一元二次不等式解法教案

参考答案
一、判断题
1．√ 2．√ 3．× 4．√ 5．×
二、填空题
6．
7．14
8．12
三、选择题
9．B 10．A 11．C 12．D
四、解答题
13．
由△=(2+k)2－8≥0得或．
14．
(1) {x|x<－6或x>7}
(2)
(3) {x|x<－1或0填空题3
函数的定义域是R，则实数a的取值范围是
答案:
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选择题
不等式 ( a + 2 )x2 + 2 ( a + 2 )x－1 < 0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
(A) (B) （－3，－2）
(C)（－∞，－3） (D) （－∞，－3）（－2，+∞）
答案：A
分析：
分a =－2和a≠－2两种情况分类讨论．
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解答题
设关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为(－∞，)∪(，+∞)，其中<<0，试求关于x的不等式cx2－bx+a>0的解集．
答案：
略解：由已知a<0，c<0且是方程cx2－bx+a=0的一个根，即二次函数y=cx2－bx+a的一个根，同理也是二次函数y=cx2－bx+a的一个根．由，又c<0．cx2－bx+a>0的解集为．
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集合例题讲解
集合这一单元新概念较多，为了突出重点，在举例时要控制难度，防止喧宾夺主．
例1．分别写出集合A={a1，a2}，B={a1，a2，a3}，C={ a1，a2，a3，a4}的子集，并观察一个集合的子集个数与这个集合中元素的个数有何关系？
分析：这是一道探索性问题，旨在从简单问题入手，通过二元集合，三元集合及四元集合子集的个数，引发学生进行归纳猜想，总结规律，从而得出n元集合的子集有2n个”的结论．此结论的严格证明需利用排列组合知识．
以简单问题为例得出一般性结论，再用得出的结论解决复杂问题，这是一种研究解决复杂问题的行之有效的办法．为了区分“子集”、“真子集”、“非空真子集”这些概念，还可以进一步提问学生，一个n元集合真子集、非空真子集的个数分别是多少．
例2．设，B={x|a分析：集合A是函数的值域，
由3≥3－x2≥0可知，
∵ ∴ A是B的子集，
∴ a<0且．
此例题的目的是利用数轴，直观地得出区间应完全位于区间之中，培养学生数形结合的思想．
例3．若关于x的不等式mx2+x+n<0有解，求m、n应满足的条件是什么？
分析：应利用函数y=mx2+x+n所表示的曲线在坐标系中的位置，直观得出关于x的不等式mx2+x+n<0有解的几种情景，再导出m、n应满足的条件．若不等式mx2+x+n<0有解，则函数y=mx2+x+n的图象必须一部分或全部位于x轴下方，可有如下四种情形：
可归结为三种情形，即m<0或或m=0．
此例题旨在培养学生图形的想象力，进一步培养学生掌握利用函数图像解不等式的方法．
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一元二次不等式解法教案
●教学目标
(一)教学知识点
1.会把部分一元二次不等式转化成一次不等式组来求解.
2.简单分式不等式求解.
(二)能力训练要求
1.通过问题求解渗透等价转化的思想，提高运算能力．
2.通过问题求解渗透分类讨论思想，提高逻辑思维能力．
(三)德育渗透目标
通过问题求解过程，渗透．
●教学重点
一元二次不等式的求解
●教学难点
将已知不等式等价转化成合理变形式子
●教学方法
创造教学法
为使问题得到解决，关键在于合理地将已知不等式变形，变形的过程也是一个创造的过程，只有这一过程完成好，本节课的难点也就突破．
●教具准备
投影片三张
第一张：(记作§1．5．2 A)
一元二次不等式(x＋4)(x－1)＜0的解法
解：将(x＋4)(x－1)＜0转化为
得原不等式的解集是｛x｜－4＜x＜1∪＝｛x｜－4＜x＜1
第二张：(记作§1．5．2 B)
通过因式分解，转化为一元一次不等式组的解法，求解下列不等式：
1．x2－3x－4＞0
2．－x2－2x＋3＞0
3．x(x－2)＞8
4．(x＋1)2＋3(x＋1)－4＞0
第三张：(记作§1．5．2 C)
●教学过程
Ⅰ．复习回顾
1.一元二次方程、二次函数、一元二次不等式的关系.
2.一元二次不等式的解法.
3.数形结合思想运用.
Ⅱ．讲授新课
1.一元二次不等式(x＋a)(x＋b)＜0的解法
［师］首先我们共同来看(x＋4)(x－1)＜0这个不等式的特点，以不等式两边分别来看．
［生］这个不等式左边是两个x一次因式的积，右边是0.
［师］那么，依据该特点，不等式能否实现转化而又能转化成什么形式的不等式，同学们可以讨论或者将不等式变形，看结果如何.
［生］经观察、分析、研究不等式可以实现转化，可转化成一次不等式组：
，并且说明(x－4)(x－1)＜0的解集是上面不等式组解集的并集.
［师］那么解法如下：
投影片：(§1．5．2 A)
一元二次不等式(x＋4)(x－1)＜0的解法
解：将(x＋4)(x－1)＜0转化为
得原不等式的解集是｛x｜－4＜x＜1∪＝｛x｜－4＜x＜1
师指出：从上可看出一般形式(x＋a)(x＋b)＜0解的步骤：
将所解不等式转化为一次不等式组，求其解集的并集，即为所求不等式的解．
给出下面问题：
投影片：(§1．5．2 B)
通过因式分解，转化为一元一次不等式组的方法，求解下列不等式：
1．x2－3x－4＞0
2．－x2－2x＋3＞0
3．x(x－2)＞8
4．(x＋1)2＋3(x＋1)－4＞0
问题由四名学生板演，然后教师给予点评．
解析如下：
1．x2－3x－4＞0
解：将x2－3x－4＞0分解为(x－4)(x＋1)＞0
转化为
原不等式的解为｛x｜x＞4｝∪｛x｜x＜－1｝＝｛x｜4＜x或x＜－1｝
问题解决的关键在于通过正确因式分解，将不等号左端化成两个一次因式积的形式．
2.－x2－2x＋3＞0
解：将－x2－2x＋3＞0分解为(x＋3)(x－1)＜0
原不等式的解为 ｛x｜－3＜x＜1｝
3．x(x－2)＞8
解：将x(x－2)＞8变形为 x2－2x－8＞0
化成积的形式有(x－4)(x＋2)＞0
原不等式的解集为｛x｜x＜－2或x＞4
4.(x＋1)2＋3(x＋1)－4＞0
解析：解决该问题的关键是正确利用整体思想．
解：将原不等式变形为
(x＋1＋4)(x＋1－1)＞0，即x(x＋5)＞0
即有｛x｜x＞0｝∪｛x｜x＜－5｝＝｛x｜x＜－5或x＞0｝
2.分式不等式＞0的解法
［师］试比较＜0与(x－3)(x＋7)＜0的解集，并写出和它们解集相同的一次不等式组，为回答上述问题，我们先完成例5．
［例5］解不等式＜0
解析：这个不等式若要正确无误地求出解集，则必须实现转化，而这个转化依据就是＞0ab＞0及＜0ab＜0
其解的过程如下：
解：这个不等式解集是不等式组
的解集的并集．
由，得原不等式的解集是｛x｜－7＜x＜3｝∪＝｛x｜－7＜x＜3｝
从而开始提出的问题就可叙述为：
［生］＜0与(x－3)(x＋7)＜0的解集相同．其一次不等式组为
［师］由此得到＞0不等式的解法同(x＋a)(x＋b)＞0的解法相同．
［师］看下面不等式如何转化：
投影片：(§1．5．2 C)
上述式子变形是关键，如何实现转化，移项化简是主要工作．
［生］(1)3＋＜1可变形为＜0．
转化为(3x＋2)x＜0
＝｛x｜－＜x＜0＝∪＝｛x｜－＜x＜0｝
(2)＜1可变形为＜0，
转化为(x－1)(3－x)＜0
＝｛x｜x＜1或x＞3
(3)＞－3可变形为＞0，转化为(2x－3)(x－3)＞0
即｛x｜x＞3｝或｛x＜
原不等式解集为｛x｜x＜或x＞3
(4)＞1可变形为－1＞0即＞0，转化为(3－x)x＞0
Ⅲ．课堂练习
课本P21练习 1～4
1.解下列不等式
(1)(x＋2)(x－3)＞0
解：(x＋2)(x－3)＞0可变形为
=
(2)x(x－2)＜0
解：x(x－2)＜0可变形为
2.解关于x的不等式(x－a)(x－b)＞0(a＜b
解：(x－a)(x－b)＞0可变形为
3.(1){x|—5＜x＜8 (2)
4.(1)正确．(2)正确.
Ⅳ.课时小结
1.(x＋a)(x＋b)＜0(a＞b)型不等式转化方式是．
2.＞0型不等式转化结果：(x＋a)(x＋b)＞0．
3.上述两类不等式解法相同之处及关键、注意点.
Ⅴ．课后作业
(一)课本P22习题1．5 2，4，7，8
2.解下列不等式
(1)(5－x)(x＋4)＜0
解：｛x｜x＜－4或x＞5｝
(2)(x＋7)(2－x)＞0
解：｛x｜－7＜x＜2｝
(3)(3x＋2)(2x－1)＜0
解：｛x｜－＜x＜
(4)(x－1)(5x＋3)≥0
解：｛x｜x≤－或x≥2｝
4.求不等式组
的整数解.
解：将变形为，即
原不等式的解集为｛x｜x≥1｝∩｛x｜x＜＝｛x｜1≤x＜，因此所求的整数解集为｛1，2，3，4，5｝
7.已知U＝R，且A＝｛x｜x2－16＜0，B＝｛x｜x2－4x＋3≥0｝，求：(1)A∩B；(2)A∪B；(3) U(A∩B)；(4)( UA)∪(UB)．
解：(1)A∩B＝
(2)A∪B＝｛x｜x2－16＜0｝∪｛x2－4x＋3≥0｝＝｛x｜－4＜x＜4｝∪｛x｜x≤1或x≥3｝＝R
(3) U(A∩B)为从R内去掉A∩B后的剩余部分，因此U(A∩B)＝｛x｜x≤－4或1＜x＜3或x≥4
(4)由UA＝｛x｜x2－16≥0｝＝｛x｜x≤－4或x≥4｝，UB＝｛x｜x2－4x＋3＜0＝｛x｜1＜x＜3＝得(UA)∪(UB)＝｛x｜x≤－4或1＜x＜3或x≥4｝
评述：问题解决的过程应充分利用数形结合，求范围．
8.解下列不等式：
(1)＞0；
解：原不等式的解集是不等式组的解集的并集，即
(2)≤0．
解：原不等式的解集是不等式组的解集的并集，即
(二)1.预习内容：课本P25－26，P23－24阅读材料
2.预习提纲：
(1)集合元素的个数如何计算？其实际意义如何？
(2)逻辑联结词有哪几个？如何解释
●板书设计
§1．5．2 一元二次不等式解法
1.(x＋a)(x＋b)＞0型不等式解法 练习
2.＞0型不等式解法 小结
举例 作业
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解答题
已知函数f ( x ) = 4x2－4ax + a2－2a + 2在闭区间 [0，2]上的最小值为3，求实数a的取值集合．
答案：
（0≤x≤2）．
当，即a < 0时，f ( x ) 在 [ 0，2 ]上为增函数，
此时 f ( x )的最小值 = f ( 0 ) = a2－2a + 2 ．
由 可解得 ；
当 ，即0≤a≤4时，f ( x )的最小值 = ．
由 无解；
当 ，即 a > 4时，f ( x )在[ 0，2 ]上为减函数，
此时f ( x )的最小值 = f ( 2 ) = a2－10a+18 ；
由 解得 ．
综上得a的取值集合为 ．
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一元二次不等式应用教案
　
　　教学目标
　　通过例题引导，使学生思路开拓，并在处理一些综合问题时，能准确、熟练地解一元二次不等式．
　　教学重点和难点
　　重点：一元二次不等式的解法及应用
　　难点：灵活运用一元二次不等式去处理问题
　　教学过程设计
　　我们已经掌握了一元二次不等式的解法，下面通过一些例题，帮助同学们用一元二次不等式的知识去灵活处理一些综合性的问题．这样有益于同学们开拓思路，同时巩固深化对一元二次不等式的解法．
　　学生试作，教师讲评．
　　
　　
　　分别求出m的取值范围．
　　[讲评]
　　(1)∵A={x|－4＜x＜2}，B={x|x＞1或x＜－5}，C={x|m－1＜x＜m＋1}．
　　
　　∴m≥3或m≤－5．
　　
　　
　　[讲评]
　　∵A={x|－2≤x≤a，a≥－2}，
　　∴B={y|y=2x＋3，x∈A}={y|－1≤y≤2a＋3}．
　　
　　(2)当－2≤a＜2时，C={z|0＜z≤4}，
　　
　　
　　
　　[讲评]
　　
　　由已知，解集为{x|x＜1或x＞2}可知a－1＜0，
　　∴[(1－a)x－1](x－1)＞0
　　
　　
　　解法二：原不等式转化为[(a－1)x＋1](x－1)＜0
　　
　　
　　
　　
　　[讲评]
　　
　　P={x|[x－(3k－1)][x＋(2k－3)]＜0}，
　　
　　当3k－1＜－(2k－3)时，P={x|3k－1＜x＜－(2k－3)}，
　　当3k－1＞－(2k－3)时，P={x|－(2k－3)＜x＜3k－1}，
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
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21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网问题可转化为不等式，然后运用集合思想求解
［例3］若abc≠0，试证：方程ax2＋bx＋＝0，bx2＋cx＋＝0，cx2＋ax＋＝0中至少有一个方程有实根.
解析：将问题转化为和判别式有关题目，即不等式问题.通过不等式的成立，说明问题结论．(运用并集思想)
解：由题ax2＋bx＋＝0的Δ1＝b2－ac
bx2＋cx＋＝0的Δ2＝c2－ab
cx2＋ax＋＝0的Δ3＝a2－bc
因Δ1＋Δ2＋Δ3＝a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝［(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2］≥0
即Δ1、Δ2、Δ3至少有1个非负，故原三个方程中至少有一个方程有实根．
上述题目求解过程中，通过并集思想的利用说明在Δ1、Δ2及Δ3中至少有一个大于零，而这点不通过集合思想而得出结论相当困难.下面问题看后，请思考片刻，想怎样和集合联系在一块．
［例4］若三个方程 x2＋4ax＋3－4a＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实数解，求a的范围.
解析：看完问题后，也许我们首先应考虑两分类讨论．若有一个方程有实根，则有三种情况；若有两个方程有实根，又有三种情况；三个方程有实根，只有一种情况，综上应共有七种情况，但如果从反面考虑，或利用“对立事件”(三个方程都无实根)，则只有一种情况．尔后运用补集的思想．
解：由x2＋4ax＋3－4a＝0的Δ1＝16a2－4(3－4a)
x2＋(a－1)x＋a2＝0的Δ2＝(a－1)2－4a2
x2＋2ax－2a＝0的Δ3＝4a2＋8a
那么应有
解之｛a｜－＜a＜－1｝
因此符合题意的为其补集即
｛a｜a≤－或a≥－1｝本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
填空题4
关于的不等式的解集是空集，那么的取值区间是
答案：
[0，4]
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不等式解法(二)习题1
　
　　1．与不等式(x＋4)(x－1)＜0的解集相同的是
　　
[ ]
　　A．①和② B．②和③
　　C．①和③ D．②和④
　　
[ ]
　　A．x－4 B．2－3x
　　C．3x－2 D．4－x
　　3．解不等式
　　(1)x2＞2x； (2)(x＋2)2＞4x；
　　(3)(x－2)(x2－5x＋6)≥0； (4)6＜x2－5x＜14．
　　4．解不等式
　　
　　5．解不等式
　　
　　
不等式解法(二)习题1答案
　　
　　1．C
　　2．B
　　3．(1)x＜0或x＞2．
　　(2)x∈R．
　　(3)(x－2)2(x－3)≥0．x≥3或x=2．
　　
　　∴ 6＜x＜7或－2＜x＜1．
　　
　　则x2－1＞0，|x|＞1．∴ x＜－1或 x＞1．
　　
　　
　　
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填空题2
画出下列条件下二次函数的示意图并填空：
△ = 0 △< 0
a > 0
a < 0
1．当△> 0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(m,0)，B (n, 0)，则
m = , n = ,
m + n = , mn = .
2．当△= 0时，设抛物线与x轴相切于点A (m, 0)，则m = .
答案：
△ = 0 △< 0
a > 0
a < 0
1．， 2．
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1、 判断题
(1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)×
二、填空题
(6)
(7) 14
(8) 12
三、选择题
(9)B (10)A (11)C (12)D
四、解答题
13．
由△=(2+k)2－8≥0得或．
14．
(1) {x|x<－6或x>7}
(2)
(3) {x|x<－1或0选择题
已知全集I = R，集合 A = {x | x2－3x+2 < 0}，，那么下列关系中成立的是（ ）．
(A) (B)
(C) (D)
答案：B
分析：
经计算可得 A = {x | 1 < x < 2}，B = {x | 2 ≤ x < 3}．
∴ ．
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选择题
不等式1－x－x2<0的解集是( )
(A) (B)
(C) (D) R
答案：C
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解答题
设，解关于的不等式
解：将原不等式化为
移项，整理后得
∵
∴
即
解此不等式，得解集
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填空题5
关于的不等式的解集是空集，那么的取值区间是
答案：
[0，4]
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不等式解法(二)习题2
　
　　
[ ]
　　
　　
[ ]
　　A．{x|x＞a} B．{x|x＜－b或x＞a}
　　C．{x|x＜a或x＞－b} D．{x|－b＜x＜a}
　　3．解不等式(x2－3x＋2)(x2－2x－3)＜0．
　　4．已知全集U=R，A={x|2x2－5x＜0}，B={x|6x2－x－2≥0}，求A∩B、CU(A∪B)、[CU(A∪B)]∩A．
　　5．A={x|x2－x－2＞0}，B={x|x2＋4x＋p＜0}，若BA，求实数p的取值范围．
　　
不等式解法(二)习题2答案
　
　　1．D
　　2．B
　　3．(x－1)(x－2)(x－3)(x＋1)＜0．
　　∴ －1＜x＜1或2＜x＜3
　　
　　(3)[CU(A∪B)]∩A=．
　　5．A={x|x＜－1或x＞2}，令x2＋4x＋p=0，△=16－4p．
　　(1)当B=时，△≤0，解得p≥4．
　　
　　由(1)、(2)得 p≥3．
　　
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一元二次不等式解法教案
　　教学目标
　　从一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系出发，掌握利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法。
　　教学重点
利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法。
教学难点
利用二次函数图象求解含字母的一元二次不等式。
　　教学过程
1． 新课引入
1．当x取什么值的时候，一次函数的函数值
(1)等于0？　　(2)大于0？　　(3)小于0？
答：(1)当时，y的值等于0；
(2) 当时，y的值大于0；
(3) 当时，y的值小于0.
2．画出函数的图象，利用图象回答下列问题：
(1) 方程的解是什么？
(2) x取什么值时，函数值大于0？
(3)x取什么值时，函数值小于0？
答：(1) 方程的解是-2和3；
(2)当时，函数值大于0；
(3) 当时，函数值小于0.
2． 新课
1.不等式ax + b > 0的代数解法：
用不等式的三条性质直接求解.

.
　　 2．不等式ax + b > 0的几何解法：
在直角坐标系中画出的图象来解.如下图：
　　 3．一元二次不等式的几何解法：
设相应的一元二次方程的两根为，则不等式的解的各种情况如下表：
判别式
二次函数（）的图象
一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根
R
4．(P19 例1)解不等式.
解：因为.
所以，原不等式的解集是.
　 5．(P19 例2)解不等式．
解：整理，得.
因为.
所以，原不等式的解集是.
6．(P19 例3)解不等式.
解：因为.
所以，原不等式的解集是.
　　7．(P19 例4)解不等式.
解：整理，得.
　　因为无实数解，所以不等式的解集是.
从而，原不等式的解集是.
三．课堂练习
　　选择题
1．下列不等式中，解集为实数集Ｒ的是（ ）
(A) （Ｂ）
(C) （Ｄ）
２．当的解是（ ）
(A) (B)
(C) （Ｄ）
　　 填空题
5．不等式的解集是____________________
6．的解集是________________
　　四．小结
1．解一元一次不等式的两种解法⑴代数法；⑵几何法.
2．解一元二次不等式的解法之一 几何法.
　　五．作业
课本P21 习题1.5 1. 3. 5
(4)
2．下列集合中，表示同一集 最
(C)(2)(4) 迻 蟹 蟹柸 ? (D)1(2 蟹 蟹 Equation.3
蟹 蟹 蟹柸 ?
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不等式解法(三)习题1
　
　　1．已知U=R，A={x|x3＋x≥0}，B={x|x2＋2x－3＜0}，求
　　(1)A∩B，(2)A∪B，(3)(CUB)∩A．
　　2．方程x2＋mx＋12=0的两根x1，x)2 满足x1－x2=1．求出不等式x2＋mx＋12≤0的解集．
　　3．当m为何值时，关于x的方程m2x2－(m＋1)x＋1=0的两个实根之和为2．
　　4．k取什么值时，对于任何实数x，不等式kx2－(k－2)x＋k＞0总成立．
　　
　　
不等式解法(三)习题1答案
　
　　1．A={x|x≥0}，B={x|－3＜x＜1}，
　　(1)A∩B={x|0≤x＜1}，
　　(2)A∪B={x|x＞－3}，
　　(3)(CUB)∩A={x|x≥1}．
　　
　　当x1=－3，x2=－4时，m=7 －4≤x≤－3．
　　当x1=4，x2=3时，m=－7 3≤x≤4．
　　
　　4．(1)当k＞0时，不等式总成立．△=(k－2)2－4k2＜0，
　　
　　(2)当k=0时，2x＞0，不等式不总成立．
　　(3)当k＜0时，，不等式不总成立．
　　
　　5．∵ 4x2＋6x＋3＞0．
　　∴ 2x2＋2kx＋k＜4x2＋6x＋3，
　　2x2＋(6－2k)x＋3－k＞0．
　　这里二次项系数a=2＞0，△=(6－2k)2－8(3－k)＜0．
　　4k2－16k＋12＜0． k2－4k＋3＜0．∴ 1＜k＜3．
　　
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选择题
至少有一个正的实根的充要条件是（ ）
（A） （B）
（C）或 （D）
答案: D
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例题讲解
例1解关于x的不等式 .
解：
∵
∴，或
即，或
例2若关于x的方程有实数解，求实数m的取值范围.
解：由方程有实根得 （1）
由方程有实根得，
所以 （2）
由（1），（2）可知，m的取值范围是
例3已知集合A=，B=，
（1）若，求实数a的取值范围.
（2）若AB，求实数a的取值范围.
解：（1），
由数轴可知，要使，则
（2）由AB得
小结：①去绝对值符号后解不等式的方法；②注意分情况讨论后是求交集，还是求并集.
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与二次函数有关的不等式问题
　　一类不等式问题以二次函数为素材，不但考查不等式的内容，还涉及函数性质、方程根的分布等．由于综合性强，形式多变，能充分体现数学学科的抽象性和灵活性，在高考试卷中常以压轴题的地位出现．本文介绍几种处理此类问题的策略，希望对读者有所帮助．
　　1．合理选择二次函数的表达形式
　　二次函数的表达形式有
　　①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
　　②零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)；
　　
　　解题时若能恰当地选择(改变)表达形式，则会避繁就简，事半功倍．
　　例1 设有二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程f(x)－x＝0的两根x1，x2满足
　　(1)当x∈(0，x1)时，证明x＜f(x)＜x1；
　　
　　证明 (1)设f(x)－x＝a(x－x1)(x－x2)，
　　当x∈(0，x1)时，x－x1＜0，x－x2＜0，
　　又a＞0，所以f(x)－x＞0，即f(x)＞x；
　　又f(x)－x1＝a(x－x1)(x－x2)＋x－x1
　　＝(x－x1)[a(x－x2)＋1]，
　　
　　所以f(x)－x1＜0，即f(x)＜x1，故x＜f(x)＜x1．
　　
　　又x1，x2是方程ax2＋(b－1)x＋c＝0的两根，
　　
　　2．充分利用特殊值的作用
　　记f(x)＝ax2＋bx＋c，令x＝0，1，－1得
　　
　　若反解a，b，c，则有
　　
　　在解题时，充分利用特殊值的作用，巧妙应用①、②式等，常使问题明朗化，给人以“柳暗花明又一村”的感觉．
　　例2 已知f(x)＝x2＋bx＋c(b，c∈R)定义在[－1，1]上，
　　
　　解 (1)因为|f(x)|max＝M，
　　所以 －M≤f(x)≤M，
　　
　　解得 －M≤c≤M－1 ①
　　
　　
　　例3 已知a、b、c是实数，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，g(x)＝ax＋b，当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1．
　　(1)证明：|c|≤1；
　　(2)证明：当－1≤x≤1时，|g(x)|≤2；
　　(3)设a＞0，当－1≤x≤1时，g(x)的最大值为2，求f(x)．(96年全国高考)
　　解 (1)|c|＝|f(0)|≤1(因为0∈[－1，1])．
　　
　　
　　
　　所以当－1≤x≤1时，
　　
　　
　　(3)略．
　　例4 若对于x∈[－1，1]，有|ax2＋bx＋c|≤1(a≠0)，
　　(1)求证：当－1≤x≤1时，|cx2－bx＋a|≤2；
　　(2)当|x|≤1时，求|2ax＋b|的最值．
　　该例两小题均可仿照例3(2)中的方法求解(请读者自为之)，本文不妨称之为“特殊值反表系数法”．此法适用于以|x|≤k或0≤x≤k时|ax2＋bx＋c|≤M为条件的一类问题．
　　例5 若f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)在区间[0，1]上恒有|f(x)|≤1．
　　(1)对所有这样的f(x)，求|a|＋|b|＋|c|的最大值；
　　(2)试给出一个这样的f(x)，使|a|＋|b|＋|c|确实取到上述最大值．(98年“希望杯”)
　　
　　
　　所以|a|＋|b|＋|c|
　　
　　
　　
　　所以
(|a|＋|b|＋|c|)max＝17．
　　
　　3．利用“夹逼法”将不等式转化为等式
　　对涉及求值的不等式问题，需将不等式转化为等式，这时可利用“夹逼法”，即若能得到k≤f(x)≤k，则等价于f(x)＝k．
　　例6 已知f(x)＝x2＋bx＋c(b，c∈R)，对任意的α∈R恒有f(sinα)≥0且f(2＋cosα)≤0．
　　(1)求b＝g(c)的表达式；
　　(2)若f(sinα)max＝8，求f(x)．
　　解 (1)因为sinα∈[－1，1]，2＋cosα∈[1，3]，因为由题设知：当x∈[－1，1]时，f(x)≥0；当x∈[1，3]时，f(x)≤0，故0≤f(1)≤0，即f(1)＝1＋b＋c＝0，从而b＝－c－1．
　　(2)略．
　　例7 题目同例3(3)．
　　解 因为a＞0，所以g(x)＝ax＋b在[－1，1]上单调递增，所以 g(x)max＝g(1)＝a＋b＝2 ①
　　所以－1≤c＝(a＋b＋c)－(a＋b)＝f(1)－2≤1－2＝－1，
　　故c＝－1，即f(0)＝－1．又x∈[－1，1]时，|f(x)|≤1，且a＞0，所以f(0)＝－1＝
　　
　　4．转化为方程的实根分布
　　在问题中，若含有方程的根所满足的不等式或二次函数在特定点的函数值的不等关系，则可考虑转化为二次函数的实根分布问题．
　　例8 已知关于x的实系数方程x2＋ax＋b＝0有两个实根α、β，证明
　　(1)如果|α|＜2，|β|＜2，那么2|a|＜4＋b且|b|＜4；
　　(2)如果2|a|＜4＋b且|b|＜4，那么|α|＜2，|β|＜2．(93年全国)
　　证明 (1)由方程x2＋ax＋b＝0的两根α，β∈(－2，2)，设f(x)＝x2＋ax＋b，
　　
　　解得－(4＋b)＜2a＜4＋b，即2|a|＜4＋b，
　　又 |b|＝|αβ|＝|α||β|＜2·2＝4，
　　故 2|a|＜4＋b且|b|＜4．
　　
　　
　　例9 已知f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R，a＞0)，设f(x)的对称轴为x＝x0，若方程f(x)＝x的两根x1，x2满足x1＜2＜x2＜4，求证x0＞－1．
　　证 设 g(x)＝f(x)－x＝ax2＋(b－1)x＋1，
　　因为 x1＜2＜x2＜4，
　　
　　
　　
　　5．利用函数的性质或含绝对值不等式的性质
　　函数性质及含绝对值的不等式的性质往往是这类问题的考查重点．解题时，要善于研究有关函数的单调性、有界性与所证不等式的关系，通过含绝对值的性质对不等式加以放缩，找到解决问题的突破口．
　　例10 题目同例3(2)．
　　证明 因为g(x)＝ax＋b当a＞0时单调增，a＜0时单调减，a＝0时为常函数．
　　所以当－1≤x≤1时，|g(x)|≤max{|g(1)|，|g(－1)|｝＝max{|a＋b|，|a－b|}．
　　又|a±b|＝|(a±b＋c)－c|＝|f(±1)－f(0)|≤|f(±1)＋f(0)|≤1＋1＝2，所以|g(x)|≤2．
　　6．运用拆项、配凑等特殊策略
　　若能将未知中的函数拆、配成用已知函数表示的形式，则问题的解决简捷明快，富有新意．
　　例11 题目同例3(2)．
　　
　　
　　
　　例12 题目同例4．
　　解 (1)因为 cx2－bx＋a＝c(x2－1)＋(a＋c－bx)，
　　当x∈[－1，1]时，x2－1∈[－1，0]，
　　所以|cx2－bx＋a|≤|c||x2－1|＋|a＋c－bx|
　　≤|c|·1＋max{|a－b＋c|，|a＋b＋c|}
　　＝|f(0)|＋max{|f(－1)|，|f(1)|}≤1＋1＝2．
　　(2)|2ax＋b|＝|ax＋(ax＋b)|≤|ax|＋|ax＋b|．
　　由例10知，当x∈[－1，1]时，|ax＋b|≤2；又由
　　
　　故 |2ax＋b|≤2＋2＝4．
　　显然f(x)＝2x2－1满足题设，这时2ax＋b＝4x，当x＝±1时，|4x|＝4，
　　从而|2ax＋b|max＝4．
　　
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解答题1
设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)－x=0的两个根x1,x2满足0I．当x(0, x1)时，证明xII．设函数f(x)的图像关于直线x=x0对称，证明x0< .
答案：
(Ⅰ)证明：令F(x)=f(x)-x．因为x1,x2是方程f(x)-x=0的根,所以
F(x)=a(x-x1)(x-x2)．
当x∈(0,x1)时,由于x10,又a>0,得
F(x)=a(x-x1)(x-x2)>0,
即x因为
所以x1-x>0,1+a(x-x2)=1+ax-ax2>1-ax2>0．
得 x1-f(x)>0．
由此得f(x)(Ⅱ)依题意知
因为x1,x2是方程f(x)-x=0的根,即x1,x2是方程ax2+(b-1)x+c=0的根．
∴，
因为ax2<1,所以．
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解答题
设a≠b，解关于x的不等式： a2x＋b2(1－x)≥[ax＋b(1－x)]2．
解：
将原不等式化为
(a2－b2)x+b2≥(a－b)2x2＋2(a－b)bx＋b2，
移项，整理后得 (a－b)2(x2－x) ≤0，
∵ a≠b 即 (a－b)2＞0，
∴ x2－x≤0，
即 x(x－1) ≤0．
解此不等式，得解集 {x|0≤x≤1}
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解答题
解关于x的不等式x2－2 (a+1)x+1<0．
答案：
解：设f (x)=x2－2(a+1)+1这是形状和y=x2相同的抛物线系，它们与x轴的位置关系如图17－3所示，由图可知原不等式有时有解，有时无解．并且可知原不等式是否有解取决于△=4a(a+2)．于是有
(1) 当4a(a+2)≤0，即－2≤a≤0时，原不等式无解
(2) 当4a(a+2)>0，即a<－2或a>0时，原不等式的解为．
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解答题
已知函数y=x2+(a+1)x+b对任何实数x都有y≥x，且当x=3时，y=3，求a，b的值．
答案：
由x=3，y=33a+b=－9 ①；由y≥x恒成立x2+ax－9－3a≥0恒成立△=a2+4(9+3a)≤0，即(a+6)2≤0，又(a+6)2≥0a=－6 ②由①、②a=－6，b=9．
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选择题
关于x的不等式ax2 + bx + c < 0的解集是，那么关于x的不等式
cx2 －bx + a > 0的解集是（ ）
(A) (B) （－∞，－2）
(C) （2，+∞） (D)
答案：A
分析：
由不等式解集和方程解的关系，首先求出cx2－bx + a = 0的根，再根据c的正负确定不等式cx2－bx + a > 0的解集．
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一元二次不等式解法教案
　
　　教学目标
　　(1)复习初中学过的二次函数，借助二次函数的图象，理解一元二次不等式解法的由来．
　　(2)在理解的基础上，掌握一元二次不等式的解法．
　　教学重点和难点
　　重点：一元二次不等式解法的由来，熟悉掌握一元二次不等式的解法．
　　难点：对一些特殊的一元二次不等式的求解．
　　教学过程设计
　　(一)复习初中学过的二次函数的主要性质
　　
　　
　　开口方向(a＞0，a＜0)
　　
　　
　　(二)引入新课：
　　为了解二次函数与一元二次不等式间的关系，我们首先研究一元一次方程，一元一次不等式与一次函数间的关系．
　　例：一次函数y=2x－7
　　x=0，y=－7；y=0，x=3.5，由(0，－7)，(3.5，0)作出图象．
　　由图象得
　　x＞3.5时，y＞0，即2x－7＞0，
　　x=3.5时，y=0，即2x－7=0，
　　x＜3.5时，y＜0，即2x－7＜0．
　　
　　(1)a＞0时，
　　
　　(2)a＜0时，
　　
　　现在来研究一元二次不等式与二次函数的关系
　　
　　
　　由图象可观察出，
　　
　　
{x|x＞3或x＜－2}，
　　
{x|－2＜x＜3}．
　　
　　a＞0来研究．
　　
　　得到，a＞0时，一元二次不等式解的情况．
　　
　　
　　
　　
　　
　　(3)Δ＜0，y＞0
　　如果二次项系数a＜0，我们可用(－1)乘不等式两边变为二次项系数为正的情况．因此不再讨论．
　　今后我们将根据这一道理，直接用法则来解一元二次不等式．为了同学们便于记忆，我们总结为四句话，供同学们参考使用．
“要解二次不等式，二次系数先变正，
大于解在二根外，小于解在二根间．”
　　教师指导学生完成以下例题
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　(三)学生练习
　　1．课本练习1
　　
　　(3)无解，(4)全体实数R．
　　2．课本练习2
　　
　　3．课本练习3
　　x≤－4或x≥3时，根式有意义．
　　4．解不等式
　　
　　
　　
　　
　　(四)小结
　　解一元二次不等式，当Δ＞0，二次方程有二不等根时，应用法则去解；当Δ=0，Δ＜0时，情况特殊，要针对具体问题，加强思考．
　　(五)作业：习题1．5，1、3
　　
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选择题
对任意a∈[－1，1]，函数 f ( x ) = x2 + ( a－4 )x + 4－2a的值总大于零，则x的取值范围是（ ）
(A) 1 < x < 3 (B) x < 1 或 x > 3
(C) 1 < x < 2 (D) x < 1 或 x > 2
答案：B
分析：
法1：由x2 + ( a－4 )x + 4－2a = 0x1=2或x2 =2－a．
又－1≤a≤11≤2－a≤3画出抛物线系f ( x ) = x2 + ( a－4 )x + 4－2a．
（答图2－2）由图可知均在x轴上方时的充要条件为：x < 1或x > 3．
法2：函数思想
x2 + ( a－4 )x + 4－2a > 0 （－1≤a≤1）
(x－2)[ x－(2－a) ] > 0 （－1≤a≤1）
或
或
或 x > 3 或 x<1．
法3：将x2 + (4－a)x + 4－2a 化为 (x－2)a + x2－4x + 4．
原题 求x．
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选择题
若a<0，则关于x的不等式ax+1>0的解集是( )
(A) (B)
(C) (D)
答案：C
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一元二次不等式解法教案
教学目标
1.会把部分一元二次不等式转化成一次不等式组来求解.
2.会解简单的分式不等式.
3.渗透转化的思想，分类讨论思想.
教学重点
一元二次不等式的解法.
教学难点
等价转化成合理变形式子.
教学方法
创造教学法.
教具准备
投影片（3张）
教学过程
（I）复习回顾
“三个二次”的关系；一元二次不等式的解法；数形结合思想运用.
(II)讲授新课
1.一元二次不等式（x+4）(x-1)<0的解法.
师：首先我们共同来看这个不等式的特点，从不等号两边分别来看.
生：这个不等号左边是两个x的一次式的积，右边是0.
师：那么依据该特点，不等式能否实现转化，而又能转化成什么形式不等式，同学们可以讨论，或者将不等式变形，看结果如何.
生：经观察、分析、研究不等式可以实现转化，可转化成一次不等式组： 与
，并且说明，（x-4）(x-1)<0的解集是上面不等式组解集的并集.
师：那么解法如下：（投影a）
一元二次不等式（x+4）(x-1)<0的解法解：将（x+4）(x-1)<0转化为 或 由{x| ={x|-4师指出：从上可看出一般形式（x+a）(x+b)>0解的步骤：转化为一次不等式组，求其解集的并集，即为所求不等式的解.
给出下面问题：（投影b）
通过因式分解，转化为一元一次不等式组的方法，求解下列不等式：1．x2-3x-4>0 2. -x2-2x+3>03.x(x-2)>8 4.(x+1)2+3(x+1)-4>0
[解时应注意：问题解决关键在于通过正确因式分解，将不等号左端化成两个一次因式积的形式，第（4）题还需注意，整体思想在解题中运用.]
问题可由四名学生板演，然后师给予点评：（1）的解集：{x|x<-1或x>4}；(2)的解集：{x|-34}；（4）的解集：{x|x<-5或x>0}.
2. 分式不等式 的解法.
师：试比较 与（x-3）(x+7)<0的解集，并写出和它们解集相同的一次不等式组.
在回答这一问题之前，我们先完成例5.
例5：解不等式 .[这个不等式若要正确无误求出解集，则必须实现转化]
师：该不等式转化依据可解释为：（1）ab>0 >0;(2)ab<0 <0
从另一面也就意味着例5可表述如下：
例6：解这个不等式解集是不等式组 或 的解集的并集，由{x|
}={x|-7 ={x|-7从而开始提出的问题就可以叙述为：
生： 与（x-3）(x+7)<0的解集相同，其一次不等式组为 或
.
师：由此得到 不等式的解法同（x+a）(x+b)>0的解法相同.
师：看下面不等式如何转化.（投影c）
1.3+ <0 2. <13. > 4. >1
上述式子变形是关键，如何实现转化，移项化简是主要工作.
生：（1）3+ <0可变形为 ，并且其解集为{x|- (2) <1可变形为 ，并且其解集为{x|x<1或x>3}.
(3) ＞ 可变形为 ,并且其解集为{x|x< 或x>3}.
(4) >1可变形为 ,并且其解集为{x|0(III)课堂练习：课本P21,练习1—4.
给出渗透分类讨论题目：解关于x的不等式：x2+(m-m2)x-m3>0.
将原不等式化成（x-m2）(x+m)>0,
则（1）当m2>-m即m>0或m<-1时，解集{x|x>m2或x<-m};
(2)当m2<-m即-1-m或x(3)当m2=-m即m=0或m=-1时,解集{x|x≠0或x≠1}.
(IV)课时小结
1.(x+a)(x+b)<0(a>b)型不等式转化方式是 .
2. 型不等式转化结果.
3.上述两类不等式解法相同之处及关键、注意点.
(V)课后作业
一、课本：P22，习题1.5 2、4、7、8
二、1.预习内容：课本P25—P26（P23—P24阅读材料）
2.预习提纲：（1）集合元素的个数如何表示，其实际意义如何；（2）逻辑联结词有哪几个，如何解释？
板书设计
§1.5.2 一元二次不等式解法1.(x+a)(x+b)>0型不等式解法 练习2. 型不等式解法 小结 作业举例
教学后记
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选择题
不等式x2－4x+4≤0的解集是( )
(A) {x|x≠2，x∈R} (B) {x|x=2}
(C) R (D)
答案：B
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解答题
对任意a∈[－1，1]，函数f (x)=x2+(a－4)x+4－2a的值总大于零，求x的取值范围．
答案：
解法1：数形结合思想．由x2+(a－4)x+4－2a=0x1=2或x2=2－a．
∵ a∈[－1，1] ∴ 1≤2－a≤3．
由图17－2符合条件的x取值范围是(－∞，1)∪(3，+∞)．
解法2：原式化为x2+(a－4)x+4－2a>0
(x－2)[x－(2－a)]>0
，或．(又1≤2－a≤3．x>2－a就是x大于2－a的最大值，即x>2－ax>3 同理x<2－ax<1)
，或或x<1．
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填空题7
已知集合，，若
，，则a = ， b = ．
答案：
－3，－4
分析：
由及，得B = [－1，4]．
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填空题
关于x的不等式x2+(2－a)x－2a<0的解集_______________．
答案：
a<－2时，是{x|a－2时，是{x|－221世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
习题
1、不等式的解集是 （ B ）
（A）或 （B）或
（C） （D）或
2、若不等式与不等式的解集相同，则a，b的值分别为 （ A ）
（A） （B） （C）（D）
3、不等式的解集是 .
4、如果不等式对一切实数x都成立，则a的取值范围是.
5、不等式4≤x2－3x＜18的整数解集为 .
6、已知,求实数的取值集合.
解：，由可得
（1）当，即时，
（2）当，即时，因为方程的两根是
，明显，故
从而
由（1）、（2）可知，p的取值范围是.
7、已知二次函数满足下列条件：
①对任意实数恒有；
②当时，的最大值为，最小值为，且
试求之值.
解：由条件①得
∵，∴
依题意得，所以
8、已知函数在上的最小值是，最大值是，又方程的两根为，且满足，试求的表达式.
解：由条件①得
又得，∴.
小结：二次函数问题要注意结合二次函数的图象来求解.
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选择题
若不等式x2－5x+6<0的解集也满足关于x的不等工2x2－9x+a<0，则实数a的取值范围是( )
(A) a≤9 (B) a>10
(C) (D) 不存在
答案：A
分析：
用函数思想和数形结合思想．由x2－5x+6<0{x|2令．原题抛物线f (x)与x轴在上有两个交点，由图17－1，不难发现其充要条件是：f (3)≤0a≤9．应选(A)．
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二次函数与一元二次不等式教案
教学目标
1．使学生掌握一元二次方程、二次函数、一元二次不等式的内在联系,并探求一元二次不等式的图像解法．
2．通过学生的主体活动，提高学生分析问题的能力，强化数形结合思想解答数学问题的意识．
设计思想
1．利用素材库课件，帮助学生通过一元二次函数的图像来理解一元二次不等式的解法．
2．通过教学活动，培养学生主动参与的意识，逐步形成探究式的学习方法．
(1)新课引入
学生活动一：
通过实例研究一元二次方程ax2+bx+c=0的根，一元二次函数的y=ax2+bx+c的图像、一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集之间的内在联系．
参考实例：
第一组 第二组 第三组
x2－x－6=0 x2－2x－3=0 x2－3x－4=0
y= x2－x－6 y= x2－2x－3 y= x2－3x－4
x2－x－6>0 x2－2x－3>0 x2－3x－4>0
实施方法：
第一组题，由学生用素材库的课件做演示，寻求答案；
第二组题，由学生用素材库新课件描点作出函数图像，并寻求答案；
第三组题，要求学生在本上列表描点作图
之后，由学生代表报告结果．
利用新课件，再次显示3个函数图像
(Ⅰ)y= x2－x－6 (Ⅱ)y= x2－2x－3 (Ⅲ)y= x2－3x－4
教师小结：
(Ⅰ) 抛物线与x轴交点为(－2，0)和(3，0)，方程x2－x－6=0的根x=－2和x=3，当x<－2或x>3时y>0，当－23时y>0，当－14时y>0，当－1由此可见，一元二次方程的根及一元二次不等式的解集，可由抛物线和x轴的交点确定．上述一元二次不等式y>0的解集，是抛物线在x轴上方部分的点所对应的x值的集合；y<0的解集，是抛物线在x轴的下方部分的点所对应的x值的集合．
学生活动二：
学生思考：你能在上述具体例子的基础上，得出求一般的一元二次不等式解集的方法吗？
问：方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根的情况由什么判定？抛物线y=ax2+bx+c的开口方向由什么决定？与x轴的位置关系由什么判定？
学生讨论，由代表发言，教师小结：a>0或a<0决定抛物线开口向上或向下；△>0，△=0，△<0决定方程有两个相异实根；两个相等实根；没有实根(抛物线与x轴有两个相异交点；两个相同交点；没有交点)
利用计算机大屏幕逐次展示素材库中下列图片，学生根据图像的特征回答a和△的符号．(a>0或a<0；△>0或△=0或△<0)
解答(A) a>0，△>0 (B) a>0，△=0 (C) a>0，△<0
(D) a<0，△>0 (E) a<0，△=0， (F) a<0，△<0
显示课件
见素材库，一元二次不等式解法(课件)
问：求一元二次不等式ax2+bx+c>0 (a>0)的解集．
{x|xx2} R
(用竖线阴影表示)
进一步显示表格
判别式△=b2－4ac △>0 △=0 △<0
二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图像
ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两相异实根x1，x2(x1ax2+bx+c>0的解集 {x|xx2} R
学生活动三：
分式不等式怎样解？它与一元二次不等式(x－1)(x+2)>0的解集有什么关系
教师对学生的回答给予评述．利用：同号两数相乘得正的符号法则,与(x－1)(x+2)>0的解集相同，解集为{x|1}．
一般地，不等式 (ab}
小结：求一元二次不等式的解集可利用相应的二次函数的图像(抛物线)与x轴的交点的横坐标来确定．在数学思维方法上采用了由数到形，由形到数及数形结合的方法．
一元二次方程 ax2+bx+c=0的解 抛物线y=ax2+bx+c 与x轴交
点(横坐标)；
一元二次不等式ax2+bx+c>0 抛物线y=ax2+bx+c (a>0，△>0)
(a>0，△>0)解集{x|xx2} 与x轴相交后，xx2的区间．
(2)巩固与提高
学生活动四：
探讨以下练习题并思考一般方法
①解不等式(x－a)(x+2)>0与，并比较结果．
*②解不等式 (本题可以选用)
评述：①比较a与－2的大小，分类讨论
a．当a<－2时 {x|x－2}
b．当a=－2时 {x| x≠－2}
c．当a>－2时 {x|x<－2或x>a}
结论：两个不等式的解集相同．
*②
a． 当m<1时{x|m2}
b． 当m=1时 {x|x>2}
c．当12}
d．当m=2时{x|x>1且 x≠2}
e． 当m>2时{x|1m}
(3)作业
课本P．25 习题1.5
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备课资料/一元二次不等式
测试题
解下列不等式：
1．x2>4 11．x2－2x+3>0
2．x2<4 12．x2－2x+3<0
3．x2>－4 13．x2－3x－4≤0
4．x2<－4 14．x2－3x－4≥0
5．x2>a (a∈R) 15．－x2+4x－5≥0
6．x20
7．x2－2x>0 17．(x－a)(x－2a)>0 (a>0)
8．x2+3x<0 18．(x－a)(x－2a)<0 (a>0)
9．x2－2x－3>0 19．(x－a)(x－2a)>0 (a∈R)
10．x2－2x－3<0 20．(x－a)(x－2a)≥0 (a∈R)本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
选择题
设集合M=｛x│0≤x<2｝,集合N=｛x│x2-2x-3<0｝,集合M∩N= ( )
(A) (B)
(C) (D)
答案：B
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解答题3
不等式恒成立，则的取值范围为 ( )
(A) (B)
(C) (D)
答案：D
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一元二次不等式应用教案
　　教学目标
　　1．复习、总结一元二次不等式的解法．
　　2．准确、熟练地解一元二次不等式，并能逆向应用．
　　3．通过学习，培养学生数形结合分析问题的能力，逆向解题能力．
　　4．通过等与不等的对立统一关系，对学生进行辩证唯物主义教育．
　　教学重点与难点
　　一元二次不等式的解法．
　　教学过程设计
　　一、复习提问
　　(问题通过投影仪给出，学生回答．)
　　1．什么是不等式？
　　2．什么是同解不等式？
　　3．什么是同解变形？
　　4．一元一次不等式(组)的解法是什么？
　　(学生回答．略．)
　　二、引入
　　师：初中学习二次函数时，曾解决过这样的问题：函数y=x2－3x－4，当x为何值时，y＞0？当x为何值时，y＜0？当x为何值时，y=0？当时我们是怎样做的？
　　生：当时我们是通过图象观察的．
　　(1)作出函数y=x2－3x－4的图象．
　　(2)找到它与x轴交点(－1，0)，(4，0)．
　　(3)得到结论：当－1＜x＜4时，y＜0；当x＜－1，或x＞4时，y＞0；当x=－1，或x=4时，y=0．
　　师：对．这个问题实际就是解方程x2－3x－4=0找到两个根－1和4，及解不等式x2－3x－4＞0和x2－3x－4＜0．
　　我们知道二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)有两类基本图象，请看投影仪．(教师给出图，学生填入下面的代数关系表达式．)
　　(其中x1，x2为一元二次方程ax2+bx+c=0的两根．)
　　师：任何一个一元二次不等式，最后都能化为ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0(a≠0)的形式，实际上就是二次函数中y＞0或y＜0．我们可以观察出一元二次不等式的解与其相应的一元二次方程的根及二次函数图象的关系．请同学们观察上表，总结出当a＞0时ax2+bx+c＞0及a＞0时ax2+bx+c＜0的解的情况．
　　(学生总结后，教师带着学生看课本P23．由投影仪绘出图表)(见附页)．
　　师：由此归纳出解一元二次不等式步骤如下：(由投影仪给出)
　　(1)将二次项系数化为“+”号．
　　(2)计算Δ=b2－4ac．若存在实根，则求出根．
　　(3)写出解集．(结合条件想象图象的形状)
　　三、例题与练习
　　例1 解不等式－x2+5x＞6．
　　解 (1)原不等式变形为：x2－5x+6＜0．
　　(2)计算Δ：
　　因为Δ=25－4×6=1＞0，所以x2－5x+6=0有两个不等的实根，解得x1=2，x2=3．
　　(3)原不等式解集为：{x|2＜x＜3}．
　　(此例可由学生根据解一元二次不等式步骤自己板书，教师纠正做题格式．)
　　师：上例中当我们把不等式－x2+5x＞6变形时，做的是同解变形，所得的不等式x2－5x－6＜0与原不等式是同解不等式．所以求出的解就是原不等式的解集．
　　
　　(分析：教师引导学生联想图象、解的形式可得出a＜0，且方程ax2－5a3x+b=0
　　
　　
　　练习(学生板演，教师与学生一起订正．)
　　解不等式：(1)2x2－x－1≥0；(2)－3x2≤2x+1．
　　解 (1)因为Δ=(－1)2－4×2×(－1)=9＞0，所以2x2－x－1=0有两个根，
　　
　　(2)整理不等式，化为3x2+2x+1≥0．因为
Δ=22－4×3×1=－8＜0，
　　所以方程3x2+2x+1=0无实根．又a＞0，因此原不等式解集是{x|x∈R}．
　　例3 解关于x的不等式x2－5ax+6a2＞0．
　　(分析：此不等式系数中含有字母a，方程x2－5ax+6a2=0的解与a相关，所以要注意讨论a的取值对不等式解集的影响．)
　　解 因为Δ=(－5a)2－4×6a2=a2≥0，所以x2－5ax+6a2=0有实根．
　　当a=0时，不等式x2－5ax+6a2＞0的解集为{x|x＜0或x＞0}；
　　
　　所以，当a＞0时，方程有实根x1=3a，x2=2a，且x1＞x2，不等式解集为{x|x＞3a或x＜2a}；
　　
　　
　　
　　
　
　　
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解答题2
设和是方程的两个实根，当m等于何值时，有最小值，最小值是多少？
答案：
解：由条件，得即：
又
当时，
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例题讲解
［例1］已知二次函数y＝x２+px+q,当y＜0时有－＜x＜，解不等式qx２＋px+1＞0.
选题意图：本例主要强化一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的图象间的关系.
解：由已知得x１＝－，x２＝是方程x２+px+q=0的根，
∴－p=－＋ q=－×
∴p＝，q＝－
∴不等式qx２+px+1＞0
即－x２＋x+1＞0
∴x２－x－６＜0 ∴－２＜x＜3.
即不等式qx２＋px+1＞0的解集为｛x｜－２＜x＜3｝.
说明：一元二次方程、一元二次不等式、二次函数三者之间联系十分密切，二次函数的图象与x轴交点的个数，就是相应一元二次方程解的个数，交点的横坐标就是方程的根；图象上使函数值y大于或小于0的x的集合，就是一元二次不等式大于或小于0的解集.
［例2］解不等式≥.
选题意图：本例主要训练分式不等式的解法.
解：原不等式整理得≥0
由｛
得原不等式解集为｛x｜x≥１２或x＜１｝．
说明：分式不等式的解法一是去分母，二是转化为与之等价的不等式组，去分母时，若不能确定分母的符号，要注意讨论.
［例3］当a取何值时，关于x的二次不等式(a２＋4a-5)x２－４(a-1)x+3＞0的解为任何实数.
选题意图：本例主要训练一元二次不等式的解集与一元二次方程的解之间的关系，培养学生仔细审题的良好习惯.
解：由已知得
∴ ∴1＜a＜１９．
说明：题中“关于x的二次不等式”这句话隐含着ａ２＋４ａ－５≠０这一条件，审题时应注意领会，若把条件改为“关于x的不等式”应对ａ２＋４ａ－５＝０、ａ２＋４ａ－５≠０这两种情况分别讨论.
*［例4］解关于x的不等式(1-a)x2+4ax-(4a+1)＞０（ａ∈Ｒ）
选题意图：本例主要训练学生解含参不等式的思想方法，培养学生解含参不等式的能力.
解：(1)当ａ－１＝０，即ａ＝１时，原不等式化为４ｘ－５＞０
∴ｘ＞
所以，当a=1时，原不等式的解集是｛ｘ｜ｘ＞｝
（２）当１－ａ＜０，即ａ＞１时，
Δ＝１６ａ２＋４（１－ａ）（４ａ＋１）＝４（３ａ＋１）＞０
关于x的方程（１－ａ）ｘ２＋４ａｘ－（４ａ＋１）＝０的两根是
ｘ１＝，
ｘ２＝且ａ－１＞０
所以原不等式的解集是｛ｘ｜＜ｘ＜｝
(3)当１－ａ＞０，即ａ＜１时，Δ＝１６ａ２＋４（１－ａ）（４ａ＋１）＝４（３ａ＋１）
①当 即－＜ａ＜１时，Δ＞０
方程（１－ａ）ｘ２＋４ａｘ－（４ａ＋１）＝０的两根是
ｘ１＝，
ｘ２＝且１－ａ＞０
原不等式解集为｛ｘ｜ｘ＜或ｘ＞｝
②当ａ＝－时，Δ＝０
原不等式化为４ｘ２－４ｘ＋１＞０
即（２ｘ－１）２＞０．
此时原不等式的解集为｛ｘ∈Ｒ｜ｘ≠｝
③当ａ＜－时，Δ＜０且１－ａ＞０
此时原不等式解集为R
综上所得：
当ａ＜－时，原不等式的解集是R.
当ａ＝－时，原不等式的解集是｛ｘ∈Ｒ｜ｘ≠｝
当－＜ａ＜１时，
原不等式解集是｛ｘ｜ｘ＜，或ｘ＞｝
当ａ＝１时，原不等式的解集是｛ｘ｜ｘ＞｝
当ａ＞１时，原不等式的解集是｛ｘ｜＜ｘ＜｝
说明：当不等式中含有字母系数时，应按字母的取值范围分类讨论，做到不重不漏.解题时，应注意将二次项系数化为正的.
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填空题1
设集合P={x|x2－x+3>0}，则CRP=____________．
答案：

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“串针引线”法在求解不等式时的运用
y＝(x－x1)(x－x2)、…、(x－xn)＞0(或＜0)型的不等式求解自变量x在实数集中取值的多项式函数.
y＝(x－x1)(x－x2)、…、(x－xn)的图象在经过它与x轴的交点时，y的值改变符号．
不妨设x1＜x2＜…＜xn，先确定当x＜x1时函数值的符号．让图象从点x＝x1(即(x1，0)，以下相同或类同)的左下方或左上方开始，通过点x＝x1，然后延长曲线，使它通过点x＝x2等，从图象上就可直接求得不等式y＞0(或y＜0)的解集．此法可用“串针引线”来概括．
［例5］解不等式(x＋2)(x－1)(x－3)＞0
解析：问题解决关键有二：一是寻求曲线与x轴交点，二是判断通过第二个点时即x＜x1时函数值符号．
解：y＝(x＋2)(x－1)(x－3)的图象与x轴的交点为x1＝－2，x2＝1，x3＝3，用x＝－4代入y验证．
y｜x＝－4＝(－4＋2)(－4－1)(－4－3)＜0，则让图象从点x＝－2的左下方开始通过点x＝－2；然后先向右上方再折回右下方延长曲线，使它通过点x＝1；再先向右下方后折回右上方延长曲线，使它通过点x＝3；最后向右上方延长曲线．
那么从图象可看到，满足y＜0的x取值范围．
即不等式的解集为｛x｜－2＜x＜1或x＞3
“串针引线”法掌握之后，用来解决上述不等式问题很方便．实际上是数形结合思想运用结果．
［例6］解不等式(x＋3)(x＋1)(x－2)(x－4)＞0
解：令y＝(x＋3)(x＋1)(x－2)(x－4)
用x＝－4，代入y＝(x＋3)(x＋1)(x－2)(x－4)中，有y｜x＝－4＝(－4＋3)(－4＋1)(－4－2)(－4－4)＞0
从点x＝－3的左上方开始，仿照上面所讲方法画一条平滑的曲线．
使曲线经过x＝－3，－1，2，4四点．
从图象可以直接得出不等式的解集为｛x｜x＜－3或－1＜x＜2或x＞4｝
用“串针引线”法，即数形结合解决此类不等式可在教学中让学有余力的学生试一试，因该法在解分式
不等式时要用．
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选择题
若不等式x2－5x+6<0的解集也满足关于x的不等式2x2－9x + a < 0，则a的取值范围是（ ）
(A) a≤9 (B) a > 10 (C) (D) 不存在
答案：A
分析：
由x2－5x+6<0 2 < x < 3，令f ( x ) = 2x2－9x + a，原题 f ( x )在（2，3）上有f ( x )<0，求a的值 抛物线f ( x )对应于x轴上（2，3）的曲线在x轴下方，其充要条件是
f ( 3 )≤0，即18－27 + a≤0a≤9．（答图2－1）
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答图2-1本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
填空题
定义在实数集上的二次函数 y = kx2－8x＋（k＋6）在定义域上保持函数值同号的充要条件是 ．
答案：
分析：
令△＜0．
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解答题
设关于实数x的不等式和x2－3（a＋1）x＋2（3a＋1）≤0
（a∈R）的解集依次为A，B，求使的实数a的取值范围．
答案：
解出A = [2a，a2＋1]，B = [2，3a＋1] (a≥时) 或[3a＋1，2] (a＜时)
由有 或
解之，1≤a≤3或a = －1．
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选择题1
函数f（x）=x2＋2（a－1）x＋2在区间（－，4）上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
(A) a≥3 (B) a≤－3 (C) a≥－3 (D) a≤5
答案：B
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解答题
若不等式的解集是, 求不等式的解集
解：由题设可知, －1, 2是的两根
依根与函数关系a = －(－1 +2 ) = －1, b = (－1)×2 = －2
∴, 即－x2 + x + 2 < 0
∴不等式ax2 + x－b < 0的解集为
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(45分钟，满分100分)
一、判断正误：(每小题5分)
1．{平行四边形}∩{梯形}= ． ( )
2．对任意集合A，都有 A． ( )
3．集合A的子集是由A中的部分元素组成的． ( )
4．若，B={y|y=x2}，则CRA∩B=A． ( )
5．不等式4x2+4x－3≤0的解集是． ( )
二、填空：(每小题7分)
6．设集合P={x|x2－x+3>0}，则CRP=____________．
7．如果A={x|1<|x|≤3，x∈Z}，那么A的非空真子集共有___________个．
8．如果card (A)=10，card (B)=7，card (A∩B)=5，那么card (A∪B)=_________．
三、选择题：(每小题6分)
9．设A={平行四边形}，B={矩形}，C={菱形}，D={正方形}．则正确的是 ( )
(A) A=B∪C (B) D=B∩C
(C) A=B∪C∪D (D) B∩C=
10．若S={0，1，2，3，4，5}，M={0，2，5}，N={1，2，4}，则Cs(M∪N)是 ( )
(A) {3} (B) {2}
(C) {1，3，4，5} (D)
11．满足{a，b}A{a，b，c，d，e}的集合A的个数是 ( )
(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8
12．下列命题中不正确的是 ( )
(A) |x|<2与x2<4解集相同
(B) 与(x－1)(x+2)<0的解集相同
(C) (x－1)(x2－x+2)>0与x－1>0解集相同
(D) 与(x－1)(x－3)≤0解集相同
四、解答题：(13题9分，14题21分)
13．已知集合P={(x，y)|y=x2－2x}，Q={(x，y)|y=kx－2}，若P∩Q≠ ，求k的取值范围．
14．解不等式(组)
(1) x2－x－42>0
(2)
(3) x(x2－1)<0本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
一元二次不等式解法教案
　
　　教学目标
　　(1)进一步理解、掌握一元二次不等式的解法，逐步达到熟练的程度．
　　(2)应用一元二次不等式的解法处理有关由两个一次因式组成的不等式及由两个一次因式组成的分式不等式．并能与其它问题综合处理．
　　教学重点和难点
　　重点：通过解由两个一次因式的积与商组成的不等式，进一步熟练一元二次不等式的解法，并把一元二次不等式的解法融入一些综合问题中．
　　难点：由两个一次因式的积与商组成的不等式向一元二次不等式的同解变换．
　　教学过程设计
　　(一)通过图表组织学生复习一元二次不等式的解法．
　　
　　法则：要解二次不等式，二次系数先变正，
　　大于解在二根外，小于解在二根间．
　　(二)引入新课
　　我们研究下面例题(x＋4)(x－1)＜0
　　这题可转化为一元二次不等式去求解，显然是繁琐例题．
　　(x＋4)(x－1)＜0说明二因式(x＋4)与(x－1)异号
　　
　　∴(x＋4)(x－1)＜0的解为－4＜x＜1．
　　这种解法在理论上讲是无疑的，但实际上，不这样去解．请注意下面的解法，(x＋4)(x－1)＜0．
　　不等式左边实际上是二次方程(x＋4)(x－1)=0的左边，因此这个二次方程的二根为x=－4，x=1．
　　用前面的方法，不等式(x＋4)(x－1)＜0的解是
－4＜x＜1．
　　一般来讲，假定a＜b，
　　不等式(x－a)(x－b)＜0的解集为
{x|a＜x＜b}．
　　不等式(x－a)(x－b)＞0的解集为
{x|x＜a或x＞b}．
　　学生练习：例1．解下列不等式
　　
　　[讲评]
　　
　　∴x＞3或x＜－2．
　　
　　∴0＜x＜2．
　　
　　
　　
　　下面我们再看一例：
　　
　　
　　是说，解是相同的．
　　如果这样大家不好理解，还可以这样来理解
　　
　　两边
　　得(x－3)(x＋7)＜0．
　　所以以后对这种商式形式的不等式就转化为积的形式去处理．
　　同学们继续练习：例2．解下列不等式
　　
　　[讲评]
　　
　　∴－5＜x＜8．
　　
　　
　　理，要从根本上理解．
　　
　　∴x＜1或x＞2．
　　
　　∴x＞5或x＜－4．
　　运用上面的思路，我们可以解某些较简单的高次不等式．
　　例3．解不等式
　　
　　学生试作后，教师讲评．
　　[讲评]
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　(三)小结
　　(1)从“同号相乘为正，异号相乘为负”“同号相除为正，异号相除为负”的观
　　
　　(2)在解不等式的过程中，如因式的正负可以确定，对这些因式要即时处理，简化不等式．
　　(四)作业：习题1．5，2、4、5
　　
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习题
1.不等式(x+3)２＜1的解集是（　　）
A.｛x｜x＞－２｝ B.｛x｜x＜－４}
C.｛x｜－４＜x＜－２ D.｛x｜－４≤x≤－２｝
2.若不等式ax２+5x+b＞0的解集为｛x｜＜x＜}．则a,b的值分别为（　　）
A.－６，－１ B.１，６ C.－１，－６ D.－１，－１
3.已知M=｛x｜－４＜x＜０｝，Ｎ＝｛x｜m２x－mx－１＜０，对一切m∈R成立｝.则下列关系中成立的是（　　）
A.M∩N＝ B.Ｍ＝Ｎ C.M？？N D.Ｎ？？Ｍ
4.已知A＝｛x｜x２－x－６≤０｝，B＝｛x｜x２＋x－６＞０｝，Ｓ＝Ｒ，则CS（A∩B）等于（　　）
A.｛x｜－２≤x≤３｝ B.｛x｜２＜x≤３}
C.｛x｜x≥３或x＜2 D.｛x｜x＞３或x≤2｝
5.不等式(2x-1)(x+2)＞7的解集是 ．
6.不等式(x２－４)(x-6)２≤０的解集是 ．
7.关于x的方程x２+ax+a-1=0有异号两实根，则a的取值范围是 ．
8.不等式＜0的解集是 ．
9.解不等式｜x２-x-2｜＞6.
10.解不等式＜１.
11.关于x的不等式ax２+bx+c＜0的解集为｛x｜x＜α或x＞β｝（α＜β＜０），求不等式ax２－bx+c＞0的解集.
12.不等式(m2-2m-3)x2-(m-3)x-1＜０的解集为R，求m的取值范围.
参考答案：
1.C 2.Ａ 3.C 4.D 5.｛x｜x＞或x＜－３}． 6.｛x｜－２≤x≤2或x＝6｝
7.a＜1. 8.｛x｜x＞５或x＜－６} 9.｛x｜ｘ＜或ｘ＞}
10.｛ｘ｜ｘ＜－１或ｘ＞且ｘ≠３|
11.｛x｜－β＜x＜－α 12.－＜m≤３
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一元二次不等式解法教案
　　教学目标
　　掌握利用因式分解和讨论的方法来求解一元二次不等式的方法及这种方法的推广运用。
　　教学重点
用因式分解和讨论的方法来求解一元二次不等式的方法。
教学难点
含字母的一元二次不等式的解法。
　　教学过程
1． 复习提问与练习
1．不等式与相应的函数、相应的方程之间有什么关系？
答：略.
2．做P22 第7题.
解: 略.
2． 新课
1.研究不等式的解法.
解:原不等式
.
所以，原不等式的解集是.
2．一元二次不等式的代数解法：
　　设一元二次不等式相应的方程的两根为，则；
　　若 当时，得或；当时，得.
若 当时，得；当时，得.
3．(P21 例5)解不等式.
解:原不等式
4．解不等式.
解: 原不等式可化为．
　　因为的解集是R．从而原不等式的解集是R．
5．解关于x的不等式
分析 此不等式为含参数k的不等式，当k值不同时相应的二次方程的判别式的值也不同，故应先从讨论判别式入手.
解
(1) 当有两个不相等的实根.
所以不等式；
(2) 当有两个相等的实根，
所以不等式，即；
(3) 当无实根
所以不等式解集为.
说明 一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数有着密切的联系，要注意数形结合研究问题.
　　6．解不等式.
　　分析：根据实数运算的符号法则，可以化为不等式组求解.
　　解：原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集：
(1) (2)
　　
　　所以原不等式的解集是
说明 本题是将一个比较复杂的不等式转化为不等式组进行求解，在解的过程中应注意何时取交集，何时取并集，在这里，集合知识得到了进一步应用.
三．课堂练习
　　（一）选择题
　　1．下列不等式中，解集为实数集Ｒ的是（ ）
　　(A) （Ｂ）
　　(C) （Ｄ）
　　２．当的解是（ ）
　　(A) (B)
(C) （Ｄ）
（二）填空题
　　3．不等式的解集是____________________.
　　4．的解集是________________.
　　四．小结
1．利用因式分解和讨论的方法来求解一元二次不等式的方法及这种方法的推广运用.
五．作业
课本P21 习题1.5　　2. 4. 8.
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选择题2
函数的图像如右，则等于 ( )
(A) (B)
(C) (D)
答案：B
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习题
1、不等式的解集是 ( C )
(A) (B) (C) (D)
2、已知关于x的方程的两根异号，且负根的绝对值比正根大，则实数m的取值范围是 ( A )
(A) (B) (C)，或 (D)，或
3、当时，关于x的不等式的解集是 ( B )
(A) (B) (C) (D)
4、若关于x的不等式的解集是，则实数m的取值是 ( C )
(A)1 (B) (C)1或 (D)0
5、已知全集U=R，A= ( D )
(A) (B)
(C) (D)
6、已知不等式的解是1（A） （B） （C） （D）
7、不等式的解集是.
8、关于x的不等式 恒成立，则a的取值范围是.
9、不等式的解集是 .
10、不等式的解集是 .
小结：①含有绝对值符号的不等式的解法；②解一元二次不等式的步骤；③分式不等式与高次不等式的解法.
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解答题
解关于x的不等式2x2－(3a－7)x－(2a2－a－3)>0．
答案：
解：原式化为[x－(2a－3)][2x+(a+1)]>0，
(1) 当，即a>1时，或x>2a－3
(2) 当，即a<1时，x<2a－3或
(3) 当，即a=1时，原式化为x2+2x+1>0，得x≠－1且x∈R．
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不等式解法(三)习题2
　　1．已知集合P={x|x2－(m＋2)x＋1=0，x∈R}，且P∩R+=，求实数m的取值范围．
　　2．已知y=x2＋(m－2)x－2m＋4，求m为何值时，函数的图象与x轴有两个不同交点，m为何值时，图象的顶点在第一象限．
　　3．若不等式|x＋2|＋|x－3|＜a有解，确定a的范围．
　　4．设全集I=R，A={x|x2－2x＞0}，B{x|x2－ax＋b＜0}，C={x|x3＋x2＋x=0}，又CU(A∪B)=C，A∩B={x|2＜x＜4}，
　　(1)求(CUA)∩(CUB)．
　　(2)求a、b的值．
　　5．a∈R，解不等式(x＋1)(x－3)(x－a)＜0．
　　
不等式解法(三)习题2答案
　
　　1．P∩R+=，即P=或P≠．
　　(1)当P=，△=(m＋2)2－4＜0，解得－4＜m＜0．
　　(2)当P≠，x2－(m＋2)x＋1=0的根非正．
　　
　　综合(1)、(2)，m＜0．
　　2．y=x2＋(m－2)x－2m＋4的图象与x轴有两个交点，
　　△=(m－2)2－4(4－2m)＞0，∴ m＞2或m＜－6，
　　
　　∴ －6＜m＜2．
　　
　　
　　另解：如作出y=|x＋2|＋|x－3|的图象，则数形结合问题得解．显见a＞5．
　　4．A={x|x＜0或x＞2}，C={x|x=0}={0}，
　　由CU(A∪B)=C知B≠
　　设x2－ax＋b=0的根为x1、x2，且x1＜x2，
　　则B={x|x1＜x＜x2}．由A∩B={x|2＜x＜4}，
　　知B={x|x1＜x＜4}．
　　∴ x=4为x2－ax＋b=0的根，且x1≥0，
　　又由CU(A∪B)={0}，得A∪B={x|x＜0或x＞0}，
　　∴ B={x|0＜x＜4}，故x=0为x2－ax＋b=0的根．
　　(CUA)∩(CUB)=CU(A∪B)=C={0}．
　　
　　5．a＜－1时，x＜a或－1＜x＜3．
　　a=－1时，x≠－1时，x＜3．
　　－1＜a＜3时，x＜－1或a＜x＜3．
　　a=3时，x＜－1．
　　a＞3时，x＜－1或3＜x＜a．
　　
　　
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(45分钟，满分100分)
一、判断正误：(每小题5分)
1．{平行四边形}∩{梯形}= ． ( )
2．对任意集合A，都有 A． ( )
3．集合A的子集是由A中的部分元素组成的． ( )
4．若，B={y|y=x2}，则 RA∩B=A． ( )
5．不等式4x2+2y2+4x－4y+3≤0的解集是． ( )
二、填空：(每小题7分)
6．设集合P={x|x2－x+3>0}，则CRP=____________．
7．如果A={x|1<|x|≤3，x∈Z}，那么A的非空真子集共有___________个．
8．如果card (A)=10，card (B)=7，card (A∩B)=5，那么card (A∪B)=_________．
三、选择题：(每小题6分)
9．设A={平行四边形}，B={矩形}，C={菱形}，D={正方形}．则正确的是 ( )
(A) A=B∪C (B) D=B∩C
(C) A=B∪C∪D (D) B∩C=
10．若S={0，1，2，3，4，5}，M={0，2，5}，N={1，2，4}，则(M∪N)是 ( )
(A) {3} (B) {2}
(C) {1，3，4，5} (D)
11．满足{a，b}A{a，b，c，d，e}的集合A的个数是 ( )
(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8
12．下列命题中不正确的是 ( )
(A) |x|<2与x2<4解集相同．
(B) 与(x－1)(x+2)<0的解集相同．
(C) (x－1)(x2－x+2)>0与x－1>0解集相同．
(D) 与(x－1)(x－3)≤0解集相同．
四、解答题：(13题9分，14题21分)
13．已知集合P={(x，y)|y=x2－2x}，Q={(x，y)|y=kx－2}，若P∩Q≠ ，求k的取值范围．
14．解不等式(组)
(1) x2－x－42>0
(2)
(3) x(x2－1)<0本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
不等式(一)解法习题1
　
　　1．解下列不等式：
　　(1)x2－12＞0； (2)9－x2＞0；
　　(3)x2＞x； (4)x2＜x；
　　(5)(x＋3)2＞16； (6)(Z－x)2＜9．
　　2．解下列不等式，并求出它们的解集．
　　(1)x2＜3x； (2)6－x－2x2＜0；
　　(3)5x－2x2－3＞0； (4)x2－6x＋9＞0．
　　
　　4．方程x2＋kx＋2=0有一个根为2，解不等式x2＋kx＋2≥0．
　　
　　6．已知集合A={x|－1＜x＜5}，B={x|x－a≤0，a∈R}，
　　(1)若A∩B=，求a的取值范围．
　　(2)若A∩B≠，求a的取值范围．
　　7．已知 A={x2＋(p＋2)x＋1=0，x∈R}，且A∩R+=，求p的取值范围．
　　8．已知不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x|m＜x＜n}，其中m、n∈R，且mn＜0，求不等式cx2－bx＋a＞0的解集．
　　9．已知方程x2＋(a－2)x＋5－a=0的两根都大于2，求实数a的取值范围．
　　10．k取什么值时，对于任何实数x，不等式kx2－(k－2)x＋k＞0总成立．
　　
不等式解法(一)习题1答案
　
　　
　　(3)x＞1或x＜0． (4)0＜x＜1．
　　(5)x＞1或x＜－7． (6)－1＜x＜5．
　　
　　(3)x∈． (4)x∈R，但x≠3．
　　
　　4．把x=2代入x2＋kx＋2=0，k=－3．
　　解 x2－3x＋2≥0．∴ x≥2或x≤1．
　　
　　∴ a－b=－22．
　　6．A={x|－1＜x＜5}，B={x|x≤a}，
　　(1)A∩B=，a≤－1．
　　(2)A∩B≠，a＞－1．
　　7．方程x2＋(2＋p)x＋1=0．不可能有根为0，且若有两个根，则必同号，所以A∩R+≠，即方程有正根的条件是：
　　
　　∴ 满足题意的p的范围是p＞－4．
　　8．由m＜x＜n，且mn＜0知m＜0，n＞0．
　　由题意知x=m或x=n为方程ax2＋bx＋c=0的两个根，且a＜0，由根与系数的关系
　　
　　cx2－bx＋a＞0即a(mn)x2＋a(m＋n)x＋a＞0，
　　(mn)x2＋(m＋n)x＋1＜0，(mx＋1)(nx＋1)＜0，
　　
　　9．设x1＞2，x2＞2，即x1－2＞0，x2－2＞0．
　　x1＋x2=2－a，x1x2=5－a．
　　
　　10．(1)当k≠0时，
　　
　　
　　
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