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第二章 三角函数专项训练（2）
诱导公式、同角三角函数关系
【例题精选】
例1 求值
解：（1）
小结：把任意角三角函数化为锐角的三角函数值，一般按“负化正，大化小，化到锐角再查表”的顺序进行。一般常用水平诱导公式，规律是
的三角函数值等于的同名三角函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号，而不是式子本身的符号。
例2 试判断此式的符号为第三象限角）
分析：判断此式的符号，只要分别判断各部分的符号。应先用诱导公式处理为角的三角函数后，然后再根据所在象限判断符号。
解：原式
小结：判断时不管真正是哪里的角，使用诱导公式需将其看作锐角进行变换。
例3 若是第四象限角，判断下列命题是否正确
分析：在同角三角函数关系中，对平方关系的理解与使用是个难点，如由
若得到是不妥的，这是初中时对三角函数的定义还未推广到任意角时的结论，要选择其中“+”或“－”号，必须对此理解，才可能用好“平方关系”。也才能体会到这里隐含的要作分类讨论的因素。
解：（1）原式
，故命题正确。
（2）原式为第四象限角，
，故命题正确。
（3）为第四象限角，故
故命题错误。
（4）
，故命题正确。
小结：（1）对于同角三角函数的三类八个公式可以利用右图帮助记忆。其中对角线上函数互为倒数关系；阴影部分三角形的两顶点函数平方和等于；每个顶点函数等于相邻两顶点所对函数的乘积。
（2）公式中除了平方关系要注意符号以外，还需注意1的变形，1=
也可以变形为。
例3 （1）已知角其余三角函数值。
解：
（2）的值。
解：
小结：只给出一个三角函数值求其余三角函数值。若用到平方关系，则需对符号进行选择，应根据所给函数值确定角所在象限进行分类讨论，若还有其它条件，则应根据条件确定角的象限。
例4 已知
分析：利用诱导公式把三角函数式化简变成已知的值，可以通过平方关系求出再利用商数关系求，注意符号选择需分象限讨论。
解：
小结：已知角的一个三角函数值，求它的其他的三角函数值的问题，可以设计一条最简洁的道路，原则上尽量不用平方关系，如果用尽量早用，先把符号问题处理了，再继续求值计算。
例5 已知
分析：由于为某些特殊角时会使不存在，因此对于这些特殊情况需分开研究。
解：
例6 已知
分析：同角三角函数关系中的同角并不都单一的角，而是指在恒等式两端出现的是同一个角即可。因此此题可以把看成一个角，利用同角三角函数关系，求出其余的三角函数值。
解：
例7 若
分析：利用同角三角函数关系，由已知求出表达式没有问题，但要具体求出数值还需确定实数k的范围，因此需从已知条件中寻求关于k的方程，才能求出k。
解：
当k = 1时, , ∴k = 1舍去。
∴
小结：关于舍去需特别小心，此题需保证这是题目中的隐含条件，要引起注意。
例8 若为第三象限角，化简
分析：此题可先利用诱导公式化为角的三角函数，再利用同角三角函数关系化简根式。
解：原式
小结：（1）化简二次根式形的三角函数式, 通常把被开方式变换成完全平方式，应注意，再化去绝对值符号，就要对的符号进行讨论。
（2）变换时，第一个根式也可以同乘，第二个根式可以同乘
，如再计算需通分化简，相比较而言，略繁于上法，因此在化简时，应根据需要恰当选择，统筹安排。
（3）和两个因式在开方时由于故可以保证非负，故可以直接开出根式。
例9 已知求下列各式的值。
（1） （2）
（3）
分析：由于已知条件为切，所求式为弦，故应想办法将切化弦，或将弦化切（这是一种分析综合的思想）；若切化弦，应把条件。代入所求式，消去其中一种函数名，再进一步求值；若弦化切，应把所求式化成用表示的式子，一般说关于的齐次式都可化为关于的函数式。
解：（1）
（2）原式
（3）原式
小结：（3）题对于常数1的处理利用平方关系转化为，将分母转化为的齐次式，这是处理三角变换中经常用到的处理方法。
例10 求证
分析：证明三角恒等式的原则是由繁到简。常用的方法有（1）从一边开始，证得它等于另一边，（2）证明左右两边都等于同一个式子，（3）变更论证, 即通过化除为乘，左右相减等，转化成证明与原结论等价的式子。
证明：左式
小结：证明三角恒等式离不开三角函数的变换。在变换的过程中，把正切、余切、正割、余割函数都化成正弦或余弦函数，减少函数种类, 往往有利于发现等式两边的关系或使式子简化。要细心观察等式两边差异，灵活运用学过的知识，使证明简便。
例11 求证
证明：（证法一）
左式
证法二：
左式
证法三：
小结：（1）三角变形常用的方法有切割化弦法（如证法1）；“1”的代换法（如证法2）。常用的代换有
及其它的代数变形方法如比例系数法（如证法3）。
（2）三角恒等式的证明首先是目标明确，“盯住目标”十分重要。应用学过的知识进行必要的等价变形，依据结果逐步改造是十分重要的手段，以上方法尽管过程不同，但思路是一致的，这就是根据结果去变形，不要盲目的改造。
【专项训练】40分钟
一、选择题：
1、已知是
A．第一、二象限角 B．第二、三象限角
C．第三、四象限角 D．第一、四象限角
2、若角终边上一点且等于
A．2 B．－2 C．4 D．－4
3、若
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
4、已知
A． B． C． D．
5、已知
A． B． C． D．
二、填空题：
6、设 ；
7、式子的值等于 ；
8、化简的结果是 ；
9、 ；
10、若 。
三、解答题：
11、已知
12、已知
13、化简
14、求证
【答案】
一、
1、B(正弦与正切异号) 2、A(m = －1, n = －3) 3、C 4、B 5、C
二、
6、 7、－1 8、
9、1 10、
三、
11、 12、（1）（2）
13、当为第一象限角时原式，当为第三象限角时原式=。
14、左右都化为弦, 从两边证明。
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第二章三角函数综合练习
三角函数与三角变换
【例题精选】
例1：角的顶点与坐标原点0重合，其始边与x轴的正半轴重合，角的终边上有一点，P(2t,－4t) (t≠0)，求sin与ctg的值。
分析：根据三角函数的定义，只要求出x、y、r三者即可。
解：
①当t>0时，点P在第四象限
②当t<0时 点P在第二象限
评述：①本题主要考考三角函数的定义和分类讨论思想
②求一个角的三角函数时，只要求出x、y、r三个量即可，
在求解过程中，要注意r>0这一条件。
例2：已知，求cos和tg的值。
分析：由m>1可得sin为正，对分象限讨论，再利用同角的三角函数关系式求cos和tg
解：∵m>1
∴0∴0<
∴为第一象限角或第二象限角
①当为第一象限角，则
tg
②当为第二象限角，则
评述：①本题主要考查同角的三角函数关系式
②求任意角的三角函数值，关键是确定符号。函数值的正负号能确定时，按值的正负把象限分清进行计算（例如本例）；函数值的正负号不能确定时，宜先用平方关系，讨论时以根号前面取正号还是取负号分象限讨论（例如课本中P142的例2：已知ctg= m(m≠0)求cos）
例3：求值：①sin(－930)；②
解：①sin(－930)
②
评述：①本题主要考查特殊角的三角函数值和诱导公式
②求已知角的三角函数值，一般方法是“负化正，大化小”。
“负化正”指利用三角函数的奇偶性处理负号
“大化小”指把角化成“”的形式（主要用于正、余弦函数）或化成 “”的形式（主要用于正、余切函数）
例4：已知是第三象限角，且的值
分析：由二倍角公式和半角公式可知，需要求sin和cos
解：
∵是第三象限角
∴
∴
由 得 或
由半角公式可得：
评述：①本题主要考查二倍角和半角公式
②在三角函数的恒等变形中，经常用到sin与cos之间的公式sin2 + cos2=1
例5：求证：
分析一：从左式入手，变倍角为单角
证法一：左式
分析二：从左式入手，变倍角为单角，并用sin2x+ cos2代换“1”
证法二：左式
分析三：从右式入手，变单角为倍角
证法三：
利用等比定理得
分析四：左式“有倍角的“弦”，右式是单角的正切，联想到用万能公式“弦化切””
证法四：设tg=t则
左式
分析五：右式是tg，从左式入手利用半角公式“凑”tg
证法五：左边
评述：①本题主要考查三角恒等式证明的方法和技巧
②三角恒等式的证明方法有：(1)从左向右证；(2)从右向左证；(3)从左、右两式入手，证明左、右式都等于第三式。(3)作差比较法0，在证明的过程中应从角的大小关系，式子的结构特征入手选择。
证明技巧：(1)“切割化弦”或“弦化切”，如：证法四、五
(2)“1”的代换，例如：
等，如证法二
(3)降幂、升幂：如证法一
例6：已知求sin2的值
分析：题没给出的角为，而结论中给出的角为2，三者之间有这样的关系：三角函数值表示。
解：∵
评述：①本题主要考查和角公式
②利用积、差、倍、半角公式求三角函数值时要注意角与角之间的关系。例如：
的倍角，是2的一半等等
例7：不查表求值
(1)
(2)
(3)
(4)
解：(1)原式
(2)原式
(3)原式
(4)原式
评述：①本题主要考查积化和差或和差化积公式
②这类题主要是通过公式产生特殊角来化简求值。另外还要注意公式的逆用，变形等灵活应用。
例8：如果函数
解：
∵y的周期为4
评述：①本题主要考查三角函数的周期性
②此类题一般把函数化成关于三角函数的一次式，然后再求周期，有下列两种情况。
1、化成
2、化成
例9：将y=sinx的图象进行怎样的变换，可以得到的图象
分析一：先平移后伸缩
解法一：向左平移个单位得到
的图象横向缩小倍得到的图象
分析二：先伸缩后平移
解法二：y = sinx的图象横向缩小倍，得到y = sin2x的图象，再把y = sin2x的图象向左平移个单位得到，即的图象
评述：①本题主要考查三角函数的变换
②三角函数图象的变换中横向平移和伸缩变换主要是对x进行变换，例如解法一中的伸缩变换时，只对x乘以，与无关；解法二中平移变换只对x加上，而与前面的系数无关。
例10：求函数的定义域
解：函数要有意义，则
由①得：
由②得：
∴函数的定义域是∈2
评述：①本题主要考查解三角函数不等式
②对于解三角不等式，用三角函数线写它们的解集，是一种直观有效的方法，其过程是：一定终边，二定区域，三找代表，四写表达式。例如本例中解的过程是，一找出角所在终边OP，OQ，二用阴影部分表示所求区域，三满足的角中有和，四写出角的范围即：，注意选取代表时要使得不等式左边的角要小于不等式右边的角。
③求三角不等式的交集时，通常用单位圆求解比较简单，例如本例中先在单位圆中表示出①、②、③所表示的区域，然后再取公共区域，即为所求角的区域，如下图
例11：①求函数的最小值
②求函数的最大值，并写出取得最大值时的集合
解：①
当
②
设
∴
由图可知
当t =－1时y取最大值19
∴当cos =－1即时y取最大值19
评述：①本题主要考查三角函娄的最值问题
②三角函数求最值的问题一般归结下列两种情况解决
1、化成的形式
2、化成的形式，然后 利用sin、cos的有界性和二次函数的性质求解。
例12：已知
(1)判断函数的奇偶性
(2)求上的最小值和最大值，并求取得最大、小值时x的值
(3)求的周期和单调区间
解：(1)
∵x = 12
∴为偶函数
(2)
∵
∴
∴当时y取最小值
当
(3)
的单调增区间为
(k2)
f (x)的单调减区间为
∴f (x)在上单调递增
在上单调递减
评述：本题综合考查三角函数的性质和三角变换
【综合练习】
1、将下列各角化成的形式
① ②
2、与620角终边相同，且在－720～－360之间的角是 。
3、若，则所在象限为 。
4、若
5、化简（为锐角）
6、化简
7、已知
8、已知
9、已知
求证
10、求证
11、已知
12、求函数的单调增区间
13、当的最大、最小值
14、求函数的周期
15、把函数，再把所得图象上各点的横坐标缩短 到原来的，求所得图象的解析式
16、已知
17、求函数的振幅，周期，最值。
18、若 象限角。
19、若。
20、求函数的定义域。
21、设
求的值
22、求
23、设为第一象限角化简
24、已知求x的取值范围。
25、求的值域
26、已知的值
27、已知
28、已知
29、化简
30、已知且，函数有没有最大值与最小值，如果有，分 别求出来。
31、已知
【答案】
1、① ②
2、—100，—460
3、三（提示：）
4、
5、0
6、
7、（提示：由题意可知
）
8、（提示：解）
9、提示：所求证的式子中不含角x，故应消去x。由题意可得，
，然后再利用化简证明。
10、提示一：将等式左边“切化弦”然后再利用积化和差与和差化积公式化简
提示二：将等式右边中的分子变为，分母和化积，然后再化简
11、提示一：，利用半角公式求解
提示二：，利用差角公式求解
提示三：求解
12、
13、
14、(提示：利用辅助角)
15、
16、 然后再利用万能公式求解。）
17、
（提示：）
18、一或三 （提示）
19、1或—1 （提示∵
∴
）
20、
提示：
取在数轴上表示：
21、 （提示）
22、
23、当为第一象限角时 原式=（提示：原式）
当为第三象限角时 原式
∵
∴）
然后分象限讨论
24、（提示：由题可知
∴ ∴ 然后通分求解）
25、
26、
原式
然后代入求解
27、简证：
28、（提示：由）
29、（提示原式）
30、没有最小值有最大值1
提示：
31、简证
提示一：由，根据和角公式变形为
移项合并整理：
两边同时除以
提示二：由，利用和差化积公式， 条件等式变形为①
②
②①即可
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第三章两角和与差的三角函数
三角函数的化简与三角函数的求值
【例题精选】：
例1：化简
解：
小结：二次根式的化简一般应把被开方式化成完全平方。
例2：化简
解：
小结：分式的化简一般应把分子和分母化成积的形式，然后约去公因式。
例3：化简
解法1：
解法2：
例4：化简
解：
小结：在三角变换中，降幂公式经常被使用。
例5：①求证：
②求的值
解：①
②
（利用①的结论）
小结：①式又叫做三倍角公式，同理有。
例6：求值
解：原式=
小结：在三角公式中，与正余弦有关的占了大多数，因此遇到正余切的问题通常转化为正余弦。
例7：求值
解：原式
小结：在分子和分母同时乘以同一三角函数式（本题中的）是三角变换中常用的技巧。
例8：求值
解：
例9：已知
求：①
②
③
④
解：①把已知两式两边平方，然后相加
得
②由已知得到
把上面两式相除
得
③
由万能公式
④
例10：已知
求的值
解：
例11：已知
解法1：是锐角
是锐角
解法2：
小结：由和只能得出，因此必须缩小的取值范围。
例12：已知
解：
小结：由只能得出，因此必须缩小的取值范围。
【专项训练】：
（1）化简
（2）化简
（3）化简
（4）把化成积的形式
（5）求值
（6）求值
（7）求值
（8）已知：
求的值
（9）已知：
求的值
（10）已知：是方程的两个根，且
求的值
【答案】：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）5
（10）
三角恒等式的证明与正余切函数的图象及性质
【例题精选】：
例1：求证：
证明：
小结：无条件恒等式的证明方法一般是从左推到右；
或从右推到左；
或从左、右分别推出相同的式子。
例2：求证：
证明：
小结：左边是和的形式，而右边是积的形式，把和化成积即可。
例3：求证：
证明：左边=
小结：在三角变换中，降幂公式经常被使用。
例4：求证：
证明：
小结：因为右边分母含有，所以想到在左边分子，分母同时乘以。
例5：已知：
求证：
证明：
小结：本题使用的是“直推法”，即从已知条件出发直接把结论推导出来。
例6：已知
求证：
证明：设
小结：本题使用的是“代入法”，即在左，右变形的同时把已知条件代入。
例7：已知
求证：
证明：用“直推法”
由已知 ①
②
把① ，②两边分别平方相加
得
小结：已知中含有，而结论中不含，所以只要从已知条件中把消去即可。
例8：已知
求证：
证明1：用“直推法”
把已知两式平方相加，得
①
②
把①代入②
证明2：用“代入法”
例9：
求证：
证明：左边
例10：
求证：
证明：
例11：已知：，
求证：
证明：用“直推法”
小结：在等式两边同除以一个相同式子时，一定要说明其不为零。
例12：已知：，
求证：
证明：用“代入法”
（把已知代入）
小结：不要错写成
例13：求下列函数的最小正周期
①
解：
小结：的最小正周期是
的最小正周期是
②
解：
【专项训练】：
（1）求证：
（2）求证：
（3）求证：
（4）已知：
求证：
（5）已知：
求证：
（6）中
求证：
【答案】：
（1）,（2）,（3）,（6）略
（4）用“代入法”：
（把已知代入）
（5）用“直推法”
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第二章三角函数综合练习（2）
解斜三角形 反三角函数
【例题精选】
例1：，求三角形的面积
分析：已知b、c两边，只要求出角A，即可求出面积，根据题目中的条件，先求出角C，然后再求角B
解：由正弦定理
当
当
评述：①本题主要考查正弦定理，面积公式，两角和差公式
②用正弦定理可解决两类问题
1、已知两角和任何一边，求其他两边和一角
2、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边 和角（例如本例）
例2：在ABC中。
分析：由于A、B的三角函数值表示
解：∵ABC中，
若B为钝角则sinB>sin(－A)
∴A为锐角
评述：①本题主要考查三角恒等式和三角形内角和定理
②解答本题时，要注意角A的范围，在同类题中，已知一个角的正弦，求这个 角的余弦时，一定要注意这个角的范围。
例3：已知AB中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c， ABC的形状。
分析一：利用减元思想，减少角的个数，把边的关系转化为角的关系
解：∵A + B + C = 180
化简得：
由正弦定理得：
∵0<2A<180，0<2B<180
∴2A=2B或2A=－2B
即A=B或A+B=
∴ABC为直角三角形或等腰三角形
分析二：把角的关系转化为边的关系
解：由题意得：
由正弦定理和余弦定理得：
评述：①本题主要考查三角形的正、余定理、内角和定理和转化思想。
②解有关三角形的问题时，要充分利用三角形的性质，例如三角形的内角和定 理、正弦定理、余弦定理、直角三角形中锐角三角函数定义以及勾股定理等， 通过这些定理可以找出边与边，角与角以边与角的联系，一般情况下都是把 角转化成边（例如解法二），或把边转化成角（例如解法一）解决问题。
例4：求下列各式的值：① ②
解：①∵
②
评述：①本题主要考查反三角函数的值域和反三角函数公式
②求的值时，应先在主值区间内找到，使得，然 后再利用公式求解
例5：求值：
①
②
解：①设
设
②设
设
评述：①本题主要考查反三角函数的三角运算
②求反三角函数的和、差、倍半角的三角函数，一般引用设辅助角的方法。第 ②题中要注意辅助角的范围，然后根据角所在的区间得出结论。
例6：解不等式：
分析：利用的单调性求解
解：是减函数
∴不等式的解集为[]
评述：①本题主要考查反三角函数的定义域和单调性
②当遇到反三角函数时，要注意反三角函数本身的定义域，例如本例中X必须 满足三角函数才有意义。
例7：求下列函数的反函数
①
②
解：①
∴原函数的反函数为
②
∴原函数的反函数为
评述：①本题主要考查求三角函数和反三角函数的求法
②求三角函数的反函数时，要使得函数中的角变换到主值区间内，然后才能用 反三角函数表示。求反函数时，要标出反函数的定义域即原函数的值域。
例8：用反正弦表示
分析：求出的正弦值，然后再用反正弦表示
解：设
评述：①本题主要考查反正弦函数的值域，反正弦函数和反余弦函数的单调性和两角 和公式
②解决这类题时，要注意反三角函数的值域，分析角的取值范围与反三角函数 的主值区间的关系，一定要把角化为主值区间内的角，这样才不易出错
例9：求方程的解集
分析：把方程转化为最简单的三角方程求角
解：原方程化为：
评述：①本题主要考查简单的三角方程的解集
②解三角方程时，一般将方程化简为最简单的三角方程来求解
例10：设
的大小
解：
评述：①本题主要考查反三角函数的性质
②比较大小时，如果不能直接比较出来，可以引入参量来比较，经常引入的参 量均为特殊值，例如：0，1，—1，等
例11：在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边
设a+c=2b，A—C=
分析：最后要求sinB，所以把条件a+c=2b转化为角的关系
解：
评述：本题主要考查正弦定理，同角三角函数关系式和诱导公式
例3：①求函数的定义域，值域
②求函数的值域
解：①X的允许取范围为
由①得
由②得
∴函数的定义域为
②设
则
评述：①本题主要考查反三角函数的概念以及复合函数的性质
②复合函数的问题用换元法解，例如，例1中把原函数看 的复合函数，然后根据反三角函数的性质解题， 要注意的取值范围
【综合练习】
1、ABC中a=2，b=4，c=5，求最大内角的余弦值
2、ABC中，且三角形周长为15，求三角形的三边
3、ABC中，，试判断ABC的形状
4、ABC中，若，试判断ABC的形状
5、求值
① ②
③ ④
6、已知，用反三角函数表示
7、求的反函数
8、求值：
① ②
③ ④
9、求下列函数的定义域
① ②
③ ④
10、解不等式
11、若的值
12、解方程
13、ABC中若，试判断三角形的形状
14、在ABC中三边a，b，c满足：2b=a+c，且
①求证 ②求
15、求的值
16、求的值
17、求的值
18、已知函数，讨论函数的奇偶性和单调性
19、若
20、求函数的最小值
21、求函数的最大、最小值
【答案】
1、（用余弦定理求）
2、4，5，6（提示：由）
3、等边三角形（提示：
)
4、直角三角形（提示：积化和差得
）
5、① ②（提示：）
③
④
6、
7、
8、① ② ③ ④
9、①
②
③
④
10、
11、
12、 （提示：方程可化为
13、提示：
14、提示：①
②
两边国际
15、
16、
原式
17、
18、奇函数，减函数
19、
20、均为增函数
为增函数
21、提示：
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考前练习题
一、选择题：
1、设S、T是两个非空集合，且ST，TS，令，则等于（）
A．X B．T C． D．S
2、绝对值大于2且不大于5的最小整数是（ ）
A．3 B．2 C．－2 D．－5
3、若关于x的不等式的解集是空集，那么（ ）
A． B．
C． D．
4、已知函数，如果，且，则它的图象是（）
5、函数 在 时有最大值则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6、以下四组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7、下面四个命题
①函数是其定义域到值域的映射；②是函数；
③函数的图象是一条线段；
④函数的图象是抛物线。其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8、已知函数则使函数值为10的x值是（ ）
A．5 B．－5 C．3 D．－3
9、函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
10、，则等于（ ）
A．1 B．3 C．15 D．30
11、若为实数，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
12、函数在区间上是增函数，则的递增区间是（ ）
A． B． C． D．
13、函数在定义域R上是减函数，则的单调减区间是（ ）
A． B． C． D．
14、设为定义于上的偶函数，且在上为增函数，则的大小顺序是（ ）
A． B．
C． D．
15、如果奇函数在区间[－5，－3]上是增函数，且最大值是－4 ，那么在上是（ ）
A．增函数且最大值是4 B．增函数且最小值是4
C．减函数且最大值是4 D．减函数且最小值是4
16、函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（ ）
A．（0,4） B． C． D．
17、奇函数当时，有，则的值为（ ）
A．12 B．－12 C．－24 D．24
18、若，的图象与的图象关于直线对称，则是（ ）
A．在上递增的偶函数 B．在上递增的奇函数
C．在上递减的偶函数 D．在上递减的非奇非偶函数
19、设的关系是（ ）
A． B． C． D．
20、函数的递增区间是（ ）
A． B． C． D．
二、计算题：
21、函数，满足，求的值。
22、已知定义在R上的函数满足
，为常数。
①求函数的表达式；
②如果为偶函数，求的值；
③当为偶函数时，用单调性定义讨论的单调性。
三、解答题：
23、作出函数的图象，并指出单调区间。
24、某商场出售一种商品，每天可卖1000件，每件可获利4元，据经验，若每件少卖1角钱，则每天多卖出100件，问每件应减价多少元，才能获得最好的效益。
25、设
①试判断函数的单调性，并给出证明。
②若的反函数为，证明方程有唯一解。
【答案】：
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C D C A A D C C
题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 D B C A B B D D B A
二、计算题：
21、解：设
∴ 是奇函数 又∵
∴ ∴
∴
22、①解：设
∴
即
②解：∵是偶函数，∴
即。整理，
∵ 不恒成立，（只有时成立）
∴为所求。
③解：时，
任取
则
∵ ∴
∴ 即
∴ 在上是增函数。
由于是偶函数，所以它在上是减函数。
三、计算题：
23、解：
的递增区间
递减区间
24、解：设每件减价x元，每天获利为 y元，则每件单价为元
每天可卖出
故每件减价1.5克，才能获得最好的效益。
25、解①∵的定义域为（－1，1）
设，则
②∵
∴
即是方程的一个解。
假设还有一个解
∴
由反函数定义知，
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第二章 三角函数专项训练
任意角的三角函数
【例题精选】
例1 画出下列各角，并指出该角是第几象限角：
（1）420；（2）－510
分析：画角是指在平面直角坐标系内，让角的顶点与坐标原点重合，让角的始边与x轴正向重合。画出终边位置，并指出旋转度数及旋转方向，如图。
小结：在运动观点的指导下，角是一个旋转量。根据不同旋转方向，将角的范围向正负无限推广。我们可以根据角的终边位置，将角分为象限角和坐标轴上的角。若给定角的顶点，始边和终边并不能确立唯一的一个角，而是确定一组终边相同的角。
例2 把下列各角用另一种度量制表示出来。
分析：角度制与弧度制之间换算可以利用来完成，对于某些特殊角也可以利用这个关系来实现换算。
解：（1）
小结：（1）用弧度制表示角，弧度二字可以省略不写，因此用角度制表示角时要特别注意单位“”不能丢，因为与1是完全不同的两个角。
（2）对于常用的特殊角，角度与弧度之间换算要熟练，准确。如
等。
例3 用弧度制表示第三象限角，终边落在y轴上的角，终边落在坐标轴上角，终边落在
直线上的角。
分析：第二象限角是由无数多个小区间内的角组成的，即
，它实际上代表了无数多个不等式，是无数个小区间的抽象概括，如k取零时表示内的角，恰好是钝角。由此可以发现钝角一定是第二象限角，但第二象限角并不一定都是钝角。
解：终边落在；
终边落在坐标轴上的角可以表示为；
终边落在
小结：为帮助学生认识抽象的角的表示，可以从图形中帮助理解转一圈，转半圈及转圈的含义，并与其代数形式统一在一起，不断树立数形结合的思想。
例5 把下列各角改写为形式。
解：
小结：把范围内的角称为周内角，这个范围内的角比较熟悉，研究起来比较方便，因此遇到不在这个范围内的角，可以找出与之终边相同的在周内角范围内角为代表，进行研究，以便判断其符号并为进一步求值做准备。改写前后要选择同一种角的度量制。
例6 判断下列命题是否正确
（1）如果角
（2）如果角
（3）两个角终边相同是两个角相等的必要非充分条件；
（4）若两个角终边相同则两个角必定是同象限角。
分析：由于角的范围的扩大和角的不同种分类方法，出现几类主要的角；如终边相同角，象限角，正角，负角，锐角，钝角，相等的角等，要注意把握这几个概念之间的区别与联系。
解：（1）错误，是第一象限角，是指角终边位置在第一象限，因此所对应角可正，可负，而是正角指角的旋转方向为逆时针方向。
（2）错误，锐角是这个范围内的角，而第一象限角是
范围内角，它表示了无数多个小范围，其中包括了这个范围，因此命题是错误的。
（3）正确，两个角相等（以两重合为前提）则终边一定重合，为终边相同角，反之两个角终边相同，未必相等，彼此相差的整数倍。
（4）错误，按终边位置对角进行分类，分为象限角和坐标轴上的角，故当两个角终边相同时，终边可能落在某个象限，为同象限角，也可能落在坐标轴上。
小结：对于象限角和区间角应从概念上搞清两者的区别与联系，才能避免在使用中出现错误。
例7 在角的集合中。
（1）有n种终边不相同的角；
（2）有n个属于区间内的角；
（3）写出其中是第三象限的角的一般表示。
分析：这里主要是对所表示的角的认识，从代数角度看，取
的整数倍，即依次按顺时针或逆时针方向旋转，所得各角如图所示。
解：（1）在给定的角的集合中终边不相同的角共有四
种；
（2）由
在给定的角集合中属于区间的角 共有8个
（3）其中是第三象限的角可表示成
小结：把代数计算与对图形的认识结合起来会使这类问题的处理更容易些。
例8 若角所在区域。
解：由已知
又因角
在第一象限；
在第三象限；
在第四象限；
在第一，三，四象限，如图阴影区域内（不 含边界）
小结：由已知角的终边位置，确定相关的角的终边位置常用不等式法，有时也采用数形结合方法。
例9 若为第几象限角？
分析：本题可以从数和形两种不同的角度作出判断。由是第四象限角，，由此可得
是第三象限角。
还可以在平面直角坐标系内先画出第四象限一角终边按逆时针方向旋转为角的终边，如图就得到是第三象限角。
小结：对于判断角的终边位置的题目，利用图形是比较简洁的。用特值也是好方法。
例10 集合
A． B． C． D．
分析：此题是通过弧度制考查集合间的关系的问题，这类题一般情况下都是令k取一些特殊值，用列举法写出两个集合中对应区间内的元素, 然后判断两个集合中元素的情况，从而确定两个集合间的关系，也可以从图形中观察角的终边位置。
解法一：
从上述计算可以看出集合M中相邻两元素间的距离为中相邻两元素间的距离为
体现在图形上这种关系即M中的角表示为基础顺时针或逆时针转圈所得角，角的终边落在与直线重合的4个位置上如图。
而集合N表示以角为基础顺时针或逆时针转圈所得角终边落在与轴及直线重合的8个位置上，如图，显然有
答案：C。
例11 角顶点与坐标原点重合，始边在轴正向上，角的终边上一点
角的六种三角函数值。
分析：利用三角函数定义，需先求得
由此
小结：尽量多用互为倒数的三组关系，计算时，比较简洁。
例12 角轴的正半轴上，角的顶点与坐标原点重合，角的终边上一点
分析：
，解这个关于的方程，并注意
小结：这里要求把三角函数的定义作正用和反用，实际包含着方程的思想和待定系数法。
例13 确定下列各式的符号：
分析：本题可以先判断有关角是第几象限角，再判断符号，也可以把有关的角先化成0~360的终边相同的角后再作判断。
解：（1）为第三象限角，所以为第一象限角，
（2）分别为第二和第三象限角，
（3）1，2，3，4分别为第一，第二，第二，第三象限角（157.3）
小结：三角函数的符号问题始终是三角函数的难点。解决符号问题一方面要求学生把握函数的值变化规律，另一方面也要准确判断角的终边所在位置，且达到熟练准确的程度。
例14（1）若终边落在何处。
（2）若终边落在何处。
分析：角终边位置应包括所在象限及坐标轴上，所以两种情况均应加以考虑。
解：（1）由在第一，第四象限在第三，第四象限（含应为第四象限角（由于需保证终边不可能落在轴上。
（2）若为第四象限角；若无意义）角终边在轴上。
应为第一或第四象限角或轴上的角。
例15 画出角的正弦线，余弦线，正切线。
M
解：先画出角，找出其终边位置，与单位圆的交点为轴作垂线，垂足为正终边反向延长线于，则正弦线为，余弦线为，正切线为。
小结：三角函数线实际上是三角函数的几何定义即利用几何图形（有向线段的数量）表示三角函数值，字母顺序不能写反了。
例16 如图：扇形OAB的面积是4cm2，它的周长是10cm，求扇形的中心角的弧度数及弦AB的长。
解：设长为l，扇形半径为r，则由题意得
O
小结：由于弧度制的引入使得相关的弧长公式、扇形面积公式均得了简化，所以在解决这些问题时通常采用弧度制。
一般的说: 在几何图形中研究角时其范围是。
【专项训练】40分钟
一、选择题：
1、下列命题中正确的是
A．终边相同的角一定相等
B．相等的角终边一定相同
C．小于 90的角都是锐角
D．第一象限的角都是锐角
2、与角终边相同的角是
A． B．
C． D．
3、集合关系是
A． B． C． D．
4、下列不等式正确的是
A． B．
C． D．
5、设的终边不在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、填空题：
6、终边落在直线上的角的集合为 ；
7、与终边相同的最小正角是 ；
8、若两角和是1弧度，两个角差是，则这两个角分别是 ；
9、圆的一段弧长等于该圆的内接正三角形的边长，则这条弧所对的圆心角的弧度数是 ；
10、若角是第 象限角，终边位置是 ；
三、解答题：
11、若一个扇形的周长为30cm，半径为5cm，求圆心角的弧度数和扇形面积。
12、画出角的正弦线，余弦线和正切线。
13、已知扇形的中心角为4弧度，其面积为2cm2，求扇形周长和弦长。
14、轴正半轴上，角终边上有一点的值。
【答案】
一、
1、B 2、C 3、A 4、C 5、C
二、
6、
7、
8、
9、
10、第二或第四；第二、三、四象限及轴负向。
三、
11、圆心角为4（弧度）
12、略
13、周长=6cm，AB=2sin2 cm.
14、
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第二章 三角函数专项训练（3）
两角和与差的三角函数及倍角公式
【例题精选】
例1 已知，根据下列条件求出角。
（1）为周内角；（2）为三角形内角
（3）为第二象限角；（4）为任意角
（5）
分析：由于三角函数所决定的映射是一类多对一的对应，因此多个角以至无数多个角会有共同的三角函数值，因此已知三角函数值求角是三角函数中需要特别注意的地方。
解：（1）为周内角即可利用三角函数线找到满足角终边位置，在锐角范围内找出，在钝角范围内找出，因此满足条件的角应为
（2）为三角形内角即
（3）为第二象限角，即终边应在位置上，则
。
（4）为任意角，则为终边在，位置上所有的角，可以表示为
（5）解得
对应角分别为
小结：已知三角函数值求角，可以根据三角函数线找出角的终边的位置，再根据条件表示出所求终边相同的角。
例2填空练习:(已给出答案)
（1）若；
（2）若；
（3）若；
（4）若；
小结：对坐标轴上的角的三角函数, 应根据定义熟练准确记忆并加以应用。
例3 （1）已知
分析：由的值时，要用到同角三角函数的平方关系，因而要确定的符号，同样还要确定的符号，这样就必须涉及对所在象限分类问题，并且还要考虑两者怎样配合。
解：
小结：对角的分类讨论是以它们可能的象限为标准，不重不漏的分成四种情况。
（2）已知
分析：若增加条件所在象限搭配, 可分为为第一象限或为第四象限两种情况。计算结果与（1）同。
例4（1）在
（2）
解：（1）在
小结：此题由于三角形内角条件由A为钝角决定了B只能是锐角，从而确定了cosB的符号，如果从题目条件不能一眼看出A、B是钝角还是锐角，如何确定余弦值的符号呢？
（2）分析：此题关键在于cosB的符号的确定，即判断B是钝角还是锐角，常有两种处理：i）利用三角函数线，估计角的大小，由图中可知若B是锐角没有问题，而若与已知相矛盾，故B是钝角是错误的。ii）利用两角和差公式再进一步化简，求值，可以先按两种情况分别计算，再看计算结果与答案是否有矛盾。
，相矛盾，故此情况应被舍去。
小结：角的范围发展到任意角后，随之会带来很多问题，注意把握新问题与旧知识的联系与发展。
例5 设命题甲“”命题乙：则
A．甲是乙充分非必要条件 B．甲是乙必要非充分条件
C．甲是乙充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案：B。
分析：这显然与公式有关，它的值为零的充要条件是，这是解这个题的关键。
若其中总有，所以可得成立，即甲是乙的必要条件。
设均无意义，所以命题乙不成立。于是可知甲不是乙的充分条件，故应选B。
小结：本题说明对公式深刻理解的重要性，这个公式为等号两边当满足
时才互为充要条件。
例6 已知的值。
分析：为便于利用已知条件，将
再用公式计算。
解：
小结：三角函数中角的变化是最多的，把握起来最为困难，在解题时注意发现总结角变化的规律。观察已知角与所求角之间的内在联系，可以使解决问题的方法相对简化。
例7 已知
分析：要确定角，必须做两件事，一求角的某种三角函数值，二是推出的范围（由条件已知）同时如果注意到
解：
小结：注意三角函数式中角的表达式间的相互关系。发现并利用这种关系，是灵活运用公式的重要表现，发现是解决问题的关键。
例8 化简求值
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
分析：虽然求解方法有多种，但反用有关公式是较合理的，反用公式首先要求有反用的意识，还要求对公式的结构形式有准确的认识，必要时还需通过适当的变换，才能反用公式。
解：（1）原式
（2）原式
（3）原式
（4）原式
（5）原式
（6）原式
小结: (4)题解答中对角的说明应引起注意。
例9 求值
分析：本题若把21世纪教育网都化成正弦函数和余弦函数，再作变换，去求值是十分麻烦的，由问题形式我们应考虑到什么公式中既含有两角正切的和又含有这两角正切的积。当然是两角和的正切公式
，因此可简捷求解。
解：
例10 已知
分析：用两角之差的正弦、余弦公式把已知中的展开再整理，会使问题变繁，若把看作一个角，反用两角之差的正弦公式，则有
，使已知条件和之间关系易于找到。
解：由已知条件得
例11 已知
分析：用方程的观点看条件，是含两个未知数的两个方程，由此可解出，还可以利用整体思想不解
解：
小结：所求角但用和角公式计算比较麻烦，如果能看到有了倍角的关系, 就可以利用万能公式直接求解。
例12 已知
分析：如果利用两角和公式将条件变形，可得关于如果再配以平方关系，应可以求出但如果能看到
的关系，则会使问题简化得多。
解：
例13 化简求值
（1） （2）
（3） （4）
（5）
分析：反用公式是化简三角函数式的重要手段，在使用中，注意对公式的结构特征的认识，从而决定变换的方向。
解：
（4）原式
（5）原式
例14 求值
分析：不查表求三角函数式的值，依赖于变形过程中出现特殊角，并“消去”无关的非特殊角。本题是正弦倍角公式的连续使用。
解：原式
【专项训练】
一、选择题：
1、若的值是
A．2 B．－2 C． D．
2、如果
A． B． C． D．
3、如果
A． B． C． D．
4、若
A． B． C． D．
5、在则这个三角形的形状是
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
二、填空题：
6、角 ；
7、若所在象限是 ；
8、已知 ；
9、 ；
10、 。
三、解答题：
11、求
12、
13、
14、已知
的值。
【答案】
一、
1、B
2、D 提示: tgx = 3, 所求, 用万能公式。
3、B 提示:
4、A 提示: 把代入
5、B 提示: ∵cos(A + B) > 0 ∴角C为钝角。
二、
6、
7、分别用万能公式算出。第二
8、 9、－1 10、
三、
11、－4 12、2 13、 14、
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第三章两角和与差的三角函数 解三角形
解三角形
【例题精选】：
例1：已知
解：
例2：已知：
求：的最大角。
解：
例3：已知：
求：边长c
解：
例4：已知三角形的三边长为三个连续自然数, 且最大角是钝角。求这个三角形三边的长。
解：设三角形三边的长为：
最大角为
时，1，2，3不能构成三角形的三边，故舍去。
时，2，3，4即为所求三边的长。
例5：已知：锐角
求：第三边c的取值范围。
解：
例6：已知
求：b（结果保留两个有效数字）
解：
例7：已知：
求：B（精确到）
解：
是锐角
小结：用正弦定理求角时，要利用两边的大小关系来决定所求角是否可能是钝角。
例8：已知：
求：角C（精确到）
解：
小结：请大家仔细比较一下例7和例8的异同，这是使用正弦定理最容易出错的地方。
例9：若三角形中的最大角是最小角的两倍，且它的三条边的长是连续的三个整数。
求三条边的长。
解：设三条边长为：
最小角为，最大角为
即三条边长为4，5，6
例10：
求证：
证明：
=右边
小结：本题结论叫做“正切定理”，另外还有
例11：
求证：
证明：
右边=
例12：求边长为a的等边三角形的面积。
解：
小结：此题的结论以后经常使用，最好能记住。
例13：已知
求
解：
例14：已知：
求：
解：
【专项训练】：
（1）
（2）平行四边形两邻边长分别为3，4，它们的夹角为
求其两对角线的长。
（3）
求A，B，C
（4）
求a
（5）
求B（精确到）
（6）
求B（精确到）
（7）
求
（8）
求
（9）
求
（10）
求
【答案】：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
与三角形有关的综合题
【例题精选】：
例1：用a、b、c表示
解：
小结：叫做“海伦公式”，
其中叫做“半周长”
已知三角形的三边求面积时用“海伦公式”很方便。
例2：已知：的面积为
求：角C
解：
例3：在中，若则此三角形为
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
答案：A
分析：
解法1：化成边的关系
是等腰三角形。
解法2：化成角的关系
是等腰三角形
例4：在中，若，则此三角形为
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
答案：D
分析：
解法1：化成边的关系
是等腰三角形或直角三角形。
解法2：化成角的关系
是直角三角形
是等腰三角形
综合上述：
是等腰三角形或直角三角形。
例5：在中，若，则此三角形为
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
答案：A
分析：
都是钝角，这不可能。
都是锐角
也是锐角
是锐角三角形
例6：已知三角形最小内角为，它的对边为2，另两个内角的差为
求最大边的长
解：设
最大边长是
小结：
例7：已知：
求：b和c
解：
①
②
例8：已知：三角形的三边分别为12，7，9
求三角形最小边上的高
解：设三角形最小边上的高为h
三角形最小边上的高为
例9：在
求：
解：
是锐角
是锐角
例10：已知：
求：
解：
例11：
试求角A的大小。
解：
【专项训练】：
（1）
求这个三角形的最小角
（2）
求
（3）
求
（4）三角形两边长分别为2和3，其夹角正弦是
求它的外接圆半径
（5）根据下列条件，判断三角形的形状
①
②
③
④
（6）外接圆直径为5
求：
（7）
求：的最大值
【答案】：
（1） （2） （3）
（4）
（5）①等腰三角形
②等边三角形
③等腰三角形或直角三角形
④等腰直角三角形
（6）解：
是锐角，B是锐角或钝角
（7）解：
有最大值1
即时，有最大值4
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第四章 反三角函数和简单三角方程
反三角函数
【例题精选】：
例1：已知可表示成（ ）
A． B．
C． D．
分析：由。由此可得，所以，而，所以本题应选C。
答案：C。
小结：本题考查对反21世纪教育网的符号的理解。反三角函数的符号是反三角函数概念的数学表示，要准确把握，例如：表示一个角，是区间上的角，这个角的正切值是。这些不仅是反三角函数概念在理解上的要求，也是把反三角函数问题转化成三角函数问题的依据。
例2：函数的反函数为（ ）
A．
B．
C．
D．
分析：求函数的反函数，实际上是用反正弦函数表示区间上的角的问题，要注意对应关系，即是否成立，可用特殊值法，在中，令。在四个选择肢中令，A为，B为，C为，D为，故排除A、B、C，选择D。
答案：D。
例3：求值：
分析：本题实际上是三角变换，不过其中的角是由反三角函数的形式表示的。这类问题可称为反三角函数的三角运算。
解：（1）设
则
且
（2）设，
且 ，
例4：求值：
分析：本题是三角函数的反三角函数运算，运用公式时，要注意的条件，本题（1）实际上是运用诱导公式找一个角，使，且，（2）此仿此进行。
（2）
又 （注意：一定要想清楚，所取角的范围在其主值区间之内。）
∴
例5：求的值。
分析：本题是求反三角函数和、差类型的题目，其基本思路是转化为三角函数的和、差运算，这里要特别注意角的取值区间，本题中，
，在此区间内的角与余弦值是一一对应的，因此本题采用取余弦的方法。这是本周课程中的要害。请同学们一定要小心。
例6：求下列函数的定义域和值域：
小结：本题考查反正弦、反余弦函数的定义域、值域及不等式的知识，还要注意是反三角函数单调性的使用。
例7：设函数的图象分别记为，则（ ）
A．都相同 B．只有相同
C．只有相同 D．都不相同
分析：本题当然可以分别画出这三个函数图象再作判断，但也可以不画图象，从函数三要素去判断，由于函数的定义域是；的定义域是，所以应选D。
答案：D。
例8：不等式的解集是 。
分析：根据反余弦函数的定义域及单调性，原不等式等价于：
当然，若用图象解此题将更为直观。
简单三角方程
【例题精选】：
例1：方程的解集是 。
分析：设，用换元法得一个关于t的最简单三角方程。还要注意同一个角的表示必须采取同一种度量制。
原方程变形为，
∴
∴
∴ 原方程的解集是：
答案：。
例2：解方程：
解：
∴ 原方程等价于
∴ 原方程的解集为：
例3：方程内实数解的个数是（ ）
A．98 B．100 C．102 D．200
分析：本题应由函数图象，利用数形结合法作判断，选择。在同一直角坐标系中，作出函数的图象（如图所示）
函数的最小正周期是，只要考查在一个周期（0，）内两曲线交点的个数是（2个）又，故这两曲线在内交点个数为2×50=100个，即原方程在区间内实数解的个数是100。故选B。
答案：B。
【专项训练】：60分钟
一、选择题：
1、设的值是（ ）
A． B． C．－ D．
2、的值等于（ ）
A． B．0 C．－ D．－
3、方程的一个解是（ ）
A．10 B．20 C．50 D．70
4、方程在区间上解的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
5、方程的解集是（ ）
A． B．
C． D．
6、若上满足的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7、函数的值域是（ ）
A． B．
C． D．
8、下列四个式子中，正确的是（ ）
9、使的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10、当时，在下面关系正确的是（ ）
二、填空题：
。
。
。
。
15、方程实数解的个数是 。
16、方程内所有解的和是 。
17、等于 。
【答案】：
一、1、B 2、C 3、B 4、B 5、D
6、B 7、B 8、D 9、A 10、C
提示：
7：
9：利用，原不等式为
10：令，排除B、D；又令 ，排除A，选C。
二、11、 12、
13、
14、 15、
15、3。(提示：用图象法。)
16、。
（提示：可解方程解集为，在内，其和为。)
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第二章 三角函数专项训练（4）
半角公式及化简求值
【例题精选】
例1 已知根据下列条件求（1）（2）是第二象限角。
分析：首先应根据题目条件，确定选用半角公式，求除需知的值以外，还需根据角所在象限相应函数符号来选取公式前面正负号。
解：（1）
（2）为第二象限角
为第一或第三象限角
当为第一象限角时，
当为第三象限角时，
小结：半角公式在使用时，需特别注意正负号的选择问题，中“”号含义不是两个值都取，而是根据角所在象限正弦符号来选取。
例2
分析：注意到是的一半，于是利用公式是
的符号，还必须考察讨论的存在范围。
解：
例3 已知
分析：首先看到的一半，选用半角公式。而tg的计算，注意公式的选择，其中是相对比较简单的公式，可以避开根式运算和符号选择，且分式运算比较简单。
解：
小结：对半角的正切公式三种形式，需把握其结构特征，以便在恰当时机选择相应的形式，对特别注意其变形形式而在化简中经常会用到。
例4 化简下列各式
（1） （2）
（3）
（4）
（5）
分析：由于半角公式本身含有根式，因此对于根式化简会有一定帮助，此外由于半角公式本身形式较复杂，在使用时多用其变形形式如：
解：（1）原式
（2）原式
（3）原式
（4）原式
（5）原式
法二：原式
法三：原式
小结：（1）对于这两个变形公式要注意它的结构特征与功能。
i）在角上能将“倍”与“半”联系起来。
ii）能进行和差与积的互化。
iii）能进行式子升幂与降幂的处理。
因此在（1）（4）题中用到它升幂的功能，将被开方式改写为完全平方式以便化去根式。
（2）是一种隐含的完全平方式，可以利用它化简根式，但需注意算术根的非负性。
（3）化简三角函数式时，有时会因方法的不同而出现形式不同的化简结果。如（5）题，但几种结果的实质是相同的。
例5 （1）已知的值。
分析：解决本题可采用以下两种基本思路。
思路一：把看作一个整体，寻求与所求式之间的联系。会发现只需求出，将条件平方后即可得到。
思路二：把看作未知数，再配以两个方程可以求出
，下面只写出思路一的解法。
解：
将（1）（2）代入得
（2）在
分析：由涉及开方符号选取，应根据题目所给的条件选择相应的符号。
解：
例6 已知
分析：由已知可得再利用半角公式可求出的值。
解：由已知得
小结：题目条件从形式上是同角关系，但如果反用倍角公式产生了之间的半角关系，因此此题应为半角应用问题，因此对于在不同条件下有不同的处理策略。
例7 已知
求
分析：根据题目条件由诱导公式求得，再根据同角公式及半角公式求得
解：
例8 化简（1） （2）
分析：三角函数式的化简是通过一系列等价变换，将给定的三角函数式化为较简单的形式，一般要求是尽量减少角的个数，尽量减少三角函数的种数，不含根式，不含分母，尽量降低次数，减少次数，尽可能的求出三角函数值。
解：（1）原式
法二：原式
法三：原式
小结：化简入手角度可以有三种：i角变化（减少角种数）ii函数名称变化（减少函数名，切割化弦）iii式子结构变化（去分母，降次，去根号等），以上提供三种方法，分别从几方面做为突破口进行化简的。
（2）原式
小结：一般遇到含有平方式的三角函数式均可利用
来化简，达到降次化简的目的。
例9 化简
分析：三角函数式化简，除了利用三角变换工具以外，还可以充分利用其它代数运算工具和方法，此题可以利用万能公式将其改换为以为元的代数式。
解：原式
小结：把三角函数式化为同名同角的三角函数式，便于化简。
例10 化简
分析：分式的分母为平方差的因式，分子可以利用倍角公式展开。
解：原式
小结：对分式形式的三角函数式化简，常把分子、分母化成乘积形式并希望有相同的因式约去。
例11 化简
分析：此题可以有多种处理思路，如可以都化为的函数进行处理，也可以利用把的一半，则可利用半角公式而为运用诱导公式创造条件。
解法一：原式
说明：引用公式时要善于联想即
解法二：原式
解法三：原式
解法三是注意到，而得到启发。
小结：要灵活地多角度的观察角的表达式, 从而决定选用公式的各种途径，提高变形能力。
【专项训练】
一、选择题：
1、若
A． B． C． D．
2、已知
A． B． C． D．
3、若所在象限为
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4、若的一个值是
A． B． C． D．
5、已知
A． B． C． D．
二、填空题：
6、已知 ；
7、化简 ；
8、化积 ；
9、已知 ；
10、 。
三、解答题：
11、已知。
12、化简
13、已知
14、已知的值。
【答案】
一、
1、B 2、D 3、C 4、C 5、A
二、
6、 7、sin3 8、 9、
10、(要论证唯一解)
三、
11、 12、 13、 14、
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