上海交大附中2011届高三第一次月考（数学）含解析
文档属性
| 名称 | 上海交大附中2011届高三第一次月考（数学）含解析 |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 250.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2010-11-09 16:48:00 | ||
图片预览
文档简介
2010-2011学年度第一学期
高三数学第一次月考试卷 2010-10-08
一、填空题：本大题共14小题，每小题4分，共56分。
1．集合，，则。
解：，。
2．设，， 全集，则右图中阴影表示的集合中的元素为。
解：，。
3. 有个命题：①很多男生爱踢足球；②所有男生都不爱踢足球；③至少有一个男生不爱踢足球；④所有女生都爱踢足球。其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定命题的是 ③ 。
4. 函数，则。
解：，。
∴。
5. 不等式的解集为。
解：或或。
6．若点既在函数的图象上，又在它的反函数的图象上，则函数的解析式是。
解：。
7．设函数在区间上是增函数，那么的取值范围是。
解：，对称中心为。
∴。
8. 若 ，是的反函数，则。
解：当时，；
时，。
9．若，的最小值是。
解：，
。即当且仅当时，的最小值是为。
10. 已知偶函数在区间单调增加，则满足的取值范围是。
解： 在上↗，则在上↘。
。
11．函数的值域为，则实数的取值范围是。
解：①，的值域为；
②，的值域为可以取到所有的正实数当时，的最小值。
12. 建造一个容积为, 深为的长方形无盖水池，如果池底和池壁每的造价分别为元和元，那么水池的最低造价为元。
解：设水池的长与宽分别为，(单位：)，总造价为，
则有
，
当且仅当时，总造价有最小值为。
13．已知函数，给出下列四个命题：①为奇函数的充要条件是；②的图象关于点对称；③当时，方程的解集一定非空；④方程的解的个数一定不超过两个。其中所有正确命题的序号是 ①，②，③ 。
解：。
由图像易得①、②正确；当时，，总有解，③正确；
当，时，的解集为，④错。
14．请把下列命题补充完整，并使之成为真命题：
若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则函数=(填上你认为可以成为真命题的一种情况即可，两个空位都填对，方能得分)。
以下两个答案供参考：① 直线；=；
② 直线；=。
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
15. 命题“对任意的，都有”的否定是 ( )
不存在，使得 存在，使得
存在，使得 对任意的，都有
16. 已知函数是偶函数，其定义域为，则点的轨迹是 （ ）
线段 直线的一部分 点 圆锥曲线
解：∵偶函数的定义域关于原点对称，∴，
点的轨迹为。
17. 若不等式在上恒成立，则的取值范围 （ ）
一切实数
解：构造函数，则函数的值域为。
18. 对于函数和实数、，下列结论中正确的是 ( )
若，则 若，则；
若，则； 上述命题都不正确。
解：是定义在上的偶函数，当时，，且↗，
且↗，所以在上递增，在上递减。
∴。
三、解答题：本大题共5题，74分。
19.（本小题满分12分）
命题：“函数在区间上递增”；命题：“ 在区间上递增”。若命题与命题有且仅有一个真，求实数的集合。
解：当时，在区间上递增， 2分
当时，，。
即当时，真； 5分
当时，在区间上递增， 7分
当时，，。
即当时，真； 10分
满足题意的的集合为。 12分
(或。)
20.（本小题满分12分，第1小题7分，第2小题5分）
甲、乙两商场同时促销原售价为元的某种型号的彩电，甲商场一律按销售价的折促销，即按原价的销售；乙商场按如下方式促销，买一台优惠，买两台优惠，买三台优惠，以此类推，即每多买一台，每台再优惠个百分点，但每台最低价不能低于元，某公司需购买这种型号的彩电台（），若到甲商场购买的费用为元，到乙商场购买的费用为元。
(1) 分别求出函数、的关系式；
(2) 问去哪家商场购买花费较少？并说明理由。
解：(1) 到甲商场购买，易得 ， 3分
到乙商场购买，按每多买一台每台多优惠个百分点计，买台的费用为，但每台最低价不会低于元，即，
∴ 。 7分
(2) ∵，当且仅当时，等号成立。 10分
∴当时，去甲商场；当时，甲乙都可；当时，去乙商场。 12分
21.（本小题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知正数、、满足，
(1) 求证：；
(2) 求的最大值。
解：(1)
。 3分
∵且不能同时成立， 5分
∴。 6分
(2)∵
10分
当且仅当时，等号取得， 12分
∴当且仅当时，的最大值为。 14分
【说明】如学生先解出(2)再证明(1)正确，也算对。
22.(本小题满分18分，第1小题4分，第2小题8分，第3小题6分)
已知函数，其中。
(1) 若，求的值；
(2) 证明：当时，函数在区间上为单调函数，并指出是增还是减；
(3) 若函数在区间上是增函数，求的取值范围。
解：(1) 由，可得：，得 4分
(2) 任取，令
= 6分
因为，，所以 8分
若，则，在单调递减。 10分
综上所述，当时，函数在为单调减函数。
(3) 任取，， 因为单调递增，所以，又，
那么必须恒成立 14分
∵，，∴，，
相加得 16分
所以。 18分
23.（本小题满分18分，第1小题6分，第2小题6分，第3小题6分）
已知函数是定义在上的奇函数，当时，（为常数）。
(1) 求函数的解析式；
(2) 当时，求在上的最小值，及取得最小值时的，并猜想在上的单调递增区间（不必证明）；
(3) 当时，证明：函数的图象上至少有一个点落在直线上。
解：(1) 时，， 则
∵函数是定义在上的奇函数，即
∴，即 ， 3分
又可知 。 4分
∴函数的解析式为 ； 6分
(2) ，∵，，∴。
∵ 9分
∴，即 ，
。 11分
∴猜想在上的单调递增区间为。 12分
(3) 时，任取，
∵
∴在上单调递增，即，即 14分
∵，∴，，∴， 16分
且函数的图像是连续的曲线，
∴当时，函数的图象上至少有一个点落在直线上。 18分
高三数学第一次月考试卷 2010-10-08
一、填空题：本大题共14小题，每小题4分，共56分。
1．集合，，则。
解：，。
2．设，， 全集，则右图中阴影表示的集合中的元素为。
解：，。
3. 有个命题：①很多男生爱踢足球；②所有男生都不爱踢足球；③至少有一个男生不爱踢足球；④所有女生都爱踢足球。其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定命题的是 ③ 。
4. 函数，则。
解：，。
∴。
5. 不等式的解集为。
解：或或。
6．若点既在函数的图象上，又在它的反函数的图象上，则函数的解析式是。
解：。
7．设函数在区间上是增函数，那么的取值范围是。
解：，对称中心为。
∴。
8. 若 ，是的反函数，则。
解：当时，；
时，。
9．若，的最小值是。
解：，
。即当且仅当时，的最小值是为。
10. 已知偶函数在区间单调增加，则满足的取值范围是。
解： 在上↗，则在上↘。
。
11．函数的值域为，则实数的取值范围是。
解：①，的值域为；
②，的值域为可以取到所有的正实数当时，的最小值。
12. 建造一个容积为, 深为的长方形无盖水池，如果池底和池壁每的造价分别为元和元，那么水池的最低造价为元。
解：设水池的长与宽分别为，(单位：)，总造价为，
则有
，
当且仅当时，总造价有最小值为。
13．已知函数，给出下列四个命题：①为奇函数的充要条件是；②的图象关于点对称；③当时，方程的解集一定非空；④方程的解的个数一定不超过两个。其中所有正确命题的序号是 ①，②，③ 。
解：。
由图像易得①、②正确；当时，，总有解，③正确；
当，时，的解集为，④错。
14．请把下列命题补充完整，并使之成为真命题：
若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则函数=(填上你认为可以成为真命题的一种情况即可，两个空位都填对，方能得分)。
以下两个答案供参考：① 直线；=；
② 直线；=。
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
15. 命题“对任意的，都有”的否定是 ( )
不存在，使得 存在，使得
存在，使得 对任意的，都有
16. 已知函数是偶函数，其定义域为，则点的轨迹是 （ ）
线段 直线的一部分 点 圆锥曲线
解：∵偶函数的定义域关于原点对称，∴，
点的轨迹为。
17. 若不等式在上恒成立，则的取值范围 （ ）
一切实数
解：构造函数，则函数的值域为。
18. 对于函数和实数、，下列结论中正确的是 ( )
若，则 若，则；
若，则； 上述命题都不正确。
解：是定义在上的偶函数，当时，，且↗，
且↗，所以在上递增，在上递减。
∴。
三、解答题：本大题共5题，74分。
19.（本小题满分12分）
命题：“函数在区间上递增”；命题：“ 在区间上递增”。若命题与命题有且仅有一个真，求实数的集合。
解：当时，在区间上递增， 2分
当时，，。
即当时，真； 5分
当时，在区间上递增， 7分
当时，，。
即当时，真； 10分
满足题意的的集合为。 12分
(或。)
20.（本小题满分12分，第1小题7分，第2小题5分）
甲、乙两商场同时促销原售价为元的某种型号的彩电，甲商场一律按销售价的折促销，即按原价的销售；乙商场按如下方式促销，买一台优惠，买两台优惠，买三台优惠，以此类推，即每多买一台，每台再优惠个百分点，但每台最低价不能低于元，某公司需购买这种型号的彩电台（），若到甲商场购买的费用为元，到乙商场购买的费用为元。
(1) 分别求出函数、的关系式；
(2) 问去哪家商场购买花费较少？并说明理由。
解：(1) 到甲商场购买，易得 ， 3分
到乙商场购买，按每多买一台每台多优惠个百分点计，买台的费用为，但每台最低价不会低于元，即，
∴ 。 7分
(2) ∵，当且仅当时，等号成立。 10分
∴当时，去甲商场；当时，甲乙都可；当时，去乙商场。 12分
21.（本小题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知正数、、满足，
(1) 求证：；
(2) 求的最大值。
解：(1)
。 3分
∵且不能同时成立， 5分
∴。 6分
(2)∵
10分
当且仅当时，等号取得， 12分
∴当且仅当时，的最大值为。 14分
【说明】如学生先解出(2)再证明(1)正确，也算对。
22.(本小题满分18分，第1小题4分，第2小题8分，第3小题6分)
已知函数，其中。
(1) 若，求的值；
(2) 证明：当时，函数在区间上为单调函数，并指出是增还是减；
(3) 若函数在区间上是增函数，求的取值范围。
解：(1) 由，可得：，得 4分
(2) 任取，令
= 6分
因为，，所以 8分
若，则，在单调递减。 10分
综上所述，当时，函数在为单调减函数。
(3) 任取，， 因为单调递增，所以，又，
那么必须恒成立 14分
∵，，∴，，
相加得 16分
所以。 18分
23.（本小题满分18分，第1小题6分，第2小题6分，第3小题6分）
已知函数是定义在上的奇函数，当时，（为常数）。
(1) 求函数的解析式；
(2) 当时，求在上的最小值，及取得最小值时的，并猜想在上的单调递增区间（不必证明）；
(3) 当时，证明：函数的图象上至少有一个点落在直线上。
解：(1) 时，， 则
∵函数是定义在上的奇函数，即
∴，即 ， 3分
又可知 。 4分
∴函数的解析式为 ； 6分
(2) ，∵，，∴。
∵ 9分
∴，即 ，
。 11分
∴猜想在上的单调递增区间为。 12分
(3) 时，任取，
∵
∴在上单调递增，即，即 14分
∵，∴，，∴， 16分
且函数的图像是连续的曲线，
∴当时，函数的图象上至少有一个点落在直线上。 18分
同课章节目录