课件15张PPT。24.1 比例线段（２）沪科版九年级表示成或 a：b=c：d，我们把 a、b、c、d 这四个数成比例，a、d 叫做比例外项，b、c 叫做比例内项，如果两个数的比值与另两个数的比值相等,就说这四个数成比例.知识回顾１、设线段ＡＢ＝２cm，ＡＣ＝４cm,
两条线段的长度比是
记作:2、设线段ＡＢ＝200cm，ＡＣ＝４m,
两条线段的长度比是
200：４＝200：４00＝两条线段的长度比叫做这两条线段的比２：４＝ABCA′B′C′11==一般地,如果四条线段a,b,c,d中，a与b的比等于c与d的比, 即 ,那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．请找出左图的３组比例线段，并写出比例式.ABCA′B′11例如, 是比例线段.例1 已知线段a=10mm , b=6cm, c=2cm , d=3cm . 问：这四条线段是否成比例？为什么?想一想: 是否还可以写出其他几组成比例的线段.答：这四条线段成比例.∵a=10mm=1cm即线段a、c、d、b成比例.答:可以.如:判断四条线段是否成比例的方法有两种： (1)把四条线段按大小排列好，判断前两条线段的比和后两条线段的比是否相等。(2)查看是否有两条线段的积等于其余两条线段的积 。1.已知线段a=2cm,b=4.1cm,c=4cm,d=8.2cm,下面哪个选项是正确的？( )A. d, b, a, c成比例线段 B. a, d, b, c成比例线段C. a, c, b, d成比例线段 D. a, d, c, b成比例线段2.下列各组线段的长度成比例的是（ ）A.2cm,3cm,4cm,1cm B.1.5cm,2.5cm,6.5cm,4.5cmC.1.1cm,2.2cm,3.3cm,4.4cm D.1cm,2cm,2cm,4cmCD练 习例2 如图，在直角三角形ＡＢＣ中，ＣＤ是斜边ＡＢ上的高线，请找出一组比例线段，并说明理由.分析：(1)根据比例基本性质，要判断四条线段是否成比例，只要采取什么方法?(2)已知条件中有三角形的高，我们通常可以把高与什么知识联系起来？(3)根据三角形的面积公式，你能得到一个怎样的等式？ 根据所得的等式可以写出怎样的比例式。 (看其中两条线段的乘积是否等于另两条线段的乘积)试一试１，如图在平行四边形ＡＢＣＤ中，
.找出图中的一组比例
线段（用小写字母表示）,并说明理由．如图是我国台湾省的几个城市的位置图，问基隆市在高雄市的哪个方向？到高雄市的实际距离是多少km？(比例尺1：9000000)注意：求角度时要注意方位。解：从图上量出高雄市到基隆市的距离约35mm,设实际距离为s，则∴S＝35×9000000=315000000(mm)即s＝315(km) 量得图中∠1=28°.答：基隆市在高雄市的北偏东28°方向,到高雄市的实际距离约为315km。 现在有一棵很高的古树，欲测出它的高度，但又不能爬到树尖上去直接测量，你有什么好的方法吗？例4 比如，量得树AB的影长BC=20m，木杆长A′B′= 1.5m，影长B′C′= 2.5m, 求:树AB的高.解:在相同时刻的物高与影长成比例答:树AB的高为12米.试一试知识回顾：说说你在这节课中的收获与体会课件13张PPT。
24.1 比例线段(1)55中 陈凤我们把形状相同的两个图形说成是相似图形。∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1,∠D=∠D1; 1.53∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1, 一般地，两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形。
①②对应角相等对应边长度的比相等这时,对应边长度的比叫做相似比,也叫相似系数.23 如图，矩形ABCD和矩形A1B1C1D1相似吗？为什么？练习1：分析: 对应边长度的比不相等答案：不相似。练习2： 如图，菱形ABCD和菱形A1B1C1D1相似吗？为什么？分析: 对应角不相等答案：不相似。
线段长度的比又叫线段的比。注意：1.计算两条线段的比时，单位必须统一；
1. 线段a=2cm, b=3cm,求 .2.线段c=4cm,d=60mm,求 .同一单位长度下2.两条线段的比有顺序，不可颠倒；A. B. C. D. cmA. B. C. D. cm已知四条线段a、b、c、d 中， 那么 a、b、c、d 叫做成比例线段。a : b = c : d比例内项比例外项 比例是指四条线段之间的一种关系，它们有顺序要求。练习3a : b = c : d 如果作为比例内项的两条线段是相等的，
即 (或 a:b=b:c)，
那么线段b叫线段a，c的比例中项。特别地，小结：相似多边形比例线段角：边：两条线段的比：比例线段①长度单位统一；②与单位无关，本身没有单位；③两条线段有顺序要求；①概念：项、比例内项、比例外项；②四条线段有顺序要求；对应角相等对应边长度的比相等③特别地：比例中项；相似比（相似系数）课堂作业：课本第49页第2题；
基础训练24.1：同步练习1作业：练习3：如果a=10cm,b=0.2m,c=30mm,d=6cm,则下列比例式成立的是（ ）A. B. C. D.返回课件10张PPT。24.2相似三角形的判定沪科版九年级一、知识回顾1、根据相似多边形的定义，你知道什么样的
两个三角形相似吗？满足
（1）对应角相等 （2）对应边成比例
两个条件的两个三角形是相似三角形.2、请同学们画图表示相似三角形
判定定理的预备定理DE∥BC△ADE∽△ ABC二、课堂活动：已知在△ABC和△A′B′C′中.∠A=∠A′ ∠ B=∠B′ ∠ C=∠C′
求证：△ABC∽△A′B′C′DE 在△ABC的边AB（或延长线）上截取AD=A′B′.过点D作DE∥BC.交AC于点E.则有
△ADE∽△ABC
∵∠ADE=∠B ∠B=∠B′
∴∠ADE=∠B′
又∵∠A=∠A′ AD=A′B′
∴△ADE≌△A′B′C′（ASA）
∴△A′B′C′∽△ABC证明：由上面的数学活动我们可以得到判定三角形相似的定理定理1：
如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等.那么这两个三角形相似.
（可简单说成：两个角对应相等的两个三角形相似）想一想：1、△ABC和△A′B′C′中∠A=80°、∠B=40°、∠A=80°、∠C=60°.那么这两个三角形相似吗？
2、等边三角形都相似吗？
3、一个锐角对应相等的两个直角三角形相似吗？
4、有一个内角对应相等的两个等腰三角形相似吗?
5、各有一个内角为100°的两个等腰三角形相似吗?练一练：写出图中的相似三角形：（1）条件： DE∥BC
EF∥AB（2）条件
∠A=36°
AB＝AC
BD平分∠ABC（3）条件
∠ACB=90°
CD⊥AB于D△ADE∽△ABC∽△EFC△ABC∽△BDC△ACB∽△ADC∽△CDB例题欣赏：如图C是线段BD上的一点，AB⊥BD.ED⊥BD.AC⊥EC
求证：△ABC∽△CDEE证明：
∵AB⊥BD、ED⊥BD
∴∠ABC=∠CDE=90°
∴∠1+∠A=90°
∵AC⊥EC
∴∠1+∠2=90°
∴∠A=∠2
∴△ABC∽△CDE能力与提高如图所示：已知RtABC和RtDEF不相似
其中C、F为直角.能否将两个三角形分别分成两个三角形，使ABC所分成的两个三角形与DEF所分成的两个三角形分别对应相似？
请设计出一种分割方案提示1：将一个三角形分割成两部分，有几种可能形式？一种不经过三角形顶点的直线分割
一种经过其中一个顶点的直线分割提示2：经过一个内角的顶点的直线分割时，其他两个角有无变化？其他内角不变，因此这两个三角形都进行直线分割时，就余下四个内角12NM方法：在△ABC中，作∠1=∠E，交AB于点N，在△DEF中，作∠2=∠B
FM交DE于点M
则△ANC∽△FME、△BCN∽△FDM 在△ACN和△FME中，
∵∠1=∠E ∠ B=∠2
∴△CAN∽△EFM∵∠ACB=∠DFE=90° ∠ A+∠B=90° ∠D+∠E=90°又∵∠1+∠NCB=90° ∠2+∠EFM=90° ∴∠D=∠NCB ∠ B=∠2∴△BCN∽△FDM∴直线CN、FM就是所求的分割线证明：课件13张PPT。相似三角形的性质沪科版九年级某技术工人准备按照比例尺3:4的图纸制作三角形零件,如图,图纸上的△ABC表示该零件的横断面△A′B′C′,CD和C′D′分别是它们的高.
回顾与思考C′A′B′D′2)△ABC与△A′B′C′相似吗?如果相似请说明理由,并指出它们的相似比. D′B′A′C′因为所以△ABC∽△A′B′C′ △ ACD∽ △ A′C′D′△ BCD∽ △ B′C′D′3)图中还有其它相似三角形吗?请说明理由.4) 等于多少?你是怎么做的?D′B′A′C′探索 已知△ABC∽△A′B′C′,△ABC与△A′B′C′相似比为k.如果CD和C′D′分别是它们的高,那么 等于多少?结论相似三角形对应高的比等于相似比.议一议
已知△ABC∽△A′B′C′,△ABC与△A′B′C′相似比为k.
如果CD和C′D′分别是它们的对应角平分线,那么 等于多少?CABDD′B′A′C′已知△ABC∽△A′B′C′,△ABC与△A′B′C′相似比为k.
如果AD和A′D′分别是它们的对应中线,那么 等于多少?议一议CABDA′D′B′C′定理1：相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。相似三角形的性质1．如果两个相似三角形的对应高的比为2:3，那么对应角平分线的比是_____，对应边上的中线的比是______ 。
2．△ABC与△A'B'C'的相似比为3:4，若BC边上的高AD＝12cm，则B'C'边上的高A'D'＝_____ 。
2:32:316cm4．如图△ABC∽△A’B′C′，对应中线AD＝6cm，A’D’＝10cm，若BC＝12cm，则B’C′＝______ 。20cm3、已知△ABC∽△A’B′C′，如果AD和A′D′分别是它们的对应角平分线， AD＝8cm，A’D’＝3cm，则△ABC与△A′B′C′对应高的比8：3如图所示,在等腰△ABC中,底边BC=60cm,高 AD=40cm,四边形PQRS是正方形.
(1)△ASR与△ABC相似吗?为什么?
(2)求正方形PQRS的边长.
解:(1) △ASR∽△ABC.理由是:(2)由(1)可知, △ASR∽△ABC.四边形PQRS是正方形RS∥BC∠ASR= ∠B
∠ARS= ∠C△ASR∽△ABC.设正方形PQRS的边长为x cm, 则AE=(40-x)cm,解得,x=24.
所以正方形PQRS的边长为24cm.(相似三角形对应高的比等于相似比)例 题 解 析x40-x巩 固 练 习如图所示,在矩形DEFG内接于△ABC,点D、E在BC上，点F，G分别在AC，AB上，且DE=2EF，BC=21mm， △ABC的高AH=14mm，求矩形DEFG的面积。ABCDEHGF相似三角形的性质(特别注意“对应”二字)?作业:作业本结束寄语培养回顾联想已学知识,探索学习后续知识的能力,可使每个有自信心的人到达希望的顶峰.下 课!课件21张PPT。相似多边形的性质你还记得相似三角形对应高的比与相似比的关系及其理由吗?如图∵△ABC∽△DEF.∴∠B =∠E.
又∵∠AMB =∠DNE =900.
∴△AMB∽△DNE.
(两角对应相等的两个三角形相似).相似三角形对应高的比等于相似比.理由是:(相似三角形对应边成比例).即,相似三角形对应高的比等于相似比.回顾与拓展你还记得相似三角形对应角平分线的比与相似比的关系及其理由吗?如图∵△ABC∽△DEF.∴∠B =∠E, ∠BAC=∠EDF.又∵AM,DN分别是∠BAC和∠EDF的角平分线.
∴∠BAM=∠EDN.
∴△AMB∽△DNE.
(两角对应相等的两个三角形相似).相似三角形对应角平分线的比等于相似比.
理由是:(相似三角形对应边成比例).即,相似三角形对应角平分线的比等于相似比..你还记得相似三角形对应中线的比与相似比的关系及其理由吗?如图∵△ABC∽△DEF.
∴∠B =∠E,相似三角形对应中线的比等于相似比.理由是:(相似三角形对应边成比例).又∵AM,DN分别是△ABC和△DEF的中线.∴△AMB∽△DNE.(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似).且∠B =∠E.即,相似三角形对应中线的比等于相似比.你还记得相似三角形周长的比与相似比的关系及其理由吗?如图,在△ ABC与△ A′B′C′中,
∵△ABC∽△A′B′C′,且相似比为k.相似三角形周长的比等于相似比.理由是:(相似三角形对应边成比例,对应边的比叫做相似比).即,相似三角形周长的比等于相似比.你还记得相似多边形周长的比与相似比的关系及其理由吗?如图∵六边形ABCDEF∽六边形A1B1C1D1E1F1,且相似比是k.相似多边形周长的比等于相似比.理由是:即,相似多边形周长的比等于相似比.三个角对应相等,三条边对应成比例的两个三角形, 叫做相似三角形(similar trianglec)
相似三角形的各对应角相等,各对应边对应成比例.
相似三角形对应高的比,对应角平分线的比,对应中线的比，对应周长的比等于相似比.
相似比等于1的两个三角形全等.注意：
要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上.
反之,写在对应位置上的字母就是对应角的顶点！
由于相似三角形与其位置无关,因此,能否弄清对应是正确解答的前提和关键.判定两个三角形相似的方法:
两角对应相等的两个三角形相似.
三边对应成比例的两个三角形相似.
两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似.
斜边直角边对应成比例的两个三角形相似.
平行于三角形一边的直线截其它两边(或其延长线),所截得的三角形与原三角形相似.益智的“模型”两个极具代表性的相似三角形基本模型： “A”型和“X” 型若△ADE∽ △ABC,则
∠DAE=∠BAC, ∠ADE=∠ A BC,
∠AED=∠ACB,若△ABC∽ △ADE,则
∠BAC=∠DAE, ∠B=∠D,
∠C=∠E,结论1:平行于三角形一边直线截其它两边(或其延长线),所截得的三角形与原三角形相似;如图, 已知△ABC, DE ∥ BC, 交AB,AC或其延长线于D,E,则有如下结论:如图:在△ABC中,
如果DE∥BC，那么△ADE∽△ABC.结论2:平行于三角形一边直线截其它两边(或其延长线),所得的对应线段成比例.如图:在△ABC中,如果DE∥BC，如图, 直角三角形斜边上的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原三角形相似.根据上面的结论可得到相等的角或对应成比例的线段.即,有三对相似三角形.
△ACD∽ △ABC
△CBD∽ △ABC
△ACD∽ △CBD.常用的成比例的线段有:如,常用的相等的角有：
∠A =∠DCB;∠B =∠ACD; 让数学模型“双垂直”三角形,成为你的好友!老师的建议:上面红色字表示出的关系式,是几个重要的结论,若能理解记忆并运用,将会促进能力的提高.例题、如图所示,在等腰△ABC中,底边BC=60cm,高 AD=40cm,四边形PQRS是正方形.
(1). △ASR与△ABC相似吗?为什么?
(2).求正方形PQRSR的边长.
解:(1) △ASR∽△ABC.理由是:(2).由(1)可知, △ASR∽△ABC.四边形PQRS是正方形RS∥BC∠ASR= ∠B
∠ARS= ∠C△ASR∽△ABC.设正方形PQRS的边长为x cm, 则AE=(40-x)cm,解得,x=24.
所以正方形PQRS的边长为24cm.(相似三角形对应高的比等于相似比)亲历知识的发生和发展问题:
如果△ABC∽△A′B′C′它们面积的比与相似比有什么关系?
如图, △ABC∽△A′B′C′,相似比是k(如3∶4).
(1)△ABC与△A′B′C′的面积如何表示?
(2)△ABC与△A′B′C′的面积的比是多少?
解:分别作高CD,C′D′,则如果两个相似三角形的相似比是k ,通过上面的活动,你得出了什么结论?相似三角形面积的比等于相似比的平方.如图,如果△ABC∽△A′B′C′,且这个结论在今后的学习中作用很大,若能理解运用,则受益非浅.如图,四边形A1B1C1D1∽四边形A2B2C2D2,且相似比为k.(1).四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2周长的比是多少?
(2).连接相应的对角线A1C1, A2C2所得的△A1B1C1与△ A2B2C2相似吗?
△A1C1D1与△ A2C2D2呢?
如果相似,它们的相似比各是多少?(3).设△A1B1C1, △A1C1D1, △ A2B2C2, △ A2C2D2.的面积分别是S△A1B1C1, S△A1C1D1, S△A2B2C2, S△A2C2D2,那么,(4).四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2.面积的比是多少?如果把四边形换成五边形,那么结论又如何?……?
换成n边形呢?
通过上面的活动,你得出了什么结论?相似多边形周长的比等于 ,
对应对角线的比等于 ,
对应三角形相似,且相似比等于 ,
对应三角形面积的比等于 ;
相似多边形面积的比等于 .相似比相似比相似多边形的相似比相似比的平方相似比的平方下图是某市城区外环路示意图,比例尺为1∶100 000
(1)设法求出图上外环路的长度,并由此求出外环路的实际长度;
(2)估计外环路所围成的区域的面积.你是怎么做的?与同伴交流.点拨
(1)用一根线绳沿图中的外环路重叠放置,此时线绳的长度就是外环路的图上距离;
(2)把图上的外环路近似地看作一个矩形.某市城市广场,是一个因周边环境设计建造的一个不规则多边形,具有和谐的自然美.设计图的比例尺是1∶10 000.图上多边形与实际多边形相似吗?如果相似,它们的相似比是多少?图上多边形与实际多边形的周长比是多少?面积呢?练一练归纳提炼相似多边形的性质:
相似三角形对应高的比,对应角平分线的比,对应中线的比,对应周长的比都等于相似比.
相似三角形面积的比等于相似比的平方.
相似多边形对应对角线的比等于相似比.
相似多边形对应三角形相似,且相似比等于相似多边形的相似比.
相似多边形对应三角形面积的比等于相似多边形的相似比的平方.
相似多边形面积的比等于相似比的平方.习题24.4 1,2题。
祝你成功！结束寄语培养回顾联想已学知识,探索学习后续知识的能力,可使每个有自信心的人到达希望的顶峰.课件12张PPT。24.5位似图形 如果两个图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,像这样的两个图形叫做位似图形, 这个点叫做位似中心, 这时的相似比又称为位似比.1.什么叫位似图形?2.位似图形的性质 位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比3.利用位似可以把一个图形放大或缩小复习回顾DEFAOBC如何把三角形ABC放大为原来的2倍?DEFAOBC对应点连线都交于____________对应线段_______________________________位似中心平行或在一条直线上复习回顾B'A'xyBAo在平面直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0),以原点O为位似中心,相似比为3:1,把线段AB缩小.A′(2,1),B′(2,0)观察对应点之间的坐标的变化,你有什么发现?探索1:B'A'xyBAo在平面直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0),以原点O为位似中心,相似比为1:3,把线段AB缩小.A′(2,1),B′(2,0)A〞B〞A〞(-2,-1),B(-2,0)在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.观察对应点之间的坐标的变化,你有什么发现?xyo在平面直角坐标系中, △ABC三个顶点的坐标分别为A(2,3),B(2,1),C(6,2),以原点O为位似中心,相似比为2画它的位似图形.BACA′( 4 ,6 ), B′( 4 ,2 ), C′( 12 ,4 )放大后对应点的坐标分别是多少?B'A'C'探索2:还有其他办法吗?A′( 4 ,6 ), B′( 4 ,2 ), C′( 12 ,4 )xyo在平面直角坐标系中, △ABC三个顶点的坐标分别为A(2,3),B(2,1),C(6,2),以原点O为位似中心,相似比为2,将△ABC放大.A′( -4 ,-6 ), B′( -4 ,-2 ), C′( -12 ,-4 )BAC放大后对应点的坐标分别是多少?xyo例题.在平面直角坐标系中, 四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),画出它的一个以原点O为位似中心,相似比为1/2的位似图形.A′( -3,3 ), B′( -4,1 ), C′( -2,0 ), D′( -1,2 )A′B′C′D′你还有其他办法吗?试试看.xyoB1.如图表示△ABC把它缩小后得到的△COD,求它们的相似比ACD练一练:xyo2.如图△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,-2),B(4,-5),C(5,-2),以原点O为位似中心,将这个三角形放大为原来的2倍.BAC练一练:xyo3.如图,写出矩形wxyz各点的坐标,如果矩形STUV相似于wxyz,点S 的坐标为(2,2),按照下列相似比,分别写出T、U、V各点的坐标. W x y z(1)相似比为2;(2)相似比为 ;练一练:不经历风雨，怎么见彩虹没有人能随随便便成功!再见
