一元二次方程的实根分布
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一元二次方程根的分布
表一：（两根与的大小比较）
分布情况 两根都小于即 两根都大于即 一个根小于，一个大于即
大致图象（）
得出的结论
表二：（根在区间上的分布）
分布情况 两根都在内 两根有且仅有一根在内 一根在内，另一根在内， 两根分别在区间外，即在区间两侧
大致图象（）
得出的结论
例1：对于关于x的方程求满足下列条件的m的取值范围
（1） 两个正根 （2）有两个负根
（3） 两个根都小于 （4） 两个根都大于
（5）一个根大于2，一个根小于2 （6） 两个根都在内
（7） 两个根有且仅有一个在内
（8）一个根在内，另一个根在内
（9） 一个正根，一个负根且正根绝对值较大
（10）一个根小于2，一个根大于4
总结：根的分布主要有两种题型：
（1）
（2）
不论哪种题型，最关键的地方在于数形结合
随堂练习：
1．关于x的方程x2+ax+a1=0，有异号的两个实根，求a的取值范围。
2．如果方程x2+2(a+3)x+(2a3)=0的两个实根中一根大于3,另一根小于3，求实数a的取值范围。
3．若方程8x2+(m+1)x+m7=0有两个负根，求实数m的取值范围。
4．关于x的方程x2ax+a24=0有两个正根，求实数a的取值范围。
5．设关于x的方程4x24(m+n)x+m2+n2=0有一个实根大于1，另一个实根小于1，则m,n必须满足什么关系。
6．关于x的方程2kx22x3k2=0有两个实根，一根大于1另一个实根小于1，求k的取值范围。
8．已知方程x2+ (a29)x+a25a+6=0的一根小于0，另一根大于2，求实数a的取值范围。
9．关于x的二次方程2x2+3x5m=0有两个小于1的实根，求实数 m的取值范围。
10．已知方程x2mx+4=0在1≤x≤1上有解，求实数m的取值范围。
一元二次方程根的分布检测题
一．选择题
1．方程的两个根都比2大，则的取值范围是 （ ）
A．， B．， C．， D．，，
2．方程至少有一个负的实根的充要条件是 （ ）
A． B． C． D．域
3．设是常数，若不等式的解集为，则不等式 的解集为 （ ）
A． B． C． D．
4．若二次函数在区间[－1，1]内至少存在一实数，使f(c)＞0，则实数p的取值范围 （ ）
A． B． C． D．
5．若满足不等式同时成立的x的值，使关于x的不等式也成立，则 （ ）
A． B． C． D．
6．若不等式(a－2)x2+2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是 （ ）A.(－∞，2 B.－2，2 C. (－2，2 D. (－∞，－2)
7．设二次函数f(x)=x2－x+a(a>0),若f(m)<0,则f(m－1)的值为 （ ）
A．正数 B．负数 C．非负数 D．正数、负数和零都有可能
二．填空题
8．己知关于x的方程(m+3)x 2－4mx +2m－1= 0 的两根异号，且负根的绝对值比正根大，那么实数m的取值范围是 .
9．对于满足0≤≤4的实数，使恒成立的的取值范围是 ．
10．方程的两根都大于2，则实数的范围是 ．
三．解答题
11．已知关于的不等式（对任意成立，求的取值范围。
12．定义在实数集上的单调函数满足f(3)=log23，且对于任意x,y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y) 。若对任意 x∈R恒成立，求实数k的取值范围。
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表一：（两根与的大小比较）
分布情况 两根都小于即 两根都大于即 一个根小于，一个大于即
大致图象（）
得出的结论
表二：（根在区间上的分布）
分布情况 两根都在内 两根有且仅有一根在内 一根在内，另一根在内， 两根分别在区间外，即在区间两侧
大致图象（）
得出的结论
例1：对于关于x的方程求满足下列条件的m的取值范围
（1） 两个正根 （2）有两个负根
（3） 两个根都小于 （4） 两个根都大于
（5）一个根大于2，一个根小于2 （6） 两个根都在内
（7） 两个根有且仅有一个在内
（8）一个根在内，另一个根在内
（9） 一个正根，一个负根且正根绝对值较大
（10）一个根小于2，一个根大于4
总结：根的分布主要有两种题型：
（1）
（2）
不论哪种题型，最关键的地方在于数形结合
随堂练习：
1．关于x的方程x2+ax+a1=0，有异号的两个实根，求a的取值范围。
2．如果方程x2+2(a+3)x+(2a3)=0的两个实根中一根大于3,另一根小于3，求实数a的取值范围。
3．若方程8x2+(m+1)x+m7=0有两个负根，求实数m的取值范围。
4．关于x的方程x2ax+a24=0有两个正根，求实数a的取值范围。
5．设关于x的方程4x24(m+n)x+m2+n2=0有一个实根大于1，另一个实根小于1，则m,n必须满足什么关系。
6．关于x的方程2kx22x3k2=0有两个实根，一根大于1另一个实根小于1，求k的取值范围。
8．已知方程x2+ (a29)x+a25a+6=0的一根小于0，另一根大于2，求实数a的取值范围。
9．关于x的二次方程2x2+3x5m=0有两个小于1的实根，求实数 m的取值范围。
10．已知方程x2mx+4=0在1≤x≤1上有解，求实数m的取值范围。
一元二次方程根的分布检测题
一．选择题
1．方程的两个根都比2大，则的取值范围是 （ ）
A．， B．， C．， D．，，
2．方程至少有一个负的实根的充要条件是 （ ）
A． B． C． D．域
3．设是常数，若不等式的解集为，则不等式 的解集为 （ ）
A． B． C． D．
4．若二次函数在区间[－1，1]内至少存在一实数，使f(c)＞0，则实数p的取值范围 （ ）
A． B． C． D．
5．若满足不等式同时成立的x的值，使关于x的不等式也成立，则 （ ）
A． B． C． D．
6．若不等式(a－2)x2+2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是 （ ）A.(－∞，2 B.－2，2 C. (－2，2 D. (－∞，－2)
7．设二次函数f(x)=x2－x+a(a>0),若f(m)<0,则f(m－1)的值为 （ ）
A．正数 B．负数 C．非负数 D．正数、负数和零都有可能
二．填空题
8．己知关于x的方程(m+3)x 2－4mx +2m－1= 0 的两根异号，且负根的绝对值比正根大，那么实数m的取值范围是 .
9．对于满足0≤≤4的实数，使恒成立的的取值范围是 ．
10．方程的两根都大于2，则实数的范围是 ．
三．解答题
11．已知关于的不等式（对任意成立，求的取值范围。
12．定义在实数集上的单调函数满足f(3)=log23，且对于任意x,y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y) 。若对任意 x∈R恒成立，求实数k的取值范围。
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