D
7cm
)
3．勾股定理的应用
（1）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。
(
C
D
A
B
)（2） 已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且
∠A=90°，求四边形ABCD的面积。
(
A
B
C
D
)
（3）已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAD=∠BAD，CD=1.5,BD=2.5,求AC的长。
（4）已知，△ABC中，AB=17cm，BC=16cm，BC边上的中线AD=15cm，试说明△ABC是等腰三角形。
（5）如图，在△ABC中，AB=AC，P为BC上任意一点，请用学过的知识说明：。
第15章 平移与旋转
1．平移：图形的平行移动，简称为平移。它由移动的方向和距离所决定。
如下图：把点A与点叫做对应点，把线段AB与线段叫做对应线段，∠A与叫做对应角。△ABC平移的方向就是由点B到点的方向，平移的距离就是线段的长度。
2．平移的特征
（1）平移后的图形与原来的图形的对应线段平行并且相等，图形的形状与大小都没有发生变化。
【注】在平移过程中，对应线段也可能在一条直线上。
（2）平移后对应点所连的线段平行并且相等。
【注】在平移过程中，对应点所连的线段也可能在一条直线上。
例题：
（1）△ABC是△FDE平移得到（如图）
点B的对应点是点 ；
点C的对应点是点 ；
线段AC的对应线段是线段 ；
线段ＢＣ的对应线段是线段 ；
∠B的对应角是 ；
∠C的对应角是 ．
△ＡＢＣ平移的方向是 ，平移的距离是 。
（2）如图所示，线段AB是线段CD通过平移得到的，线段CD长为3.5cm，则线段AB的长为__________cm
（3）如图所示,△ABC平移后得到△DEF,已知∠B=35°,∠A=85°,则∠DFK=( )
A.60° B.35° C.120° D.85°
（4）平移方格纸中的图形(如图)，使点A平移到点A′处，画出平移后的图形．
练习：
如图所示，在△ABC中，∠C=，AC=BC=4，现将△ABC沿CB方向平移到△的位置。
①若平移的距离为3，△ABC与△重叠部分的面积为 。
②若平移的距离为x（0≤x≤4），△ABC与△重叠部分的面积为y，试写出y与x的关系式。
A
D
B C
3.旋转 平面内某一个或几个基本的图形绕一个定点沿某一个方向（顺时针或逆时针）转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫做旋转中心，这个角度叫做旋转角。显然，旋转中心在旋转过程中保持不动，图形的旋转由旋转中心、旋转的角度、旋转的方向所决定。
4．旋转的特征
（1）图形中每一点都绕着旋转中心按同一旋转方向旋转同样大小的角度。
（2）对应点到旋转中心距离相等。对应线段相等，对应角相等。
（3）图形的形状与大小都没有发生变化。
例题：
（1）△ADE是由△ABC旋转而得（如图）
点B的对应点是点 ；
线段AB的对应线段是线段 ；
线段ＡＢ的对应线段是线段 ；
∠A的对应角是 ；
∠B的对应角是 ；
旋转中心是点 ；
旋转的角度是 ．
（2）在平移和旋转变换下,图形的_____不变,______不变。
（3）要确定一个图形旋转后的位置, 除需要此图形原来的位置以及需要知道旋转中心外，还需要知道 ______ 和 ______。
(
．
O
)（4）等边三角形ABC,D、E、F都是三边的中点,则△ADE绕______ 点旋转___度,可得到△DBF。
（5）作出“三角旗”绕O点按逆时针旋转90°后的图案．
练习：
（1）画出四边形绕点O逆时针旋转90°后的图形．
（2）如图，四边形ＡＢCD是正方形，△ADE经顺时针旋转后与△ＡＢF重合．
①旋转中心是哪一点
②旋转了多少度
③ 如果连结EF，那么△AEF是怎样的三角形 试说明理由.
5．旋转对称图形
如果一个图形绕着某一定点旋转一定角度后能与自身重合，那么这种图形就叫做旋转对称图形，其中的定点叫做旋转对称图形的旋转中心。
例题：
（1）如图所示的图案绕旋转中心旋转后能够与自身重合，那么它的旋转角可能是（ ）。
A、60° B、90° C、72° D、120°
（2）如图所示，下图可以看作是一个菱形通过几次旋转得到的，每次可能旋转（ ）。
A、30° B、60° C、90° D、150°
练习：
（1）要使正十二边形旋转后与自身重合,至少应将它绕中心旋转的度数为( )
A.75° B.60° C.45° D.30°
（2）下列汽车标志中，是旋转对称图形但不是轴对称图形的有（ ）个。
A 2 B 3 C 4 D 5
作业：
如图：
①找出图中的一个“基本图案”并涂上阴影
②由“基本图形”绕点O旋转 度， 度， 度， 度，才能依次得到其他四个图案，从而得到全图。
③按逆时针旋转和按顺时针旋转的效果一样吗？
6．中心对称
（1）在平面内，一个图形绕着中心点旋转后，与自身重合，我们把这种图形叫做中心对称图形。这个中心点叫做对称中心。
【注】中心对称图形是旋转角度为的旋转对称图形。
（2）把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够和另一个图形重合，那么，我们就说这两个图形成中心对称。，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点，叫做关于中心的对称点。
7．中心对称的特征
（1）在成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分。反过来，如果两个图形的所有对称点连成的的线段都经过某一点，并且都被该点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称。
（2）在成中心对称的两个图形中，对应线段平行且相等或在同一条直线上且相等，对应角相等。
例题：
（1）从一副扑克牌中抽出梅花 2 ～10 共 9 张扑克牌，其中是中心对称图形的共有( )
A . 3 张 B . 4 张 C . 5 张 D . 6 张
（2）下列说法中不正确的是( )
A ．中心对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个图形
B ．中心对称图形是指一个具有特殊形状的图形，只对一个图形而言
C ．如果把两个成中心对称的图形拼在一起,看成一个整体,那么它就是一个中心对称图形
D ．中心对称就是中心对称图形的简称
（3）下列图形中，是中心对称图形的是( )
A B C D
练习：
（1）如图所示， △OA B 绕点O旋转 180°得到 △OCD ，连结 AD 、 BC ，得到四边形ABCD ，则 AB________CD （填位置关系）；与 △AOD成中心对称的是__________由此可得到 AD______ BC（填位置关系）．
（2）正方形既是_________图形，又是_____________图形，它有_____________条对称轴，对称中心是_____________________。
（3）如图所示，是跷跷板图，AO和BO等长，横板AB通过点O，且可以绕O点上下转动，如果∠OCA=90°，∠CAO= 25° ，问小孩玩跷跷板时上下最多可以转动多少度？
作业：
（1）在下列图形中，是中心对称图形的是( )
A B C D
（2）有一块长方形土地 ABCD ,其中有一口井，现将土地分给甲乙两户承包种植蔬菜，若使两家公平合理，你想怎样帮他们分呢？
（3）现实生活中有很多图形中都有圆的影子，它们看上去非常漂亮，这是因为圆不仅是轴对称图形，还是中心对称图形。
① 图中的三个图形中是轴对称图形的有__________，是中心对称图形的有_________（分别用a, b , c 填空）;
②在下图的两个圆中，按要求分别画出与上图中不重复的图案 ；
a ．是轴对称图形但不是中心对称图形；
b ．既是轴对称图形又是中心对称图形．
8．图形的全等
（1）能够完全重合的两个图形叫做全等图形。
（2）一个图形经过翻折、平移和旋转等变换所得到的新图形一定与原图形全等；反过来，两个全等的图形经过上述变换后一定能够互相重合。
（3）全等多边形经过变换而重合，互相重合的顶点叫做对应顶点。相互重合的边叫做对应边。相互重合的角叫做对应角。
（4）符号“≌”表示全等，读作“全等于”
（5）全等多边形的性质
全等多边形的对应边相等，对应角相等。
（6）判断全等多边形全等的方法
边、角分别对应相等的两个多边形全等。
（7）全等三角形对应边相等，对应角相等。
（8）如果两个三角形的边、角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
例题：
（1）如图，△ABD≌△ACE，AE=3cm，AC=5cm，则CD=___________cm.
(1题图)
（2）若两个图形全等，则其中一个图形可通过平移、__________或__________与另一个三角形完全重合。
（3）如图,△ABC≌△,∠C=25°,BC=6cm,AC=4cm ,你能得出△中哪些角的大小,哪些边的长度
练习：
（1）沿着图中的虚线，分别把下面的图形划分为两个全等图形(至少找出两种方法)。
（2）如图，一栅栏顶部是由全等三角形组成的，其中AC=0.2m，BC=2AC，求BD的长。
作业：
（1）如图△ABC≌△AEC，∠B=,,求出△AEC个内角的度数
（2）如图，做四个全等的小“L”型纸片，将它们拼成一个与大“L”全等的图案。
第16章 平行四边形的认识
1．平行四边形：有两组对边分别平行的四边形。
平行四边形ABCD可以记作□ABCD。
2．平行四边形的性质
（1）平行四边形两组对边分别平行。
（2）平行四边形对边相等，对角相等。
（3）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线交点。
（4）平行四边形对角线互相平分。
（5）平行线之间的距离处处相等。
【注】两条直线平行，其中一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线间的距离。
例题：
（1）平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O（如图），则图中全等三角形的对数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
（2）在四边形ABCD中，当∠A：∠B：∠C：∠D = 时，ABCD是平行四边形.（ ）
A、1:2:3:4 B、2:2:3:3 C、2:3:3:2 D、2:3:2:3
（3）在□ABCD中，∠A = 2∠B，则∠C = 度.
（4）不能判定四边形ABCD是平行四边形的是 .（ ）
A、AB = CD，AD = BC B、AB∥CD，AB = CD
C、AD∥BC，AB = CD D、AB∥CD，AD∥BC
（5）□ABCD的周长为20，AB－BC = 2，则 CD = 。
（6）□ABCD的对角线AC、BD交于O，若△AOB的面积为 3 ，则□ABCD的面积是
练习：
（1）在□ABCD中，E、F是对角线AC上两点，且AE=CF，四边形DEBF是平行四边形吗？请说明理由．
（2）如图，□ABCD中，E、F分别在BA、DC的延长线上，且AE=AB，CF=CD，AF和CE的关系如何？请说明理由.
作业：
如图，在□ABCD的各边AB、BC、CD、DA上，分别取点K、L、M、N，使AK=CM、BL=DN，则四边形KLMN为平行四边形吗？说明理由.
3．矩形
（1）有一个角为直角的平行四边形。
（2）矩形特有的性质
1）矩形的四个角都是直角。
2）矩形的对角线相等且互相平分。
3）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形。
例题：
（1）矩形的面积为12cm2，一条边长为3cm，则矩形的对角线长为_______。
（2）如图，周长为68的矩形ABCD被分成了7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（ ）
A．98 B．196 C．280 D．284
练习：
（1）矩形的一条边为4cm，一条对角线为5cm，则它的面积为 cm2.
（2）如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠ADE∶∠EDC=3∶2，则∠BDE= 。
（3）在矩形ABCD中，相邻两边AB与BC分别长为15厘米和25厘米，内角∠BAD的角平分线与边BC交于点E，试求BE与CE的长度。
作业：
（1）矩形ABCD沿AE折叠，点D落在BC边的F处，如果∠BAF=60 ，求∠DAE的度数。
（2）如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8，若将矩形折叠，使点B与点D重合，则折痕EF的长为 。
4．菱形
（1）有一组邻边相等的平行四边形。
（2）菱形特有的性质
1）菱形的四条边都相等。
2）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。
3）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形。
例题：
（1）菱形是轴对称图形，对称轴有 。
（2）菱形的边长为5，一条对角线长为8，另一条对角线长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
（3）菱形的周长为40cm，两个相邻内角的度数的比为1：2，则菱形的面积为_______．
（4）已知，菱形ABCD的一条对角线BD恰好与其AB的长相等，求这个菱形各内角的度数。
练习：
（1）菱形ABCD中，对角线 AC = 6，BD = 8，则菱形的边长为 。
（2）如图，AD平分∠A，DE∥AC，DF∥AB，四边形AEDF是菱形吗？请说明你的理由。
（3）如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，E为AD延长线上一点，CF//BE交AD于F，连接BF、CE，求证：四边形BECF是菱形。
作业：
（1）已知，菱形ABCD的边AB长是5，一条对角线AC的长是6，求这个菱形的周长和它的面积。
（2）如图，DE是□ABCD中∠ADC的平分线，EF//AD交DC于F。求证：①四边形AEFD是菱形。②如果∠A=60°，AD=5,求菱形AEFD的面积。
（3）如图，两条等宽的长纸条倾斜地重叠着，试证重叠部分ABCD为菱形。
5．正方形
（1）有一组邻边相等的矩形是正方形。
有一个角是直角的菱形是正方形。
（2）正方形的性质
1）四个角都是直角，四条边都相等。
2）正方形两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
例题：
（1）在下列性质中，平行四边形具有的是__________，矩形具有的是_________，菱形具有的是__________，正方形具有的是____________。
①四边都相等；②对角线互相平分；③对角线相等；④对角线互相垂直；⑤四个角都是直角；⑥每条正方形对角线平分一组对角；⑦有两条对称轴；⑧对边相等且平行。
（2）两条对角线的和为8cm，它的面积为_____
（3）在正方形ABCD中，点E是BC边的中点，若DE=5，则四边形ABED的面积为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
（4）正方形具有而矩形不具有的性质是 （ ）
A、四个角都是直角 B、对角线相等
C、对角线互相平分 D、对角线互相垂直
练习：
（1）在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使EC=AC，连结AE交CD于F，那么∠AFC等于_______；若AB=2，那么△ACE的面积为_______
（2）如图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，BE=CF.①AE与BF相等吗？为什么？②AE与BF是否垂直？说明你的理由。
（3）如图，在正方形ABCD中，取AD、CD边的中点E、F，连接CE、BF交于点G，连接AG。试判断AG与AB是否相等，并说明道理。
作业：
（1）如图：E是ABCD内的一点，如果△ABE为等边三角形，求∠EDC的度数。
（2）①请认真观察图中的规律，并利用这一规律计算：，②请仿照①，再设计一个能求上题的图形。
6．梯形
（1）只有一组对边平行的四边形叫做梯形。两腰相等的梯形叫做等腰梯形。有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。
（2）等腰梯形总可以看成是一个平行四边形与一个三角形的组合。
1）等腰梯形是轴对称图形。只有一条对称轴，一底的垂直平分线。
2）等腰梯形同一底边上的两个内角相等。
3）等腰梯形的两条对角线相等。
例题：
（1）在等腰梯形中，下列结论错误的是（ ）
A．两条对角线相等
B．上底中点到下底两端点的距离相等
C．相邻的两个角相等
D．过上、下底中点的直线是它的对称轴
（2）等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB = CD，∠B = 60°，则∠C = 度．
（3）如下图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC=DC，∠A=45°，DE⊥AB于E，且DE=1，那么梯形ABCD的周长为_______，面积为_______．
练习：
（1）在梯形ABCD中，AD∥BC，则∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可能是（ ）
A 4∶6∶2∶8 B 1∶4∶7∶5
C 4∶2∶8∶6 D 8∶4∶2∶6
（2）在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B+∠C＝90°，E，F分别是AD、BC的中点，求证EF= ﹙BC－AD﹚
作业：
（1）如下图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，△BCD为正三角形，BC=8cm，则梯形ABCD的面积等于_______．
（2）在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24㎝，AB=8㎝,BC=26㎝。动点P从点A开始，沿AD边以1㎝／s的速度向D运动，动点Q从点C开始，沿CB边以3㎝／s的速度向B运动，P、Q分别从A，C同时出发，当其中一个点到达端点时，另一个点也随之运动，设运动时间为t，①t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？②t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？
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第12章 数的开方
1．平方根
（1）如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。
（2）一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
其中正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”，另一个平方根是它的相反数，即。因此，正数a的平方根可以记作。a称为被开方数。
0的平方根只有一个，就是0，记作。
负数没有平方根。
（a）
（3）求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。
例题：
（1）求下列各数的平方根和算术平方根
① 121 ②（－3）2 ③3 ④ ⑤
（2）下列说法正确的是（ ）
①1的平方根是1 ②1是1的平方根 ③的平方根是-1 ④若一个数的平方根等于它的算术平方根，则这个数只能是零 ⑤只有正数才有平方根
（3）解下列方程
① ②
（4）若，则2x+y= 。
练习：
（1）的平方根是 ，16的算术平方根是 。
（2）一个数的平方根等于它的本身，这个数是 。
（3）如果x,y（x≠y）是同一个不为零的数的平方根，那么x+y= 。
（4）若2m+4与3m-1是同一个数的平方根，试求m+3的平方根和算术平方根。
作业：
（1）与是同一个不为零的数的平方根，那么x+y=
（2）若，求的平方根。
2．立方根
（1）如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。
（2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
（3）数a的立方根，记作，读作“三次根号a”，其中a称为被开方数，3称为根指数。
（4）任何数（正数、负数、0）都有立方根，并且只有一个。
正数有一个正的立方根。
负数有一个负的立方根。
0的立方根是0。
例题：
（1）求下列各数的立方根：
①－ ②0.064 ③1－ ④ ⑤
（2）下列说法正确的是（ ）
① 一个数的立方根有两个，它们互为相反数 ②一个数的立方根的符号与被开方数的符号相同 ③负数没有平方根，也没有立方根 ④若一个数有立方根，则这个数一定有算术平方根
（3）解方程
①
（4）若则= 。
练习：
（1）当ｘ＝－8时，则的值是（ ）
A －8 B －4 C 4 D ±4
（2）若，则x与y的关系是 。
（3）的相反数是 。
（4）立方根等于本身的有 。
作业：
（1）已知：+5＝ｙ，求ｘ+ｙ的立方根。
（2）已知：（ｘ－1）2+＝0，求ｘ+ｙ－ｚ的立方根。
3．无理数 无限不循环小数叫做无理数。
例题：
（1）下列说法中正确的是( )
①带根号的数是无理数 ②不带根号的数不是无理数 ③无限小数是无理数 ④无理数是无限小数 ⑤是分数
（2）下列各数：1.414 ，其中无理数有 个，分别是 。
4．实数 有理数和无理数统称为实数。
5．实数与数轴上的点一一对应。
例题：
（1）比较大小
3 -1.731
（2）数轴上表示1的点到原点的距离是 。
（3）的整数部分是 。
练习：
（1）已知0
（3）估计68的立方根的大小在 （ ）
A）2与3之间 B）3与4之间 C）4与5之间 D）5与6之间
作业：
（1）若x，y都是无理数，且x+y=2，则x,y的值可以是 。
（2）写出一个比0.1小的无理数 。
第13章 整式的乘除
1．幂的运算
（1）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
（m、n为正整数）
例题：
（1）计算
①=
④
⑤
（2）若求的值。
练习：
（1）用简便方法计算
① ②
（2）若，则n= .
作业：
（1），则 。
（2）
(2)幂的乘方
幂的乘方，底数不变，指数相乘。
（m、n为正整数）
例题：
（1）计算
① ②
③ ④
（2）若求的值。
练习：
（1）计算
① ②=
（2）已知n为正整数，且求9的值。
作业：
（1）如果，求n的值。
（2）已知，，求的值。
(3)积的乘方
积的乘方，等于把积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
（n为正整数）
例题：
（1）计算
① ②
③ ④
（2）若求的值。
练习：
（1）计算
①=
②
（2）比较与的大小
作业：
（1）
（2）已知P=,那么=
(4)同底数幂的除法
同底数幂相除，底数不变，指数相减。（m、n为正整数，m>n，a）
例题：
（1）计算
①= ②
③=
④
（2）已知则
练习：
（1）计算
① ②
（2）已知求的值。
作业：
（1）
（2）已知2a-3b-4c=4,求的值。
2.整式的乘法
（1）单项式与单项式相乘 将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。
例题：
（1）计算
① ②
③ （用科学记数法表示）
（2）计算变压器铁芯片的面积。
1.5a
2.5a
a 2a 2a 2a a
练习：
（1）
（2）先化简，在求值
，其中a=-1,b=1,c=-1
作业：
如果单项式与是同类项，那么这两个单项式的积为 。
（2）单项式与多项式相乘 将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。
例题：
（1）计算
① ②
（2）已知，则a= 。
练习：
（1）已知中不含有x的三次项，试确定a的值。
（2）当，求代数式的值。
作业：
（1）解方程：
（2）解不等式：
（3）多项式与多项式相乘 先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
（a+b）(m+n)=am+bm+an+bn
例题：
（1）计算
①（2x-3y）(4x+5y)= ②2(2a-5)()=
（2）化简，并计算当时的值。
（3）如果，那么（a-5）(a-6)= 。
练习：
（1）如果x+q与x+0.2的积中不含有x项，则q的值为 。
（2）若使恒成立，则a= ,b= 。
作业：
已知x=(a+3)(a-4)，y=(2a-5)(a+2)，比较x,y的大小。
3.乘法公式
(1)平方差公式：两数和乘以这两数的差，等于这两个数的平方差。
例题：
（1）计算
①(4x+5y)(4x-5y) ②(-4x-5y)(-4x+5y)
③(m+n+p)(m+n-p) ④ m+n-p)(m-n+p)
⑤ ⑥
（2）用简便方法计算
①103×97 ②
练习：
（1）计算
①
②
③112×108
（2）已知，x+y=6,求的值。
(2)完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）这两数积的2倍。
例题：
（1）计算
① ②
③ ④
（2）用简便方法计算
① ②
（3）填空
①
②
③
练习：
（1）
（2）如果是一个完全平方式，那么k= 。
（3）已知，则。
（4）已知，则
（5）已知则
作业：
已知a,b,c为△ABC的三边，试确定的符号。
4．整式的除法
（1）单项式除以单项式 把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
例题：
（1）计算
① ②
③ ④
（2）化简
（3）已知有四个单项式：，请你用加减乘除四种运算中的一种或几种，使它们的结果为，请你写出算式。
（2）多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
例题：
（1）计算
① ②
③
（2）化简求值
，其中x=3,y=1.5。
练习：
（1）若多项式M与的乘积为，则M为 。
（2）长方形的面积为，若它的一条边为2x，则它的周长是 。
（3）已知多项式能被整除，且商式为3x+1，求的值。
5．因式分解
例题：
下列各式从左到右属于因式分解的是( )
① am+bm-1=m(a+b)-1 ②
③ ④
⑤
（2）公因式：多项式ma+mb+mc中的每一项都含有一个相同的因式m，我们称之为公因式。
例题：
找出的公因式。
（3）提取公因式法：把公因式提出来，多项式ma+mb+mc就可以分解成两个因式m和（a+b+c）的乘积，这种因式分解的方法，叫做提取公因式法。
例题：
（1）用提取公因式法分解因式
① ②
③
（2）用简便方法计算
① ②13.7×9＋13.7×11－1.37×20
③
练习：
（1）如果，那么m的值为 。
（2）分解因式：
（3）当，求的值。
（4）公式法：将乘法公式反过来用，对多项式进行因式分解的，这种因式分解的方法成为公式法。
例题1：
（1）用平方差公式分解因式
① ②
（2）用简便方法计算
① ② 9.9×10.1
练习1：
（1）分解因式
① ②
（2）计算：
例题2：
（1）用完全平方公式分解因式
① ②
（2）用简便方法计算：
① ②
练习2：
（1）分解因式
① ②
（2）已知a,b,c是△ABC的三条边，①判断的值的正负。②若a,b,c满足，判断△ABC的形状。
（5）十字相乘法：
=（a、b是常数）
例题：因式分解
① ② ③
第14章勾股定理
1．对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
例题：
（1）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A、25 B、14 C、7 D、7或25
（2）直角三角形一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt△的周长为（ ）
A、121 B、120 C、132 D、不能确定
（3）在Rt△ABC中，∠C=90°
①若a=5，b=12，则c=___________；
②若a=15，c=25，则b=___________；
③若c=61，b=60，则a=__________；
④若a∶b=3∶4，c=10则Rt△ABC的面积是=________。
练习：
（1）如果直角三角形的两直角边长分别为，2n（n>1），那么它的斜边长是（ ）
A、2n B、n+1 C、n2－1 D、
（2）已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（ ）
A、24 B、36 C、48 D、60
（3）等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（ ）
A、56 B、48 C、40 D、32
（4）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。
作业：
（1）已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）
A、6 B、8 C、10 D、12
（2）在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_________________________米。
2．直角三角形的判定：如果三角形的三边长a,b,c有关系，，那么这个三角形是直角三角形。
例题：
（1）已知两条线段的长为5cm和12cm，当第三条线段的长为 cm时，这三条线段能组成一个直角三角形。
（2）若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为（ ）
A、2∶3∶4 B、3∶4∶6 C、5∶12∶13 D、4∶6∶7
（3）三角形的三边长为，则这个三角形是( )
A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C.直角三角形; D. 锐角三角形
练习：
（1）已知两条线段的长为5cm和12cm,当第三条线段的长为 cm时,这三条线段能组成一个直角三角形。
（2）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。
(
A
B
C
D
7cm
)
3．勾股定理的应用
（1）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。
(
C
D
A
B
)（2） 已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且
∠A=90°，求四边形ABCD的面积。
(
A
B
C
D
)
（3）已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAD=∠BAD，CD=1.5,BD=2.5,求AC的长。
（4）已知，△ABC中，AB=17cm，BC=16cm，BC边上的中线AD=15cm，试说明△ABC是等腰三角形。
（5）如图，在△ABC中，AB=AC，P为BC上任意一点，请用学过的知识说明：。
第15章 平移与旋转
1．平移：图形的平行移动，简称为平移。它由移动的方向和距离所决定。
如下图：把点A与点叫做对应点，把线段AB与线段叫做对应线段，∠A与叫做对应角。△ABC平移的方向就是由点B到点的方向，平移的距离就是线段的长度。
2．平移的特征
（1）平移后的图形与原来的图形的对应线段平行并且相等，图形的形状与大小都没有发生变化。
【注】在平移过程中，对应线段也可能在一条直线上。
（2）平移后对应点所连的线段平行并且相等。
【注】在平移过程中，对应点所连的线段也可能在一条直线上。
例题：
（1）△ABC是△FDE平移得到（如图）
点B的对应点是点 ；
点C的对应点是点 ；
线段AC的对应线段是线段 ；
线段ＢＣ的对应线段是线段 ；
∠B的对应角是 ；
∠C的对应角是 ．
△ＡＢＣ平移的方向是 ，平移的距离是 。
（2）如图所示，线段AB是线段CD通过平移得到的，线段CD长为3.5cm，则线段AB的长为__________cm
（3）如图所示,△ABC平移后得到△DEF,已知∠B=35°,∠A=85°,则∠DFK=( )
A.60° B.35° C.120° D.85°
（4）平移方格纸中的图形(如图)，使点A平移到点A′处，画出平移后的图形．
练习：
如图所示，在△ABC中，∠C=，AC=BC=4，现将△ABC沿CB方向平移到△的位置。
①若平移的距离为3，△ABC与△重叠部分的面积为 。
②若平移的距离为x（0≤x≤4），△ABC与△重叠部分的面积为y，试写出y与x的关系式。
A
D
B C
3.旋转 平面内某一个或几个基本的图形绕一个定点沿某一个方向（顺时针或逆时针）转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫做旋转中心，这个角度叫做旋转角。显然，旋转中心在旋转过程中保持不动，图形的旋转由旋转中心、旋转的角度、旋转的方向所决定。
4．旋转的特征
（1）图形中每一点都绕着旋转中心按同一旋转方向旋转同样大小的角度。
（2）对应点到旋转中心距离相等。对应线段相等，对应角相等。
（3）图形的形状与大小都没有发生变化。
例题：
（1）△ADE是由△ABC旋转而得（如图）
点B的对应点是点 ；
线段AB的对应线段是线段 ；
线段ＡＢ的对应线段是线段 ；
∠A的对应角是 ；
∠B的对应角是 ；
旋转中心是点 ；
旋转的角度是 ．
（2）在平移和旋转变换下,图形的_____不变,______不变。
（3）要确定一个图形旋转后的位置, 除需要此图形原来的位置以及需要知道旋转中心外，还需要知道 ______ 和 ______。
(
．
O
)（4）等边三角形ABC,D、E、F都是三边的中点,则△ADE绕______ 点旋转___度,可得到△DBF。
（5）作出“三角旗”绕O点按逆时针旋转90°后的图案．
练习：
（1）画出四边形绕点O逆时针旋转90°后的图形．
（2）如图，四边形ＡＢCD是正方形，△ADE经顺时针旋转后与△ＡＢF重合．
①旋转中心是哪一点
②旋转了多少度
③ 如果连结EF，那么△AEF是怎样的三角形 试说明理由.
5．旋转对称图形
如果一个图形绕着某一定点旋转一定角度后能与自身重合，那么这种图形就叫做旋转对称图形，其中的定点叫做旋转对称图形的旋转中心。
例题：
（1）如图所示的图案绕旋转中心旋转后能够与自身重合，那么它的旋转角可能是（ ）。
A、60° B、90° C、72° D、120°
（2）如图所示，下图可以看作是一个菱形通过几次旋转得到的，每次可能旋转（ ）。
A、30° B、60° C、90° D、150°
练习：
（1）要使正十二边形旋转后与自身重合,至少应将它绕中心旋转的度数为( )
A.75° B.60° C.45° D.30°
（2）下列汽车标志中，是旋转对称图形但不是轴对称图形的有（ ）个。
A 2 B 3 C 4 D 5
作业：
如图：
①找出图中的一个“基本图案”并涂上阴影
②由“基本图形”绕点O旋转 度， 度， 度， 度，才能依次得到其他四个图案，从而得到全图。
③按逆时针旋转和按顺时针旋转的效果一样吗？
6．中心对称
（1）在平面内，一个图形绕着中心点旋转后，与自身重合，我们把这种图形叫做中心对称图形。这个中心点叫做对称中心。
【注】中心对称图形是旋转角度为的旋转对称图形。
（2）把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够和另一个图形重合，那么，我们就说这两个图形成中心对称。，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点，叫做关于中心的对称点。
7．中心对称的特征
（1）在成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分。反过来，如果两个图形的所有对称点连成的的线段都经过某一点，并且都被该点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称。
（2）在成中心对称的两个图形中，对应线段平行且相等或在同一条直线上且相等，对应角相等。
例题：
（1）从一副扑克牌中抽出梅花 2 ～10 共 9 张扑克牌，其中是中心对称图形的共有( )
A . 3 张 B . 4 张 C . 5 张 D . 6 张
（2）下列说法中不正确的是( )
A ．中心对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个图形
B ．中心对称图形是指一个具有特殊形状的图形，只对一个图形而言
C ．如果把两个成中心对称的图形拼在一起,看成一个整体,那么它就是一个中心对称图形
D ．中心对称就是中心对称图形的简称
（3）下列图形中，是中心对称图形的是( )
A B C D
练习：
（1）如图所示， △OA B 绕点O旋转 180°得到 △OCD ，连结 AD 、 BC ，得到四边形ABCD ，则 AB________CD （填位置关系）；与 △AOD成中心对称的是__________由此可得到 AD______ BC（填位置关系）．
（2）正方形既是_________图形，又是_____________图形，它有_____________条对称轴，对称中心是_____________________。
（3）如图所示，是跷跷板图，AO和BO等长，横板AB通过点O，且可以绕O点上下转动，如果∠OCA=90°，∠CAO= 25° ，问小孩玩跷跷板时上下最多可以转动多少度？
作业：
（1）在下列图形中，是中心对称图形的是( )
A B C D
（2）有一块长方形土地 ABCD ,其中有一口井，现将土地分给甲乙两户承包种植蔬菜，若使两家公平合理，你想怎样帮他们分呢？
（3）现实生活中有很多图形中都有圆的影子，它们看上去非常漂亮，这是因为圆不仅是轴对称图形，还是中心对称图形。
① 图中的三个图形中是轴对称图形的有__________，是中心对称图形的有_________（分别用a, b , c 填空）;
②在下图的两个圆中，按要求分别画出与上图中不重复的图案 ；
a ．是轴对称图形但不是中心对称图形；
b ．既是轴对称图形又是中心对称图形．
8．图形的全等
（1）能够完全重合的两个图形叫做全等图形。
（2）一个图形经过翻折、平移和旋转等变换所得到的新图形一定与原图形全等；反过来，两个全等的图形经过上述变换后一定能够互相重合。
（3）全等多边形经过变换而重合，互相重合的顶点叫做对应顶点。相互重合的边叫做对应边。相互重合的角叫做对应角。
（4）符号“≌”表示全等，读作“全等于”
（5）全等多边形的性质
全等多边形的对应边相等，对应角相等。
（6）判断全等多边形全等的方法
边、角分别对应相等的两个多边形全等。
（7）全等三角形对应边相等，对应角相等。
（8）如果两个三角形的边、角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
例题：
（1）如图，△ABD≌△ACE，AE=3cm，AC=5cm，则CD=___________cm.
(1题图)
（2）若两个图形全等，则其中一个图形可通过平移、__________或__________与另一个三角形完全重合。
（3）如图,△ABC≌△,∠C=25°,BC=6cm,AC=4cm ,你能得出△中哪些角的大小,哪些边的长度
练习：
（1）沿着图中的虚线，分别把下面的图形划分为两个全等图形(至少找出两种方法)。
（2）如图，一栅栏顶部是由全等三角形组成的，其中AC=0.2m，BC=2AC，求BD的长。
作业：
（1）如图△ABC≌△AEC，∠B=,,求出△AEC个内角的度数
（2）如图，做四个全等的小“L”型纸片，将它们拼成一个与大“L”全等的图案。
第16章 平行四边形的认识
1．平行四边形：有两组对边分别平行的四边形。
平行四边形ABCD可以记作□ABCD。
2．平行四边形的性质
（1）平行四边形两组对边分别平行。
（2）平行四边形对边相等，对角相等。
（3）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线交点。
（4）平行四边形对角线互相平分。
（5）平行线之间的距离处处相等。
【注】两条直线平行，其中一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线间的距离。
例题：
（1）平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O（如图），则图中全等三角形的对数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
（2）在四边形ABCD中，当∠A：∠B：∠C：∠D = 时，ABCD是平行四边形.（ ）
A、1:2:3:4 B、2:2:3:3 C、2:3:3:2 D、2:3:2:3
（3）在□ABCD中，∠A = 2∠B，则∠C = 度.
（4）不能判定四边形ABCD是平行四边形的是 .（ ）
A、AB = CD，AD = BC B、AB∥CD，AB = CD
C、AD∥BC，AB = CD D、AB∥CD，AD∥BC
（5）□ABCD的周长为20，AB－BC = 2，则 CD = 。
（6）□ABCD的对角线AC、BD交于O，若△AOB的面积为 3 ，则□ABCD的面积是
练习：
（1）在□ABCD中，E、F是对角线AC上两点，且AE=CF，四边形DEBF是平行四边形吗？请说明理由．
（2）如图，□ABCD中，E、F分别在BA、DC的延长线上，且AE=AB，CF=CD，AF和CE的关系如何？请说明理由.
作业：
如图，在□ABCD的各边AB、BC、CD、DA上，分别取点K、L、M、N，使AK=CM、BL=DN，则四边形KLMN为平行四边形吗？说明理由.
3．矩形
（1）有一个角为直角的平行四边形。
（2）矩形特有的性质
1）矩形的四个角都是直角。
2）矩形的对角线相等且互相平分。
3）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形。
例题：
（1）矩形的面积为12cm2，一条边长为3cm，则矩形的对角线长为_______。
（2）如图，周长为68的矩形ABCD被分成了7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（ ）
A．98 B．196 C．280 D．284
练习：
（1）矩形的一条边为4cm，一条对角线为5cm，则它的面积为 cm2.
（2）如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠ADE∶∠EDC=3∶2，则∠BDE= 。
（3）在矩形ABCD中，相邻两边AB与BC分别长为15厘米和25厘米，内角∠BAD的角平分线与边BC交于点E，试求BE与CE的长度。
作业：
（1）矩形ABCD沿AE折叠，点D落在BC边的F处，如果∠BAF=60 ，求∠DAE的度数。
（2）如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8，若将矩形折叠，使点B与点D重合，则折痕EF的长为 。
4．菱形
（1）有一组邻边相等的平行四边形。
（2）菱形特有的性质
1）菱形的四条边都相等。
2）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。
3）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形。
例题：
（1）菱形是轴对称图形，对称轴有 。
（2）菱形的边长为5，一条对角线长为8，另一条对角线长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
（3）菱形的周长为40cm，两个相邻内角的度数的比为1：2，则菱形的面积为_______．
（4）已知，菱形ABCD的一条对角线BD恰好与其AB的长相等，求这个菱形各内角的度数。
练习：
（1）菱形ABCD中，对角线 AC = 6，BD = 8，则菱形的边长为 。
（2）如图，AD平分∠A，DE∥AC，DF∥AB，四边形AEDF是菱形吗？请说明你的理由。
（3）如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，E为AD延长线上一点，CF//BE交AD于F，连接BF、CE，求证：四边形BECF是菱形。
作业：
（1）已知，菱形ABCD的边AB长是5，一条对角线AC的长是6，求这个菱形的周长和它的面积。
（2）如图，DE是□ABCD中∠ADC的平分线，EF//AD交DC于F。求证：①四边形AEFD是菱形。②如果∠A=60°，AD=5,求菱形AEFD的面积。
（3）如图，两条等宽的长纸条倾斜地重叠着，试证重叠部分ABCD为菱形。
5．正方形
（1）有一组邻边相等的矩形是正方形。
有一个角是直角的菱形是正方形。
（2）正方形的性质
1）四个角都是直角，四条边都相等。
2）正方形两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
例题：
（1）在下列性质中，平行四边形具有的是__________，矩形具有的是_________，菱形具有的是__________，正方形具有的是____________。
①四边都相等；②对角线互相平分；③对角线相等；④对角线互相垂直；⑤四个角都是直角；⑥每条正方形对角线平分一组对角；⑦有两条对称轴；⑧对边相等且平行。
（2）两条对角线的和为8cm，它的面积为_____
（3）在正方形ABCD中，点E是BC边的中点，若DE=5，则四边形ABED的面积为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
（4）正方形具有而矩形不具有的性质是 （ ）
A、四个角都是直角 B、对角线相等
C、对角线互相平分 D、对角线互相垂直
练习：
（1）在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使EC=AC，连结AE交CD于F，那么∠AFC等于_______；若AB=2，那么△ACE的面积为_______
（2）如图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，BE=CF.①AE与BF相等吗？为什么？②AE与BF是否垂直？说明你的理由。
（3）如图，在正方形ABCD中，取AD、CD边的中点E、F，连接CE、BF交于点G，连接AG。试判断AG与AB是否相等，并说明道理。
作业：
（1）如图：E是ABCD内的一点，如果△ABE为等边三角形，求∠EDC的度数。
（2）①请认真观察图中的规律，并利用这一规律计算：，②请仿照①，再设计一个能求上题的图形。
6．梯形
（1）只有一组对边平行的四边形叫做梯形。两腰相等的梯形叫做等腰梯形。有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。
（2）等腰梯形总可以看成是一个平行四边形与一个三角形的组合。
1）等腰梯形是轴对称图形。只有一条对称轴，一底的垂直平分线。
2）等腰梯形同一底边上的两个内角相等。
3）等腰梯形的两条对角线相等。
例题：
（1）在等腰梯形中，下列结论错误的是（ ）
A．两条对角线相等
B．上底中点到下底两端点的距离相等
C．相邻的两个角相等
D．过上、下底中点的直线是它的对称轴
（2）等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB = CD，∠B = 60°，则∠C = 度．
（3）如下图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC=DC，∠A=45°，DE⊥AB于E，且DE=1，那么梯形ABCD的周长为_______，面积为_______．
练习：
（1）在梯形ABCD中，AD∥BC，则∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可能是（ ）
A 4∶6∶2∶8 B 1∶4∶7∶5
C 4∶2∶8∶6 D 8∶4∶2∶6
（2）在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B+∠C＝90°，E，F分别是AD、BC的中点，求证EF= ﹙BC－AD﹚
作业：
（1）如下图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，△BCD为正三角形，BC=8cm，则梯形ABCD的面积等于_______．
（2）在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24㎝，AB=8㎝,BC=26㎝。动点P从点A开始，沿AD边以1㎝／s的速度向D运动，动点Q从点C开始，沿CB边以3㎝／s的速度向B运动，P、Q分别从A，C同时出发，当其中一个点到达端点时，另一个点也随之运动，设运动时间为t，①t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？②t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？
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