一元一次方程

一、课题 §5.2一元一次方程的应用（1）
二、教学目标
1．使学生初步掌握一元一次方程解简单应用题的方法和步骤；并会列出一元一次方程解简单的应用题；
2．培养学生观察能力，提高他们分析问题和解决问题的能力；
3．使学生初步养成正确思考问题的良好习惯．
三、教学重点和难点
一元一次方程解简单的应用题的方法和步骤．
四、教学手段
引导——活动——讨论
五、教学方法
启发式教学
六、教学过程
（一）、从学生原有的认知结构提出问题
在小学算术中，我们学习了用算术方法解决实际问题的有关知识，那么，一个实际问题能否应用一元一次方程来解决呢？若能解决，怎样解？用一元一次方程解应用题与用算术方法解应用题相比较，它有什么优越性呢？
为了回答上述这几个问题，我们来看下面这个例题．
例1 某数的3倍减2等于某数与4的和，求某数．
(首先，用算术方法解，由学生回答，教师板书)
解法1：(4+2)÷(3-1)=3．
答：某数为3．
(其次，用代数方法来解，教师引导，学生口述完成)
解法2：设某数为x，则有3x-2=x+4．
解之，得x=3．
答：某数为3．
纵观例1的这两种解法，很明显，算术方法不易思考，而应用设未知数，列出方程并通过解方程求得应用题的解的方法，有一种化难为易之感，这就是我们学习运用一元一次方程解应用题的目的之一．
我们知道方程是一个含有未知数的等式，而等式表示了一个相等关系．因此对于任何一个应用题中提供的条件，应首先从中找出一个相等关系，然后再将这个相等关系表示成方程．
本节课，我们就通过实例来说明怎样寻找一个相等的关系和把这个相等关系转化为方程的方法和步骤．
（二）、师生共同分析、研究一元一次方程解简单应用题的方法和步骤
例2 某面粉仓库存放的面粉运出 15％后，还剩余42 500千克，这个仓库原来有多少面粉？
师生共同分析：
1．本题中给出的已知量和未知量各是什么？
2．已知量与未知量之间存在着怎样的相等关系？(原来重量-运出重量=剩余重量)
3．若设原来面粉有x千克，则运出面粉可表示为多少千克？利用上述相等关系，如何布列方程？
上述分析过程可列表如下：
解：设原来有x千克面粉，那么运出了15％x千克，由题意，得
x-15％x=42 500，
所以 x=50 000．
答：原来有 50 000千克面粉．
此时，让学生讨论：本题的相等关系除了上述表达形式以外，是否还有其他表达形式？若有，是什么？
(还有，原来重量=运出重量+剩余重量；原来重量-剩余重量=运出重量)
教师应指出：(1)这两种相等关系的表达形式与“原来重量-运出重量=剩余重量”，虽形式上不同，但实质是一样的，可以任意选择其中的一个相等关系来列方程；
(2)例2的解方程过程较为简捷，同学应注意模仿．
依据例2的分析与解答过程，首先请同学们思考列一元一次方程解应用题的方法和步骤；然后，采取提问的方式，进行反馈；最后，根据学生总结的情况，教师总结如下：
(1)仔细审题，透彻理解题意．即弄清已知量、未知量及其相互关系，并用字母(如x)表示题中的一个合理未知数；
(2)根据题意找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系．(这是关键一步)；
(3)根据相等关系，正确列出方程．即所列的方程应满足两边的量要相等；方程两边的代数式的单位要相同；题中条件应充分利用，不能漏也不能将一个条件重复利用等；
(4)求出所列方程的解；
(5)检验后明确地、完整地写出答案．这里要求的检验应是，检验所求出的解既能使方程成立，又能使应用题有意义．
例3 (投影)初一2班第一小组同学去苹果园参加劳动，休息时工人师傅摘苹果分给同学，若每人3个还剩余9个；若每人5个还有一个人分4个，试问第一小组有多少学生，共摘了多少个苹果？
(仿照例2的分析方法分析本题，如学生在某处感到困难，教师应做适当点拨．解答过程请一名学生板演，教师巡视，及时纠正学生在书写本题时可能出现的各种错误．并严格规范书写格式)
解：设第一小组有x个学生，依题意，得
3x+9=5x-(5-4)，
解这个方程： 2x=10，
所以 x=5．
其苹果数为 3× 5+9=24．
答：第一小组有5名同学，共摘苹果24个．
学生板演后，引导学生探讨此题是否可有其他解法，并列出方程．
（三）、课堂练习
1．买4本练习本与3支铅笔一共用了1.24元，已知铅笔每支0.12元，问练习本每本多少元？
2．我国城乡居民 1988年末的储蓄存款达到 3 802亿元，比 1978年末的储蓄存款的 18倍还多4亿元．求1978年末的储蓄存款．
3．某工厂女工人占全厂总人数的 35％，男工比女工多 252人，求全厂总人数．
（四）、师生共同小结
首先，让学生回答如下问题：
1．本节课学习了哪些内容？
2．列一元一次方程解应用题的方法和步骤是什么？
3．在运用上述方法和步骤时应注意什么？
依据学生的回答情况，教师总结如下：
(1)代数方法的基本步骤是：全面掌握题意；恰当选择变数；找出相等关系；布列方程求解；检验书写答案．其中第三步是关键；
(2)以上步骤同学应在理解的基础上记忆．
七、练习设计
1．买3千克苹果，付出10元，找回3角4分．问每千克苹果多少钱？
2．用76厘米长的铁丝做一个长方形的教具，要使宽是16厘米，那么长是多少厘米？
3．某厂去年10月份生产电视机2 050台，这比前年10月产量的 2倍还多 150台．这家工厂前年10月生产电视机多少台？
4．大箱子装有洗衣粉36千克，把大箱子里的洗衣粉分装在4个同样大小的小箱里，装满后还剩余2千克洗衣粉．求每个小箱子里装有洗衣粉多少千克？
5．把1400奖金分给22名得奖者，一等奖每人200元，二等奖每人50元．求得到一等奖与二等奖的人数．
八、板书设计
§5.2一元一次方程的应用（1）（一）知识回顾 （三）例题解析 （五）课堂小结 例1、例2（二）观察发现 （四）课堂练习 练习设计
九、教学后记
本节课的教学设计侧重讲列方程解应用题的一般步骤，同时使学生初步感受到代数方法的优越性，从而激发学生学习的积极性．
由于本节课是列方程解应用题的第一节课，只要学生能达到解题时步骤完整、格式正确就可以了．因此，本节课所选的例题及练习题中的等量关系均是学生比较熟悉的，易于接受的．
十教学反思
第 4 页 共 4 页一、课题 §5.1一元一次方程（4）
二、教学目标
1．使学生掌握含有以常数为分母的一元一次方程的解法；
2．培养学生观察、分析、归纳及概括的能力，加强他们的运算能力．
三、教学重点和难点
重点：含有以常数为分母的一元一次方程的解法．
难点：正确地去分母．
四、教学手段
引导——活动——讨论
五、教学方法
启发式教学
六、教学过程
（一）、从学生原有的认知结构提出问题
1．什么叫移项？解一元一次方程的移项规律是什么？
2．(投影)解下列方程：(请学生口答)
3．求几个数的最小公倍数的方法是什么？
本节课，我们继续来学习含有以常数为分母的比较复杂的一元一次方程的解法．
（二）、师生共同研究解含有以常数为分母的比较复杂的一元一次方程的方法
在分析本题的解法时，向学生提出如下问题：
(1)怎样才能将它化成上节课中所学的方程的类型？(去分母)
(2)如何去分母？(方程的每一项都乘以分母的最小公倍数)
去分母，得 5y-1=14，
移项，得5y=15，
系数化1，得y=3．
解：(本题应如何去分母？学生答)
去分母，得
4(2x-1)-(10x+1)=3(2x+1)-12，
去括号，得
8x-4-10x-1＝6x+3-12，
移项，得
8x-10x-6x＝3-12+4+1，
合并同类项，得
-8x=-4，
系数化1，得
针对本题的解答过程，应向学生提出如下问题：
(3)为了去分母，方程两边应乘以什么数？
(4)去分母应注意什么？
(以上问题，若学生回答有困难，或不完整，教师应做适当的引导，补充)
(本题的解答过程，应由学生口述，教师板书来完成)
教师启发学生总结解含有以常数为分母的一元一次方程的思路是什么．(利用去分母的方法，将它转化为上一节所学的方程的形式)
（三）、课堂练习
解下列方程：
（四）、师生共同小结
首先，应让学生回答下列问题：
1．本节课学习了什么内容？
2．用什么样的方法将本节所学的新的类型方程转化为上节课我们熟悉类型的方程？
3．为了去分母，方程两边应乘以什么数？这个数是如何选取的？
4．去分母时应注意什么？
结合学生的回答，教师作补充．
去分母时需注意：①所选的乘数是所有的分母的最小公倍数；②用这个最小公倍数去乘方程两边时，不要漏掉等号两边不含字母的“项”；③去掉分母时，分数线也同时去掉，分子上的多项式要用括号括起来．
七、练习设计
解下列方程：
思考题
解关于x的方程：
(1)ax=bx； (2)(a2+1)x=(a2-1)x．
八、教学后记
1．先指出解最简的一元一次方程，在此基础上再逐步提出解较复杂的一元一次方程，把解较复杂的一元一次方程的过程化归成解最简单的一元一次方程的过程，这样提出问题和寻求解题方法比较自然；
2．学生在解一元一次方程时的很多错误，追其根源都是方程ax=b程的求根公式．所以，应先集中讲解一下如何准确、快速的解最简单的一元一次方程．显然它对学生来说并不困难，但仍要求学生进一步重视它，努力把它用准、用熟．
九教学反思
第 2 页 共 2 页一、课题 §5.2一元一次方程的应用（3）
二、教学目标
1．使学生理解并掌握列一元一次方程解相遇问题的根据及方法；
2．进一步提高学生分析问题和解决问题能力．
三、教学重点和难点
重点：列方程解相遇问题．
难点：正确地寻找相遇问题中的相等关系．
四、教学手段
引导——活动——讨论
五、教学方法
启发式教学
六、教学过程
（一）、从学生原有的认知结构提出问题
上小学时，我们学习过行程问题，在行程问题中，行进的速度，行进的时间和在这段时间内所走的路程这三个量之间有什么关系？可能出现几个不同的关系式？
(这里设行进速度为v，行进时间为t，在这段时间内所走的路程为s，
今天学习列方程解行程问题．行程问题类型很多，首先学习比较简单的一种类型——相遇问题．
（二）、师生共同分析相遇问题
例 甲、乙两站的路程为360千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶72千米；一列慢车从甲站开出，每小时行驶48千米．
(1)两列火车同时开出，相向而行，经过多少小时相遇？
(2)快车先开25分钟，两车相向而行，慢车行驶了多少小时两车相遇？
由学生审题并找出已知量、未知量及相等关系．
(1)已知量：甲、乙两站间路程为360千米，
慢车每小时行驶48千米，
快车每小时行驶72千米．
未知量：两列火车同时相向开出，多少小时相遇？
画示意图，直观寻找数量关系．
相等关系：慢车行程+快车行程=两站间的距离．
解：(学生口答，教师板书)
设两车行驶了x小时相遇，则慢车行驶了48x千米，快车行驶了72x千米，根据题意，得
48x+72x=360，
解方程 120 x=360，
x=3．
答：两车行驶了3小时相遇．
而后转化为与(1)问完全相同的情况．画出示意图，寻找数量关系．
解：设慢车行驶x小时两车相遇，则慢车行驶了48x千米，快车先
解这个方程，得 120x+30=360
120x=330
答：慢车行驶了2小时45分钟两车相遇．
（三）、课堂训练
1．由例题的条件引出以下问题．
(1)若慢车早出发1小时，问快车出发后几小时两车相遇，怎样列方程？(由学生回答)
(48x+48+72x=360)
(2)若快车上午9点30分出发，慢车上午11点出发，问几点钟两车相遇？(由学生回答)
(设慢车出发后x小时两车相遇，则
72×1.5+72x+48x=360)
2．要铺设一条650米长的地下管道，由甲、乙两个工程队从两头相向施工，甲队每天铺设48米，乙队每天比甲队多铺设22米，而乙队比甲队晚开工1天，问乙队开工多少天后，两队完成铺路任务的80％？
(设乙队开工x天后，甲已开工(x+1)天，则48(x+1)+(48+22)x=650×80％)
3．A，B两地相距15千米，甲每小时行5千米，乙每小时行4千米，甲、乙两队分别从A，B出发，背向而行，几小时后，两人相距60千米？
(设背向而行x小时后，甲、乙丙人相距60千米，则5x+4x+15=60)
（四）、师生共同小结
在师生共同回顾本节课所学的内容的基础上，教师应强调：
1．相遇问题，列方程依据的等量关系是，相遇时，两车走的距离等于全路程；
2．行程问题一般利用直线型示意图表示各数量之间的关系，以便列出方程．
3．要注意出发的时间，同时时间单位要注意统一，用“时”或“分”均可，但答案要与所问的一致．
七、练习设计
1．甲、乙两站间的路程为284千米．一列慢车从甲站开往乙站，每小时行驶48千米；慢车行驶了1小时后，另有一列快车从乙站开往甲站，每小时行驶70千米．快车行驶了几小时与慢车相遇？
2．甲、乙骑自行车同时从相距65千米的两地相向而行，2小时相遇．甲比乙每小时多骑2.5千米，求乙的时速．
3．甲、乙两架飞机同时从相距750千米的两个机场相向飞行，飞了半小时到达同一中途机场，如果甲机的速度是乙机的速度的1.5倍，求乙机的速度．
4．一列客车长200米，一列货车长280米，在平行的轨道上相向行驶，从相遇到车尾离开经过18秒，客车与货车的速度比是5∶3，问两车每秒各行驶多少米？
(思考题)
一旅客乘坐的火车以每小时40千米的速度前进，他看见迎面来的火车用了3秒时间从他身边驶过．已知迎面而来的火车长75千米，求它的速度．
八、板书设计
§5.2一元一次方程的应用（3）（一）知识回顾 （三）例题解析 （五）课堂小结 例1、例2（二）观察发现 （四）课堂练习 练习设计
九、教学后记
本节课的教学设计侧重讲列方程解应用题的一般步骤，同时使学生初步感受到代数方法的优越性，从而激发学生学习的积极性．
由于本节课是列方程解应用题的第一节课，只要学生能达到解题时步骤完整、格式正确就可以了．因此，本节课所选的例题及练习题中的等量关系均是学生比较熟悉的，易于接受的
十教学反思
第 3 页 共 3 页一、课题 §5.2一元一次方程的应用（5）
二、教学目标
1．使学生掌握解调配问题的方法；
2．通过对本类型题的学习和分析，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力；
3．培养学生养成正确思考、善于思考的良好习惯．
三、教学重点和难点
重点：列方程解调配问题．
难点：搞清调动后的变化情况．
四、教学手段
引导——活动——讨论
五、教学方法
启发式教学
六、教学过程
（一）、从学生原有的认知结构提出问题
(投影)有两个生产队收获粮食．第一生产队共有a人，第二生产队共有b人，为了赶在雨季来临之前，把粮食收获完，上级调拨10人去支援他们收获．现已知调往第一生产队有m人，用代数式表示：①调往第二生产队有多少人？②此时，第一、第二生产队各有多少人？
在学生对上述问题回答的基础上，教师指出，本节课我们来学习列方程解有关调配问题，解此类问题要特别注意的是按着怎样的要求调动的．
（二）、师生共同分析调配问题
例 在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人，现在另调20人去支援，使在甲处的人数为在乙处的人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？
首先，针对本题在分析时可提出如下问题：
从外处共调20人去支援．若设调往甲处的是x人，则调往乙处的是多少人？
其次，针对学生的回答，师生一起讨论列出下列表格
注意 x是调往甲处的人数．
最后，让学生依据上述表格，找出本题中的相等关系．
(调人后甲处人数=调人后乙处人数的2倍)
解：(一名学生口述，教师板演)
设应该调往甲处x人，则调往乙处的人数是(20-x)人．依据题意，得
27+x=2[19+(20-x)]．
解方程
27+x=78-2x，
3x=51，
所以 x=17．
20-x=20-17=3．
答：应调往甲处17人，调往乙处3人．
（三）、课堂练习(只列方程)．
(投影)甲、乙两仓库分别存原料145吨和95吨．
1．甲库调走多少吨，两库库存相等？
2．甲库调给乙库多少吨，两库库存相等？
3．甲库调出多少吨，乙库比甲库多10吨？
4．甲库调给乙库多少吨，甲库比乙库还多10吨？
5．乙库调给甲库多少吨，甲库是乙库的2倍？
6．甲库每天调入5吨，乙库每天调入10吨，多少天后两库的库存相等？
7．甲库每天调出10吨，乙库每天调出5吨，几天后两库库存相等？
8．甲库每天调出5吨，乙库每天调出10吨，几天后甲库是乙库的2倍？
(145-x=95；145-x=95+x；145-x=90-10；145-x=95+x+10；145+x=2(95-x)；145+5x=95+10x；145-10x=95-5x；145-5x=2(95-10x))
(本练习的目的在于使学生注意到调配问题的各种不同情况，进一步明确列方程时要根据调配的情况而定，故一定要注意调配的情况)
（四）、师生共同小结
在师生共同回顾了本节课所讲的内容的基础上，教师指出：调配问题，是根据调配后的关系列方程的，所以要注意怎样调配的，特别要注意一次调走了，还是调到相关的地方去了．
七、练习设计
1．甲队有32人，乙队有28人，如果要使甲队人数是乙队人数的2倍，那么需从乙队抽调多少人到甲队？
2．甲、乙两个水池共存水40吨，甲池注进水4吨，乙池放出水8吨后，两池的水正好相等．两池原来各有水多少吨？
3．甲槽有水34升，乙槽有水18升．现在两槽同时排水，都是平均每分排出2升．多少分钟后，甲槽的水是乙槽的水的3倍？
4．某队有林场108公顷，牧场54公顷．现在要栽培一种新的果树，把一部分牧场改为林场，使牧场面积只占林场面积的20％．改为林场的牧场面积是多少公顷？
5．某渔场的甲仓库存鱼30吨，乙仓库存鱼40吨．要再往这两个仓库运送80吨鱼，使甲仓库的存鱼量为乙仓库的存鱼量的1.5倍．应往甲仓库和乙仓库分别运送多少吨鱼？
八教学反思
第 2 页 共 3 页一、课题 §5.2一元一次方程的应用（2）
二、教学目标
1．提高学生列方程解和、差、倍、半问题的能力，使学生注意所列方程中的单位要统一；
2．培养学生解等积变形问题的能力．
三、教学重点和难点
重点：列方程解等积变形问题．
难点：等积变形问题中找等量关系．
四、教学手段
引导——活动——讨论
五、教学方法
启发式教学
六、教学过程
（一）、从学生原有的认知结构提出问题
1．列方程解应用题的一般步骤是什么？
2．已知甲比乙多5个：
(1)如果乙有a个，则甲有几个？
(2)用等式表示甲、乙间的数量关系．
(甲-5=乙；甲-乙=5；甲=乙+5，三者之中答出一个即可)
教师强调：由此题所列等式可以看到，“多的”应当减才能等于“少的”，或“少的”应当加才等于“多的”．
列方程解应用题，不仅要注意单位在书写方面的要求，而且更要注意方程中的单位是否统一．本节课，学习如何利用一元一次方程来解决有关和、差、倍、半问题及等积变形问题．
（二）、讲授新课
药水原有多少升？
师生共同分析：
1．由学生审题并找出已知量、未知量？
不是一回事．(学生答)
3．让学生找出题中存在的相等关系．
以上问题，若学生在回答时有困难，教师应做适当点拨．
解：(学生口述，教师板书)
设这瓶药水原有x升．
所以 x=12．
答：这瓶药水原有12升．
不是一回事．
例2 某工厂锻造直径为60毫米，高20毫米的圆柱形零件毛坯，需要截取直径40毫米的圆钢多长？
师生共同分析：
这是一个有关体积方面的应用问题．那么圆柱体的体积公式是什么呢？(圆柱体积=底面积×高)
由学生审题并找出题中的已知量、未知量，此时教师要讲授锻造的意义，使学生明确锻造时，虽然钢的长度和底面直径变了，但体积没有变化．然后请学生说出本题中的相等关系．
(圆钢的体积=零件毛坯的体积)
设需要截取的圆钢的长度为x毫米，再分析相等关系的左边和右边，便可得下表．
解：设需要截取的圆钢长度为x毫米．
依题意，得
解方程 400 x=18 000．
所以 x=245．
答：需截取的圆钢的长是45毫米．
(解答过程，学生口述，教师板书)
（三）、课堂练习
1．圆柱(1)的底面直径为10厘米，高为18厘米；圆柱(2)的底面直径为8厘米．已知圆柱(2)的体积是圆柱(1)的体积的1.5倍，求圆柱(2)的高．
2．将内径为200毫米的圆柱形水桶中的满桶水倒入一个内部长、宽、高分别为300毫米、300毫米、80毫米的长方体铁盒，正好倒满，求圆柱形水桶的水高(精确到1毫米．π≈3.14)．
3．某校初一有学生153人，分成甲、乙、丙三个班，乙班比丙班多5人而比甲班少8人，问三个班各有学生多少人？
（四）、师生共同小结
在师生共同回顾本节课所学的内容的基础上，教师指出：
(1)解决和、差、倍、分问题，需注意所列方程两边的单位要统一．这在其它类型题中也会经常遇到；
(2)对于等积变形问题，解决它的关键是明确锻造前后的体积相等，同时要记准求圆柱体的体积公式，不要把直径当成半径．
七、练习设计
1．长方体甲的长、宽、高分别是260毫米，150毫米，325毫米，长方体乙的底面积是130×130毫米2(长、宽都是130毫米)．已知甲的体积是乙的体积的2.5倍，求乙的高．
2．内径为120毫米的圆柱形玻璃杯，和内径为300毫米，内高为32毫米的圆柱形玻璃盘可以盛同样多的水，求玻璃杯的内高．
3．用内径为 90毫米的圆柱形玻璃杯(已装满水)向一个内底面积为 131×131毫米2，内高是81毫米的长方体铁盒倒水，当铁盒装满水时，玻璃杯中水的高度下降多少？
4．某工厂三个车间共 180人，第二车间人数是第一车间人数的3倍还多1人，第三车间人数是第一车间人数的一半还少1人，求三个车间各多少人？
5．有一根铁丝，第一次用去它的一半少1米，第二次用去剩下的一半多1米，结果还剩下2.5米，问这根铁丝原长多少米？
八、板书设计
§5.2一元一次方程的应用（2）（一）知识回顾 （三）例题解析 （五）课堂小结 例1、例2（二）观察发现 （四）课堂练习 练习设计
九、教学后记
本节课的教学设计侧重讲列方程解应用题的一般步骤，同时使学生初步感受到代数方法的优越性，从而激发学生学习的积极性．
由于本节课是列方程解应用题的第一节课，只要学生能达到解题时步骤完整、格式正确就可以了．因此，本节课所选的例题及练习题中的等量关系均是学生比较熟悉的，易于接受的．
十教学反思
第 3 页 共 3 页一、课题 §5.1一元一次方程（5）
二、教学目标
1．加深学生对一元一次方程概念的理解，并总结出解一元一次方程的步骤；
2．培养学生观察、分析、归纳的能力，并提高他们的运算能力．
三、教学重点和难点
解一元一次方程的步骤
四、教学手段
引导——活动——讨论
五、教学方法
启发式教学
六、教学过程
（一）、从学生原有的认知结构提出问题
1．什么叫一元一次方程？其最简形式是什么？
2．什么叫移项？移项时需注意什么？
3．(投影)下列方程的解法对不对？若不对，错在哪里？怎样改正？
(1)解方程2x+1=4x+1．
解：2x+4x=0，
6x=0，
所以 x=0．
解：x+1=3x-1-1，
2x=3，
解：4x+2-x+1=12．
3x=9，
所以 x=3．
(分别让三名学生分别解答本题，其他学生评判，并补充，以求得正确地解答)
然后，教师应指出：一元一次方程的解法基本学习完了，现在对任何形式的一元一次方程都会解了．解一元一次方程的指导思想就是把原方程化为ax=b(a≠0)的形式．为了更迅速地解一元一次方程，下面我们一起来总结一下解一元一次方程的一般步骤．
（二）、师生共同讨论，归纳出解一元一次方程的一般步骤
(学生口述，教师板书)
解：去分母，得
6(x+3)＝22.5x-10(x-7)，
去括号，得
6x+18=22.5x-10x+70，
移项，得
6x-22.5x+10x＝70-18，
合并同类项，得
-6.5x＝52，
系数化1，得
x=-8．
结合上面学生解答的例题，教师应首先让几名学生总结解一元一次方程的步骤；然后教师指出总结的不足之处，并结合投影，给以正确的叙述．
（三）、课堂练习
解下列方程：
(这组练习题的作用在于巩固并加深学生对一元一次方程解法步骤的理解及运用．教学时，可选好、中、差的学生分别在黑板上板演，发动学生改错、评议，以起到一题多用)
（四）、师生共同小结
首先，应让学生思考以下问题，并回答：
1．形式上比较复杂的一元一次方程是怎样求解的？
2．它的解法的主要思路是什么？
3．它的解法的主要步骤是什么？
结合学生的回答，教师应指出：
解一元一次方程的指导思想是把原方程化为ax=b(a≠0)的形式．其解法可分为两大步：一步是化为ax=b的形式，再一步是解方程ax=b．
在计算或变形时，要养成良好的学习习惯，注意书写格式的规范性，避免在去分母，去括号、移项时易犯的错误．
七、练习设计 解下列方程：
1．17(2-3y)-5(12-y)＝8(1-7y)；
2．5(z-4)-7(7-z)-9＝12-3(9-z)；
3．3(x-7)-2［9-4(2-x)］=22；
4．3{2x-1-［3(2x-1)+3］}=5；
八、教学后记
在小结里提出解一元一次方程分为两大步，目的是进一步强调解一元一次方程的指导思想是化归思想．从而使学生明确最简方程是解一元一次方程的化归目标，而解一元一次方程的过程是，首先寻求所给方程与目标的差异，然后设法消除差异，直至达到化归目标，即化为最简方程，求出方程的解．这里化归的具体方法是去分母、去括号、移项、合并同类项等．这样处理，可使学生在解题时思路明确，有章可循．
九教学反思
第 2 页 共 2 页一、课题 §5.1一元一次方程（3）
二、教学目标
1．使学生掌握解一元一次方程的移项规律，并且掌握带有括号的一元一次方程的解法；
2．培养学生观察、分析、转化的能力，同时提高他们的运算能力．
三、教学重点和难点
重点：带有括号的一元一次方程的解法．
难点：解一元一次方程的移项规律．
四、教学手段
引导——活动——讨论
五、教学方法
启发式教学
六、教学过程
（一）、从学生原有的认知结构提出问题
1．解方程ax=b(a≠0)，并指出解法根据．
2．什么叫做移项？移项的根据是什么？移项时应当注意什么？
3．(投影)解下列方程：
本节课我们继续学习移项应注意的问题和含有括号的一元一次方程的解法．
（二）、师生共同研究讨论解一元一次方程的移项规律
例1 解方程5x+2=7x-8．
在分析本题时，教师向学生提出如下问题：
1．利用什么方法可将所给方程化为ax=b的形式？
2．怎样移项呢？
根据学生回答的情况，得到的下面两种解法．
解法1 5x+2=7x-8，
移项，得5x-7x=-8-2，
合并同类项，得
-2x=-10
系数化1，得
x=5．
解法2 移项，得
2+8=7x-5x，
合并同类项，得
10=2x，
系数化1，得
x=5．
最后，请学生口算验根．
结合本例题的解法1和解法2，启发学生总结出求解像上述例题这样的一元一次方程时，它的移项规律是什么．(一般地，把含有未知数的项移到一边，不含未知数的项移到另一边)
(若学生回答有困难，教师应做适当引导)
然后，教师应指出，习惯上多把含有未知数的项移到左边，有时为了简单也可以移到左边．
（三）、师生共同探讨得出带有括号的一元一次方程的解法
例2 解方程2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x)．
解：(怎样才能将所给方程转化为例1所示方程的形式呢？请学生回答)
去括号，得2x-4-12x+3=9-9x，
移项，得2x-12x+9x=9+4-3，
合并同类项，得-x=10，
系数化1，得x=-10．
(本题解答过程应首先由学生口述，教师板书，然后，请学生检验-10是否为原方程的根)
此时，启发学生总结遇有带括号的一元一次方程的解法．(方程里含有括号时，移项前，要先去括号)
（四）、课堂练习(投影)
1．下列方程的解法对不对？若不对怎样改正？
解方程2(x+3)-5(1-x)=3(x-1)
解：2x+3-5-5x=3x-1，
2x-5x-3x＝3+5-3，
-6x=-1，
2．解方程：
(1)2x+5=25-8x； (2)8x-2=7x-2； (3)2x+3=11-6x；
(4)3x-4+2x=4x-3； (5)10y+7=12-5-3y； (6)2.4x-9.8=1.4x-9．
3．解方程：
(1)3(y+4)12； (2)2-(1-z)=-2；
(3)2(3y-4)+7(4-y)=4y； (4)4x-3(20-x)=6x-7(9-x)；
(5)3(2y+1)=2(1+y)+3(y+3)．
（五）、师生共同小结
师生采用一问一答的形式，一起总结本节课都学习哪些内容？哪些思想方法？应注意什么？
在此基础上，教师应着重指出①在运用移项规律解题时，一般情况下，应把含有未知数的项移到等号的左边，但有时依具体情况，也可灵活处理；②将“复杂”问题转化为“简单”问题，将“未知”问题转化为“已知”问题，将“陌生”问题转化为“熟悉”问题，这种思考问题的方法是一种非常重要的数学思考方法．本节课的例题、练习题的解答就充分地体现这一点．
七、练习设计
解下列方程：
1．8x-4=6x-20x-6+3； 2．3x-26+6x-9=12x+50-7x-5；
3．4(2y+3)=8(1-y)-5(y-2)； 4．15-(7-5x)=2x+(5-3x)；
5．12-3(9-y)＝5(y-4)-7(7-y)； 6．16(1-2x)-4(11-2x)=7(2-6x)；
7．3x-4(2x+5)=7(x-5)+4(2x+1)； 8．2(7y-2)+10y=5(4y+3)+3y．
思考题
解下列方程：
1．2|x|-1=3-|x|；2．2|x+1|=|x+1|．
八、板书设计
§5.1一元一次方程（3）（一）知识回顾 （三）例题解析 （五）课堂小结 例1、例2（二）观察发现 （四）课堂练习 练习设计
九、教学后记
关于一元一次方程解法的授课内容，本教学过程设计在内容编排上与人教版教材在编排上稍有不同，主要是基于以下两点原因：
1．先指出解最简的一元一次方程，在此基础上再逐步提出解较复杂的一元一次方程，把解较复杂的一元一次方程的过程化归成解最简单的一元一次方程的过程，这样提出问题和寻求解题方法比较自然；
2．学生在解一元一次方程时的很多错误，追其根源都是方程ax=b程的求根公式．所以，应先集中讲解一下如何准确、快速的解最简单的一元一次方程．显然它对学生来说并不困难，但仍要求学生进一步重视它，努力把它用准、用熟．
十、教学反思
第 3 页 共 3 页一、课题 §5.2一元一次方程的应用（6）
二、教学目标
1．使学生理解用一元一次方程解工程问题的规律；
2．通过对“工程问题”的分析，进一步培养学生用代数方法解应用题的能力；
3．通过本节课的教学，使学生养成正确思考、善于思考的良好习惯．
三、教学重点和难点
重点：列方程解工程问题．
难点：把全部工作量看作1．
四、教学手段
引导——活动——讨论
五、教学方法
启发式教学
六、教学过程
（一）、从学生原有的认知结构提出问题
1．小学时学习过工程问题，在工程问题中涉及三个量：工作量、工作效率与工作时间．它们之间存在怎样的关系？
(工作量=工作效率×工作时间，
2．一件工作，若甲单独做2小时完成，那么甲单独做1小时完成全部工作量的多少？
3．一件工作，若甲单独做a小时完成，则甲单独做1小时，完成全部工作量的多少？m小时完成全部工作量的多少？a小时完成全部工作量的多少？
4．一件工作，若甲单独做7天完成，乙单独做5天完成，甲、乙合做一天完成全部工作量的多少？甲、乙合作2天完成全部工作量的多少？甲、乙合作x天完成全部工作量的多少？
(上述问题均用投影给出，请学生回答，教师补充)
今天学习列方程解工程问题．
（二）、讲授新课
例1 件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成．现在先由甲单独做4小时，剩下的部分由甲、乙合做，需要几小时完成？
师生共同分析，先画示意图(剩下部分需x小时完成)，后找出题中相等关系．
相等关系：
甲完成工作量+乙完成工作量=全部工作量．
解：(由学生完成)
设剩下的部分需要x小时完成，依题意，得
解这个方程，得 x=6
答：剩下的部分需要6小时完成．
此时，教师应指出：工程问题除用直线型示意图外，还常用圆形示意图进行分析，整个圆面积表示全部工作1．如右图．
例2 一件工作，甲独做需30小时完成，由甲、乙合做需24小时完成，现由甲独做10小时后，剩下部分由甲、乙合作，问还需几小时完成？
师生共同分析：画示意图，寻找一个相等关系．
相等相等：
全部工作量=甲独做工作量+甲、乙合做工作量．
解：(让一名学生板演完成)
设甲、乙合作完成剩下部分工作量需x小时，依题意，得
解这个方程，得 x=16．
答：甲、乙合作完成剩下部分的工作量还需16小时．
（三）、巩固与引申
问还需几小时才能完成全部工作？
分析本题时可提出如下问题：
1．甲、乙、丙的工作效率分别是多少？
结合学生的回答，让学生画出示意图，并列出方程．
（四）、课堂练习
1．某地下管道由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需18天．如果由这两个工程队从两端同时相向施工，要多少天可以铺好？
2．某工作甲单独做3小时完成，乙单独做5小时完成．现在要求两
（五）、师生共同小结
在师生共同回顾本节课所学内容的基础上，教师指出：工程问题的解题步骤为①全面审题后，画出直线型示意图或圆型示意图；②寻找全部工作量、单独完成工作量及合作完成工作量的一个相等关系式；③布列方程、解方程并经检验后书写答案．
七、练习设计
1．一个蓄水池装有甲、乙、丙三个进水管．单独开放甲管，45分可注满全池；单独开放乙管，60分可注满全池；单独开放丙管，90分可注满全池．现将三管一齐开放，多少分可注满全池？
2．某中学开展校外植树活动，让初一学生单独种植，需要7.5小时完成；让初二学生单独种植，需要5小时完成．现让初一、初二学生先一起种植1小时，再由初二学生单独完成剩余部分，共需多少小时完成？
3．要加工200个零件，甲先单独加工了5小时，然后又与乙一起加工4小时，完成了任务．已知甲每小时比乙多加工2个零件，求甲、乙每小时各加工多少个零件．
十教学反思
第 2 页 共 3 页一、课题 §5.1一元一次方程（7）
二、教学目标
1．使学生熟悉一些公式，为今后学习物理、化学打好基础；
2．进一步培养学生观察、分析、转化的能力，加强学生分析问题和解决问题的能力．
三、教学重点和难点
重点：认清公式中的已知量和未知量；由题意找等量关系．
难点：公式的恒等变形．
四、教学手段
引导——活动——讨论
五、教学方法
启发式教学
六、教学过程
（一）、从学生原有的认知结构提出问题
首先，让学生回答一元一次方程的解题的一般步骤是什么？
然后，针对学生的回答，强调要灵活运用这些步骤．
我们在学习了一元一次方程的知识以后，就可以利用一元一次方程来解决一些与此有关的数学问题．下面通过一些例题来说明．
（二）、讲授新课
例1、分析：在这个公式中，共有4个量，当其中三个量是已知数时，就形成了一个只含有一个未知数的方程，可以转化为求代数式的值的问题，也可以转化为解一元一次方程的问题．
解这个以a为未知数的方程，得
5(a+36)=240，
a+36＝48，
所以 a=12．
(本题的解答过程，教师板书)
冽2、分析：①此题的未知数是哪个？
②题中表示相等关系的“关键词”是哪个？
③用代数式分别将等号的左边和右边表示出来．
解：设某数为x，由题意，得
3(x+2)-2(2x-3)=12，
3x+6-4x+6=12，
所以 x=0．
答：某数为0．
(本题的解答过程，学生口述，教师板书)
对于本题的解答，教师需指出：
求出的某数0应既满足所列方程，又要合题意，不然所求的数就应舍去．
问题：若将例1中的“某数”改为“某正数”，其余条件不变．求这个正数，其结果怎样？
(通过启发学生，发现它的解答过程与例2一样，只是在求出x=0时，与题目的要求不符，不合题意，故原题中要求的某数实际上不存在．此问题再次提醒学生“检验”的重要性)
冽3、分析：①什么叫方程的解？
②如何将上述关于x的方程利用已知条件转化为关于m的方程？
故 m=-6．
答：m值为-6．
(本题的解答应由学生口述，教师板书，不足之处，教师补充)
分析：①什么叫两数互为相反数？若a与b互为相反数，用数学式子应如何表示？
②利用①的结论，如何列出关于x的方程呢？
18+x+3x-3=0，
(本题的分析过程与解答过程，均采用提问—回答的方式进行，请一名学生板演解答过程，如有不妥之处，教师补充)
（三）、课堂练习
1．某数的20％减去15的差的一半是2，求某数；
2．若3x-2与2x-3互为相反数，求x值；
3．m为何值时，mx-8=17+m的解为-5．
利用投影打出，教师巡回指导，并规范板演学生的解题格式．
（四）、师生共同小结
在师生共同回顾本节课内容的基础上，教师指出：需要找出题中的相等关系时，要注意“等于”、“是”、“得”、“相同”等关键词，若没有上述关键词，则要从题中的语句里找出蕴含在其中的相等关系；对于求出的待定字母的值，需检验它是否既符合题意，又适合方程．
七、练习设计
1．根据下列条件列出方程，且求出某数；
(1)某数的2倍比某数的5倍小24；
(3)某数的一半加上3，比某数与2的差小5；
2．(1)在公式S=2πr(r+h)中，已知S=1256，π=3.14，r=12，求h；
3．已知方程2(x-1)+1=x的解与关于x的方程3(x+m)=m-1的解相同，求m值．
八教学反思
第 2 页 共 3 页一、课题 §5.1一元一次方程（1）
二、教学目标
1．使学生了解一元一次方程的概念，并牢固地掌握最简单一元一次方程的解法；
2．培养学生观察、分析、概括的能力以及准确而迅速的运算能力．
三、教学重点和难点
重点：一元一次方程的概念和方程ax=b(a≠0)的解法．
难点：正确地解方程ax=b(a≠0)．
四、教学手段
引导——活动——讨论
五、教学方法
启发式教学
六、教学过程
（一）、从学生原有的认知结构提出问题
1．针对前二节所学内容，请学生回答下列问题
(1)什么叫等式？等式应具备什么性质？
(2)什么叫方程？方程的解？解方程？
(3)(投影)某数的4倍减去9等于3，列出方程，并检验x=2，x=3是不是该方程的解．
(让一名学生在黑板上板演本题，其余学生在练习本上完成，教师巡视，发现问题，及时纠正)
请找出它们具有的特点？
(①只含有一个未知数；②未知数的次数都是一次)
2．在学生回答完上述问题的基础上，引出课题
我们将具备上述特点的方程叫做一元一次方程．请学生回答：什么叫一元一次方程？根据学生的回答，教师板书一元一次方程的概念．
这时，教师还需指出：“元”是指未知数的个数，“次”是指方程中含有未知数项的最高次数．
本节课我们来学习最简单的一元一次方程的解法．(板书课题)
（二）、师生共同讨论得出最简一元一次方程的解法
例 解下列方程：
分析：利用等式性质2，在方程的两边都除以未知数x的系数，将其系数化1，即可得到原方程的解．最后还需检验所得的数是否为原方程的解．
(2)(3)(4)略．
(让学生先回答本题，教师追问根据，然后，老师根据学生的回答将方程(1)的解答过程板书．方程(2)(3)(4)的解答过程请三名学生板演，师生共同讲评)
最后，教师可追问学生，方程ax=b(a≠0)的解是什么？根据是什么？
（三）、课堂练习
解下列方程：(投影)
(本题的作用是进一步巩固学生对最简一元一次方程的解法的掌握，使之运用得灵活、自如．这样做也为后继课的学习做好铺垫)
（四）、师生共同小结
采用师生一问一答的方式，小结本节课所学的内容．最后教师指出：
据是等式性质2．
2．不要把两个方程用等号连接起来．如-x=1=x=1．
3．问题：若a=0，则方程ax=b的解又是什么呢？(思考)
七、练习设计
解下列方程，并检验：
思考题
解关于x的方程：
(关于x的方程，就是把方程中除x以外的字母看成已知数，解此类问题要注意已知数a，b的取值范围)
八、板书设计
§5.1一元一次方程（1）（一）知识回顾 （三）例题解析 （五）课堂小结 例1、例2（二）观察发现 （四）课堂练习 练习设计
九、教学后记
关于一元一次方程解法的授课内容，本教学过程设计在内容编排上与人教版教材在编排上稍有不同，主要是基于以下两点原因：
1．先指出解最简的一元一次方程，在此基础上再逐步提出解较复杂的一元一次方程，把解较复杂的一元一次方程的过程化归成解最简单的一元一次方程的过程，这样提出问题和寻求解题方法比较自然；
2．学生在解一元一次方程时的很多错误，追其根源都是方程ax=b程的求根公式．所以，应先集中讲解一下如何准确、快速的解最简单的一元一次方程．显然它对学生来说并不困难，但仍要求学生进一步重视它，努力把它用准、用熟．
十教学反思
第 2 页 共 2 页一、课题 §5.1一元一次方程（6）
二、教学目标
1．使学生灵活运用解方程的一般步骤解题；
2．培养学生观察、分析、转化的能力，提高他们综合解题的能力．
三、教学重点和难点
重点：灵活地运用解题步骤；
难点：如何在“灵活”二字上下功夫．
四、教学手段
引导——活动——讨论
五、教学方法
启发式教学
六、教学过程
（一）、从学生原有的认知结构提出问题
请学生回答：一元一次方程的解题的一般步骤是什么？
针对学生的回答，教师应指出：由于方程的形式不同，解方程时，不一定非按这样的顺序不可，其中有些步骤也可能用不到，可以灵活运用．
（二）、讲授新课
例1 解方程4(x-3)=32．
针对本题提问：1．本题应如何解？2．怎样解较好？(分别请两名学生板演，然后比较他们的解法哪个较好)
解法1：4x-12=32，
4x=44，
x=11．
解法2：4(x-3)=32
x-3=8，
x=11．
通过比较，得出解法2比解法1好．
分析本题时可向学生提问：先经过怎样的变形可使运算简便？(结合学生的回答，教师应指出：将方程的分母运用分数的基本性质化为整数后，再去分母．可使运算简便)
解：原方程化为
去分母，得
30x-7(17-20x)=21，
去括号，得30x-119+140x=21，
合并同类项，得
170x=140，
系数化1，得
(以上过程，学生口述，教师板书)
(首先让学生思考如何解答可使运算简便？结合学生的回答，教师适当点拨)
分析：先去括号，再去分母方法较好．
解：去括号，得
去分母，得
12x-6x+3x-3=8x-8，
移项，得
12x-6+3x-8x=-8+3，
合并同类项，得x=-5．
(请学生观察并思考本题，怎样去括号较为合理呢？结合学生的回答，教师作适当补充)分析：此题若先去括号显然不妥，如先去分母，同时也就去掉大括号，原方程化为：
两边乘以3，可去掉中括号．两边再乘以4，可去掉小括号．
解：方程两边乘以2，得
方程两边乘以3，得
方程两边都乘以4，得
系数化1，得 x=5．
(例3、例4的解答过程均采用学生口述，教师板演来完成，同时在解答过程，若学生某一步骤感到困难，教师应做适当引导)
针对诸如例2、例3、例4这样的形式上比较复杂的方程，教师应提醒学生：
在求解时，应注意分析方程的结构特点，灵活地安排解题步骤；同时，由于这类题目步骤繁多，容易出错，故学生必须检验．
（三）、巩固练习
解下列方程：
（四）、师生共同小结
首先，让学生回答：学习了本节课的内容后，你的收获都有哪些？
其次，教师结合学生的回答还应进一步指出：
解方程的指导思想即把原方程化为ax=b(a≠0)的形式，这里，化为ax=b的三个步骤(去分母、去括号、合并同类项)可以灵活运用，要注意题目的特点，择优从之．
七、练习设计
解下列方程：P123 1、2、3题
八教学反思
第 2 页 共 3 页一、课题 §5.1一元一次方程（2）
二、教学目标
1．使学生掌握移项的概念，并能利用移项解简单的一元一次方程；
2．培养学生观察、分析、概括和转化的能力，提高他们的运算能力．
三、教学重点和难点
重点：移项解一元一次方程．
难点：移项的概念
四、教学手段
引导——活动——讨论
五、教学方法
启发式教学
六、教学过程
（一）、从学生原有的认知结构提出问题
1．等式的性质是什么？
2．什么叫一元一次方程？方程ax=b(a≠0)的解是什么？
3．(投影)解方程：
(让学生口答本题，发动其余学生及时纠正出现的错误，做到一题多用)
我们已经学习了解最简单的一元一次方程ax=b(a≠0)，今天学习把某些简单的一元一次方程化为最简的一元一次方程，从而求得其解．(教师板书课题：一元一次方程的解法(二)
（二）、师生共同研究解简单的一元一次方程的方法
例1 解方程3x-5=4．
在分析本题时，教师应向学生提出如下问题：
1．怎样才能将此方程化为ax=b的形式？
2．上述变形的根据是什么？
(以上过程，如学生回答有困难，教师应作适当引导)
解：3x-5=4，
方程两边都加上5，得
3x-5+5＝4+5，
即 3x=4+5，
3x=9，
x=3．
(本题的解答过程应找多名学生分别口述，教师严格、规范板书，并请学生口算检验)
例2 解方程7x=5x-4．
(此题的分析与解答过程的教学设计可仿照例1重复进行)
针对例1，例2的分析与解答，教师可提出以下几个问题：
3．将方程3x-5=4，变形为3x=4+5这一过程中，什么变化了？怎样变化的？
4．将方程7x=5x-4，变形为7x-5x=-4这一过程中，什么变化了？怎样变化的？
(-5变为+5，并由方程的左边移到方程的右边；5x变为-5x，并由方程的右边移到方程的左边)
我们将方程中某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项．利用移项，我们可以将例2按以下步骤来书写．
解：7x=5x-4，
移项，得7x-5x=-4，
合并同类项，得2x=-4，
未知数x的系数化1，得x=-2．
至此，应让学生总结出解诸如例1、例2这样的一元一次方程的步骤，并强调移项要变号．
（三）、课堂练习(用投影给出)
解方程：(这个练习，应找部分学生板演，其余学生在下面自行完成，其间，教师要巡视，发现问题及时纠正，并鼓励同学间互相讲评，同时，教师还应要求学生严格参照例2的解题格式完成这个练习，并要求口算检根)
（四）、师生共同小结
首先，采取师生一问一答的形式回顾本节课学习了哪些内容？采用了什么样的思维方法？在解题时需要注意什么？
然后，教师需指出，采用了将“未知”转化为“已知”的思维方法，这是一种非常重要的思维方法，它在后继课的学习起着非常重要的作用．同时再次强调移项要变号．
最后，教师可引申，若所给方程中的某一项或某几项有括号，我们应如何求出方程的解？(为下节课埋下伏笔，引出悬念，从而激发学生的学习兴趣)
七、练习设计
1解下列方程：2思考题
八、教学后记
1．先指出解最简的一元一次方程，在此基础上再逐步提出解较复杂的一元一次方程，把解较复杂的一元一次方程的过程化归成解最简单的一元一次方程的过程，这样提出问题和寻求解题方法比较自然；
2．学生在解一元一次方程时的很多错误，追其根源都是方程ax=b程的求根公式．所以，应先集中讲解一下如何准确、快速的解最简单的一元一次方程．显然它对学生来说并不困难，但仍要求学生进一步重视它，努力把它用准、用熟．
九、教学反思
第 2 页 共 2 页第七十五课时
一、课题 §5.2一元一次方程的应用（7）
二、教学目标
1．使学生明确列方程解浓度配比问题所依据的等量关系，并会列方程解浓度配比问题；
2．通过本节课的教学，培养学生学以致用的良好习惯，并提高他们分析和解决问题的能力．
三、教学重点和难点
重点：列方程解浓度配比问题．
难点：浓度配比中的溶液、溶剂、溶质和浓度之间的关系
四、教学手段
引导——活动——讨论
五、教学方法
启发式教学
六、教学过程
（一）、从日常生活中提出问题
日常生活中，我们将一定量的水放入玻璃杯中，并放入一定量盐，经搅拌后形成均匀的混合物，称为盐水溶液，被溶解的盐称为溶质，溶解盐的水称为溶剂．
1．溶液(盐水)重量、溶质(盐)重量和溶剂(水)重量三者之间存在怎样的关系？
2．当盐水过“咸”时，可向玻璃杯中加水，即增加了溶剂，因而溶液重量增加，但溶质(盐)没有变化，那么是溶液的什么发生变化，从而使盐水溶液变得不“咸”了呢？它与溶质重量和溶液重量存在怎样的关系呢？
3．(1)若盐水a千克，含盐5％，则该盐水中含盐多少千克？
(2)水90千克，盐10千克，混合后含盐的百分比是多少？
(3)水100千克，盐10千克，混合后含盐的百分比是多少？
本节课我们来学习列方程解浓度配比问题．
（二）、师生共同分析浓度配比问题
例1 要把30千克含氨16％的氨水稀释成含氨0.15％的氨水，需加入水多少千克？
在分析本题时，可提出如下问题：
1．“含氨16％的氨水30千克”的意义是什么？(30千克氨水中16％是(纯)氨)
2．氨水溶液加水后，哪些量没有变化？哪些量有变化？怎样变化的？
结合学生回答，师生共同将加水前后有关量的情况列表如下
(这里x表示加水的千克数)
然后，启发学生得出本题的相等关系：
加水前含氨的重量=加水后含氨的重量．
解：(由学生板演，解答)
设需加水x千克，依题意，得
30×16％=(30+x)×0.15％
解方程，得 x=3170．
答：需要加水3170千克．
例2 含盐16％的盐水40千克，需要加多少盐，就变成含盐20％的盐水？
分析时，可提出如下问题：
1．盐水溶液加盐前后，与溶液有关的量中，哪些不变？哪些有变化？怎样变化？
2．题中的相等的关系是什么？
(①加盐前水的重量=加盐后水的重量；
②加盐前盐的重量+所加盐的重量=加盐后盐的重量)
鉴于本题具备两个相等关系，故本题有两种解法．请学生分别板演出来，不足之处教师指正．
解法1：设需加盐x千克．
由题意，得(40+x)(1-20％)=40×(1-16％)．以下略．
解法2：设需加盐x千克．
由题意，得40×16％+x=(40+x)·20％．以下略．
（三）、引伸训练
例3 有含盐10％的盐水40千克，加入另一种盐水50千克后，就成了含盐25％的盐水，求另一种盐水的浓度？
师生共同分析：两种盐水混合后，浓度发生了变化．形成新的盐溶液后，溶液中盐的重量没变，根据题意，题中相等关系是：
两种盐溶液含盐重量之和=新盐溶液中含盐的重量．
解：(学生自行完成)
设另一种盐溶液浓度为x％，根据题意，得
40×10％+50·x％=(40+50)×25％．
解之，得 x=37
答：略．
此时，教师强调指出：
1．浓度配比问题应根据题中溶液、溶剂、溶质和浓度在“稀释”或“加浓”过程中变与不变的情况，寻找一个相等关系；
2．根据相等关系布列方程．
（四）、课堂练习
1．填空：(投影)
(1)把6千克食盐放入100千克水中，得到盐水溶液 ______ 千克，这种盐水浓度是 ______ ;
(2)浓度为0.8％的洗涤液中含洗衣粉25克，这时，洗涤液的重量为 ______ 克，水的重量为 ______ 克．
2．有含盐12％的盐水30千克，要使盐水含盐10％，需要加水多少千克？
3．有浓度24％的硫酸溶液72千克，要使硫酸溶液的浓度变为36％，需要加入硫酸多少千克？
4．现有浓度5％的盐水50千克和足够数量的浓度为9％的盐水，要配制浓度为7％的盐水，需要取9％的盐水多少千克？
（五）、师生共同小结
针对本节课学习的内容，可提出以下问题：
1．浓度配比问题中的基本数量关系是什么？
2．在寻找浓度配比问题中的相等关系时需注意什么？
结合学生回答，教师作以下几点补充：
1．浓度配比问题中“稀释”问题一般利用“溶质不变”寻找相等关系，进一步列出方程；“加浓”问题一般用“溶剂不变”寻找相等关系列方程或利用原溶液所含溶质与新加溶质之和等于新溶液的含溶质相等关系列方程；
2．画出示意图(或表)可帮助理解题意，寻找相等关系．
七、练习设计
1．在60克食盐中，加入多少克水，才能配制成浓度为15％的盐水？
2．将含将10％的盐水20千克，变成含盐16％的盐水，需蒸发掉水多少千克？
3．某厂要配制浓度为10％的硫酸溶液2940千克，需要浓度为98％的硫酸溶液溶液多少千克？
4．在浓度为18％的盐水30升中倒入浓度为10％的盐水多少升，才能得到浓度为15％的盐水？
八、板书设计
§5.2一元一次方程的应用（7）（一）知识回顾 （三）例题解析 （五）课堂小结 例1、例2（二）观察发现 （四）课堂练习 练习设计
九、教学后记
求解有关浓度配比问题的应用题，关键是明确溶液“稀释”或“加浓”前后，哪些量不变，哪些量改变，从而建立等量关系．
由实际问题引入的目的在于使学生从直观上理解溶液在“稀释”或“加浓”前后有关量的变与不变．从而为最终使有关浓度配比问题的应用题顺利求解铺平道路．
第 4 页 共 4 页一、课题 §5.2一元一次方程的应用（8）
二、教学目标
1．使学生了解如何列一元一次方程求解数字的问题；
2．进一步培养学生分析问题和解决问题的能力．
三、教学重点和难点
重点：列方程解数字问题．
难点：正确地表示等量关系．
四、教学手段
引导——活动——讨论
五、教学方法
启发式教学
六、教学过程
（一）、从学生原有的认知结构提出问题
1．一个两位数，个位上的数字为b，十位上的数字是a，用代数式表示这个两位数．
(10a+b)
2．一个三位数，百位、十位、个位上的数字分别是a，b，c，用代数式表示这个三位数．
(100a+10b+c)
结合学生的回答，教师指出，今天我们来学习如何利用一元一次方程求一个整数某一位的数字问题．
（二）、师生共同探讨如何利用一元一次方程求解一个整数某一位的数字问题
例1 一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小1，十位与个
在分析本题时，可提出以下问题：
1．若设十位上的数字是x，则个位上的数字如何表示？十位上的数字与个位上的数字之和如何表示？这个两位数如何表示？
2．本题中的等量关系是什么？依据等量关系如何布列方程？
(解答过程，请一名学生口述，教师板演解题过程)
解：设十位上的数字是x，则个位上数字是(x+1)，这个两位数是[10x+(x+1)]．
根据题意，得
解方程，得
x=4．
所以个位数字为x+1=5，
故所求的两位数是45．
答：所求的两位数是45．
此时，教师可追问：本题还有其它解法吗？如果有，如何解呢？
然后，教师应指出，如果直接设所求的整数为x，列方程是比较困难的，因此，本题采用间接设未知数的方法解．
例2 有一个三位数，十位上的数比百位上的数大2，个位上的数比十位上的数大2，若将百位上的数与个位上的数调换，则新数较原数的2倍大150，求原来的三位数是多少？
师生共同分析，首先搞清调换的含意，其次找出题中存在的等量关系
新数=原数×2+150．
(由学生自己设未知数，列方程，求答案．教师提问一学生并板演解题过程)
解：设原数的百位数字为x，则原数的十位数字为(x+2)，个位数字为(x+4)．
原数为：100x+10(x+2)+x+4，
新数为：100(x+4)+10(x+2)+x，
根据题意，得100(x+4)+10(x+2)+x=2[100x+10(x+2)+x+4]+150．
（三）、课堂练习
1．填空：(投影)
(1)一个两位数，个位上的数是5，十位上的数是x，那么这个两位数可以表示为 ______ ；如果把个位与十位上的数位置对调，所得的两位数将是 ______ ；
(2)一个两位数，个位与十位上的数的差是5，如果个位上的数是a，则这个两位数可以表示成 ______ ；又，如果十位数上的数是b，那么这个两位数又可表示成 ______ ．
2．一个两位数，个位和十位上的数字之和是14，如果把个位上的数和十位上的数的位置对调，则所得两位数比原来的两位数小18，求原来的两位数．
3．一个两位数，十位上的数与个位上的数的和是13，如果原来的数加上27等于十位上的数字与个位上的数字对调后的两位数，求原来的两位数．
（四）、师生共同小结
在师生共同回顾本节课所学内容的基础上，教师指出，求整数的数字问题，关键是能正确地用代数式表示整数．
七、练习设计
1．一个两位数，十位上的数是个位上的数的2倍，如果把个位和十位上的数的位置互换，得到的新数比原数小27，求原数．
2．一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是11，如果把十位上的数与个位数对调，
九、教学后记
求解有关浓度配比问题的应用题，关键是明确溶液“稀释”或“加浓”前后，哪些量不变，哪些量改变，从而建立等量关系．
十教学反思
第 2 页 共 3 页一、课题 §5.2一元一次方程的应用（4）
二、教学目标
1．使学生会分析追及问题，明确追及问题列方程所依据的相等关系，并会解一般的追及问题；
2．进一步提高学生的分析问题和解决问题的能力；
3．在教学过程中，培养学生养成正确思考、善于思考的良好习惯．
三、教学重点和难点
重点：列方程解追及问题．
难点：寻找追及问题中的相等关系．
四、教学手段
引导——活动——讨论
五、教学方法
启发式教学
六、教学过程
（一）、从学生原有的认知结构提出问题
1．对于相遇问题，列方程依据的等量关系是什么？
2．解有关行程问题的应用题需注意什么？
此时，教师指出：关于行程问题，我们已经学习了相遇问题，今天学习列方程解追及问题，追及问题比较复杂，需要深入地分析才能找出等量关系．
（二）、师生共同分析追及问题
例1 一队学生去校外进行军事训练．他们以5千米／时的速度行进，走了18分的时候，学校要将一个紧急通知传给队长．通讯员从学校出发，骑自行车以14千米／时的速度按原路追上去．通讯员用多少时间可以追上学生队伍？
画示意图．设通讯员追上学生需x小时．请同学寻找一个相等关系．
相等关系：通讯员行进路程=学生行进路程．
解：(学生回答，教师板书)
设通讯员用x小时可以追上学生队伍，根据题意，得
例2 一条环形跑道长400米，甲练习骑自行车，平均每分钟行驶550米，乙练习赛跑，平均每分钟跑250米．两人同时、同地、同向出发，经过多少时间，两人首次相遇．
首先应引导学生细审题意：注意三个同字：同时，同地，同向．
其次，在启发学生寻找题中存在的相等关系时，指出：甲、乙二人第一次相遇时，甲比乙多行了一圈(即400米)．
相等关系：甲走路程-乙走路程=400米．
解：(学生回答，教师板书)
设甲乙二人行x分钟后首次相遇，依题意，得
55x-250x=400，
解方程 300x=400，
此时可做引伸，若二人背向而行，甲、乙首次相遇时，两人所行的距离之间存在怎样的关系呢？(两人所行的距离之和是一周(即400米)．
（三）、课堂练习
1．甲、乙两人练习100米赛跑，甲每秒跑7米，乙每秒跑6. 5米．若甲让乙先跑1秒，甲经过几秒可以追上乙？
2．甲、乙两人都从A地去B地．甲步行，每小时走5千米，先走1.5小时；乙骑自行车，乙走了50分，两人同时到达目的地，问乙每小时骑多少千米？
3．敌、我相距28千米，得知敌军1小时前以每小时8千米的速度逃跑，现在我军以每小时14千米的速度追敌军，问几小时可以追上敌军？
（四）、师生共同小结
在师生共同回顾本节课所讲内容的基础上，教师指出：
1．解道及问题，找等量关系时，要注意分析从甲出发到追上乙的这段时间里，甲比乙多行的距离；
2．追及问题以及上节课学习的相遇问题，都可称为行程问题，解决此类问题的基本思路是，审题后，要正确地画出直线形直观示意图，根据示意图寻找相等关系，布列方程，解方程求出问题的答案；
3．在行程问题中还有求两车相距问题，慢车在快车之后行驶中的相距问题；顺流、逆流与船速水速关系问题等，这些问题请同学们课下结合课本上的习题进行思考．
七、练习设计
1．一队学生去校外参加劳动，以4千米/时的速度步行前往．走了半小时，学校有紧急通知要传给队长，通讯员骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去．通讯员要多少分才能追上学生队伍？
2．甲、乙两人住处之间的路程为30千米．某天他俩同时骑摩托车出发去某地，甲在乙后面，乙每小时骑52千米，甲每小时骑70千米．经过多少时间甲赶上乙？
3．甲、乙二人相距40千米，甲先出发1.5小时乙再出发，甲在后，乙在前，二人同向而行．甲的速度是每小时8千米，乙的速度是每小时6千米，甲出发后几小时可追上乙？
(思考题)
一队步兵正以5.4千米/时的速度匀速前进．通讯员从队尾骑马到队头传令后，立刻返回队尾，总共用了10分钟，如果通讯员的速度是21.6千米/时，求步兵列的长是多少？
八教学反思
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