因式分解的学案

南县立达中学八年级学案 累计第____________课时
多项式的因式分解
一、预习提示:
1. 因式的概念; 2. 因式分解的概念; 3. 求最大公因数; 4. 因式分解与整式乘法之间的关系.
二、预习作业:
1. 8、6、12的最大公约数是________,2、3、5的最小公倍数是___________.
2. 下列说法不正确的是( )
A. 是的一个因式 B. 是的一个因式
C. 的因式是和 D. 的一个因式是
3. 等式从左到右的变形叫做____________,从右到左的变形叫做__________________,它们是互逆过程.
4. 下列由左边到右边的变形,属于因式分解的是( )
A. B.
C. D.
5. 已知多项式可分解成,则的值为_________.
6. 是多项式__________________因式分解的结果.
7. 若,则的值为_________.
8. 先计算下列各式: ________________; ____________;
________________.你能根据上面的计算,将下列各多项式因式分解吗 请试试!
____________________; ______________________________;
=_____________________________.
9. 30和45的最大公因数是____________.
10. 计算的结果是_________________.
11. 解下列方程:
(1) (2)
12. 能被2007整除吗 能被2008整除吗
13. 按一定的规律排列的一列数依次为: 按此规律排列下去,这列数中的第7个数是_____________.
三、问题探究:
1. 如果关于的二次多项式分解因式的结果为.求的值.
2. 能被45整除吗 试说明理由.
四、检测训练:
1. 因式分解的结果为的多项式为_______________________.
2. 因式分解: _______________________________.
3. 因式分解: =_________________________.
4. 当时,代数式的值是____________________.
5. 若多项式可分解因式为, 则为_____________.
6. 如果的积中不含的一次项,那么、一定是( )
A. 互为倒数 B. 互为相反数 C. 或 D.
7. 下列等式成立的是( )
A. B.
C. D.
8. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是( )
A. B.
C. D.
9. 已知,,求的值.
10. 解下列方程:
(1) (2)
11. 观察下列等式,你能得出什么结论 并说明你所得出的结论是正确的.
12. 观察下列算式:
(1)根据你发现的规律,表示出第个算式;
(2)用多项式乘法证实你发现的规律;
(3)你能用因式分解的知识证实你发现的规律吗
提公因法(一)
一、预习提示:
1. 公因式的概念; 2. 提公因式法.
二、预习作业:
1. 写出下列各式的公因式: (1) 的公因式是_______________;
(2) 的公因式是__________________.
2. 确定公因式时应注意: ①公因式的系数是各项系数的__________公约数; ②字母取各项___________的字母,而且各字母的指数取最________的.
3. 分解因式: .
4. 若,则的值是______________.
5. 计算: =____________.
6. 已知互为相反数,则________________.
7. 分解因式: ________________.
8. 多项式的公因式是_____________,提取公因式后另一个因式是___________.
9. 分解因式: __________________________.
10. 把下列多项式分解因式:
(1); (2); (3);
(4); (5); (6) .
三、拓展训练:
1. 已知,求的值.
2. 计算:
3. 已知,求的值.
4. 计算: .
提公因法(二)
一、预习提示:
1. 公因式可以为多项式; 2. 符号的处理; 3. 熟练掌握提公因式法分解因式.
二、预习作业:
1. 在下列各横线上填上“+”或“-”,使等式成立. (1);
(2); (3).
2. 当为___________时,;当为___________时,.
(填“奇数”或“偶数”).
3. 因式分解应提取的公因式_____________________.
4. 的公因式是________________________.
5. 的公因式是________________________.
6. 多项式中,可提取的公因式是_____________.
7. 分解因式: _________________________________.
8. 若代数式的值为0,则______________.
9. 因式分解: .
10. 若,则的值为___________________.
11. 多项式因式分解时所提的公因式是______________.
12. 已知,则的值为______________.
13. 把下列各式因分解:
(1); (2);
(3); (4);
(5); (6).
三、能力测试:
1. 设,求的值.
2. 已知,求代数式的值.
3. 不解方程组 ,求的值.
公式法分解因式一一平方差公式
一、预习提示:
1. 因式分解中的平方差公式;
2. 能正确地运用平方差公式进行多项式的因式分解.
二、预习作业:
1. .
.
2. 分解因式: _______________________________.
3. 分解因式: ________________________________.
4. 分解因式: ________________________________.
5. ; .
6. 分解因式: _____________________________.
7. 某多项式因式分解后其结果为,则这个多项式是________________.
8. 下列各式中,能用平方差公式进行因式分解的是( )
A. B. C. D.
9. 下列多项式中: ①; ②; ③; ④;
⑤,能用平方差公式进行因式分解的有( )个.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10. 分解因式: __________________________;
_________________________________________;
______________________________________;
____________________________________________;
______________________________________________.
11. 若,则分解因式_________________________.
12. 利用因式分解计算: __________; __________;
___________; _____________.
13. 把下列多项式分解因式:
(1) (2) (3)
(4) (5)
(6) (7)
三、能力拓展:
1. 已知互为相反数且,试求的值.
2. 已知求代数式的值.
3. 若是整数,则能否被8整除 为什么
4. 可以被60和70之间某两个数整除,试求这两个数.
5. 计算: .
公式法分解因式——完全平方公式
一、预习提示:
1.熟练掌握因式分解中的完全平方公式;
2. 能用完全平方公式准确地分解多项式的因式.
二、预习作业:
1. 计算: ____________________; _______________________.
2. 因式分解中的两个完全平方公式是:_______________________________________;
________________________________________________________.
3. _________; _______________;
_____________.
4. 若是完全平方式,则______;
若是完全平方式,则_______.
5. 若,则________;
若是完全平方式,则_______.
6. 已知,则.
7. 把再加上一个单项式,使其成为一个完全平方式,请你写出符合条件的所有单项式_____________________________________.
8. 若是完全平方式,则的值为________________.
9. 若,则______________.
10. 若,则.
11. 分解因式: _____________________;
______________________;
______________________.
12. 如果,那么的值为________________.
13. 若,某正方形的面积为,则这个正方形的边长为______________.
14. 已知,则的值为________________.
15. 多项式与的公因式是( )
A. B. C. D. 以上都不对.
16. 下列各式中不能用完全平方公式因式分解的是( )
A. B.
C. D.
17. 把下列多项式分解因式:
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
(7) (8) (9)
(10) (11) (12)
三、能力拓展:
1. 利用因式分解计算:
(1) (2)
2. 已知,求的值.
3. 在实数范围内分解因式:
4. 已知,求的值.
5. 已知,求的值.
6. 已知三角形的三边长满足,试判断这个三角形的形状.
7. 有人说: 无论取何实数,多项式的值总是正数.你的看法如何 请说明你的理由.
公式法三(补充内容)
一、基本知识点:
1. 立方和公式和立方差公式;
2. 能运用立方和公式和立方差公式分解某些多项式的因式.
二、典型练习题:
1. 利用多项式的乘法法则进行计算:
_______________;
___________________.
2、 根据以上结果可得因式分解中的立方和公式:
______________________________;
立方差公式: ___________________________________________.
3. 分解因式: ________________________________________.
分解因式: =_______________________________________________.
分解因式: _________________________________________________.
分解因式: ______________________________________________________.
4. 分解下列多项式的因式:
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
5. 已知,求的值.
6. 补充几个公式:
(1)
(2)
(3)
(4)
分组分解法(补充)
一、基本知识点:
1. 当一个多项式没有公因式可提,也不能够用公式因式分解时,可尝试分组分解法. 2. 分组分解法的关键是对一个多项式正确分组. 3. 分组后的两种情况:一是分组后可提公因式,二是分组后可运用公式.
二、基本练习:
1. 把下列多项式分解因式:
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) ;
小结: 以上四个小题都是分组后可提公因式.
2. 把下列多项式分解因式:
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) ;
(5) ; (6) ;
(7) ; (8) .
小结: 以上几个小题都是分组后可运用公式.
三、能力提高:
把下列各式分解因式:
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) ;
(6) .
四、拆、添项分组分解法: 把下列各式分解因式:
(1) ; (2) .
十字相乘法(补充)
一、基本知识点:
1. 运用多项式的乘法进行计算: _____________________________,
则_______________________________________________.
2. 对二次项系数为1的二次三项式,若常数项能分解成两个因数的乘积,即,并且这两个因数的和等于一次项系数,即那么二次三项式可分解因式为:
二、基本练习:
1. 把下列二次三项式分解因式:
(1) ; (2) ; (3) ;
(4) ; (5) ; (6) .
小结: 当常数项为正数时,分解成两个同号因数,与一次项系数的符号相同.
2. 把下列二次三项式分解因式:
(1) ; (2) ; (3) ;
(4) ; (5) ; (6) .
小结: 当常数项为负数时,分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同.
3. 把下列多项式分解因式:
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
三、能力拓展:
1. 把下列各式分解因式:
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) ;
(5) ; (6) ;
(7) ; (8) .
2. 若为正数,且.求证: .
3. 求证: 是完全平方式.
二次三项式的因式分解:
一、基本知识点:
用十字相乘法对二次三项式进行因式分解,
要将二次项系数分解为,常数项分解为,并且要使,往往需要经过多次尝试才能达到,要减少尝试的次数,关键是要注意符号问题.
二、基本练习:
1. 把下列多项式分解因式:
(1) ; (2) ; (3) ;
(4) ; (5) ; (6) ;
(7) ; (8) ; (9) ;
(10) ; (11) ; (12) .
2. 把下列多项式分解因式:
(1) ; (2) ; (3) ;
(4) ; (5) .
3. 分解因式:
第1章 因式分解小结
一、因式分解的定义:
把一个含字母的多项式化为几个整式的乘积形式,叫做把这个多项式因式分解(分解因式).
二、因式分解的方法和步骤:
因式分解的常用方法有: 1. 提公因式法; 2. 运用公式法; 3. 分组分解法; 4. 十字相乘法;
把一个多项式因分解的步骤可简记为: 一提二套三分组四交叉.
三、因式分解应注意的几个问题:
1. 根据因式分解的定义,把一个多项式因式分解的结果必须是几个整式的乘积形式.
2. 对一个多项式因式分解,首要考虑的方法是提公因式法,注意准确地找到多项式各项的公因式.
3. 对一个多项式的因式分解一定要进行到每一个因式不能再分解为止.
4. 因式分解的结果中,如果有因式还能计算化简的,一定要计算化简.
5. 因式分解的结果中,如果有常数因式,一定要写到最前面;如果有相同的因式,一定要写成幂的形式.
四、全章练习:
1. 选择题:
(1)下列多项式的分解因式，正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
(2)下列各式不能继续因式分解的是（ ）
A、 B、 C、 D、
(3)下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）
A、 B、 C、 D、
(4)能用完全平方公式分解的是（ ）
A、 B、 C、 D、
(5)将多项式分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A、 B、 C、 D、
(6)满足的是（ ）
A、 B、 C、 D、
2. 把下列多项式分解因式:
（1）; （2）; （3） ;
（4） ; （5）; （6）.
3. 已知：，，求的值.
4. 已知a、b、c分别为三角形的三条边，请说明：
5. 分解因式：
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湖南省南县立达中学：刘康 13875305811