正切函数化简求值的几个口诀
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正切函数化简求值的几个口诀
曲靖市第二中学 陈世忠
在大量的数学解题实践中，人们往往会总结出一些解题策略，再用一些简单的通俗的语言表述出来，我们称之为“解题口诀”．在三角函数中同样存在一些“口诀”，掌握它们，在解题过程中就能有“法”可依，少走弯路．本文结合实例介绍与正切函数化简和求值有关的一些“口诀”，仅供参考．
1、 切化弦
有切有弦，切化弦，即三角函数运算过程中，若一个式子中既含有弦函数（正弦、余弦），又含有切函数（正切），往往处理的办法是利用公式化切为弦，变为仅含有正弦、余弦的三角式求解．
【例1】的值是 ．
【解析】 注意到“有切有弦”和“”，利用“切化弦”解题．
【练习】= ．
2、 齐次化切
“切化弦”是三角变换中“化复杂为简单”的一种典型技巧．而“弦化切”给人感觉是越化越繁，故很少用．其实不然，在解决关于正余弦的齐次问题时，“（弦）齐次化切”是解决此类题的常用方法，它特点是将函数名称“化多为少”，下面举例说明．
【例2】已知，求的值．
【解析】 注意到分式的分子、分母是关于正余弦的齐次式，可利用“齐次化切”解题．
．
【变式】（2009陕西—理5）若，则 的值为 （ ）
A． B． C． D． w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
3、 心有灵犀“1”点通
【例3】 求的值．
【解析】 注意到“1”就是“”，又注意到与正切和角公式很接近，心有灵犀“1”点通，茅塞顿开．
．
【练习】 ．
【拓展】已知tan＝，求sin2－2cos2＋sincos的值．
【解析】sin2－2cos2＋sincos＝
＝＝－1．
4、 正切和差朝积化
【例4】(1996全国) 的值是 ．
【解析】 此题仅含有正切函数，若“切化弦”，则问题反而变复杂．注意到“，”两角正切的和与积，联想两角和正切公式，就能化难为易．
∵
∴
∴
【练习】的值是 ．
5、 余弦和差得切积
【例5】 （2007江苏—理11）已知，，求的值．
【解析】注意到，“，”是两角和与差的余弦公式里面的东西，问题迎刃而解．
∵
∴…………………………………………………①
∵
∴…………………………………………………②
①与②联立解得，
，，
∴．
【拓展】 (1990全国—理22)已知，则的值是 ．
6、 缩角一绝技
【例6】 已知方程的两个实数根是，且，则等于（ ）
A． B． C．或 D．
【解析】是方程的两个实数根，
又，
所以，
从而，
又，
7、 巧凑角妙解题
【例7】已知，，则的值是 （ ）
A． B． C． D．
【解析】 注意到已知“，”，求“”，怎样把未知“”朝已知“，”化呢？ 于是问题得解．
．
【名题欣赏】（2008江苏15）如图，在平面直角坐标系xoy中，以ox轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
【解析】本题考查三角函数的基本概念、三角函数的基本关系式、两角和的正切、二倍角的正切公式，考查运算求解能力．
由三角函数的定义，得
，
∴、为锐角，
∴ ．
（Ⅰ）．
（Ⅱ），
∴ ，
∵ 、为锐角，
∴ ，
∴ ．
8、 （求角）有切有弦用正切
【例8】 若Ａ、B均为锐角，且，求A+2B的值．
【解析】 ∵ 且B为锐角，
∴ ，
∴
∴
∴
又∵，
∴，
∴，
∴A+2B=．
【误点警示】在已知值求角中，角的范围常常被忽略或不能发现隐含的角的大小关系而出现增根不能排除．要避免上述情况的发生，考生应合理选择三角函数形式进行求解，根据计算结果，估算出角的较精确的取值范围，并不断缩小角的范围，在选择三角函数公式时，一般已知正切函数值，选正切函数，已知正余弦函数值时，若角在时，一般选余弦函数，若是，则一般选正弦函数；其次要注意应用整体代换（尽可能不去破坏条件的整体结构，即要把所求式子适当变形，能使条件整体代入，避免多重运算导致错误），常见的代换还有常值代换（特别是 “１”的代换）．
绝对值较大的加数为 “-”
两数“同号”
因为tan(α+β)=,所以.又因为，所以，解得,因为,所以,从而.
已知三角函数值求角，上半平面用正弦，右半平面用余弦，有切有弦用正切．
拨
关于正切函数的整式化简中，如果式子中同有两角正切的和（差）与积，联想两角和（差）正切公式解题，能化难为易．
………………………………………………注意上面的解题模式
拨
点
巧
技
注意到“sin2－2cos2＋sincos”，又注意到分母
“1” 可变为“”，豁然开朗．巧用了“1”的变换，构造齐次
分式，由齐次化切求解，增强了解题的技巧性，开拓了思维，灵活解题培养了思维的敏捷性．
拨
“齐次化切”：即“已知tan，关于sin与cos的齐次式的求值题”，其简捷解法是化为分式，同除以cosn，即转化为关于tan的式子，再求值．
拨
点
巧
技
点
巧
技
点
巧
技
x
y
O
A
B
曲靖市第二中学 陈世忠
在大量的数学解题实践中，人们往往会总结出一些解题策略，再用一些简单的通俗的语言表述出来，我们称之为“解题口诀”．在三角函数中同样存在一些“口诀”，掌握它们，在解题过程中就能有“法”可依，少走弯路．本文结合实例介绍与正切函数化简和求值有关的一些“口诀”，仅供参考．
1、 切化弦
有切有弦，切化弦，即三角函数运算过程中，若一个式子中既含有弦函数（正弦、余弦），又含有切函数（正切），往往处理的办法是利用公式化切为弦，变为仅含有正弦、余弦的三角式求解．
【例1】的值是 ．
【解析】 注意到“有切有弦”和“”，利用“切化弦”解题．
【练习】= ．
2、 齐次化切
“切化弦”是三角变换中“化复杂为简单”的一种典型技巧．而“弦化切”给人感觉是越化越繁，故很少用．其实不然，在解决关于正余弦的齐次问题时，“（弦）齐次化切”是解决此类题的常用方法，它特点是将函数名称“化多为少”，下面举例说明．
【例2】已知，求的值．
【解析】 注意到分式的分子、分母是关于正余弦的齐次式，可利用“齐次化切”解题．
．
【变式】（2009陕西—理5）若，则 的值为 （ ）
A． B． C． D． w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
3、 心有灵犀“1”点通
【例3】 求的值．
【解析】 注意到“1”就是“”，又注意到与正切和角公式很接近，心有灵犀“1”点通，茅塞顿开．
．
【练习】 ．
【拓展】已知tan＝，求sin2－2cos2＋sincos的值．
【解析】sin2－2cos2＋sincos＝
＝＝－1．
4、 正切和差朝积化
【例4】(1996全国) 的值是 ．
【解析】 此题仅含有正切函数，若“切化弦”，则问题反而变复杂．注意到“，”两角正切的和与积，联想两角和正切公式，就能化难为易．
∵
∴
∴
【练习】的值是 ．
5、 余弦和差得切积
【例5】 （2007江苏—理11）已知，，求的值．
【解析】注意到，“，”是两角和与差的余弦公式里面的东西，问题迎刃而解．
∵
∴…………………………………………………①
∵
∴…………………………………………………②
①与②联立解得，
，，
∴．
【拓展】 (1990全国—理22)已知，则的值是 ．
6、 缩角一绝技
【例6】 已知方程的两个实数根是，且，则等于（ ）
A． B． C．或 D．
【解析】是方程的两个实数根，
又，
所以，
从而，
又，
7、 巧凑角妙解题
【例7】已知，，则的值是 （ ）
A． B． C． D．
【解析】 注意到已知“，”，求“”，怎样把未知“”朝已知“，”化呢？ 于是问题得解．
．
【名题欣赏】（2008江苏15）如图，在平面直角坐标系xoy中，以ox轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
【解析】本题考查三角函数的基本概念、三角函数的基本关系式、两角和的正切、二倍角的正切公式，考查运算求解能力．
由三角函数的定义，得
，
∴、为锐角，
∴ ．
（Ⅰ）．
（Ⅱ），
∴ ，
∵ 、为锐角，
∴ ，
∴ ．
8、 （求角）有切有弦用正切
【例8】 若Ａ、B均为锐角，且，求A+2B的值．
【解析】 ∵ 且B为锐角，
∴ ，
∴
∴
∴
又∵，
∴，
∴，
∴A+2B=．
【误点警示】在已知值求角中，角的范围常常被忽略或不能发现隐含的角的大小关系而出现增根不能排除．要避免上述情况的发生，考生应合理选择三角函数形式进行求解，根据计算结果，估算出角的较精确的取值范围，并不断缩小角的范围，在选择三角函数公式时，一般已知正切函数值，选正切函数，已知正余弦函数值时，若角在时，一般选余弦函数，若是，则一般选正弦函数；其次要注意应用整体代换（尽可能不去破坏条件的整体结构，即要把所求式子适当变形，能使条件整体代入，避免多重运算导致错误），常见的代换还有常值代换（特别是 “１”的代换）．
绝对值较大的加数为 “-”
两数“同号”
因为tan(α+β)=,所以.又因为，所以，解得,因为,所以,从而.
已知三角函数值求角，上半平面用正弦，右半平面用余弦，有切有弦用正切．
拨
关于正切函数的整式化简中，如果式子中同有两角正切的和（差）与积，联想两角和（差）正切公式解题，能化难为易．
………………………………………………注意上面的解题模式
拨
点
巧
技
注意到“sin2－2cos2＋sincos”，又注意到分母
“1” 可变为“”，豁然开朗．巧用了“1”的变换，构造齐次
分式，由齐次化切求解，增强了解题的技巧性，开拓了思维，灵活解题培养了思维的敏捷性．
拨
“齐次化切”：即“已知tan，关于sin与cos的齐次式的求值题”，其简捷解法是化为分式，同除以cosn，即转化为关于tan的式子，再求值．
拨
点
巧
技
点
巧
技
点
巧
技
x
y
O
A
B