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§15．5．2．1 公式法（一）
教学目标
运用平方差公式分解因式．
教学重点： 应用平方差公式分解因式．
教学难点： 灵活应用公式和提公因式法分解因式，并理解因式分解的要求．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
让学生思考下列问题．
问题1：你能叙述多项式因式分解的定义吗？
问题2：运用提公因式法分解因式的步骤是什么？
问题3：你能将a2-b2分解因式吗？你是如何思考的？
[生]1．多项式的因式分解其实是整式乘法的逆用，也就是把一个多项式化成了几个整式的积的形式．
2．提公因式法的第一步是观察多项式各项是否有公因式，如果没有公因式，就不能使用提公因式法对该多项式进行因式分解．
3．对不能使用提公因式法分解因式的多项式，不能说不能进行因式分解．
[生]要将a2-b2进行因式分解，可以发现它没有公因式，不能用提公因式法分解因式，但我们还可以发现这个多项式是两个数的平方差形式，所以用平方差公式可以写成如下形式：
a2-b2=（a+b）（a-b）．
[师]多项式的乘法公式的逆向应用，就是多项式的因式分解公式，如果被分解的多项式符合公式的条件，就可以直接写出因式分解的结果，这种分解因式的方法称为运用公式法．今天我们就来学习利用平方差公式分解因式．
Ⅱ．导入新课
[师]观察平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）的项、指数、符号有什么特点？
（让学生分析、讨论、总结，最后得出下列结论）
（1）左边是二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反．
（2）右边是两个多项式的积，一个因式是两数的和，另一个因式是这两数的差．
（3）在乘法公式中，“平方差”是计算结果，而在分解因式，“平方差”是得分解因式的多项式．
由此可知如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式．
做下列填空题的作用在于训练学生迅速地把一个单项式写成平方的形式．也可以对积的乘方、幂的乘方运算法则给予一定时间的复习，避免出现4a2=（4a）2这一类错误]
填空：
（1）4a2=（ ）2； （2）b2=（ ）2； （3）0.16a4=（ ）2；
（4）1.21a2b2=（ ）2； （5）2x4=（ ）2； （6）5x4y2=（ ）2．
例题解析：
[例1]分解因式 （1）4x2-9 （2）（x+p）2-（x+q）
[例2]分解因式 （1）x4-y4 （2）a3b-ab
可放手让学生独立思考求解，然后师生共同讨论，纠正学生解题中可能发生的错误，并对各种错误进行评析．
[师生共析]
[例1]（1）
（教师可以通过多媒体课件演示（1）中的2x，（2）中的x+p相当于平方差公式中的a；（1）中的3，（2）中的x+q相当于平方差中的b，进而说明公式中的a与b可以表示一个数，也可以表示一个单项式，甚至是多项式，渗透换元的思想方法）
[例2]（1）x4-y4可以写成（x2）2-（y2）2的形式，这样就可以利用平方差公式进行因式分解了．但分解到（x2+y2）（x2-y2）后，部分学生会不继续分解因式，针对这种情况，可以回顾因式分解定义后，让学生理解因式分解的要求是必须进行到多项式的每一个因式都不能再分解为止．
（2）不能直接利用平方差公式分解因式，但通过观察可以发现a3b-ab有公因式ab，应先提出公因式，再进一步分解．
解：（1）x4-y4
=（x2+y2）（x2-y2）
=（x2+y2）（x+y）（x-y）．
（2）a3b-ab=ab（a2-1）=ab（a+1）（a-1）．
学生解题中可能发生如下错误：
（1）系数变形时计算错误；
（2）结果不化简；
（3）化简时去括号发生符号错误．
最后教师提出：
（1）多项式分解因式的结果要化简：
（2）在化简过程中要正确应用去括号法则，并注意合并同类项．
练一练：
把下列各式分解因式
（1）36（x+y）2-49（x-y）2 （2）（x-1）+b2（1-x） （3）（x2+x+1）2-1
（4）-．
Ⅲ．随堂练习 课本练习1、2．
Ⅳ．课时小结
1．如果多项式各项含有公因式，则第一步是提出这个公因式．
2．如果多项式各项没有公因式，则第一步考虑用公式分解因式．
3．第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式．直到每个多项式因式都不能分解为止．
Ⅴ．课后作业
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§15．5 因式分解
§15．5．1 提公因式法
教学目标
1．因式公解、公因式． 2．用提公因式法分解因式．
教学重点： 会用提公因式法分解因式．
教学难点： 如何确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
[师]请同学们完成下列计算，看谁算得又准又快．
（1）20×（-3）2+60×（-3）
（2）1012-992
（3）572+2×57×43+432
（学生在运算与交流中积累解题经验，复习乘法公式）
[生]解：（1）20×（-3）2+60×（-3）
=20×9+60×-3
=180-180=0
或20×（-3）2+60×（-3）
=20×（-3）2+20×3×（-3）
=20×（-3）（-3+3）=-60×0=0．
（2）1012-992=（101+99）（101-99）
=200×2=400
（3）572+2×57×43+432
=（57+43）2=1002
=10000．
[师]在上述运算中，大家或将数字分解成两个数的乘积，或者逆用乘法公式使运算变得简单易行，类似地，在式的变形中，有时也需要将一个多项式写成几个整式的乘积形式，这就是我们从今天开始要探究的内容──因式分解．
Ⅱ．导入新课
1．分析讨论，探究新知．
把下列多项式写成整式的乘积的形式
（1）x2+x=_________ （2）x2-1=_________ （3）am+bm+cm=__________
[生]根据整式乘法和逆向思维原理，可以做如下计算：
（1）x2+x=x（x+1） （2）x2-1=（x+1）（x-1） （3）am+bm+cm=m（a+b+c）
[师]像这种把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式．
可以看出因式分解是整式乘法的相反方向的变形，所以需要逆向思维．
再观察上面的第（1）题和第（3）题，你能发现什么特点．
[生]我发现（1）中各项都有一个公共的因式x，（2）中各项都有一个公共因式m，是不是可以叫这些公共因式为各自多项式的公因式呢？
[师]你分析得合情合理．
因为ma+mb+mc=m（a+b+c）．
于是就把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式a+b+c是ma+mb+mc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2．例题教学，运用新知．
[例1]把8a3b2-12ab3c分解因式． [例2]把2a（b+c）-3（b+c）分解因式．
[例3]把3x3-6xy+x分解因式． [例4]把-4a3+16a2-18a分解因式．
[例5]把6（x-2）+x（2-x）分解因式．
（让学生利用提公因式法的定义尝试独立完成，然后与同伴交流解题心得，教师深入到学生中去发现问题，并对有困难的学生进行适时的引导和启发，最后师生共同评析、总结）
[例1]分析：先找出8a3b2与12ab3c的公因式，再提出公因式．我们看这两项的系数8与12，它们的最大公约数是4，两项的字母部分a3b2与ab3c都含有字母a和b．其中a的最低次数是1，b的最低次数是2．我们选定4ab2为要提出的公因式．提出公因式4ab2后，另一个因式2a2+3bc就不再有公因式了．
解：8a3b2+12ab2c=4ab2·2a2+4ab2·3bc=4ab2（2a2+3bc）．
总结：提取公因式后，要满足另一个因式不再有公因式才行．可以概括为一句话：括号里面分到“底”，这里的底是不能再分解为止．
[例2]分析：（b+c）是这两个式子的公因式，可以直接提出．这就是说，公因式可以是单项式，也可以是多项式，是多项式时应整体考虑直接提出．
解：2a（b+c）-3（b+c）=（b+c）（2a-3）．
[例3]解：3x2-6xy+x=x·3x-x·6y+x·1=x（3x-6y+1）．
注意：x（3x-6y+1）=3x2-6xy+x，而x（3x-6y）=3x2-6xy，所以原多项式因式分解为x（3x-6xy+1）而不是x（3x-6y）．这就是说，1作为项的系数，通常可以省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏掉，可以概括为：某项提出莫漏1．
[例4]解：-4a3+16a2-18a
=-（4a3-16a2+18a）
=-2a（2a2-8a+9）
注意：如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．在提出“－”号时，多项式的各项都要变号．可以用一句话概括：首项有负常提负．
[例5]分析：先找6（x-2）与x（2-x）的公因式，再提取公因式．因为2-x=-（x-2），所以x-2即公因式．
解：6（x-2）+x（2-x）
=6（x-2）-x（x-2）
=（x-2）（6-x）．
总结：有时多项式的各项从表面上看没有公因式，但将其中一些项变形后，但可以发现公因式，然后再提取公因式．
Ⅲ．随堂练习
1．课本练习1、2、3．
Ⅳ．课时小结
[师]今天我们学习了提公因式法分解因式．同学们在理解的基础上，可以用四句顺口溜来总结记忆用提公因式法分解因式的技巧．
各项有“公”先提“公”，
首项有负常提负．
某项提出莫漏1．
括号里面分到“底”．
Ⅴ．课后作业 课本习题15．5─1、4．（1），６题．
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§15．3．2．1 完全平方公式（一）
教学目标
1．完全平方公式的推导及其应用． 2．完全平方公式的几何解释．
教学重点： 完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用．
教学难点： 理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
[师]请同学们探究下列问题：
一位老人非常喜欢孩子．每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们．来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块塘，…
（1）第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？
（2）第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？
（3）第三天这（a+b）个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？
（4）这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？
[生]（1）第一天老人一共给了这些孩子a2糖．
（2）第二天老人一共给了这些孩子b2糖．
（3）第三天老人一共给了这些孩子（a+b）2糖．
（4）孩子们第三天得到的糖块总数与前两天他们得到的糖块总数比较，应用减法．即：
（a+b）2（a2+b2）
我们上一节学了平方差公式即（a+b）（a-b）=a2-b2，现在遇到了两个数的和的平方，这倒是个新问题．
[师]老师很欣赏你的观察力，这正是我们这节课要研究的问题．
Ⅱ．导入新课
[师]能不能将（a+b）2转化为我们学过的知识去解决呢？
[生]可以．我们知道a2=a·a，所以（a+b）2=（a+b）（a+b），这样就转化成多项式与多项式的乘积了．
[师]像研究平方差公式一样，我们探究一下（a+b）2的运算结果有什么规律．
计算下列各式，你能发现什么规律？
（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=_______；
（2）（m+2）2=_______；
（3）（p-1）2=（p-1）（p-1）=________；
（4）（m-2）2=________；
（5）（a+b）2=________；
（6）（a-b）2=________．
[生甲]（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=p2+p+p+1=p2+2p+1
（2）（m+2）2=（m+2）（m+2）=m2+2m+m·2+2×2=m2+4m+4
（3）（p-1）2=（p-1）（p-1）=p2+p·（-1）+（-1）·p+（-1）×（-1）=p2-2p+1
（4）（m-2）2=（m-2）（m-2）=m2+m·（-2）+（-2）·m+（-2）×（-2）=m2-4m+4
（5）（a+b）2=（a+b）（a+b）=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2
（6）（a-b）2=（a-b）（a-b）=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2
[生乙]我还发现（1）结果中的2p=2·p·1，（2）结果中4m=2·m·2，（3）、（4）与（1）、（2）比较只有一次项有符号之差，（5）、（6）更具有一般性，我认为它可以做公式用．
[师]大家分析得很好．可以用语言叙述吗？
[生]两数和（或差）的平方等于这两数的平方和再加（或减）它们的积的2倍．
[生]它是一个完全平方的形式，能不能叫完全平方公式呢？
[师]很有道理．它和平方差公式一样，使整式运算简便易行．于是我们得到完全平方公式：
文字叙述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍．
符号叙述：（a+b）2=a2+2ab+b2 （a-b）2=a2-2ab+b2
其实我们还可以从几何角度去解释完全平方差公式．
你能根据图（1）和图（2）中的面积说明完全平方公式吗？
[生甲]先看图（1），可以看出大正方形的边长是a+b．
[生乙]还可以看出大正方形是由两个小正方形和两个矩形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．
[生丙]阴影部分的正方形边长是a，所以它的面积是a2；另一个小正方形的边长是b，所以它的面积是b2；另外两个矩形的长都是a，宽都是b，所以每个矩形的面积都是ab；大正方形的边长是a+b，其面积是（a+b）2．于是就可以得出：（a+b）2=a2+ab+b2．这正好符合完全平方公式．
[生丁]那么，我们可以用完全相同的方法来研究图（2）的几何意义了．
如图（2）中，大正方形的边长是a，它的面积是a2；矩形DCGE与矩形BCHF是全等图形，长都是a，宽都是b，所以它们的面积都是a·b；正方形HCGM的边长是b，其面积就是b2；正方形AFME的边长是（a-b），所以它的面积是（a-b）2．从图中可以看出正方形AEMF的面积等于正方形ABCD的面积减去两个矩形DCGE和BCHF的面积再加上正方形HCGM的面积．也就是：（a-b）2=a2-2ab+b2．这也正好符合完全平方公式．
[师]数学源于生活，又服务于生活，于是我们可以进一步理解完全平方公式的结构特征．现在，大家可以轻松解开课时提出的老人用糖招待孩子的问题了．
（a+b）2-（a2+b2） =a2+2ab+b2-a2-b2=2ab．于是得孩子们第三天得到的糖果总数比前两天他们得到的糖果总数多2ab块．
应用举例：
[例1]应用完全平方公式计算：
（1）（4m+n）2 （2）（y-）2
（3）（-a-b）2 （4）（b-a）2
[例2]运用完全平方公式计算：
（1）1022 （2）992
分析：利用完全平方公式计算，第一步先选择公式；第二步准确代入公式；第三步化简．
[例1]解：
（1）（4m+n）2=（4m）2+2·4m·n+n2
（a+b）2=a2+2·a·b+b2
=16m2+8mn+n2
（2）方法一：
（y-）2=y2-2·y·+（）2
（a-b）2=a2-2·a·b+b2
=y2-y+
方法二：（y-）2
=[y+（-）]2=y2+2·y·（-）+（-）2
（a+b）2=a2+2·a·b+b2
=y2-y+
（3）（-a-b）2=（-a）2-2·（-a）·b+b2=a2+2ab+b2
（4）（b-a）2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2
从（3）、（4）的计算可以发现：
（a+b）2=（-a-b）2，（a-b）2=（b-a）2
[例2]解：（1）1022=（100+2）2
=1002+2×100×2+22
=10000+400+4
=10404．
（2）992=（100-1）2
=1002-2×100×1+12
=10000-200+1
=9801．
[师]请同学们总结完全平方公式的结构特征．
[生]公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方．而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．
[师]说得很好，我们还要正确理解公式中字母的广泛含义：它可以是数字、字母或其他代数式，只要符合公式的结构特征，就可以运用这一公式．
Ⅲ．随堂练习 课本练习1、2．
Ⅳ．课堂小结（略）
Ⅴ．课后作业 课本习题15．3─2、4、7题．
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§15．1．2 整式的加减（1）
教学目标：
1、 解字母表示数量关系的过程，发展符号感。
2、会进行整式加减的运算，并能说明其中的算理，发展有条理的思考及语言表达能力。
教学重点：会进行整式加减的运算，并能说明其中的算理。
教学难点：正确地去括号、合并同类项，及符号的正确处理。
教学过程：
1、 课前练习：
1、填空：整式包括 和
2、单项式的系数是 、次数是
3、多项式是 次 项式，其中二次项
系数是 一次项是 ，常数项是
4、下列各式，是同类项的一组是（ ）
（A）与 （B）与 （C）与
5、去括号后合并同类项：
2、 探索练习：
1、如果用a 、b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，那么这个两位数可以表示为 交换这个两位数的十位数字和个位数字后得到的两位数为
这两个两位数的和为
2、如果用a 、b、c分别表示一个三位数的百位数字、十位数字和个位数字，那么这个三位数可以表示为 交换这个三位数的百位数字和个位数字后得到的三位数为
这两个三位数的差为
●议一议：在上面的两个问题中，分别涉及到了整式的什么运算？
说说你是如何运算的？
▲整式的加减运算实质就是
运算的结果是一个多项式或单项式。
3、 巩固练习：
1、填空：（1）与的差是
（2）、单项式、、、的和为
（3）如图所示，下面为由棋子所组成的三角形，
一个三角形需六个棋子，三个三角形需
（ ）个棋子，n个三角形需 个棋子
2、计算：
（1）
（2）
（3）
3、（1）求与的和
(2)求与的差
4、 先化简，再求值： 其中
4、 提高练习：
1、 若A是五次多项式，B是三次多项式，则A+B一定是
（A） 五次整式 （B）八次多项式
（C）三次多项式 （D）次数不能确定
2、足球比赛中，如果胜一场记3a分，平一场记a分，负一场
记0分，那么某队在比赛胜5场，平3场，负2场，共积多
少分？
3、一个两位数与把它的数字对调所成的数的和，一定能被11
整除，请证明这个结论。
4、如果关于字母x的二次多项式的值与x的取值无关，
试求m、n的值。
5、 小结：整式的加减运算实质就是去括号和合并同类项。
6、 作业：习题1、2、3
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§15．4．3．2 整式的除法（二）
教学目标: 1．多项式除以单项式的运算法则及其应用． 2．多项式除以单项式的运算算理．
教学重点: 多项式除以单项式的运算法则的探究及其应用．
教学难点: 探究多项式除以单项式的运算法则的过程．
教学方法: 自主探索法
教学过程: Ⅰ．提出问题，创设情境
1.任意给一个非零数，按下列程序计算下去，写出输出结果．
2．计算下列各式，说说你是怎样计算的．
（1）（am+bm）÷m （2）（a2+ab）÷a （3）（4x2y+2xy2）÷2xy
[师]同学们可以任意给一个非零数，体会程序的思想及实质．
[生]我输入2，按下列程序操作可输出2．程序：m→m2→m2+m→m+1→m．
如果m=2，则2→4→6→3→2． 如果m=3，则3→9→12→4→3． 如果m=-2，则-2→4→2→-1→-2．
[师]为什么按上述程序输入m的值是几，输出的也是几？你能用算式说明其中的道理吗？
[生]上面的程序可以用一个算式表示，即：（m2+m）÷m-1，而算式中（m2+m）÷m是多项式除以单项式，这是个新知识，需要研究．
Ⅱ．导入新课
1．探究多项式除以单项式的运算法则．
[师]今天，我们共同探索多项式除以单项式的运算法则及算理，凭已有的数学经验，请同学们尝试完成第2题及（m2+m）÷m，并交流计算经验与心得．
[生甲]根据除法的意义，我认为可以做如下运算：
（1）（am+bm）÷m==a+b． （2）（a2+ab）÷a==a+b．
（3）（4xy+2xy）÷2xy==2x+y．
（m2+m）÷m-1=-1=+-1=m+1-1=m．
[生乙]对于这几个式子的运算，我认为还可以考虑利用乘法和除法互为逆运算得出．即要想求（am+bm）÷m是多少，需要求一个多项式，使它与m的积是am+bm．即（ ）·m=am+bm．逆用乘法的分配律可以得出（a+b）m=am+bm，所以，（am+bm）÷m=a+b．
同理可得：（2）（a+b）a=a2+ab 所以（a2+ab）÷a=a+b． （3）（2x+y）·2xy=4x2y+2xy2．
所以（4x2y+2xy2）÷2xy=2x+y．
[师生共析]从以上两位同学的分析中，我们不难得出：
（1）（am+bm）÷m=am÷m+bm÷m=a+b （2）（a2+ab）÷a=a2÷a+ab÷a=a+b．
（3）（4x2y+2xy2）÷2xy=4x2y÷2xy+2xy2÷2xy =2x+y． 于是，你能发现什么规律呢？
[生甲]多项式除单项式可以转化为单项式除以单项式．
[生乙]而且应该是多项式的每一项除以除数才行，还得注意每项前面的符号．
[师]你能不能说出多项式除以单项式的运算法则呢？
[生]多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得商相加．
2．应用法则，巩固夯实．
[师]下面请大家利用多项式除以单项式的运算法则解决一些计算问题．
[例1]计算：（1）（12a3-6a3+3a）÷3a （2）（21x4y3-35x3y2+7x2y2）÷（-7x2y）
（3）[（x+y）2-y（2x+y）-8x]÷2x
分析：1．多项式除以单项式，被除式有几项，商就有几项，不可丢项，比如容易丢掉与除数相同的项；2．可以利用乘法与除法互为逆运算，检验结果是否正确；3．要求学生能说出每一步运算的依据，培养学生言之有理，言之有据的好习惯；3．注意运算顺序，把计算结果书写完整．如（3）题应先化简括号内的算式，然后进行多项式除以单项式的运算．
解：（1）（12a3-6a2+3a）÷3a
=12a3÷3a-6a2÷3a+3a÷3a
=4a2-2a+1．
（2）（21x4y3-35x3y2+7x2y2）÷（-7x2y）
=-3x2y2+5xy-y．
（3）[（x+y）2-y（2x+y）-8x]÷2x
=（x2+2xy+y2-2xy-y2-8y）÷2x
=（x2-8x）÷2x
=x-4．
[例2]化简求值：
（1）（a4b7+a3b8-a2b6）÷（-ab3）2，其中a=，b=-4；
（2）（m2-6mn+9n2）÷（m-3n）-（4m2-9n2）÷（2m-3n），其中m=-3，n=-．
分析：第（1）题先简化除式，再运用多项式除以单项式的法则运算．第（2）题注意逆用完全平方差公式和平方差公式进行计算．
解答：（1）原式=（a4b7+a3b8-a2b6）÷（a2b6）
=a4b7÷（a2b6）+a3b8÷（a2b6）-a2b6÷（a2b6）
=a2b+ab2-1．
当a=，b=-4时，
原式=×（）2×（-4）+××（-4）2-1
=-+36-1=28．
（2）原式=（m-3n）2÷（m-3n）-[（2m+3n）（2m-3n）]÷（2m-3n）
=m-3n-（2m+3n）=-m-6n．
当m=-3，n=-时，-m-6n=-（-3）-6×（-）=5．
方法总结：化简求值这类题，一定要先化简，再代值计算，不可直接代值计算．
Ⅲ．随堂练习 课本练习： （学生板演后，评析）
解：（1）（6xy+5x）÷x
=6xy÷x+5x÷x
=6y+5．
（2）（15x2y-10xy2）÷5xy
=15x2y÷5xy-10xy2÷5xy
=3x-2y．
（3）（8a2-4ab）÷（-4a）
=8a2÷（-4a）-4ab÷（-4a）
=-2a+b．
（4）（25x3+15x2-20x）÷（-5x）
=-5x2-3x+4．
Ⅳ．课时小结
[师]学习多项式除以单项式的运算后，你有何感想？
[生甲]多项式除以单项式是通过转化成单项式除单项式的运算实现的．由此，我进一步体会到温故知新，转化思想的重要性．
[生乙]根据乘法和除法互为逆运算，我认为计算完后，可以用商与除数的乘积结果与被除数进行比较的方法来检验．防止丢项或符号错误等．
Ⅴ．课后作业 课本习题15．4─3、6、8题．
Ⅵ．活动与探究 已知多项式x+ax+bx+c能够被x2+3x-4整除． （1）求4a+c的值．（2）求2a-2b-c的值． （3）若a、b、c均为整数，且c≥a>1，试确定a、b、c的大小．
解：令x3+ax2+bx+c=（x2+3x-4）（x+m）
=x3+（m+3）x2+（3m-4）x-4m．
∴
∴（1）4a+c=4（m+3）+（-4m）=12；
∴（2）2a-2b-c=2（m+3）-2（3m-4）-（-4m）=14；
（3）消去m，得c=-4（a-3），
∵c≥a>1，∴-4（a-3）≥a>1，即1
∵a为整数，∴a=2，从而m=-1，
∴b=-7，c=4
∴c>a>b
结果：（1）4a+c=12 （2）2a-2b-c=14 （3）c>a>b
备课资料 一、参考例题
[例1]计算：
（1）（36x6-24x4+12x3）÷12x2．
（2）（64x5y6-48x4y4-8x2y2）÷（-8x2y2）．
（3）[（3x+2y）（3x-2y）-（x+2y）（5x-2y）]÷（4x）．
（4）[3（a-b）3-2（a-b）2-（a-b）]÷（a-b）．
解：（1）原式=36x6÷12x2-24x4÷12x2+12x2÷12x2
=3x4-2x2+x
（2）原式=64x5y6÷（-8x2y2）-48x4y4÷（-8x2y2）-8x2y2÷（-8x2y2）
=-8x3y4+6x2y2+1
（3）原式=[（9x2-4y2）-（5x2+8xy-4y2）]÷4x
=（9x2-4y2-5x2-8xy+4y2）÷4x
=（4x2-8xy）÷4x
=x-2y
（4）原式=3（a-b）3÷（a-b）-2（a-b）2÷（a-b）-（a-b）÷（a-b）
=3（a-b）2-2（a-b）-1
=3（a2-2ab+b2）-2（a-b）-1
=3a2-6ab+3b2-2a+2b-1
二、参考练习
（1）6x2÷（-2x）=_________．
（2）8x6y4z÷_______=4x2y2．
（3）（xy2-4x3y2）÷（-2xy2）=_______．
（4）（5a3b2+10a2b3）÷________=a+2b．
（5）（ ）÷（3a2b3）=2a3b2-a2b+3．
（6）[6a2b2+________+________]÷________=3a+b-1．
2．选择题
（1）下列计算，结果正确的是（ ）
A．8x6÷2x2=4x3 B．10x6÷5x3=x3
C．（-2x2y2）3÷（-xy）3=-2x3y3 D．（-xy2）2÷（-x2y）=-y3
（2）若xmyn÷x3y=4x2则 （ ）
A．m=6，n=1 B．m=5，n=1
C．m=5，n=0 D．m=6，n=0
（3）计算正确的是（ ）
A．（9x4y3-12x3y4）÷3x3y2=3xy-4xy2
B．（28a3-14a2+7a）÷7a=4a2-2a+7a
C．（-4a3+12a2b-7a3b2）÷（-4a2）=a-3b+ab2
D．（25x2+15x2y-20x4）÷（-5x2）=-5-3xy+4x2
3．计算
（1）（102）3×104÷（-103）3．
（2）[（x+y）（x-y）-（x-y）2+2y（x-y）]÷4y．
答案：
1．（1）-3x （2）2x4y2z （3）-+2x2 （4）5a2b2 （5）6a5b5-3a4b4+9a2b3
（6）2ab3，-2ab2，2ab2
2．（1）D （2）B （3）C
3．（1）-10 （2）x-y
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15．1．2整式的加减（2）
教学目标：1.会进行整式加减的运算，并能说明其中的算理，发展有条理的思考及其语言表达能力。
2.通过探索规律的问题，进一步体会符号表示的意义，发展符号感，发展推理能力。
教学重点：整式加减的运算。
教学难点：探索规律的猜想。
教学方法：尝试练习法，讨论法，归纳法。
教学用具：投影仪
教学过程：
I探索练习：
摆第1个“小屋子”需要5枚棋子，摆第2个需要 枚棋子，摆第3个需要 枚棋子。按照这样的方式继续摆下去。
（1）摆第10个这样的“小屋子”需要 枚棋子
（2）摆第n个这样的“小屋子”需要多少枚棋子？你是如何得到的？你能用不同的方法解决这个问题吗？小组讨论。
二、例题讲解：
三、巩固练习：
1、计算：
（1）（11x3－2x2）＋2（x3－x2）
（2）（3a2＋2a－6）－3（a2－1）
（3）x－（1－2x＋x2）+（－1－x2）
（4）（8xy－3x2）－5xy－2（3xy－2x2）
2、已知：A=x3－x2－1，B=x2－2，计算：（1）B－A
（2）A－3B
3、列方程解应用题：三角形三个内角的和等于180°，如果三角形中第一个角等于第二个角的3倍，而第三个角比第二个角大15°，那么
（1）第一个角是多少度？
（2）其他两个角各是多少度？
四、提高练习：
1、 已知A＝a2＋b2－c2，B＝－4a2＋2b2＋3c2，并且A＋B＋C＝0，问C是什么样的多项式？
2、设A＝2x2－3xy＋y2－x＋2y，B＝4x2－6xy＋2y2－3x－y，若│x－2a│＋
（y＋3）2＝0，且B－2A＝a，求A的值。
3、已知有理数a、b、c在数轴上（0为数轴原点）的对应点如图：
4、试化简：│a│－│a＋b│＋│c－a│＋│b＋c│
小 结：要善于在图形变化中发现规律，能熟练的对整式加减进行运算。
作 业：
c
0
b
a
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§15．2 整式的乘法
§15．2．1 同底数幂的乘法
教学目标
1．理解同底数幂的乘法法则． 2．运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题．
教学重点： 正确理解同底数幂的乘法法则．
教学难点： 正确理解和应用同底数幂的乘法法则．
教学方法
透思探究教学法：利用学生已有的知识、经验对所学内容进行自主探究、发现，在对新知识的再创造和再发现的活动中培养学生的探索创新精神与创新能力．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
复习an的意义：
an表示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方．乘方的结果叫幂；a叫做底数，n是指数．
提出问题：
问题：一种电子计算机每秒可进行1012次运算，它工作103秒可进行多少次运算？
[师]能否用我们学过的知识来解决这个问题呢？
[生]运算次数=运算速度×工作时间
所以计算机工作103秒可进行的运算次数为：1012×103．
[师]1012×103如何计算呢？
[生]根据乘方的意义可知
1012×103=（10×…×10）×（10×10×10）=（10×10×…×10）==1015．
[师]很好，通过观察大家可以发现1012、103这两个因数是同底数幂的形式，所以我们把像1012×103的运算叫做同底数幂的乘法．根据实际需要，我们有必要研究和学习这样的运算──同底数幂的乘法．
Ⅱ．导入新课
1．做一做 计算下列各式：
（1）25×22
（2）a3·a2
（3）5m·5n（m、n都是正整数）
你发现了什么？注意观察计算前后底数和指数的关系，并能用自己的语言描述．
[师]根据乘方的意义，同学们可以独立解决上述问题．
[生]（1）25×22=（2×2×2×2×2）×（2×2）
=27=25+2．
因为25表示5个2相乘，；22表示2个2相乘，根据乘方的意义，同样道理可得
a3·a2=（a·a·a）·（a·a）=a5=a3+2．
5m·5n= （5×5×…×5）×（5×5×…×5）=5m+n．
（让学生自主探索，在启发性设问的引导下发现规律，并用自己的语言叙述）．
[生]我们可以发现下列规律：
（一）这三个式子都是底数相同的幂相乘．
（二）相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和．
2．议一议
am·an等于什么（m、n都是正整数）？为什么？
[师生共析]
am·an表示同底数幂的乘法．根据幂的意义可得：
am·an=(a·a· … ·a)·(a·a· … ·a)= a·a· … ·a =am+n
于是有am·an=am+n（m、n都是正整数），用语言来描述此法则即为：
“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”．
[师]请同学们用自己的语言解释“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的道理，深刻理解同底数幂的乘法法则．
[生]am表示n个a相乘，an表示n个a相乘，am·an表示m个a相乘再乘以n个a相乘，也就是说有（m+n）个a相乘，根据乘方的意义可得am·an=am+n．
[师]也就是说同底数幂相乘，底数不变，指数要降一级运算，变为相加．
3．例题讲解
[例1]计算： （1）x2·x5 （2）a·a6 （3）2×24×23 （4）xm·x3m+1
[例2]计算am·an·ap后，能找到什么规律？
[师]我们先来看例1，是不是可以用同底数幂的乘法法则呢？
[生1]（1）、（2）、（4）可以直接用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则．
[生2]（3）也可以，先算2个同底数幂相乘，将其结果再与第三个幂相乘，仍是同底数幂相乘，再用法则运算就可以了．
[师]同学们分析得很好．请自己做一遍．每组出一名同学板演，看谁算得又准又快．
生板演：
（1）解：x2·x5=x2+5=x7．
（2）解：a·a6=a1·a6=a1+6=a7．
（3）解：2×24×23=21+4·23=25·23=25+3=28．
（4）解：xm·x3m+1=xm+(3m+1)=x4m+1．
[师]接下来我们来看例2．受（3）的启发，能自己解决吗？与同伴交流一下解题方法．
解法一：am·an·ap=（am·an）·ap =am+n·ap=am+n+p；
解法二：am·an·ap=am·（an·ap）=am·an+p=am+n+p．
解法三：am·an·ap=(a·a· … ·a)·(a·a· … ·a)·(a·a· … ·a)= am+n+p．
评析：解法一与解法二都直接应用了运算法则，同时还用了乘法的结合律；解法三是直接应用乘方的意义．三种解法得出了同一结果．我们需要这种开拓思维的创新精神．
[生]那我们就可以推断，不管是多少个幂相乘，只要是同底数幂相乘，就一定是底数不变，指数相加．
[师]是的，能不能用符号表示出来呢？
[生]am1·am2·…·amn=am1+m2+mn
[师]太棒了．那么例1中的第（3）题我们就可以直接应用法则运算了．
2×24×23=21+4+3=28．
Ⅲ．随堂练习:课本练习
Ⅳ．课时小结
[师]这节课我们学习了同底数幂的乘法的运算性质，请同学们谈一下有何新的收获和体会呢？
[生]在探索同底数幂乘法的性质时，进一步体会了幂的意义．了解了同底数幂乘法的运算性质．
[生]同底数幂的乘法的运算性质是底数不变，指数相加．应用这个性质时，我觉得应注意两点：一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质；二是运用这个性质计算时一定是底数不变，指数相加，即am·an=am+n（m、n是正整数）．
Ⅴ．课后作业 课本习题15．2─1．（1）、（2），2．（1）、8．
15个10
12个10
m个5
n个5
m+n个a
n个a
m个a
m个a
n个a
p个a
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§15．4整式的除法 §15．4．1 同底数幂的除法
教学目标
1．同底数幂的除法的运算法则及其应用．
2．同底数幂的除法的运算算理．
教学重点： 准确熟练地运用同底数幂的除法运算法则进行计算．
教学难点： 根据乘、除互逆的运算关系得出同底数幂的除法运算法则．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
[师]
1．叙述同底数幂的乘法运算法则．
2．问题：一种数码照片的文件大小是28K，一个存储量为26M（1M=210K）的移动存储器能存储多少张这样的数码照片？
[生]1．同底数幂相乘，指数相加，底数不变．即：am·an=am+n（m、n是正整数）．
2．移动器的存储量单位与文件大小的单位不一致，所以要先统一单位．移动存储器的容量为26×210=216K．所以它能存储这种数码照片的数量为216÷28．
[生]216、28是同底数幂，同底数幂相除如何计算呢？
[师]这正是我们这节课要探究的问题．
Ⅱ．导入新课
[师]请同学们做如下运算：
1．（1）28×28 （2）52×53 （3）102×105 （4）a3·a3
2．填空：
（1）（ ）·28=216 （2）（ ）·53=55 （3）（ ）·105=107 （4）（ ）·a3=a6
[生]1．（1）28×28=216
（2）52×53=55
（3）102×105=107
（4）a3·a3=a6
2．除法与乘法两种运算互逆，要求空内所填数，其实是一种除法运算，所以这四个小题等价于：
（1）216÷28=（ ） （2）55÷53=（ ） （3）107÷105=（ ） （4）a6÷a3=（ ）
再根据第1题的运算，我们很容易得到答案：（1）28；（2）52；（3）102；（4）a3．
[师]其实我们用除法的意义也可以解决，请同学们思考、讨论．
[生]（1）216÷28
（2）55÷53=
（3）107÷105
（4）a6÷a3=
[师]从上述运算能否发现商与除数、被除数有什么关系？
（学生以小组为单位，展开讨论，教师可深入其中，及时发现问题）
[生甲]我们可以发现同底数幂相除，如果还是幂的形式，而且这个幂的底数没有改变．
[生乙]指数有所变化．（1）8=16-8；（2）2=5-3；（3）2=7-5；（4）3=6-3．所以商的指数应该等于被除数的指数减去除数的指数．
[生丙]这说明同底数幂的除法与同底数幂的乘法的运算法则类似．相同之处是底数不变．不同之处是除法是指数相减，而乘法是指数相加．
[生丁]太对了．那么同底数幂的除法运算法则可以叙述为：同底数幂相除，底数不变，指数相减．即：am÷an=am-n．
[师]同学们总结得很好．但老师还想提一个问题：对于除法运算，有没有什么特殊要求呢？
[生]噢，对了，对于除法运算应要求除数（或分母）不为零，所以底数不能为零．
[师]下面我们来共同推导同底数幂相除的运算法则：
方法一：am÷an= =am-n
方法二：根据除法是乘法的逆运算
∵am-n·an=am-n+n=am
∴am÷an=am-n．
要求同学们理解着记忆同底数幂的除法的运算法则：
同底数幂相除，底数不变，指数相减．
即：am÷an=am-n（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）
例题讲解
1．计算：
（1）x8÷x2 （2）a4÷a （3）（ab）5÷（ab）2
2．先分别利用除法的意义填空，再利用am÷an=am-n的方法计算，你能得出什么结论？
（1）32÷32=（ ） （2）103÷103=（ ） （3）am÷an=（ ）（a≠0）
1．解：（1）x8÷x2=x8-2=x6．
（2）a4÷a=a4-1=a3．
（3）（ab）5÷（ab）2=（ab）5-2=（ab）3=a3b3．
2．解：先用除法的意义计算．
32÷32=1 103÷103=1 am÷am=1（a≠0）
再利用am÷an=am-n的方法计算．
32÷32=32-2=30
103÷103=103-3=100
am÷am=am-m=a0（a≠0）
这样可以总结得a0=1（a≠0）
于是规定：
a0=1（a≠0）
即：任何不等于0的数的0次幂都等于1．
[生]这样的话，我们学习的同底数幂的除法的运算法则就可以扩展到：
am÷an=am-n（a≠0，m、n都是正整数，且m≥n）．
[师]说得有理．下面请同学们完成一组闯关训练，看哪一组完成得最出色．
Ⅲ．随堂练习
课本练习．
让学生独立运算，然后交流计算心得，从而达到熟悉运算法则的目的．
Ⅳ．课时小结
这节课大家利用除法的意义及乘、除互逆的运算，揭示了同底数幂的除法的运算规律，并能运用运算法则解决简单的计算问题，积累了一定的数学经验．
Ⅴ．课后作业 1．课本习题15．4─1、5题． 2．预习“整式的除法”
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§15．2．3幂的乘方
教学目标：1、经历探索幂的乘方与积的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力。2、了解幂的乘方与积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题。
教学重点：会进行幂的乘方的运算。
教学难点：幂的乘方法则的总结及运用。
活动准备：计算（1）（x+y）2·（x+y）3 （2）x2·x2·x+x4·x
（3）（0.75a）3·（a）4 （4）x3·xn-1－xn-2·x4
教学过程：
通过练习的方式，先让学生复习乘方的知识，并紧接着利用乘方的知识探索新课的内容。
1、 探索练习：
1、 64表示_________个___________相乘. (62)4表示_________个___________相乘.
a3表示_________个___________相乘. (a2)3表示_________个___________相乘.
在这个练习中，要引导学生观察，推测(62)4与(a2)3的底数、指数。并用乘方的概念解答问题。
2、（62）4=_____×_____×___×____ =__________(根据an·am=anm)=__________
（33）5=____×_____×_____×_____×_____ =__________(根据an·am=anm) =_______
（a2）3=_______×_________×_______ =__________(根据an·am=anm) =__________
（am）2=________×_________ =__________(根据an·am=anm) =__________
（am）n=_____×_____×…×____×_____ =__________(根据an·am=anm =__________
即 （am）n= ______________(其中m、n都是正整数)
通过上面的探索活动,发现了什么 幂的乘方,底数__________,指数__________.
学生在探索练习的指引下,自主的完成有关的练习,并在练习中发现幂的乘方的法则,从猜测到探索到理解法则的实际意义从而从本质上认识、学习幂的乘方的来历。教师应当鼓励学生自己发现幂的乘方的性质特点（如底数、指数发生了怎样的变化）并运用自己的语言进行描述。然后再让学生回顾这一性质的得来过程，进一步体会幂的意义。
巩固练习：
1、 1、计算下列各题：（1）（103）3 （2）[（）3]4 （3）[（－6）3]4 （4）（x2）5
（5）－（a2）7 （6）－（as）3 （7）（x3）4·x2 （8）2（x2）n－（xn）2 （9）[（x2）3]7
学生在做练习时，不要鼓励他们直接套用公式，而应让学生说明每一步的运算理由，进一步体会乘方的意义与幂的意义。
2、 判断题，错误的予以改正。
（1）a5+a5=2a10 （ ） （2）（s3）3=x6 （ ）
（3）（－3）2·（－3）4=（－3）6=－36 （ ）
（4）x3+y3=（x+y）3 （ ） （5）[（m－n）3]4－[（m－n）2]6=0 （ ）
学生通过练习巩固刚刚学习的新知识。在此基础上加深知识的应用.
2、 提高练习：
1、计算 5（P3）4·（－P2）3+2[（－P）2]4·（－P5）2 [（－1）m]2n+1m-1+02002―（―1）1990
2、若（x2）n=x8，则m=_____________. 3、若[（x3）m]2=x12，则m=_____________。
4、若xm·x2m=2，求x9m的值。 5、若a2n=3，求（a3n）4的值。
6、已知am=2,an=3,求a2m+3n的值.
小 结：会进行幂的乘方的运算。
作 业：课本习题1.7：1、2、3。
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§15．3．2．2 完全平方公式（二）
教学目标
1．添括号法则．
2．利用添括号法则灵活应用完全平方公式．
教学重点： 理解添括号法则，进一步熟悉乘法公式的合理利用．
教学难点： 在多项式与多项式的乘法中适当添括号达到应用公式的目的．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
[师]请同学们完成下列运算并回忆去括号法则．
（1）4+（5+2） （2）4-（5+2） （3）a+（b+c） （4）a-（b-c）
[生]解：（1）4+（5+2）=4+5+2=11
（2）4-（5+2）=4-5-2=-3
或：4-（5+2）=4-7=-3
（3）a+（b+c）=a+b+c
（4）a-（b-c）=a-b+c
去括号法则：
去括号时，如果括号前是正号，去掉括号后，括号里的每一项都不改变符合；如果括号前是负号，去掉括号后，括号里的各项都改变符合．
也就是说，遇“加”不变，遇“减”都变．
[师]∵4+5+2与4+（5+2）的值相等；4-5-2与4-（5+2）的值相等．所以可以写出下列两个等式：
（1）4+5+2=4+（5+2） （2）4-5-2=4-（5+2）
左边没括号，右边有括号，也就是添了括号，同学们可不可以总结出添括号法则来呢？
（学生分组讨论，最后总结）
[生]添括号其实就是把去括号反过来，所以添括号法则是：
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
也是：遇“加”不变，遇“减”都变．
[师]能举例说明吗？
[生]例如a+b-c，要对+b-c项添括号，可以让a先休息，括号前添加号，括号里的每项都不改变符号，也就是+（+b-c），括号里的第一项若系数为正数可省略正号即+（b-c），于是得：a+b-c=a+（b-c）；若括号前添减号，括号里的每一项都改变符号，+b改为-b，-c改为+c．也就是-（-b+c），于是得a+b-c=a-（-b+c）．添加括号后，无论括号前是正还是负，都不改变代数式的值．
[师]你说得很有条理，也很准确．
请同学们利用添括号法则完成下列练习：
1．在等号右边的括号内填上适当的项：
（1）a+b-c=a+（ ）
（2）a-b+c=a-（ ）
（3）a-b-c=a-（ ）
（4）a+b+c=a-（ ）
2．判断下列运算是否正确．
（1）2a-b-=2a-（b-）
（2）m-3n+2a-b=m+（3n+2a-b）
（3）2x-3y+2=-（2x+3y-2）
（4）a-2b-4c+5=（a-2b）-（4c+5）
（学生尝试或独立完成，然后与同伴交流解题心得．教师遁视学生完成情况，及时发现问题，并帮助个别有困难的同学）
总结：添括号法则是去括号法则反过来得到的，无论是添括号，还是去括号，运算前后代数式的值都保持不变，所以我们可以用去括号法则验证所添括号后的代数式是否正确．
Ⅱ．导入新课
[师]有些整式相乘需要先作适当的变形，然后再用公式，这就需要同学们理解乘法公式的结构特征和真正内涵．请同学们分组讨论，完成下列计算．
例：运用乘法公式计算
（1）（x+2y-3）（x-2y+3）
（2）（a+b+c）2
（3）（x+3）2-x2
（4）（x+5）2-（x-2）（x-3）
（让学生充分讨论，鼓励学生用多种方法运算，从而达到灵活应用公式的目的）
分析：（1）是每个因式都是三项和的整式乘法，我们可以用添括号法则将每个因式变为两项的和，再观察到2y-3与-2y+3是相反数，所以应在2y-3和-2y+3项添括号，以便利用乘法公式，达到简化运算的目的．
（2）是一个完全平方的形式，只须将a+b+c中任意两项结合添加括号变为两项和，便可应用完全平方公式进行运算．
（3）是完全平方公式计算，也可以逆用平方差公式计算．
（4）完全平方公式计算与多项式乘法计算，但要注意运算顺序，减号后面的积算出来一定先放在括号里，然后再用去括号法则进行计算，这样就可以避免符号上出现错误．
Ⅲ．随堂练习
1．课本练习2．
2．课本习题15．3─3．
Ⅳ．课时小结
通过本节课的学习，你有何收获和体会？
[生]我们学会了去括号法则和添括号法则，利用添括号法则可以将整式变形，从而灵活利用乘法公式进行计算．
[生]我体会到了转化思想的重要作用，学数学其实是不断地利用转化得到新知识，比如由繁到简的转化，由难到易的转化，由已知解决未知的转化等等．
[师]同学们总结得很好．在今后的学习中希望大家继续勇敢探索，一定会有更多发现．
Ⅴ．课后作业
课本习题15．3─5、6、8、9题．
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第十五章 整式 回顾与思考
教学目标: 1．整式概念及其加减混合运算． 2．幂的运算性质． 3．整式的乘法运算．
4．整式的除法运算． 5．分解因式．
教学重点: 熟练掌握整式运算性质，并能熟练地进行整式的有关运算．
教学难点: 灵活运用所学知识解决问题．
教学过程
Ⅰ．梳理本章知识，创建知识结构
1．举例说明什么是单项式？什么是多项式？从而引出整式概念．
2．请看下列运算，分析它属于我们学过的哪部分知识内容？
（1）（2a+3y）-（6-n-3y）
（2）（3x+1）（x+2）
（3）（4a3b-6a2b2+12ab2）÷2ab
（4）4x2y-6xy2=2xy（2x-3y）
给学生充分的讨论、回忆、交流时间，然后通过课件演示，帮学生建立知识结构．
演示完毕后，再让学生根据结构图添加适当的实例，从而达到融会贯通的目的．
Ⅱ．数形结合，直观理解公式
通过课件演示图形的变化，从直观认识的角度解释整式运算性质，进一步理解整式运算的算理．
图形（一）
矩形ABCD的面积：（a+n）（m+b）=am+ab+mn=nb
图形（二）
正方形ABCD的面积（a+b）2=a2+2ab+b2
正方形A1B1C1D1的面积（a-b）2=a2-2ab+b2
图形（三）
左图中阴影部分面积：a2-b2
将ABCD平移至右边得到一矩形，面积为：（a+b）（a-b）．
所以a2-b2=（a+b）（a-b）
应用举例：
1．课本习题15．5─8 （x-2）2=x2-2·2x+22．
如图所示
2．课本观察与思考: 将下列四个矩形拼成一个大矩形
所以x2+px+qx+pq=x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）
判断改错：
（1）（a-b）2=a2-b2 （2）（a+b）（b-a）=a2-b2 （3）（x+2y）（x-2y）=x2-2y2
（4）（x-2y）2=x2-2xy-2y2 （可以让学生口叙，加深对乘法公式的理解）
Ⅲ．掌握基本运算与方法，夯实基础
完成下列计算，以小组为单位展开竞赛，以既快又准的组为获胜组，激发学生的学习兴趣．
1． 将下列四项各乘以a+2b的结果填入右框中
2．计算：
（1）（4a2b-3ab）+（-5a2b+2ab）
（2）5x2（x+1）（x-1）
（3）（a3x4-0.9ax3）÷ax3
（4）[x（x2y2-xy）-y（x2-x3y）]÷3x2y
3．计算： （1）1982 （2）59.8×60.2
4．分解因式 （1）x3-9x； （2）16x4-1； （3）6xy2-9x2y-y3．
答案：
1．a2+4ab+4b2；a2-4b2；4b2-a2；-a2-4ab-4b2．
2．（1）-a2b-ab； （2）5x4-5x2； （3）2a2x-； （4）xy-．
3．（1）1982=（200-2）2=…=39204． （2）59.8×60.2=（60-0.2）（60+0.2）=…=3599.96．
4．（1）x3-9x=x（x2-32）=x（x+3）（x-3）． （2）16x4-1=（4x2+1）（4x2-1）=（4x2+1）（2x+1）（2x-1）．
（3）6xy2-9x2y-y3=-y（9x2-6xy+y2）=-y[（3x）2-2·3x·y+y2] =-y（3x-y）2．
Ⅳ．运用整式运算解决实际问题──“用数学”
1．正方体的棱长为3xcm，那么它的体积是_______cm3；它的表面得_______cm2．
2．长方形花坛的面积S=2a4x-4ax3，若它的长为2ax，求它的宽．
3．课本复习题15─14． 4．课本复习题15─12．
答案：1．解：体积为（3x）3=33·x3=27x3 表面积为6·（3x）2=6·32·x2=54x2
2．解：长方形的宽=（2a4x-4ax3）÷2ax=a3-2x2．
3．分析：设这种产品的原价为a．
方案1：第一次提价p%后价格为a（1+p）%，第二次提价q%后价格为a（1+p）%·（1+q）%．
同理可得：按方案2，两次提价后此产品价格为a（1+q%）（1+p%），根据乘法的交换律，方案1与方案2二次提价后的价格相同．
对于方案3，二次提价后的价格为：a（1+ %）2．
要想比较三种方案哪种提价最多，可做如下比较：
a（1+%）2-a（1+p%）（1+q%）
=a{1+（p+q）%+[（）%]2-[1+p%+q%+（pq%）2]}
=a[（%）2-·（pq）%+（%）2]
=（p%-q%）2
因为p≠q，所以（p%-q%）2>0．
即a（1+）2>a（1+p%）（1+q%）
于是得方案3提价最多．
4．分析：从形式上这个不等式组不是一元一次不等式组，但通过整式运算后，即可化为一元一次不等式组．
解：
可化为
移项合并同类项得： 解得
即Ⅴ．课后作业 课本复习题15．
Ⅵ．活动与探究: 设a表示一个两位数，b表示一个三位数，把a放在b的左边组成一个五位数，x把b放在a的左边组成一个五位数y，试问x-y能被9整除吗？说明理由．
过程：由题意能发现x与a、b，y与a、b有下列关系：
x=1000a+b，y=100b+a
则x-y=（1000a+b）-（100b+a）
=999a-99b
=9（111a-11b）
所以说x-y能被9整除．
结论：x-y能被9整除．
最后回放本章的知识结构图，使学生在熟练运算法则及运算技能后，对本章知识有更深刻的认识．
备课资料
一、判断题（5分） 1．x5·x5=2x5．（ ） 2．a2·a3=a6．（ ）
3．（x-y）2·（y-x）4=（x-y）6．（ ） 4．a2n+1=（an+1）2（ ） 5．（xy2）3=x3y6（ ）
二、填空题（每小题2分，共20分）
1．（5a2+2a-1）-4（3-8a+2a2）=_________． 2．（-b）2·（-b）3·（-b）5=_________．
3．-2a（3a-4b）=________． 4．（9x+4）（2x-1）=_________．
5．（3x+5y）·________=9x2-25y2． 6．（x+y）2-_______=（x-y）2．
7．若x2+x+m是一个完全平方式，则m=________． 8．若2x+y=3，则4x·2y=________．
9．若x（y-1）-y（x-1）=4，则-xy=_______． 10．若m2+m-1=0，则m3+2m2+2001=_______．
三、判断题（每小题3分，共24分）
1．下列计算正确的是（ ）
A．2x3·3x4=5x7 B．3x3·4x3=12x3 C．2a3+3a3=5a6 D．4a3·2a2=8a5
2．下列各式计算结果不正确的是（ ）
A．ab（ab）2=a3b3 B．a3b2÷2ab=a2b C．（2ab2）3=8a3b6 D．a3÷a3·a3=a2
3．下列多项式中是完全平方式的是（ ）
A．2x2+4x-4 B．16x2-8y2+1 C．9a2-12a+4 D．x2y2+2xy+y2
4．两个连续奇数的平方差是（ ）
A．6的倍数 B．8的倍数 C．12的倍数 D．16的倍数
5．已知x+y=7，xy=-8，下列各式计算结果不正确的是（ ）
A．（x-y）2=81 B．x2+y2=65 C．x2+y2=511 D．x2-y2=±63
6．（）2+（）0+102计算后其结果为（ ）
A．1 B．201 C．101 D．100
7．（-）1997×（-2）1997等于（ ）
A．-1 B．1 C．0 D．1997
8．已知a-b=3，那么a3-b3-9ab的值是（ ）
A．3 B．9 C．27 D．81
四、计算（每小题5分，共20分）
1．用乘法公式计算：14×15． 2．-12x3y4÷（-3x2y3）·（-xy）．
3．（x-2）2（x+2）2·（x3+4）2． 4．（5x+3y）（3y-5x）-（4x-y）（4y+x）
五、解方程（组）（每小题5分，共10分）
1．（3x+2）（x-1）=3（x-1）（x+1）． 2．
六、利用因式分解计算：（4×4=16分）
（1）1279的5%，减去897的5%，差是多少； （2）869的36%，加上869的54%，和是多少；
（3）（x2+4）2-16x2 （4）（a+b+c）2-（a-b-c）2
七、一个正方形的一边增加3cm，相邻一边减少3cm，所得矩形面积与这个正方形的每边减去1cm所得正方形面积相等，求这矩形的长和宽．（5分）
答案： 一、1．× 2．× 3．∨ 4．× 5．×
二、1．-3a2+34a-13 2．b10 3．-6a2+8ab 4．18x2-x-4 5．（3x-5y） 6．4xy 7． 8．8 9．8 10．2002
三、1．D 2．D 3．C 4．B 5．C 6．C 7．B 8．C
四、1．224 2．-x2y2 3．x8-32x4+256 4．13y2-29x2-15xy
五、1．x=1 2． 六、（1）-30 （2）782.1 （3）（x+2）2（x-2）2 （4）4a（b+c）
七、设正方形边长为x，则（x+3）（x-3）=（x-1）2解得x=5，所以这个矩形的长与宽分别是8和2．
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课题： 15．2 .4.2 整式的乘法(2)
教学目标 ①探索并了解单项式与单顷式、单项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算，②让学生主动参与到探索过程中去，逐步形成独立思考、主动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望与能力．
教学重点 单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则．
教学难点 单项式与多项式相乘去括号法则的应用．
教学过程（师生活动）
复习引新 1．知识回顾： 回忆幂的运算性质： am·an＝am＋n(m，n都是正整数) 即同底数幂相乘，底数不变，指数相加． (am)n＝amn(m，n都是正整数) 即幂的乘方，底数不变，指数相乘． (ab)n＝anbn(n为正整数)即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．2．练一练口答：(a2)2＝______；(－23)2＝______；[(－)2]3＝______；(a3)2·a3＝______；23·25＝______；(xy2)2＝______；(－)5(－)5＝______．
创设情境引入新课 问题 光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗 地球与太阳的距离约为(3×105)×(5×102)千米． 问题是(3×105)×(5×102)等于多少呢 学生提出运用乘法交换律和结合律可以解决： (3×105)×(5×102) ＝(3×5)×(105×102) ＝15×107(为什么 ) 在此处再问学生更加规范的书写是什么 应该是地球与太阳的距离约为1.5×108千米。 请学生回顾，我们是如何解决问题的．
探究新知 1.问题：如果将上式中的数字改为字母，即ac5·bc2，你会算吗 学生独立思考，小组交流． 学生分析：跟刚才的解决过程类似，可以将ac5和bc2分别看成a·c5和b·c2，再利用乘法交换律和结合律． ac5·bc2 ＝(a·c5)·(b·c2) ＝(a·b)·(c5·c2) ＝abc5＋2＝abc7 2．试一试： 类似地，请你试着计算：(1)2c5·5c2；(2)(－5a2b3)·(－4b2c) ac5和bc2，2c5和5c2，(－5a2b3)和(－4b2c)都是单项式，通过刚才的尝试，谁能告诉大家怎样进行单项式乘法 学生小结：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．3．算一算例1教科书例4例2 小民的步长为a米，他量得家里的卧室长15步，宽14步，这间卧室的面积有多少平方米 4．辩一辩 教科书练习2
深入探究 1．师生共同研究教科书第174页的问题，对单项式与多项式相乘的方法能有感性认识． 2．试一试 计算：2a2·(3a2－5b) (根据乘法分配律，不难算出结果吧！) 3．想一想: 从上面解决的两个问题中，谁能总结一下，怎样将单项式和多项式相乘 学生发言，互相补充后得出结论： 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 4．做一做: 教科书例5(在学习过程中提醒学生注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号)
课外巩固 1．必做题：教科书习题15．2第3、4、6题 2．备选题： (1)若(－5am＋1b2n－1)(2anbm)＝－lOa4b4，则m－n的值为( ) (2)计算：(a3b)2(a2b)3 (3)计算：(3a2b)2＋(－2ab)(－4a3b) (4)计算：(－xy)·(xy2－2y＋y)
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§15．3 乘法公式
§15．3．1 平方差公式
教学目标
1．经历探索平方差公式的过程． 2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算．
教学重点： 平方差公式的推导和应用．
教学难点： 理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
[师]你能用简便方法计算下列各题吗？
（1）2001×1999 （2）998×1002
[生甲]直接乘比较复杂，我考虑把它化成整百，整千的运算，从而使运算简单，2001可以写成2000+1，1999可以写成2000-1，那么2001×1999可以看成是多项式的积，根据多项式乘法法则可以很快算出．
[生乙]那么998×1002=（1000-2）（1000+2）了．
[师]很好，请同学们自己动手运算一下．
[生]（1）2001×1999=（2000+1）（2000-1）
=20002-1×2000+1×2000+1×（-1）
=20002-1
=4000000-1
=3999999．
（2）998×1002=（1000-2）（1000+2）
=10002+1000×2+（-2）×1000+（-2）×2
=10002-22
=1000000-4
=1999996．
[师]2001×1999=20002-12
998×1002=10002-22
它们积的结果都是两个数的平方差，那么其他满足这个特点的运算是否也有这个规律呢？我们继续进行探索．
Ⅱ．导入新课
[师]
计算下列多项式的积．
（1）（x+1）（x-1）
（2）（m+2）（m-2）
（3）（2x+1）（2x-1）
（4）（x+5y）（x-5y）
观察上述算式，你发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？再举两例验证你的发现．
（学生讨论，教师引导）
[生甲]上面四个算式中每个因式都是两项．
[生乙]我认为更重要的是它们都是两个数的和与差的积．例如算式（1）是x与1这两个数的和与差的积；算式（2）是m与2这两个数的和与差的积；算式（3）是2x与1这两个数的和与差的积；算式（4）是x与5y这两个数的和与差的积．
[师]这个发现很重要，请同学们动笔算一下，相信你还会有更大的发现．
[生]解：（1）（x+1）（x-1）
=x2+x-x-1=x2-12
（2）（m+2）（m-2）
=m2+2m-2m-2×2=m2-22
（3）（2x+1）（2x-1）
=（2x）2+2x-2x-1=（2x）2-12
（4）（x+5y）（x-5y）
=x2+5y·x-x·5y-（5y）2
=x2-（5y）2
[生]从刚才的运算我发现：
也就是说，两个数的和与差的积等于这两个数的平方差，这和我们前面的简便运算得出的是同一结果．
[师]能不能再举例验证你的发现？
[生]能．例如：
51×49=（50+1）（50-1）=502+50-50-1=502-12．
即（50+1）（50-1）=502-12．
（-a+b）（-a-b）=（-a）·（-a）+（-a）·（-b）+b·（-a）+b·（-b）
=（-a）2-b2=a2-b2
这同样可以验证：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
[师]为什么会是这样的呢？
[生]因为利用多项式与多项式的乘法法则展开后，中间两项是同类项，且系数互为相反数，所以和为零，只剩下这两个数的平方差了．
[师]很好．请用一般形式表示上述规律，并对此规律进行证明．
[生]这个规律用符号表示为：
（a+b）（a-b）=a2-b2．其中a、b表示任意数，也可以表示任意的单项式、多项式．
利用多项式与多项式的乘法法则可以做如下证明：
（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2．
[师]同学们真不简单．老师为你们感到骄傲．能不能给我们发现的规律（a+b）（a-b）=a2-b2起一个名字呢？
[生]最终结果是两个数的平方差，叫它“平方差公式”怎样样？
[师]有道理．这就是我们探究得到的“平方差公式”，请同学们分别用文字语言和符号语言叙述这个公式．
（出示投影）
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
即：（a+b）（a-b）=a2-b2
平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，用它直接运算会很简便，但必须注意符合公式的结构特征才能应用．
在应用中体会公式特征，感受平方差公式给运算带来的方便，从而灵活运用平方差公式进行计算
（
）
例1：运用平方差公式计算：
（1）（3x+2）（3x-2）
（2）（b+2a）（2a-b）
（3）（-x+2y）（-x-2y）
例2：计算：
（1）102×98
（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）
[师生共析]运用平方差公式时要注意公式的结构特征，学会对号入座．
在例1的（1）中可以把3x看作a，2看作b．
即：（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22
（a+b）（a-b）=a2-b2
同样的方法可以完成（2）、（3）．如果形式上不符合公式特征，可以做一些简单的转化工作，使它符合平方差公式的特征．比如（2）应先作如下转化：
（b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）．
如果转化后还不能符合公式特征，则应考虑多项式的乘法法则．
（作如上分析后，学生可以自己完成两个例题．也可以通过学生的板演进行评析达到巩固和深化的目的）
[例1]解：（1）（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22=9x2-4．
（2）（b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）=（2a）2-b2=4a2-b2．
（3）（-x+2y）（-x-2y）=（-x）2-（2y）2=x2-4y2．
[例2]解：（1）102×98=（100+2）（100-2）
=1002-22=10000-4=9996．
（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）
=y2-22-（y2+5y-y-5）
=y2-4-y2-4y+5
=-4y+1．
[师]我们能不能总结一下利用平方差公式应注意什么？
[生]我觉得应注意以下几点：
（1）公式中的字母a、b可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式即整式．
（2）要符合公式的结构特征才能运用平方差公式．
（3）有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式．
[生]运算的最后结果应该是最简才行．
[师]同学们总结得很好．下面请同学们完成一组闯关练习．优胜组选派一名代表做总结发言．
Ⅲ．随堂练习
计算：
（1）（a+b）（-b+a）
（2）（-a-b）（a-b）
（3）（3a+2b）（3a-2b）
（4）（a5-b2）（a5+b2）
（5）（a+2b+2c）（a+2b-2c）
（6）（a-b）（a+b）（a2+b2）
Ⅳ．课时小结
通过本节学习我们掌握了如下知识．
（1）平方差公式
两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差．这个公式叫做乘法的平方差公式．即（a+b）（a-b）=a2-b2．
（2）公式的结构特征
①公式的字母a、b可以表示数，也可以表示单项式、多项式；
②要符合公式的结构特征才能运用平方差公式；
③有些式子表面上不能应用公式，但通过适当变形实质上能应用公式．如：（x+y-z）（x-y-z）=[（x-z）+y][（x-z）-y]=（x-z）2-y2．
Ⅴ．课后作业
1．课本练习1、2．
2．课本习题15．3─1题．
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课题： 15．2 整式的乘法(3)
教学目标 ①探索并了解多项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算．②让学生主动参与到一些探索过程中去，逐步形成独立思考，主动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望和能力．
教学重点 多项式与多项式相乘．
教学难点 多项式与多项式相乘．
教学过程（师生活动） 设计理念
复习引新 1．前面这节课我们研究了单项式与单项式、单项式与多项式相乘的方法，请同学回忆方法． 2．练一练：教科书练习1、2 我们再来看一看第一节课悬而未决的问题：为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长a米，宽m米的长方形绿地增长b米，加宽n米(课件展示街心花园实景，而后抽象成数学图形，并用不同的色彩表示出原有部分及其新增部分)．提出问题：你能用几种方法表示扩大后绿地的面积 不同的表示方法之间有什么关系 学生独立思考后交换各自的解法： 方法一：这块花园现在长(a＋b)米，宽(m＋n)米，因而面积为(a＋b)(m＋n)米2． 方法二：这块花园现在是由四小块组成，它们的面积分别为： am米2、an米2、bm米2、bn米2，故这块绿地的面积为(am＋an＋bm＋bn)米2． (a＋b)(m＋n)和(am＋an十bm十bn)表示同一块绿地的面积，所以有(a＋b)(m十n)＝am＋an＋bm＋bn 用不同的方法怎样表示扩大后的绿地面积 用不同的方法得到的代数式为什么是相等的呢 这个问题激起学生的求知欲望，引起学生对多项式乘法学习的兴趣．借助几何图形的直观，使学生从图形中可以看到(a＋b)(m＋n)是一个长方形的面积，而这个长方形又可以分割成四小块，它们的面积和是am＋an＋bm＋bn，因此，(a＋b)(m＋n)＝am＋an＋bm＋bn，让学生对这个结论有直现感受．
探究新知 引导学生观察等式的左边(a＋b)(m＋n)是两个多项式(a＋b)与(m＋n)相乘，我们从刚才问题的解决过程中发现了多项式与多项式相乘的方法． 进一步引导学生，如果我们把(m＋n)看成一个整体，那么两个多项式(a＋b)与(m＋n)相乘的问题就转化为单项式与多项式相乘，这是一个我们已经解决的问题，请同学们试着做一做． 1．做一做 (a＋b)(m＋n) ＝a(m＋n)＋b(m＋n) ＝am＋an＋bm＋bn 2．讲一讲 让学生试着总结多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 3．试一试 例1 教科书例6 教学中要强调多项式与多项式相乘的基本法则，提醒学生注意多项式的每一项都应该带上他前面的正负号。多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时一定要注意确定积中各项的符号． 例2 先化简，再求值： (a－3b)2＋(3a＋b)2－(a＋5b)2＋(a－5b)2，其中a＝－8，b＝－6 4．练一练 教科书第177页练习1 把(m＋n)看成一个单项式，因学生过去接触不多，可能不易理解．实际上，这是一个很重要的思想和方法．学习一种新的知识、方法，通常的做法是把它归结为已知的数学知识、方法，从而使学习能够进行．在此，如果学生真正理解了把(m＋n)看成一个单项式，那么，两次运用单项式与多项式相乘的法则，就得出多项式相乘的法则了。
深入探索 1．试一试 例3 计算：(x＋2)(x－3) 2．想一想 问：结果中的x2，－6是怎样得到的 学生口答． 继续完成教科书练习2 问：从刚才解决问题的过程中你们有什么发现吗 (1)学生交流各自的发现． (2)结合教科书练习第3题图，直观认识规律，并完成此题． 3．练一练 (1)计算(口答)； ①(x＋2)(x＋3)； ②(x－1)(x＋2)； ③(x＋2)(x－2)； ④(x－5)(x－6)； ⑤(x＋5)(x＋5)； ⑥(x－5)(x－5)； (2)口答：教科书第178页习题15．2第12题． 4．用一用 例4 一块长m米，宽n米的玻璃，长宽各裁掉a米后恰好能铺盖一张办公桌台面(玻璃与台面一样大小)，问台面面积是多少 让学生通过“试一试”、“想一想”，结合直观图形，自己尝试发现规律，激发学生对问题中所 蕴藏的一些数学规律进行探索的兴趣。
课外巩固 1．必做题：教科书第6、7、8、9、10、11题． 2．备选题： (1)计算：(x＋2y－1)2 (2)已知x2－2x＝2，将下式化简，再求值． (x－1)2＋(x＋3)(x－3)＋(x－3)(x－1) (3)小明找来一张挂历画包数学课本．已知课本长a厘米，宽b厘米，厚c厘米，小明想将课本封面与封底的每一边都包进去m厘米．问小明应该在挂历画上裁下多大面积的长方形
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§15．5．3．2 公式法（二）
教学目标
用完全平方公式分解因式
教学重点： 用完全平方公式分解因式．
教学难点： 灵活应用公式分解因式．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
问题1：根据学方差公式分解因式的经验和方法，分析和推测什么叫做运用完全平方公式分解因式？能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？
问题2：把下列各式分解因式．
（1）a2+2ab+b2
（2）a2-2ab+b2
[生]将整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因式的平方差公式．同样道理，把整式乘法的完全平方公式反过来写即分解因式的完全平方公式．
[师]能不能用语言叙述呢？
[生]能．两个数的平方和，加上（或减去）这两数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．
问题2其实就是完全平方公式的符号表示．即：a2+2ab+b2=（a+b）2，a2-2ab+b2（a-b）2．
[师]今天我们就来研究用完全平方公式分解因式．
Ⅱ．导入新课
下列各式是不是完全平方式？
（1）a2-4a+4 （2）x2+4x+4y2 （3）4a2+2ab+b2 （4）a2-ab+b2
（5）x2-6x-9 （6）a2+a+0.25
（放手让学生讨论，达到熟悉公式结构特征的目的）．
结果：（1）a2-4a+4=a2-2×2·a+22=（a-2）2
（3）4a2+2ab+b2=（2a）2+2×2a·b+（b）2=（2a+b）2
（6）a2+a+0.25=a2+2·a·0.5+0.52=（a+0.5）2
（2）、（4）、（5）都不是．
方法总结：分解因式的完全平方公式，左边是一个二次三项式，其中有两个数的平方和还有这两个数的积的2倍或这两个数的积的2倍的相反数，符合这些特征，就可以化成右边的两数和（或差）的平方．从而达到因式分解的目的．
例题解析
[例1]分解因式：
（1）16x2+24x+9 （2）-x2+4xy-4y2
[例2]分解因式：
（1）3ax2+6axy+3ay2 （2）（a+b）2-12（a+b）+36
学生有前一节学习公式法的经验，可以让学生尝试独立完成，然后与同伴交流、总结解题经验．
[例1]（1）分析：在（1）中，16x2=（4x）2，9=32，24x=2·4x·3，所以16x2+14x+9是一个完全平方式，即
解：（1）16x2+24x+9
=（4x）2+2·4x·3+32
=（4x+3）2．
（2）分析：在（2）中两个平方项前有负号，所以应考虑添括号法则将负号提出，然后再考虑完全平方公式，因为4y2=（2y）2，4xy=2·x·2y．
所以：
解：-x2+4xy-4y2=-（x2-4xy+4y2）
=-[x2-2·x·2y+（2y）]2
=-（x-2y）2．
练一练： 把下列多项式分解因式：
（1）6a-a2-9；
（2）-8ab-16a2-b2；
（3）2a2-a3-a；
（4）4x2+20（x-x2）+25（1-x）2
Ⅲ．随堂练习 课本练习1、2．
Ⅳ．课时小结
学习因式分解内容后，你有什么收获，能将前后知识联系，做个总结吗？
（引导学生回顾本大节内容，梳理知识，培养学生的总结归纳能力，最后
，给出分解因式的知识框架图，使学生对这部分知识有一个清晰的了解）
Ⅴ．课后作业 课本练习15．5─3、5、8、9、10题．
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课题： 15．2.4.1 整式的乘法(1)
教学目标 ①感受生活中幂的运算的存在与价值．②经历自主探索同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方等运算性质的过程，能用代数式和文字正确地表述这些性质，并会运用它们熟练地进行计算．③逐步形成独立思考、主动探索的习惯．④通过由特殊到一般的猜想与说理、验证，培养学生一定的说理能力和归纳表达能力．
教学重点 幂的三个运算性质．
教学难点 幂的三个运算性质．
教学过程（师生活动）
创设情境导入新课 问题：一种电子计算机每秒可以进行1012次运算，它工作103s可以进行多少次运算 你能用学过的知识解决吗 学生略作思考后得出，它工作103s可以进行的运算次数是1012×103．怎样计算1012×103 根据乘方的意义可以知道：
探究新知 根据乘方的意义填空：1．探一探 (1)22×25＝2( )； (2)a4×a3=a( )；(3)(-)3×(-)2＝(-)( )(4)5m×5n＝5( )． 学生独立思考后回答，教师板演．2．猜一猜 问：看看计算结果，你能发现结果有什么规律吗 学生小组讨论后交流结果：不管底数是什么数，只要底数相同，结果就是指数相加．3．说一说: am×an(m，n是正整数) 学生说出理由，教师板演共同得出结论：am×an=am+n(m，n都是正整数) 即同底数幂相乘，底数不变，指数相加．4．想一想 am×an×ap＝ 5．做一做 例1 教科书的例1(1)～(4) (5)-a3·a5； (6)(x+1)2·(x+1)36．自主学习: 根据乘方的意义及同底数幂的乘法，让学生自主探究教科书第170页探究问题．学生在独立思考、合作交流的基础上，得出幂的乘方运算性质：(am)n＝amn(m，n都是正整数)即幂的乘方，底数不变，指数相乘．7．做一做: 例2 教科书第171页的例2(1)～(4) (5)-(x3)4·x28．想一想: 让学生自主探究教科书第171页的探究问题，并完成填空；尝试分析运算过程中用到哪些运算律 运算结果有什么规律 学生自己归纳出积的乘方的运算性质：(ab)n＝anbn(n为正整数)即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 那么，(abc)n＝ 9．做一做:例3 教科书的例3(1)～(4) (5)[-3(x+y)2]3例4 计算：x·(x2)3-2x4·x3
比一比 这节课我们学习了三个运算性质：“同底数幂的乘法”、“幂的乘方”和“积的乘方”．组织学生进行计时比赛，在规定时间内完成教科书第170页、1．7l页、172页的练习．
深入探究 例5 计算： (1)(-8)2004·(-0.125)2005； (2)(-2)2n+1+2·(-2)2n(n为正整数)．
议一议 下面的计算对不对 如果不对，应当怎样改正． (1)a3·a3＝a6； (2)b4·b4＝2b4； (3)x5+x5=x10； (4)y7·y=y8； (5)(a3)5＝a8； (6)a3·a5＝a15； ( )(a2)3·a4＝a9； (6)(xy3)2=xy6； (9)(-2x)3=-2x3
小结 组织学生讨论和辨析三个运算性质
课外巩固 1．必做题：教科书习题15.2第1、2题．2．备选题：(1)计算：(-9)3×(-)6×(1)3 (2)计算：am-1·an+2+am+2·an-1+am·an+1(3)已知：am＝7，bm＝4，则(ab)2m＝—— (4)已知：3x+2y-3＝0，则27x·9y＝——
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§15．2．3 积的乘方
教学目标
1．经历探索积的乘方的运算法则的过程，进一步体会幂的意义．
2．理解积的乘方运算法则，能解决一些实际问题．
教学重点： 积的乘方运算法则及其应用．
教学难点： 幂的运算法则的灵活运用．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
[师]还是就上节课开课提出的问题：若已知一个正方体的棱长为1.1×103cm，你能计算出它的体积是多少吗？
[生]它的体积应是V=（1.1×103）3cm3．
[师]这个结果是幂的乘方形式吗？
[生]不是，底数是1.1和103的乘积，虽然103是幂，但总体来看，我认为应是积的乘方才有道理．
[师]你分析得很有道理，积的乘方如何运算呢？能不能找到一个运算法则？有前两节课的探究经验，老师想请同学们自己探索，发现其中的奥秒．
Ⅱ．导入新课：老师列出自学提纲，引导学生自主探究、讨论、尝试、归纳．
1．填空，看看运算过程用到哪些运算律，从运算结果看能发现什么规律？
（1）（ab）2=（ab）·（ab）=（a·a）·（b·b）=a( )b( )
（2）（ab）3=______=_______=a( )b( )
（3）（ab）n=______=______=a( )b( )（n是正整数）
2．把你发现的规律用文字语言表述，再用符号语言表达．
3．解决前面提到的正方体体积计算问题．
4．积的乘方的运算法则能否进行逆运算呢？请验证你的想法．
学生探究的经过：
分析这个等式：左边是幂的乘积，而且幂指数相同，右边是积的乘方，且指数与左边指数相等，那么可以总结为：
同指数幂相乘，底数相乘，指数不变．
看来这也是降级运算了，即将幂的乘积转化为底数的乘法运算．
对于an·bn=（a·b）n（n为正整数）的证明如下：
an·bn=（a·a· … ·a）· (b·b· … ·b)──幂的意义
=(ab)·(ab)· … ·(ab)──乘法交换律、结合律
＝（a·b）n ──乘方的意义
5．[例3]计算
（1）（2a）3=23·a3=8a3．
（2）（-5b）3=（-5）3·b3=-125b3．
（3）（xy2）2=x2·（y2）2=x2·y2×2=x2·y4=x2y4．
（4）（-2x3）4=（-2）4·（x3）4=16·x3×4=16x12．
（学生活动时，老师要深入到学生中，发现问题，及时启发引导，使各个层面的学生都能学有所获）
[师]通过自己的努力，发现了积的乘方的运算法则，并能做简单的应用．可以作如下归纳总结：
1．积的乘方法则：积的乘方等于每一个因式乘方的积．即（ab）n=an·bn（n为正整数）．
2．三个或三个以上的因式的积的乘方也具有这一性质．如（abc）n=an·bn·cn（n为正整数）．
3．积的乘方法则也可以逆用．即an·bn=（ab）n，an·bn·cn=（abc）n，（n为正整数）．
Ⅲ．随堂练习 课本练习
Ⅳ．课时小结
[师]通过本节课的学习，你有什么新的体会和收获？
[生]通过自己的努力，探索总结出了积的乘方法则，还能理解它的真正含义．
[生]其实数学新知识的学习，好多都是由旧知识推理出来的．我现在逐渐体会到温故知新的深刻道理了．
[生]通过一些例子，我们更熟悉了积的乘方的运算性质，而且还能在不同情况下对幂的运算性质活用．
Ⅴ．课后作业
1．课本习题15．2─1．（5）、（6），2，3题．
2．总结我们学过的三个幂的运算法则，反思作业中的错误．
3．预习“整式的乘法”一节．
n个b
n个a
n个ab
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§15．4．2．1 整式的除法（一）
教学目标
1．单项式除以单项式的运算法则及其应用． 2．单项式除以单项式的运算算理．
教学重点； 单项式除以单项式的运算法则及其应用．
教学难点： 探索单项式与单项式相除的运算法则的过程．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
问题：木星的质量约是1．90×1024吨．地球的质量约是5.08×1021吨．你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗？
[生]这是除法运算，木星的质量约为地球质量的（1.90×1024）÷（5.98×1021）倍．
继续播放：
讨论：（1）计算（1.90×1024÷（5.98×1021）．说说你计算的根据是什么？
（2）你能利用（1）中的方法计算下列各式吗？
8a3÷2a；5x3y÷3xy；12a3b2x3÷3ab2．（3）你能根据（2）说说单项式除以单项式的运算法则吗？
Ⅱ．导入新课
[师]观察讨论（2）中的三个式子是什么样的运算．
[生]这三个式子都是单项式除以单项式的运算．
[师]前一节我们学过同底数幂的除法运算，同学们思考一下可不可以用自己现有的知识和数学方法解决“讨论”中的问题呢？
（学生以小组为单位进行探索交流，教师可参与到学生的讨论中，对遇到困难的同学及时予以启发和帮助）
讨论结果展示：
可以从两方面考虑：
1．从乘法与除法互为逆运算的角度．
（1）我们可以想象5.98×1021·（ ）=1.90×1024．根据单项式与单项式相乘的运算法则：单项式与单项式相乘，是把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变作为积的因式，可以继续联想：所求单项式的系数乘以5.98等于1.90，所以所求单项式系数为1.90÷5.98≈0.318，所求单项式的幂值部分应包含1024÷1021即103，由此可知5.98×1021·（0.318×103）=1.90×1024．所以（1.90×1024）÷（5.98×1021）=0.38×103．
（2）可以想象2a·（ ）=8a3，根据单项式与单项式相乘的运算法则，可以考虑：8÷2=4，a3÷a=a2 即2a·（4a2）=8a3．所以8a3÷2a=4a2．
同样的道理可以想象3xy·（ ）=6x3y；
3ab2·（ ）=12a3b2x3，考虑到6÷3=2，x3÷x=x2，y÷y=1；12÷3=4，a3÷a=a2，b2÷b2=1．所以得3xy·（2x2）=6x3y；3ab2·（4a2x3）=12a3b2x3．所以6x3y÷3xy=2x2；12a3b2x3÷3ab2=4a2x3．
2．还可以从除法的意义去考虑．
（1）（1.90×1024）÷（5.98×1021）==0．318×103．
（2）8a3÷2a==4a． 6x3y÷3xy==2x2．
12a3b2x3÷3ab2=·x3=4a2x3．
上述两种算法有理有据，所以结果正确．
[师]请大家考虑运算结果与原式的联系．
[生甲]观察上述几个式子的运算，它们有下列共同特征：
（1）都是单项式除以单项式．
（2）运算结果都是把系数、同底数幂分别相除后作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式．
（3）单项式相除是在同底数幂的除法基础上进行的．
[生乙]其实单项式除以单项式可以分为系数相除；同底数幂相除，只在被除式里含有的字母三部分运算．
[师]同学们总结得很好．能用很条理的语言描述单项式与单项式相除的运算法则，而且能抓住法则的实质所在，这是数学能力的提高与体现，老师为你们骄傲．下面我们应用单项式与单项式相除的运算法则解决一些计算问题，进一步体会运算法则的实质所在．
1．例：计算
（1）28x4y2÷7x3y
（2）-5a5b3c÷15a4b
（3）（2x2y）3·（-7xy2）÷14x4y3
（4）5（2a+b）4÷（2a+b）2
分析：（1）、（2）直接运用单项式除法的运算法则；（3）要注意运算顺序：先乘方，再乘除，再加减；（4）鼓励学生悟出：将（2a+b）视为一个整体来进行单项式除以单项式的运算．
解：（1）28x4y2÷7x3y
=（28÷7）·x4-3·y2-1
=4xy．
（2）-5a5b3c÷15a4b
=（-5÷15）a5-4b3-1c
=-ab2c．
（3）（2x2y）3·（-7xy2）÷14x4y3
=8x6y3·（-7xy2）÷14x4y3
=[8×（-7）]·x6+1y3+2÷14x4y3
=（-56÷14）·x7-4·y5-3
=-4x3y2．
（4）5（2a+b）4÷（2a+b）2
=（5÷1）（2a+b）4-2
=5（2a+b）2
=5（4a2+4ab+b2）
=20a2+20ab+5b2
Ⅲ．随堂练习 课本练习1、2．
Ⅳ．课时小结
1．单项式的除法法则是_________________．
2．应用单项式除法法则应注意：
①系数先相除，把所得的结果作为商的系数，运算过程中注意单项式的系数饱含它前面的符号；
②把同底数幂相除，所得结果作为商的因式，由于目前只研究整除的情况，所以被除式中某一字母的指数不小于除式中同一字母的指数；
③被除式单独有的字母及其指数，作为商的一个因式，不要遗漏；
④要注意运算顺序，有乘方要先做乘方，有括号先算括号里的，同级运算从左到右的顺序进行．
Ⅴ．课后作业
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第十五章 整式 §15．1整式的加减
§15．1．1 整式
教学目标
1．单项式、单项式的定义．
2．多项式、多项式的次数．
3、理解整式概念．
教学重点：单项式及多项式的有关概念．
教学难点：单项式及多项式的有关概念．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
在七年级，我们已经学习了用字母可以表示数，思考下列问题
1．要表示△ABC的周长需要什么条件？要表示它的面积呢？
2．小王用七小时行驶了Skm的路程，请问他的平均速度是多少？
结论：
1、要表示△ABC的周长，需要知道它的各边边长．要表示△ABC的面积需要知道一条边长和这条边上的高．如果设BC=a，AC=b，AB=c．AB边上的高为h，那么△ABC的周长可以表示为a+b+c；△ABC的面积可以表示为·c·h．
2．小王的平均速度是．
问题：这些式子有什么特征呢？
（1）有数字、有表示数字的字母．
（2）数字与字母、字母与字母之间还有运算符号连接．
归纳：用基本的运算符号（运算包括加、减、乘、除、乘方与开方）把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式．
判断上面得到的三个式子：a+b+c、ch、是不是代数式？（是）
代数式可以简明地表示数量和数量的关系．今天我们就来学习和代数式有关的整式．
Ⅱ．明确和巩固整式有关概念
思考：
先填空，再看看列出的代数式有什么特点．
（1）边长为x的正方形的周长为_________；
（2）一辆汽车的速度是v千米/时，行驶t小时所走过的路程为_______千米．
（3）如图，正方体的表面积为_______，正方体的体积为________；
（4）设n表示一个数，则它的相反数是________．
结论：（1）正方形的周长：4x．
（2）汽车走过的路程：vt．
（3）正方体有六个面，每个面都是正方形，这六个正方形全等，所以它的表面积为6a2；正方体的体积为长×宽×高，即a3．
（4）n的相反数是－n．
分析这四个数的特征．
它们符合代数式的定义．这五个式子都是数与字母或字母与字母的积，而a+b+c、ch、中还有和与商的运算符号．还可以发现这五个代数式中字母指数各不相同，字母的个数也不尽相同．
请同学们阅读课本P160～P161单项式有关概念．
根据这些定义判断4x、vt、6a2、a3、-n、a+b+c、ch、这些代数式中，哪些是单项式？是单项式的，写出它的系数和次数．
结论:4x、vt、6a2、a3、-n、ch是单项式．它们的系数分别是4、1、6、1、-1、．它们的次数分别是1、2、2、3、1、2．所以4x、-n都是一次单项式；vt、6a2、ch都是二次单项式；a3是三次单项式．
问题:vt中v和t的指数都是1，它不是一次单项式吗？
结论:不是．根据定义，单项式vt中含有两个字母，所以它的次数应该是这两个字母的指数的和，而不是单个字母的指数，所以vt是二次单项式而不是一次单项式．
生活中不仅仅有单项式，像a+b+c，它不是单项式，和单项式有什么联系呢？
写出下列式子（出示投影）
结论:（1）t-5．（2）3x+5y+2z．
（3）三角尺的面积应是直角三角形的面积减去圆的面积，即ab-3.14r2．
（4）建筑面积等于四个矩形的面积之和．而右边两个已知矩形面积分别为3×2、4×3，所以它们的面积和是18．于是得这所住宅的建筑面积是x2+2x+18．
我们可以观察下列代数式：
a+b+c、t-5、3x+5y+2z、ab-3.14r2、x2+2x+18．发现它们都是由单项式的和组成的式子．是多个单项式的和，能不能叫多项式？
这样推理合情合理．请看投影，熟悉下列概念．
根据定义，我们不难得出a+b+c、t-5、3x+5y+2z、ab-3.14r2、x2+2x+18都是多项式．请分别指出它们的项和次数．
a+b+c的项分别是a、b、c．
t-5的项分别是t、-5，其中-5是常数项．
3x+5y+2z的项分别是3x、5y、2z．
ab-3.14r2的项分别是ab、-3.14r2．
x2+2x+18的项分别是x2、2x、18．
找多项式的次数应抓住两条，一是找准每个项的次数，二是取每个项次数的最大值．根据这两条很容易得到这五个多项式中前三个是一次多项式，后两个是二次多项式．
这节课，通过探究我们得到单项式和多项式的有关概念，它们可以反映变化的世界．同时，我们也体会到符号的魅力所在．我们把单项式与多项式统称为整式．
Ⅲ．随堂练习
1．课本练习
Ⅳ．课时小结
通过探究，我们了解了整式的概念．理解并掌握单项式、多项式的有关概念是本节的重点，特别是它们的次数．在现实情景中进一步理解了用字母表示数的意义，发展符号感．
Ⅴ．课后作业
1．课本习题15．1─1、5、8、9题． 2．预习“整式的加减”．
几个单项式的和叫做多项式．
多项式中每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫常数项．
多项式中次数最高的项的次数即这个多项式的次数．
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