第一章 直角三角形的边角关系学案
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文档简介
第一章 直角三角形的边角关系
§1.1 从梯子的倾斜程度谈起
学习目标:
1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.
2.理解正切、正弦、余弦等锐角三角函数的意义,并能够举例说明.
3.能够运用tanA,sinA,cosA表示直角三角形中两边的比.
4.能够根据直角三角形中的边角关系,进行简单计算.
学习方略:
一.关于正切
1.在直角三角形中,一个锐角A的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切.这里的对边、邻边都是指直角边,通常与一个锐角相邻的边有两条,一条是斜边,一条是直角边.这里的邻边是直角边,记作tanA,用式子可表示成:tanA=.
2.一个锐角正切值的大小与这个锐角的大小有关,在0~90°间角度越大,正切值越大.如果这个角是梯子与地面所成的角,则梯子越陡;如果这个角是梯子与墙所成的角,则梯子越平缓.
3.当不知道一个锐角的大小,而又要求这个角的正切值时,通常用这个锐角的对边与邻边的比来刻画,即用正切的定义去求.一个锐角的正切值,与这个锐角的对边与邻边大小无关,只与对边与邻边的比值有关.即当角度一定时,这个角的对边变大,正切值还是不变,因为这个角的邻边也相应变大了;这个角的对边变小,正切值还是不变,因为这个角的邻边相应会变小.反过来,如果一个锐角的对边与邻边的比确定,也就是这个锐角的正切值也就确定了,这个锐角也就是一定的,不变了.
二.关于正弦、余弦
1.一个锐角A的正弦用sinA表示,即sinA=
一个锐角A的余弦用cosA表示,即cosA=
2.正弦、余弦的学习可以用学习正弦的方法类比来学习.如果∠A是表示梯子与地面所成的锐角,则锐角A越大,sinA的值越大,梯子越陡;cosA的值越小, 梯子越陡.反过来也是对的,梯子越陡,sinA的值越大,cosA的值越小,锐角A越大.当锐角A确定,∠A的对边与斜边的比随之确定,邻边与斜边的比随之确定;反过来也成立.
3.正弦与余弦有关系:①sinA=cos(90°-A),cosA=sin(90°-A).特别在Rt△ABC中, ∠C=90°,sinA=cosB,cosA=sinB.②sin2A+cos2A=1.这两个关系都可通过正弦、余弦的定义较易地得到证明.
三.关于三角函数
1.锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数.因为我们可以把∠A看作自变量,三个比值看作因变量,当∠A确定时,三个比值分别唯一确定;当∠A变化时,三个比值也分别有唯一确定的值与之对应.
2.sinA、cosA、tanA之间有关系:tanA=,因为=:
==tanA.
四.典型例题:
例1:如图,△ABC中,高BD、CE交于点H,在不增加其它的字母和线段的情况下,写出所有等于∠A的正切和正弦的线段比. A
解: ∠A位于Rt△ABD、Rt△ACE中, E
∠EHB=∠DHC=∠A D
tanA= H
sinA= B C
例2:已知为锐角,sin=,求cos、tan.
解:如图,把放在Rt△ABC中,
设的对边BC=4,斜边AB=5(>0),
则的邻边AC==3 B
cos=, A
tan= C
自我测评:
§1.1(一)
一.填空题
1.Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,AB=2,则tanA=_________
2.Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,tanB=3,则AC=_________
3.等腰三角形的周长为36,一边长为10,则底角的正切值为_________
4.直角三角形中,一锐角的正切值为,周长为24,则斜边长=_________
二.选择题
1.在Rt△ABC中,各边的长度都扩大两倍,那么锐角A的正切值( )
A.扩大两倍 B.缩小到一半 C.不变 D.不能确定
2.如图,在直角△ABC中,CD是AB边上的高,在不增加其它的点和线段的情况下,表示∠A的正切的线段比有( )种 C
A.一种 B.二种 C.三种 D.四种
A D B
3.若、表示甲、乙两把梯子与地面所成的锐角,且>,则下列说法正确的是( )
A.乙梯子更陡 B.tan>tan C.tan三.解答题
1.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=CB,DE⊥AB于E,AB=8,CD=4,DE=6,求tanA的值. D C
A E B
2.如图,山坡AB的坡度为5:12,一辆汽车从山脚下A处出发,把货物送到距山脚800m高的B处,求汽车从A处到B处行驶的路程. B
A C
拓展探究:
如图,AD是△ABC斜边BC上的高,若BD=2,DC=8,求tanB的值.
A
B C
D
§1.1(二)
一.填空题
1.Rt△ABC中,∠C=90°,sinB=,AC=2,AB=_________
2.Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,AB=13,则sinA=_________,cosA=_________
3.已知∠A+∠B=90°,sinA=,则cosB=_________,cosA=_________
4.Rt△ABC中,sinA=cos60°,则∠A=_________
二.选择题
1.△ABC中,∠C=90°,则是∠A的( )
A.正弦 B.余弦 C.正切 D.正切的倒数
2.已知、都是锐角,且tan>tan,则下列各式中错误的是( )
A.> B.sin>sin C.cos>cos D.cos3.已知∠A为锐角,cosA=,那么tanA的值等于( )
A. B. C. D.
三. 解答题
1.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,D为AC上一点,CD=3,AD=DB=5,求sin∠ABC和sinA的值. C
D
A B
2.直角三角形的斜边和一直角边的比为5:3,设较大锐角为,求sin、cos、tan.
3.如图,△ABC中,AB=AC=3,BC=2,求sinB、sinA的值. A
B C
拓展探究:
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,若sinA+cosA=m, sinAA=n,则m、n有怎样的关系
2.如图,ABC中,AB=AC,延长BA到点D,作DF⊥BC,交AC于点E,已知sinD=.求sin∠DEA和cosB的值. D
A E
B F C
§1.2 30°、45°、60°角的三角函数值
学习目标:
1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程,能够进行有关推理,进一步体会三角函数的意义.
2.能够进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
3.能够根据30°、45°、60°角的三角函数值,说出相应的锐角大小.
学习方略:
一.30°、45°、60°角的三角函数值的求法
30°角的三角函数值的求法利用“在直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质.可设30°角的对边为1,则斜边为2,邻边为,再根据正弦、余弦、正切的定义,可得sin30°=,cos30°=,tan30°==
求45°角的三角函数值,要利用“含45°角的直角三角形为等腰直角三角形”,设其中一条直角边为1,则另一条直角边也为1,斜边为.然后分别根据正弦、余弦、正切的定义去求.
求60°角的三角函数值,可利用30°角三角函数的三角形即边长为1、、2的直角三角形,此时30°角的对边1和邻边分别是60°角的邻边1和对边.
这样,就可得30°、45°、60°等特殊角的三角函数值如下:
三角函数角 sin cos tan
30°
45° 1
60°
二.例题
例1:计算
解:原式==2-tan60°-
=2-=2--（+1）=1-2
例2:已知为锐角,当无意义时,求sin(+15°)+cos(-15°)的值.
解:当无意义时,1-tan=0,tan=1,锐角=45°.于是
sin(+15°)+cos(-15°)=sin(45°+15°)+cos(45°-15°)=sin60°+cos30°=+=
自我测评:
§1.2
一.填空题
1.cos230°+cos260°=_________
2.Rt△ABC中,∠C=90°,tan(C-A)=,则∠A=_________度
3.在△ABC中,∠C=90°,sinA=,则cosB=_________
4.已知、、都是锐角,且sin=,tan=,cos=,则++=_________度
二.选择题
1.若0°<<90°,且=0,则tan的值等于( )
A. B. C. D.
2. 在△ABC中,∠A、∠B都是锐角,且sinA=,cosB=,则△ABC三个角的大小关系是( )
A.∠C>∠A>∠B B.∠B>∠C>∠A C.∠A>∠B>∠C D.∠C>∠B>∠A
3.已知为锐角,下列结论正确的个数有( )
(1)sin+cos>1 (2)如果>45°,那么sin>cos
(3)若cos>,则<60° (4)-1
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
三.解答题
1.计算
(1)sin30°45°+cos30°45°
(2)
(3)3tan30°+2sin60°-2tan45°
(4)tan230°+2sin60°45°+tan45°-cos230°-
2.如图,甲、乙两建筑物的水平距离为30m,从乙的顶点A测得甲的顶部C的仰角为60°,测得甲的底部D的俯角为30°.求两建筑物的高AB和CD(取1.7) C
甲
60°A
30° 乙
D B
3.如图,Rt△BCD中,∠DBC=30°,延长CB至A,使AB=BD,连接AD,利用此图求tan75°的值.
D
A B C
拓展探究:
你能从sin30°、sin45°、sin60°、cos30°、cos45°、cos60°、tan30°、 tan45°、tan60°的值的大小关系中发现什么规律吗
§1.3 三角函数的有关计算
学习目标:
1.经历用计算器由已知锐角求它的三角函数值及由三角函数值求相应锐角的过程,进一步体会正切、正弦、余弦等三角函数的意义.
2.能够运用计算器求任意锐角的三角函数值.
3.能够运用计算器辅助解决由三角函数值求出锐角度数的实际问题.
学习方略:
一.用科学计算器求三角函数值和求角度
①用科学计算器求三角函数值,要用到sin键、cos键和tan键,当角度有分还有秒时要用DMS键.如求sin72°38′25″,通常按键顺序是:72DMS38DMS25DMSsin=,则显示结果为0.954450312.结果一般有10个数位.如无特别说明,计算结果一般精确到万分位.
②已知三角函数值求角度,要用到sin、cos、tan键的第二功能sin-1、cos-1、tan-1和2ndf键,结果的显示是以“度”为单位,若再按2ndfDMS键即转化为“度、分、秒”的单位的结果.
当然,不同的计算器可能按键方式不同,同学们在学习过程中应重视用自己的计算器进行探索.
二.关于仰角、俯角
仰角:当从低处观测高处目标时,视线在水平线上方,这时视线与水平线所成的锐角称为仰角.如图所示.
俯角:当从高处观测低处目标时,视线在水平线下方,这时视线与水平线所成的锐角称为俯角.如图所示.
仰角
俯角
三.含三角函数值计算的实际问题
在实际问题中往往没有现成的直角三角形,需要我们作适当的辅助线构造直角三角形.任何一个锐角,总可以看作是某一个直角三角形的锐角,这样我们可由边、角、三角函数值其中的某部分,求另外的一些部分.
学了三角函数以后,要求某个角的大小,我们既可以量,也可以通过边的比来刻画,即根据三角函数值进而求出某个角的大小.
例:一辆汽车沿着一山坡行驶了1000m,其铅直高度上升了50m.求山坡与水平面所成的锐角的大小.
分析:如图,在实际生活中,山坡与水平面所成的锐角,直接测量往往较难操作,但是行驶的路程和铅直高度,这两个数据是较容易得到的.这样,我们把坡角放在一个直角三角形中用正弦函数解决. 1000m
解:如图,sin==0.05 50m
山坡与水平面所成的锐角2°51′58″
自我测评:
§1.3(一)
1.利用科学计算器求下列各式的值.
(1)tan42″ (2)tan53′38″
(3)tan47°50′43″ (4)tan85°45′15″
2.利用计算器求下列各式的值.
(1)sin44″ (2)sin24′54″
(3)sin43°39′28″ (4)sin59°57′57″
3.利用计算器求下列各式的值.
(1)cos20″ (2)cos15′36″
(3)cos55°6′34″ (4)cos88°35′53″
4.一辆坦克准备通过一座小山,已知山坡AB的水平距离为320m,山高为215m.如果这辆坦克能爬35°斜坡,它能不能通过这座小山 B
A C
5.小明在150m高的塔顶A处测得15m高的楼顶B处的小亮的俯角为32°,求小明、小亮两人的距离CD. A 32°
B
C D
6.如图,某地夏日一天中午,太阳光与地面成80°角,房屋朝南的窗户高AB=1.8m,要在窗户外面上方安装一个水平挡板AC,使光线恰好不能直射室内.求挡板AC的宽度.(结果精确到0.01)
A 80°
C
B
§1.3(二)
1.根据下列条件求锐角A的大小:
(1)tanA=8.665 (2)tanA=0.4997
(3)sinA=0.5657 (4)sinA=0.964
(5)cosA=0.2589 (6)cosA=0.291
2. 根据下列条件求锐角B的大小:
(1)tanB=1.8 (2)tanB=24.3
(3)cosB=0.9 (4)cosB=0.3
(5)sinB=0.8 (6)sinB=0.6
3.已知菱形ABCD的周长为20cm,对角线AC=8cm.求BCD(精确到1°)
4.如图,某大桥的主桥高AC为14m,一侧的引桥AB的长是50m.求引桥桥面的坡度和坡角.(精确到1°)
(注:坡度,又称坡比,坡面的垂直高度AC与 A
水平宽度BC的比.坡角,指斜坡的倾斜角,如
图指的是B) B C
5.根据如图所示的数据求的大小. 118
90
83
145
6.如图,甲、乙两建筑物相距120m,甲建筑物高50m,乙建筑物高75m.求俯角和仰角的大小.
C
A 乙
甲
B D
单元测评(§1.1～§1.3)
一.填空题
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,若a=6,b=10,则cosA=_________
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,若3a=b,则sinA=_________ B
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=3,
那么tanB=_________ C A
4.计算:-tan60°+(2005) °=_________
5.若sinA=cos86°,则锐角A=_________
6.若∠A为锐角, cos(90°-A)=,则tanA=_________
7. 在△ABC中,若∠A、∠B为锐角,且cosA=,tanB=,则∠C=_________
8.化简=_________
9.在Rt△ABC中,∠C=90°,b=12,∠A的平分线AD=8,则另一条直角边a=_________
10.在△ABC中,∠C=90°,sinA=,AB=,则△ABC的周长为_________
二.选择题
1.在Rt△ABC中,如果各边的长度都扩大2倍,那么锐角A的正弦与余弦值( )
A.都扩大2倍 B.都缩小2倍 C.正弦值扩大2倍,余弦值缩小2倍 D.都没有变化
2.在△ABC中,∠C=90°,、分别是∠A、∠B所对的两条直角边,是斜边,则有( )
A.sinA= B.cosB= C.sinB= D.tanA=
3.在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,则a:b:c等于（ ）
A.1：2：3 B.2:1:3 C.1::2 D.2::1
4.在△ABC中,∠C=90°,∠B=2∠A,则tanA等于( )
A. B. C. D.
5.在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,则下列式子一定成立的是( )
A.a=cB B.a=bB C.c=aB D.a=bA
6.如果是等边三角形的一个内角,那么的值等于( )
A. B. C. D.1
7.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,则cosB等于( )
A. B. C. D.
8.已知,Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,AB=15,则BC的长是( )
A.12 B.6 C.3 D.9
9.若cos(36°-A)=,则sin(54°+A)的值是( )
A. B. C. D.
10.在△ABC中,∠C=90°,且两条直角边a、b满足a2-5ab+6b2=0,则tanA的值为( )
A.5或6 B.2 C.3 D.2或3
三.解答题
1.计算(不用计算器)
(1)(sin60°-sin45°)(cos30°+cos45°)
(2)+
(3)
2.已知,如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,BC=5,求∠A的三个三角函数值.
B
A C
3.a、b、c是△ABC的三边,且满足(2b)2=4(c+a)(c-a),5a-3c=0,求sinA+sinB的值.
4.在Rt△ABC中,a、b分别是∠A、∠B的对边,c为斜边,如果已知两个元素a、∠B,就可以求出其余三个未知元素b、c、∠A.
(1)求解方法有多种,请你按照下列步骤,完成一种求解过程:
第一步: 用关系式 求出
第二步: 用关系式 求出
第二步: 用关系式 求出
(2)请你分别给出、∠B的一个具体值,然后按照(1)中的思路,求出b、c、∠A的值.
5.已知6-36=0,求锐角的度数.
6.(1)如图,锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定,变化而变化,试探索随着锐角度数的增大,它的正弦值和余弦值变化的规律.
(2)根据你探索的规律,试比较18°、34°、50°、62°、88°这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小关系. B3
(3)比较大小(在空格处填写 B2
“<”或“>”或“=”号)
若=45°,则sin___cos; B1 B2 B3 B1
若<45°,则sin___cos;
A C1 C2 C3 A C
若>45°,则sin___cos.
拓展探究:
如图,已知边长为2的正三角形ABC沿着直线滚动,设△ABC滚动240°时,C点的位置为C’;△ABC滚动480°时,A点的位置为A’.请你利用三角函数中正切的两角和公式tan()=,求出∠CAC’+∠CAA’的度数.
B C’ B1 A’
A C A1 C1
§1.4 船有触礁的危险吗
学习目标:
1.经历探索船是否有触礁危险的过程,进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.
2.能够把实际问题转化为数学问题,能够借助计算器进行有关三角函数的计算,并能进一步对结果的意义进行说明,从而发展数学空间意识和解决问题的能力.
学习方略:
一.掌握直角三角形的边角关系(设∠C=90°)
1.两锐角∠A、∠B间的关系:∠A+∠B=90°
2.三边间的关系:a2+b2=c2
3.边和角间的关系:
tan,sin,cos
二.熟记三个特殊角(30°、45°、60°)的各个三角函数值
由于在解答问题中,常常会碰到与这些特殊角有关的问题,熟记这三个特殊三角函数值,给我们解决问题带来许多方便.
三.正确、合理地选择边角关系:
已知条件 解 决 方 法
一边一角 斜边和一个锐角A 1.∠B=90°-∠A2.=sinA或=cosB3.=cosA或=等其它方法
一直角边和一个锐角A 1.∠B=90°-∠A2.=或=tanB3.=或=等其它方法
两边 斜边和直角边 1.=2.利用sinA=求∠A,或其它方法3.∠B=90°-∠A
两直角边、 1.=2.利用tanA=求∠A,或其它方法3.∠B=90°-∠A
四.养成运用直角三角形有关的知识去分析、解决实际问题的习惯
运用三角函数解直角三角形的知识解决实际问题,关键在于将实际问题转化为与直角三角形有关的数学问题,把实际问题中的数量关系归结为该直角三角形中元素之间的关系,只要把该直角三角形构造出来,问题就迎刃而解了.在实际问题中常常碰到仰角与俯角、坡角与坡度等术语(坡角是指坡面与水平面的夹角.坡度是指垂直高度h与水平宽度的比,如用i表示坡度,用表示坡角,则i=)
例1:气象台测得台风中心在某港口A的正东方向400km处,正在向正西北方向转移,距台风中心300km的范围内将受其影响,问港口A是否会受到这次台风的影响
分析:由题意知,就是要求出A到台风中心的移动路线BC的距离是否大于300km.Rt△ABC中,∠ACB=90°, ∠ABC=45°,AB=400km,求AC即可.
北
解:在Rt△ABC中,
C
A B 东
=sin∠ABC
AC=AB∠ABC=400=200282<300(km)
故港口A将受到这次台风的影响.
例2:海中有一小岛A,它的周围内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在B点测得小岛A在北偏东60°,航行12海里到达D点,这时测得小岛A在北偏东30°,如果渔船不改变航向,继续向东捕捞,有没有触礁的危险 A
分析:根据题意可画出如图所示
的示意图.作AH⊥BD所在的直
线于H,若能求出AH8,则有触 60° 30°
礁的危险;若求出AH>8,则没有触 B 12 D H
礁的危险.故原问题就转化为求AH的长.
解:如图,作AH⊥BD于D,由题意知∠BAH=60°,在Rt△ABH中,
BH=AH60°=AH.
由题意知∠DAH=30°,在Rt△ADH中,
DH=AH30°=AH
BH-DH=BD
AH-AH=12 AH=6>8
答: 渔船不改变航向,继续向东捕捞,没有触礁的危险.
自我测评:
§1.4
一.填空题
1.两棵树植在倾斜角为30°的斜坡上,它们间的坡面距离是6m,则它们间的水平距离是_________m.
2.如果由A测得B的仰角为36°,那么由B去测A时俯角是_________度.
3.平行四边形的相邻两边长为4cm和6cm,夹角为60°,那么它的面积等于_________.
4.直角梯形的一个底角的正弦为,如果直腰长是5,那么斜腰长是_________.
二.选择题
1.平行四边形ABCD的面积为8cm 2,AB=2cm,BC=5cm,∠ABC为锐角,则cos∠ABC等于( )
A. B. C. D.
2.如果由点A测得点B在北偏东15°的方向,那么由点B测得点A的方向为( )
A.北偏东15° B.北偏西75° C.南偏西15° D.南偏东75°
3.△ABC中,∠C=90°,且,则下列式子中,不能表示△ABC面积的是( )
A. B.sinB C.tanA D.sinAcosB
三.解答题
1.测量楼房AC的楼顶上的电视天线AE的高度,在地面上一点B测得楼顶A的仰角为30°,前进15m到D,测得天线顶端E的仰角为60°.已知楼高AC为15m,求天线AE的高度. E
A
30° 60°
B D C
2.在小山BC上有铁塔AB,在塔顶A和塔底B处分别测得地面上一点D的俯角为60°和45°.已知铁塔高AB为30m,求山高BC.
A
60°
B 45°
C D
3.如图,轮船在A处测得灯塔B在北偏西45°方向上,轮船自A点出发沿着南偏西75°方向以每小时24海里的速度航行,40分钟后到达C处,测得灯塔B恰好在正北方向.求这时轮船与灯塔之间的距离BC(精确到0.1) 北
B
45°A
75°
C
南
4.小明想测烟囱CD的高度,他在建筑物AB的顶部测得一烟囱CD的顶端C的仰角为45°,测得C在湖中的倒影C’的俯角为60°.已知AB=20m,求烟囱的高CD. C
45°
A 60°
B D
C’
5.如图, △ABC中,∠B=30°,sinC=,AC=10,求AB的长.
A
B C
6.一条水渠的横断面是等腰梯形,∠A=∠D=60°,且AB=BC=CD,梯形ABCD的面积为cm2,求水渠的上、下口宽.
A D
B C
拓展探究:
一船在海面C处望见一灯塔A在它的正北方向,另一灯塔B在它的北偏西60°的方向,这船向正西航行1海里后到达D,这时灯塔A、B分别在它的正东北、正西北方向.求这两个灯塔之间的距离.(精确到0.1海里)
B
北
A
45°45°60°
D C
§1.5 测量物体的高度
学习目标:
1.经历设计活动方案,自制仪器或运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的过程.
2.能够对所得到的数据进行分析,能够对仪器进行调整和对测量的结果进行矫正,从而得出符合实际的结果.
3.能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题.
4.锻炼不怕困难的品质,发展合作意识和科学精神.
学习方略:
测量物体高度问题的几个常见的类型可归纳如下:
一.测底部能到达的物体的高度
1.在C点测量物高AB
如图1,求物高AB,可测量BC和角,则物高AB=BC
A A
C
B C B D
图1 图2
如图2,测量BD、CD及角,则物高AB=CD+BD
2.测量两建筑物AB、CD的高度
A
C
B D B D
图3 图4
如图3,先测量BD间的距离,再在C点测出A点的仰角,在D点测出A点的仰角.则物高AB=BD,CD=AB-BD=BD()
如图4,先测量两建筑物间的距离BD,在A点测出D点的俯角,测出C点的俯角,则AB=BD,CD=AB-BD=BD()
二.测底部不能到达的物体的高度
1.如图5,在C点测出A点的仰角,向后退一段CD并测出CD,在D点测出A点的仰角,则=CD
AB= D
A
A A
D
B C D B C B C
图5 图6 图7
2.如图6,在C点测出点A的仰角,上升一段CD,并测出CD,在D点测出A点的仰角,则AB=
3.如图7,已知建筑物AB的高度,在C点测出A点的仰角,测出D点的仰角,则建筑物DA=
三.活动报告供参考如下:
活动报告 年 月 日
课题
测量示意图
测得数据 测量项目 第一次 第二次 平均值
计算过程
活动感受
负责人及参加人员
计算者及复核者
指导教师审核意见
备 注
四.应用举例
例:某中学初三年级开展数学实践活动,测量四川电视塔AB的高度,在它不远处的开阔地带C处测得电视塔顶点A的仰角为45°,然后向电视塔方向前进132米到达D处,在D测得A的仰角为60°,如图所示.求四川电视塔的高度约为多少 (计算结果保留1位小数,供选用的数据:)
解:由题意知,∠C=45°,∠ADB=60° A
=CD
AB=
=66(3+)312.2(米) C D B
即四川电视塔的高度约312.2米.
自我测评:
§1.5
1.小明想测量他学校旗杆的高度,已知测倾器AC的高度为1m,测点A到旗杆底部N的水平距离为17m,在测点A测得旗杆顶端的仰角为32°,如图所示.请根据这些数据帮小明求出旗杆MN的高度.
M
32°
E C
N A
2.小颖的学校操场的围墙外有一幢楼房,楼房的地面与学校操场的地面在同一平面内,她在学习《测量物体的高度》这节内容以后,想利用所学知识测量这幢楼房的高度.由于有围墙阻挡,故不能直接测得测点与楼房底部之间的距离,但她测得了如下数据(如图):在测点A测得楼房顶部M的仰角为30°;在测点B测得楼房顶部M的仰角为45°.两测点A、B之间的距离为20m,测倾器高AC=BD=1m,测点A、B及楼房底部N在同一直线上,你能根据这些测量数据帮小颖求出楼房MN的高度吗
M
E 45° D 30° C
N B A
3.如图,AC表示一幢楼,它的各楼层都可到达;BD表示一个建筑物,且不能到达.已知AC与BD地平高度相同,AC周围没有开阔地带,仅有的测量工具为皮只(可测量长度)和测角器(可测量仰角、俯角和两视线间的夹角).
(1)请你设计一个测量建筑物BD高度的方案,要求写出测量步骤和必要的测量数据(用字母表示),并画出测量示意图;
(2)写出计算BD高度的表达式; B
(3)写出一份活动报告.
A
C D
4.小明家有一棵上百年的榕树,从来没有人知道它究竟有多高,有一天小明拿着一把卷尺和一个测角仪,他测得榕树的底部A到地面一点B的距离为10m ,此时他想测量树的顶端C的仰角,但由于树冠太大见不到树顶;他想退后一点,但由于后面已被房屋的墙挡住,他只好选取树茎上一点D,然后测得点D的仰角为45°.做完这一切后,小明觉得要根据这些条件计算树的高度似乎还缺少什么条件,于是他爬上房顶,他在房顶上又退后5m,在点E处分别测得树的顶端C的仰角为60°,树茎上点D的仰角为30°,然后拿回家准备进行计算树高时,才想起忘记了测量房屋的高度.请同学们想一想:小明还需要去测量房屋的高度吗 如果不需要,请帮他算一算,这棵榕树高多少米
C
D
E F
B
A
5.如图,某人在C处由点D用测量仪测得大厦AB顶端A的仰角为26°,向大厦前进30m到达C处,由点D’测得A的仰角为43°.已知测量仪高CD=C’D’=1.3m,求大厦AB的高.(结果精确到0.01m)
A
D D’
C C’ B
单元测评(§1.4～§1.5)
一.填空题
1.在数学活动课上老师带领学生去测量河两岸A、B两处之间的距离,先从A处出发与AB成90°方向向前走了10米,到达C处,在C处测得∠ACB=60°,如图所示.那么A、B之间的距离约为_________米(结果精确到0.1)
2.若某人沿坡度=3:4的斜坡前进10m,则他所在位置比原来位置升高_________m.
3.如图,某飞机于空中A处探测到地面目标C,此时飞行高度AC=h米,从飞机上看到地面控制点B的俯角为,那么飞机A到控制点B的距离是_________米.
4.如图,防洪大堤的横断面是梯形,坝高AC等于6米,迎水坡AB的坡度=1:2,则斜坡AB的长为_________米(精确到0.1米)
5.一轮船以每小时20海里的速度沿正东方向航行,上午8时,该船在A测得某灯塔位于它的北偏东30°的B处,如图.上午9时行至C处,测得灯塔恰好在它的正北方向,此时它与灯塔的距离是_________海里(结果保留根号)
6.为了方便看电视和有利于彩电在使用中产生的热量的散发,将一台54英寸的大背投彩电放置在墙角,下图是它的俯视图.已知∠DAO=22°,彩电后背AD=110cm,平行于前沿BC,且与BC距离为60cm,则墙角O到前沿BC的距离是_________cm(精确到1m)
A
B
H A
=1:2 6m
60°
C A B C B C
第1题图 第3题图 第4题图
北 O
B A D
E F
30° B
A C 东 C
第5题图 第6题图
二.选择题
1.身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛,三人放出风筝线长、线与地面的交角如下表(假设风筝线是拉直的),则三人所放的风筝中( )
同 学 甲 乙 丙
放出风筝线长 100m 100m 90m
线与地面交角 40° 45° 60°
A.甲的最高 B.丙的最高 C.乙的最低 D.丙的最低
2.两条宽度都为1的纸条,交叉重叠放在一起,且它们的交角为,则它们重叠部分的面积为( )
A. B. C. D.
3.当∠A为锐角,且cosA的值大于时,∠A( )
A.小于30° B.大于30° C.小于60° D.大于60°
4.△ABC中,∠B、∠C均为锐角,sinB=cos(90°-∠C)=.那么此三角形是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
5.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=45°,∠C =120°,AB=8,则CD的长为( ) A D
A. B.4 C. D.4
B 45° 120°C
6.每周学校都要举行庄严的升国旗仪式,让我们体会到国旗的神圣,某同学产生了用所学知识测量旗杆高度的想法,在地面距杆脚5m的地方,他利用测倾器测得杆顶的仰角为,且tan=3,则旗杆高(不计测倾器的高度)为( )
A.10m B.12m C.15m D.20m
三.解答题
1.如图,甲建筑物上从A到E挂有一长为30m的宣传条幅,在乙建筑物的顶部D点测得A的仰角为45°,E的俯角为30°.求甲、乙两建筑物之间的水平距离BC(答案可带根号). A
45° D
30°
E
B C
2.如图,小明拿一把∠ACB=30°的小型直角三角尺ABC目测河流在市区河段的宽度,他先在岸边的点A顺着30°角的邻边AC的方向确定河对岸岸边的一棵树M,然后沿着30°角的对边AB的方向前进到B’,顺着斜边B’C’的方向看见M,并测得AB’=100m.那么他目测的宽大约为多少 (结果精确到1m)
M
C C’
A B A’ B’
3.在小山的东侧A处有一热气球沿着与竖直方向夹角为30°的方向向东飞行,每分钟飞行28m,半小时后到达C处,这时气球上的人发现,在A处的正西方向有一处着火点B,5分钟后,在D处测得着火点B的俯角是15°.求热气球升空点A与着火点B的距离(结果精确到1m).
15° D
C
30°
B A
小山
4.如图,△ABC是等腰三角形,∠ACB=90°,过BC中点D作DE⊥AB,垂足为E,连接CE,求sin∠ACE的值. C
D
A B
E
5.如图,MN表示某引水工程一段设计路线,从M到N的走向为南偏东30°,在M的南偏东60°的方向上有一点A,以A为圆心、500m为半径的圆形区域为居民区,取MN上另点B,测得BA的方向为南偏东75°.已知MB=400m,通过计算回答:如果不改变方向,输水路线是否会穿过居民区
北
M 东
B A
N
拓展探究:
某森林管理处雇佣两架农用直升飞机向森林喷洒药物,两飞机在同一地点出发,甲机沿北偏东45°方向以20km/h的速度飞行,乙机沿南偏东30°方向以20km/h的速度飞行,3h后,乙机发现有部分药品误放在甲机上,而此时,乙机只能沿北偏东15°的方向追赶甲机,乙机以怎样的速度飞行才能正好赶上甲机
由条件:a,∠B
由条件:
由条件:
§1.1 从梯子的倾斜程度谈起
学习目标:
1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.
2.理解正切、正弦、余弦等锐角三角函数的意义,并能够举例说明.
3.能够运用tanA,sinA,cosA表示直角三角形中两边的比.
4.能够根据直角三角形中的边角关系,进行简单计算.
学习方略:
一.关于正切
1.在直角三角形中,一个锐角A的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切.这里的对边、邻边都是指直角边,通常与一个锐角相邻的边有两条,一条是斜边,一条是直角边.这里的邻边是直角边,记作tanA,用式子可表示成:tanA=.
2.一个锐角正切值的大小与这个锐角的大小有关,在0~90°间角度越大,正切值越大.如果这个角是梯子与地面所成的角,则梯子越陡;如果这个角是梯子与墙所成的角,则梯子越平缓.
3.当不知道一个锐角的大小,而又要求这个角的正切值时,通常用这个锐角的对边与邻边的比来刻画,即用正切的定义去求.一个锐角的正切值,与这个锐角的对边与邻边大小无关,只与对边与邻边的比值有关.即当角度一定时,这个角的对边变大,正切值还是不变,因为这个角的邻边也相应变大了;这个角的对边变小,正切值还是不变,因为这个角的邻边相应会变小.反过来,如果一个锐角的对边与邻边的比确定,也就是这个锐角的正切值也就确定了,这个锐角也就是一定的,不变了.
二.关于正弦、余弦
1.一个锐角A的正弦用sinA表示,即sinA=
一个锐角A的余弦用cosA表示,即cosA=
2.正弦、余弦的学习可以用学习正弦的方法类比来学习.如果∠A是表示梯子与地面所成的锐角,则锐角A越大,sinA的值越大,梯子越陡;cosA的值越小, 梯子越陡.反过来也是对的,梯子越陡,sinA的值越大,cosA的值越小,锐角A越大.当锐角A确定,∠A的对边与斜边的比随之确定,邻边与斜边的比随之确定;反过来也成立.
3.正弦与余弦有关系:①sinA=cos(90°-A),cosA=sin(90°-A).特别在Rt△ABC中, ∠C=90°,sinA=cosB,cosA=sinB.②sin2A+cos2A=1.这两个关系都可通过正弦、余弦的定义较易地得到证明.
三.关于三角函数
1.锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数.因为我们可以把∠A看作自变量,三个比值看作因变量,当∠A确定时,三个比值分别唯一确定;当∠A变化时,三个比值也分别有唯一确定的值与之对应.
2.sinA、cosA、tanA之间有关系:tanA=,因为=:
==tanA.
四.典型例题:
例1:如图,△ABC中,高BD、CE交于点H,在不增加其它的字母和线段的情况下,写出所有等于∠A的正切和正弦的线段比. A
解: ∠A位于Rt△ABD、Rt△ACE中, E
∠EHB=∠DHC=∠A D
tanA= H
sinA= B C
例2:已知为锐角,sin=,求cos、tan.
解:如图,把放在Rt△ABC中,
设的对边BC=4,斜边AB=5(>0),
则的邻边AC==3 B
cos=, A
tan= C
自我测评:
§1.1(一)
一.填空题
1.Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,AB=2,则tanA=_________
2.Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,tanB=3,则AC=_________
3.等腰三角形的周长为36,一边长为10,则底角的正切值为_________
4.直角三角形中,一锐角的正切值为,周长为24,则斜边长=_________
二.选择题
1.在Rt△ABC中,各边的长度都扩大两倍,那么锐角A的正切值( )
A.扩大两倍 B.缩小到一半 C.不变 D.不能确定
2.如图,在直角△ABC中,CD是AB边上的高,在不增加其它的点和线段的情况下,表示∠A的正切的线段比有( )种 C
A.一种 B.二种 C.三种 D.四种
A D B
3.若、表示甲、乙两把梯子与地面所成的锐角,且>,则下列说法正确的是( )
A.乙梯子更陡 B.tan>tan C.tan
1.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=CB,DE⊥AB于E,AB=8,CD=4,DE=6,求tanA的值. D C
A E B
2.如图,山坡AB的坡度为5:12,一辆汽车从山脚下A处出发,把货物送到距山脚800m高的B处,求汽车从A处到B处行驶的路程. B
A C
拓展探究:
如图,AD是△ABC斜边BC上的高,若BD=2,DC=8,求tanB的值.
A
B C
D
§1.1(二)
一.填空题
1.Rt△ABC中,∠C=90°,sinB=,AC=2,AB=_________
2.Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,AB=13,则sinA=_________,cosA=_________
3.已知∠A+∠B=90°,sinA=,则cosB=_________,cosA=_________
4.Rt△ABC中,sinA=cos60°,则∠A=_________
二.选择题
1.△ABC中,∠C=90°,则是∠A的( )
A.正弦 B.余弦 C.正切 D.正切的倒数
2.已知、都是锐角,且tan>tan,则下列各式中错误的是( )
A.> B.sin>sin C.cos>cos D.cos
A. B. C. D.
三. 解答题
1.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,D为AC上一点,CD=3,AD=DB=5,求sin∠ABC和sinA的值. C
D
A B
2.直角三角形的斜边和一直角边的比为5:3,设较大锐角为,求sin、cos、tan.
3.如图,△ABC中,AB=AC=3,BC=2,求sinB、sinA的值. A
B C
拓展探究:
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,若sinA+cosA=m, sinAA=n,则m、n有怎样的关系
2.如图,ABC中,AB=AC,延长BA到点D,作DF⊥BC,交AC于点E,已知sinD=.求sin∠DEA和cosB的值. D
A E
B F C
§1.2 30°、45°、60°角的三角函数值
学习目标:
1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程,能够进行有关推理,进一步体会三角函数的意义.
2.能够进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
3.能够根据30°、45°、60°角的三角函数值,说出相应的锐角大小.
学习方略:
一.30°、45°、60°角的三角函数值的求法
30°角的三角函数值的求法利用“在直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质.可设30°角的对边为1,则斜边为2,邻边为,再根据正弦、余弦、正切的定义,可得sin30°=,cos30°=,tan30°==
求45°角的三角函数值,要利用“含45°角的直角三角形为等腰直角三角形”,设其中一条直角边为1,则另一条直角边也为1,斜边为.然后分别根据正弦、余弦、正切的定义去求.
求60°角的三角函数值,可利用30°角三角函数的三角形即边长为1、、2的直角三角形,此时30°角的对边1和邻边分别是60°角的邻边1和对边.
这样,就可得30°、45°、60°等特殊角的三角函数值如下:
三角函数角 sin cos tan
30°
45° 1
60°
二.例题
例1:计算
解:原式==2-tan60°-
=2-=2--（+1）=1-2
例2:已知为锐角,当无意义时,求sin(+15°)+cos(-15°)的值.
解:当无意义时,1-tan=0,tan=1,锐角=45°.于是
sin(+15°)+cos(-15°)=sin(45°+15°)+cos(45°-15°)=sin60°+cos30°=+=
自我测评:
§1.2
一.填空题
1.cos230°+cos260°=_________
2.Rt△ABC中,∠C=90°,tan(C-A)=,则∠A=_________度
3.在△ABC中,∠C=90°,sinA=,则cosB=_________
4.已知、、都是锐角,且sin=,tan=,cos=,则++=_________度
二.选择题
1.若0°<<90°,且=0,则tan的值等于( )
A. B. C. D.
2. 在△ABC中,∠A、∠B都是锐角,且sinA=,cosB=,则△ABC三个角的大小关系是( )
A.∠C>∠A>∠B B.∠B>∠C>∠A C.∠A>∠B>∠C D.∠C>∠B>∠A
3.已知为锐角,下列结论正确的个数有( )
(1)sin+cos>1 (2)如果>45°,那么sin>cos
(3)若cos>,则<60° (4)-1
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
三.解答题
1.计算
(1)sin30°45°+cos30°45°
(2)
(3)3tan30°+2sin60°-2tan45°
(4)tan230°+2sin60°45°+tan45°-cos230°-
2.如图,甲、乙两建筑物的水平距离为30m,从乙的顶点A测得甲的顶部C的仰角为60°,测得甲的底部D的俯角为30°.求两建筑物的高AB和CD(取1.7) C
甲
60°A
30° 乙
D B
3.如图,Rt△BCD中,∠DBC=30°,延长CB至A,使AB=BD,连接AD,利用此图求tan75°的值.
D
A B C
拓展探究:
你能从sin30°、sin45°、sin60°、cos30°、cos45°、cos60°、tan30°、 tan45°、tan60°的值的大小关系中发现什么规律吗
§1.3 三角函数的有关计算
学习目标:
1.经历用计算器由已知锐角求它的三角函数值及由三角函数值求相应锐角的过程,进一步体会正切、正弦、余弦等三角函数的意义.
2.能够运用计算器求任意锐角的三角函数值.
3.能够运用计算器辅助解决由三角函数值求出锐角度数的实际问题.
学习方略:
一.用科学计算器求三角函数值和求角度
①用科学计算器求三角函数值,要用到sin键、cos键和tan键,当角度有分还有秒时要用DMS键.如求sin72°38′25″,通常按键顺序是:72DMS38DMS25DMSsin=,则显示结果为0.954450312.结果一般有10个数位.如无特别说明,计算结果一般精确到万分位.
②已知三角函数值求角度,要用到sin、cos、tan键的第二功能sin-1、cos-1、tan-1和2ndf键,结果的显示是以“度”为单位,若再按2ndfDMS键即转化为“度、分、秒”的单位的结果.
当然,不同的计算器可能按键方式不同,同学们在学习过程中应重视用自己的计算器进行探索.
二.关于仰角、俯角
仰角:当从低处观测高处目标时,视线在水平线上方,这时视线与水平线所成的锐角称为仰角.如图所示.
俯角:当从高处观测低处目标时,视线在水平线下方,这时视线与水平线所成的锐角称为俯角.如图所示.
仰角
俯角
三.含三角函数值计算的实际问题
在实际问题中往往没有现成的直角三角形,需要我们作适当的辅助线构造直角三角形.任何一个锐角,总可以看作是某一个直角三角形的锐角,这样我们可由边、角、三角函数值其中的某部分,求另外的一些部分.
学了三角函数以后,要求某个角的大小,我们既可以量,也可以通过边的比来刻画,即根据三角函数值进而求出某个角的大小.
例:一辆汽车沿着一山坡行驶了1000m,其铅直高度上升了50m.求山坡与水平面所成的锐角的大小.
分析:如图,在实际生活中,山坡与水平面所成的锐角,直接测量往往较难操作,但是行驶的路程和铅直高度,这两个数据是较容易得到的.这样,我们把坡角放在一个直角三角形中用正弦函数解决. 1000m
解:如图,sin==0.05 50m
山坡与水平面所成的锐角2°51′58″
自我测评:
§1.3(一)
1.利用科学计算器求下列各式的值.
(1)tan42″ (2)tan53′38″
(3)tan47°50′43″ (4)tan85°45′15″
2.利用计算器求下列各式的值.
(1)sin44″ (2)sin24′54″
(3)sin43°39′28″ (4)sin59°57′57″
3.利用计算器求下列各式的值.
(1)cos20″ (2)cos15′36″
(3)cos55°6′34″ (4)cos88°35′53″
4.一辆坦克准备通过一座小山,已知山坡AB的水平距离为320m,山高为215m.如果这辆坦克能爬35°斜坡,它能不能通过这座小山 B
A C
5.小明在150m高的塔顶A处测得15m高的楼顶B处的小亮的俯角为32°,求小明、小亮两人的距离CD. A 32°
B
C D
6.如图,某地夏日一天中午,太阳光与地面成80°角,房屋朝南的窗户高AB=1.8m,要在窗户外面上方安装一个水平挡板AC,使光线恰好不能直射室内.求挡板AC的宽度.(结果精确到0.01)
A 80°
C
B
§1.3(二)
1.根据下列条件求锐角A的大小:
(1)tanA=8.665 (2)tanA=0.4997
(3)sinA=0.5657 (4)sinA=0.964
(5)cosA=0.2589 (6)cosA=0.291
2. 根据下列条件求锐角B的大小:
(1)tanB=1.8 (2)tanB=24.3
(3)cosB=0.9 (4)cosB=0.3
(5)sinB=0.8 (6)sinB=0.6
3.已知菱形ABCD的周长为20cm,对角线AC=8cm.求BCD(精确到1°)
4.如图,某大桥的主桥高AC为14m,一侧的引桥AB的长是50m.求引桥桥面的坡度和坡角.(精确到1°)
(注:坡度,又称坡比,坡面的垂直高度AC与 A
水平宽度BC的比.坡角,指斜坡的倾斜角,如
图指的是B) B C
5.根据如图所示的数据求的大小. 118
90
83
145
6.如图,甲、乙两建筑物相距120m,甲建筑物高50m,乙建筑物高75m.求俯角和仰角的大小.
C
A 乙
甲
B D
单元测评(§1.1～§1.3)
一.填空题
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,若a=6,b=10,则cosA=_________
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,若3a=b,则sinA=_________ B
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=3,
那么tanB=_________ C A
4.计算:-tan60°+(2005) °=_________
5.若sinA=cos86°,则锐角A=_________
6.若∠A为锐角, cos(90°-A)=,则tanA=_________
7. 在△ABC中,若∠A、∠B为锐角,且cosA=,tanB=,则∠C=_________
8.化简=_________
9.在Rt△ABC中,∠C=90°,b=12,∠A的平分线AD=8,则另一条直角边a=_________
10.在△ABC中,∠C=90°,sinA=,AB=,则△ABC的周长为_________
二.选择题
1.在Rt△ABC中,如果各边的长度都扩大2倍,那么锐角A的正弦与余弦值( )
A.都扩大2倍 B.都缩小2倍 C.正弦值扩大2倍,余弦值缩小2倍 D.都没有变化
2.在△ABC中,∠C=90°,、分别是∠A、∠B所对的两条直角边,是斜边,则有( )
A.sinA= B.cosB= C.sinB= D.tanA=
3.在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,则a:b:c等于（ ）
A.1：2：3 B.2:1:3 C.1::2 D.2::1
4.在△ABC中,∠C=90°,∠B=2∠A,则tanA等于( )
A. B. C. D.
5.在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,则下列式子一定成立的是( )
A.a=cB B.a=bB C.c=aB D.a=bA
6.如果是等边三角形的一个内角,那么的值等于( )
A. B. C. D.1
7.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,则cosB等于( )
A. B. C. D.
8.已知,Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,AB=15,则BC的长是( )
A.12 B.6 C.3 D.9
9.若cos(36°-A)=,则sin(54°+A)的值是( )
A. B. C. D.
10.在△ABC中,∠C=90°,且两条直角边a、b满足a2-5ab+6b2=0,则tanA的值为( )
A.5或6 B.2 C.3 D.2或3
三.解答题
1.计算(不用计算器)
(1)(sin60°-sin45°)(cos30°+cos45°)
(2)+
(3)
2.已知,如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,BC=5,求∠A的三个三角函数值.
B
A C
3.a、b、c是△ABC的三边,且满足(2b)2=4(c+a)(c-a),5a-3c=0,求sinA+sinB的值.
4.在Rt△ABC中,a、b分别是∠A、∠B的对边,c为斜边,如果已知两个元素a、∠B,就可以求出其余三个未知元素b、c、∠A.
(1)求解方法有多种,请你按照下列步骤,完成一种求解过程:
第一步: 用关系式 求出
第二步: 用关系式 求出
第二步: 用关系式 求出
(2)请你分别给出、∠B的一个具体值,然后按照(1)中的思路,求出b、c、∠A的值.
5.已知6-36=0,求锐角的度数.
6.(1)如图,锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定,变化而变化,试探索随着锐角度数的增大,它的正弦值和余弦值变化的规律.
(2)根据你探索的规律,试比较18°、34°、50°、62°、88°这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小关系. B3
(3)比较大小(在空格处填写 B2
“<”或“>”或“=”号)
若=45°,则sin___cos; B1 B2 B3 B1
若<45°,则sin___cos;
A C1 C2 C3 A C
若>45°,则sin___cos.
拓展探究:
如图,已知边长为2的正三角形ABC沿着直线滚动,设△ABC滚动240°时,C点的位置为C’;△ABC滚动480°时,A点的位置为A’.请你利用三角函数中正切的两角和公式tan()=,求出∠CAC’+∠CAA’的度数.
B C’ B1 A’
A C A1 C1
§1.4 船有触礁的危险吗
学习目标:
1.经历探索船是否有触礁危险的过程,进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.
2.能够把实际问题转化为数学问题,能够借助计算器进行有关三角函数的计算,并能进一步对结果的意义进行说明,从而发展数学空间意识和解决问题的能力.
学习方略:
一.掌握直角三角形的边角关系(设∠C=90°)
1.两锐角∠A、∠B间的关系:∠A+∠B=90°
2.三边间的关系:a2+b2=c2
3.边和角间的关系:
tan,sin,cos
二.熟记三个特殊角(30°、45°、60°)的各个三角函数值
由于在解答问题中,常常会碰到与这些特殊角有关的问题,熟记这三个特殊三角函数值,给我们解决问题带来许多方便.
三.正确、合理地选择边角关系:
已知条件 解 决 方 法
一边一角 斜边和一个锐角A 1.∠B=90°-∠A2.=sinA或=cosB3.=cosA或=等其它方法
一直角边和一个锐角A 1.∠B=90°-∠A2.=或=tanB3.=或=等其它方法
两边 斜边和直角边 1.=2.利用sinA=求∠A,或其它方法3.∠B=90°-∠A
两直角边、 1.=2.利用tanA=求∠A,或其它方法3.∠B=90°-∠A
四.养成运用直角三角形有关的知识去分析、解决实际问题的习惯
运用三角函数解直角三角形的知识解决实际问题,关键在于将实际问题转化为与直角三角形有关的数学问题,把实际问题中的数量关系归结为该直角三角形中元素之间的关系,只要把该直角三角形构造出来,问题就迎刃而解了.在实际问题中常常碰到仰角与俯角、坡角与坡度等术语(坡角是指坡面与水平面的夹角.坡度是指垂直高度h与水平宽度的比,如用i表示坡度,用表示坡角,则i=)
例1:气象台测得台风中心在某港口A的正东方向400km处,正在向正西北方向转移,距台风中心300km的范围内将受其影响,问港口A是否会受到这次台风的影响
分析:由题意知,就是要求出A到台风中心的移动路线BC的距离是否大于300km.Rt△ABC中,∠ACB=90°, ∠ABC=45°,AB=400km,求AC即可.
北
解:在Rt△ABC中,
C
A B 东
=sin∠ABC
AC=AB∠ABC=400=200282<300(km)
故港口A将受到这次台风的影响.
例2:海中有一小岛A,它的周围内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在B点测得小岛A在北偏东60°,航行12海里到达D点,这时测得小岛A在北偏东30°,如果渔船不改变航向,继续向东捕捞,有没有触礁的危险 A
分析:根据题意可画出如图所示
的示意图.作AH⊥BD所在的直
线于H,若能求出AH8,则有触 60° 30°
礁的危险;若求出AH>8,则没有触 B 12 D H
礁的危险.故原问题就转化为求AH的长.
解:如图,作AH⊥BD于D,由题意知∠BAH=60°,在Rt△ABH中,
BH=AH60°=AH.
由题意知∠DAH=30°,在Rt△ADH中,
DH=AH30°=AH
BH-DH=BD
AH-AH=12 AH=6>8
答: 渔船不改变航向,继续向东捕捞,没有触礁的危险.
自我测评:
§1.4
一.填空题
1.两棵树植在倾斜角为30°的斜坡上,它们间的坡面距离是6m,则它们间的水平距离是_________m.
2.如果由A测得B的仰角为36°,那么由B去测A时俯角是_________度.
3.平行四边形的相邻两边长为4cm和6cm,夹角为60°,那么它的面积等于_________.
4.直角梯形的一个底角的正弦为,如果直腰长是5,那么斜腰长是_________.
二.选择题
1.平行四边形ABCD的面积为8cm 2,AB=2cm,BC=5cm,∠ABC为锐角,则cos∠ABC等于( )
A. B. C. D.
2.如果由点A测得点B在北偏东15°的方向,那么由点B测得点A的方向为( )
A.北偏东15° B.北偏西75° C.南偏西15° D.南偏东75°
3.△ABC中,∠C=90°,且,则下列式子中,不能表示△ABC面积的是( )
A. B.sinB C.tanA D.sinAcosB
三.解答题
1.测量楼房AC的楼顶上的电视天线AE的高度,在地面上一点B测得楼顶A的仰角为30°,前进15m到D,测得天线顶端E的仰角为60°.已知楼高AC为15m,求天线AE的高度. E
A
30° 60°
B D C
2.在小山BC上有铁塔AB,在塔顶A和塔底B处分别测得地面上一点D的俯角为60°和45°.已知铁塔高AB为30m,求山高BC.
A
60°
B 45°
C D
3.如图,轮船在A处测得灯塔B在北偏西45°方向上,轮船自A点出发沿着南偏西75°方向以每小时24海里的速度航行,40分钟后到达C处,测得灯塔B恰好在正北方向.求这时轮船与灯塔之间的距离BC(精确到0.1) 北
B
45°A
75°
C
南
4.小明想测烟囱CD的高度,他在建筑物AB的顶部测得一烟囱CD的顶端C的仰角为45°,测得C在湖中的倒影C’的俯角为60°.已知AB=20m,求烟囱的高CD. C
45°
A 60°
B D
C’
5.如图, △ABC中,∠B=30°,sinC=,AC=10,求AB的长.
A
B C
6.一条水渠的横断面是等腰梯形,∠A=∠D=60°,且AB=BC=CD,梯形ABCD的面积为cm2,求水渠的上、下口宽.
A D
B C
拓展探究:
一船在海面C处望见一灯塔A在它的正北方向,另一灯塔B在它的北偏西60°的方向,这船向正西航行1海里后到达D,这时灯塔A、B分别在它的正东北、正西北方向.求这两个灯塔之间的距离.(精确到0.1海里)
B
北
A
45°45°60°
D C
§1.5 测量物体的高度
学习目标:
1.经历设计活动方案,自制仪器或运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的过程.
2.能够对所得到的数据进行分析,能够对仪器进行调整和对测量的结果进行矫正,从而得出符合实际的结果.
3.能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题.
4.锻炼不怕困难的品质,发展合作意识和科学精神.
学习方略:
测量物体高度问题的几个常见的类型可归纳如下:
一.测底部能到达的物体的高度
1.在C点测量物高AB
如图1,求物高AB,可测量BC和角,则物高AB=BC
A A
C
B C B D
图1 图2
如图2,测量BD、CD及角,则物高AB=CD+BD
2.测量两建筑物AB、CD的高度
A
C
B D B D
图3 图4
如图3,先测量BD间的距离,再在C点测出A点的仰角,在D点测出A点的仰角.则物高AB=BD,CD=AB-BD=BD()
如图4,先测量两建筑物间的距离BD,在A点测出D点的俯角,测出C点的俯角,则AB=BD,CD=AB-BD=BD()
二.测底部不能到达的物体的高度
1.如图5,在C点测出A点的仰角,向后退一段CD并测出CD,在D点测出A点的仰角,则=CD
AB= D
A
A A
D
B C D B C B C
图5 图6 图7
2.如图6,在C点测出点A的仰角,上升一段CD,并测出CD,在D点测出A点的仰角,则AB=
3.如图7,已知建筑物AB的高度,在C点测出A点的仰角,测出D点的仰角,则建筑物DA=
三.活动报告供参考如下:
活动报告 年 月 日
课题
测量示意图
测得数据 测量项目 第一次 第二次 平均值
计算过程
活动感受
负责人及参加人员
计算者及复核者
指导教师审核意见
备 注
四.应用举例
例:某中学初三年级开展数学实践活动,测量四川电视塔AB的高度,在它不远处的开阔地带C处测得电视塔顶点A的仰角为45°,然后向电视塔方向前进132米到达D处,在D测得A的仰角为60°,如图所示.求四川电视塔的高度约为多少 (计算结果保留1位小数,供选用的数据:)
解:由题意知,∠C=45°,∠ADB=60° A
=CD
AB=
=66(3+)312.2(米) C D B
即四川电视塔的高度约312.2米.
自我测评:
§1.5
1.小明想测量他学校旗杆的高度,已知测倾器AC的高度为1m,测点A到旗杆底部N的水平距离为17m,在测点A测得旗杆顶端的仰角为32°,如图所示.请根据这些数据帮小明求出旗杆MN的高度.
M
32°
E C
N A
2.小颖的学校操场的围墙外有一幢楼房,楼房的地面与学校操场的地面在同一平面内,她在学习《测量物体的高度》这节内容以后,想利用所学知识测量这幢楼房的高度.由于有围墙阻挡,故不能直接测得测点与楼房底部之间的距离,但她测得了如下数据(如图):在测点A测得楼房顶部M的仰角为30°;在测点B测得楼房顶部M的仰角为45°.两测点A、B之间的距离为20m,测倾器高AC=BD=1m,测点A、B及楼房底部N在同一直线上,你能根据这些测量数据帮小颖求出楼房MN的高度吗
M
E 45° D 30° C
N B A
3.如图,AC表示一幢楼,它的各楼层都可到达;BD表示一个建筑物,且不能到达.已知AC与BD地平高度相同,AC周围没有开阔地带,仅有的测量工具为皮只(可测量长度)和测角器(可测量仰角、俯角和两视线间的夹角).
(1)请你设计一个测量建筑物BD高度的方案,要求写出测量步骤和必要的测量数据(用字母表示),并画出测量示意图;
(2)写出计算BD高度的表达式; B
(3)写出一份活动报告.
A
C D
4.小明家有一棵上百年的榕树,从来没有人知道它究竟有多高,有一天小明拿着一把卷尺和一个测角仪,他测得榕树的底部A到地面一点B的距离为10m ,此时他想测量树的顶端C的仰角,但由于树冠太大见不到树顶;他想退后一点,但由于后面已被房屋的墙挡住,他只好选取树茎上一点D,然后测得点D的仰角为45°.做完这一切后,小明觉得要根据这些条件计算树的高度似乎还缺少什么条件,于是他爬上房顶,他在房顶上又退后5m,在点E处分别测得树的顶端C的仰角为60°,树茎上点D的仰角为30°,然后拿回家准备进行计算树高时,才想起忘记了测量房屋的高度.请同学们想一想:小明还需要去测量房屋的高度吗 如果不需要,请帮他算一算,这棵榕树高多少米
C
D
E F
B
A
5.如图,某人在C处由点D用测量仪测得大厦AB顶端A的仰角为26°,向大厦前进30m到达C处,由点D’测得A的仰角为43°.已知测量仪高CD=C’D’=1.3m,求大厦AB的高.(结果精确到0.01m)
A
D D’
C C’ B
单元测评(§1.4～§1.5)
一.填空题
1.在数学活动课上老师带领学生去测量河两岸A、B两处之间的距离,先从A处出发与AB成90°方向向前走了10米,到达C处,在C处测得∠ACB=60°,如图所示.那么A、B之间的距离约为_________米(结果精确到0.1)
2.若某人沿坡度=3:4的斜坡前进10m,则他所在位置比原来位置升高_________m.
3.如图,某飞机于空中A处探测到地面目标C,此时飞行高度AC=h米,从飞机上看到地面控制点B的俯角为,那么飞机A到控制点B的距离是_________米.
4.如图,防洪大堤的横断面是梯形,坝高AC等于6米,迎水坡AB的坡度=1:2,则斜坡AB的长为_________米(精确到0.1米)
5.一轮船以每小时20海里的速度沿正东方向航行,上午8时,该船在A测得某灯塔位于它的北偏东30°的B处,如图.上午9时行至C处,测得灯塔恰好在它的正北方向,此时它与灯塔的距离是_________海里(结果保留根号)
6.为了方便看电视和有利于彩电在使用中产生的热量的散发,将一台54英寸的大背投彩电放置在墙角,下图是它的俯视图.已知∠DAO=22°,彩电后背AD=110cm,平行于前沿BC,且与BC距离为60cm,则墙角O到前沿BC的距离是_________cm(精确到1m)
A
B
H A
=1:2 6m
60°
C A B C B C
第1题图 第3题图 第4题图
北 O
B A D
E F
30° B
A C 东 C
第5题图 第6题图
二.选择题
1.身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛,三人放出风筝线长、线与地面的交角如下表(假设风筝线是拉直的),则三人所放的风筝中( )
同 学 甲 乙 丙
放出风筝线长 100m 100m 90m
线与地面交角 40° 45° 60°
A.甲的最高 B.丙的最高 C.乙的最低 D.丙的最低
2.两条宽度都为1的纸条,交叉重叠放在一起,且它们的交角为,则它们重叠部分的面积为( )
A. B. C. D.
3.当∠A为锐角,且cosA的值大于时,∠A( )
A.小于30° B.大于30° C.小于60° D.大于60°
4.△ABC中,∠B、∠C均为锐角,sinB=cos(90°-∠C)=.那么此三角形是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
5.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=45°,∠C =120°,AB=8,则CD的长为( ) A D
A. B.4 C. D.4
B 45° 120°C
6.每周学校都要举行庄严的升国旗仪式,让我们体会到国旗的神圣,某同学产生了用所学知识测量旗杆高度的想法,在地面距杆脚5m的地方,他利用测倾器测得杆顶的仰角为,且tan=3,则旗杆高(不计测倾器的高度)为( )
A.10m B.12m C.15m D.20m
三.解答题
1.如图,甲建筑物上从A到E挂有一长为30m的宣传条幅,在乙建筑物的顶部D点测得A的仰角为45°,E的俯角为30°.求甲、乙两建筑物之间的水平距离BC(答案可带根号). A
45° D
30°
E
B C
2.如图,小明拿一把∠ACB=30°的小型直角三角尺ABC目测河流在市区河段的宽度,他先在岸边的点A顺着30°角的邻边AC的方向确定河对岸岸边的一棵树M,然后沿着30°角的对边AB的方向前进到B’,顺着斜边B’C’的方向看见M,并测得AB’=100m.那么他目测的宽大约为多少 (结果精确到1m)
M
C C’
A B A’ B’
3.在小山的东侧A处有一热气球沿着与竖直方向夹角为30°的方向向东飞行,每分钟飞行28m,半小时后到达C处,这时气球上的人发现,在A处的正西方向有一处着火点B,5分钟后,在D处测得着火点B的俯角是15°.求热气球升空点A与着火点B的距离(结果精确到1m).
15° D
C
30°
B A
小山
4.如图,△ABC是等腰三角形,∠ACB=90°,过BC中点D作DE⊥AB,垂足为E,连接CE,求sin∠ACE的值. C
D
A B
E
5.如图,MN表示某引水工程一段设计路线,从M到N的走向为南偏东30°,在M的南偏东60°的方向上有一点A,以A为圆心、500m为半径的圆形区域为居民区,取MN上另点B,测得BA的方向为南偏东75°.已知MB=400m,通过计算回答:如果不改变方向,输水路线是否会穿过居民区
北
M 东
B A
N
拓展探究:
某森林管理处雇佣两架农用直升飞机向森林喷洒药物,两飞机在同一地点出发,甲机沿北偏东45°方向以20km/h的速度飞行,乙机沿南偏东30°方向以20km/h的速度飞行,3h后,乙机发现有部分药品误放在甲机上,而此时,乙机只能沿北偏东15°的方向追赶甲机,乙机以怎样的速度飞行才能正好赶上甲机
由条件:a,∠B
由条件:
由条件: