4.1圆的对称性(1)教学案

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九年级数学4.1圆的对称性(1)教学案
学习目标：1、会利用圆的轴对称性探究垂径定理、证明垂径定理；
2、能利用垂径定理进行相关的计算和证明；
3、掌握垂径定理的推论。
学习重点：垂径定理的证明与简单应用；
学习难点：垂径定理的证明及其简单应用。
学习过程：
一、复习提问：
1、什么是轴对称图形？我们在直线形中学过哪些轴对称图形？
2、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？
二、探索新知
1、操作、探索
拿出事先准备好的透明的纸片，在上面画一个圆O，再任意画一条非直径的弦CD，作一直径AB与CD垂直，交点为P（如图1）。沿着直径将圆对折（如图2），你有什么发现？
垂径定理：_________________________________
___________________________________________.
命题的题设与结论为：
题设：___________________________________
结论:_____________________________________.
数学表达式表示为：
_______________________________________________________
讨论: 如图,在下列五个条件中:
1 CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④AC=BC, ⑤AD=BD.
如果具备其中两个条件,能否推出其余三个结论成立？
推论:
(1)__________________________________________________________.
(2)__________________________________________________________.
(3)__________________________________________________________.
说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备：
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦（4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论。
2．练习
判断对错：
（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧……………( )
（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心……( )
（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分………………( )
（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧………( )
（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分 ………………………( )
三、例题讲解
例1 、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，
圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。
例2 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，
大圆的弦AB交小圆于C，D两点。
求证：AC＝BD。
例3 已知：⊙O中弦AB∥CD。
求证：AC＝BD
思考：若两条弦在圆心的两侧,是否还有AC＝BD
得垂径定理的推论_________________________________________.
小结: 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
四、巩固练习
1.已知：如图①,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,直径MN⊥AB,垂足为E,
交弦CD于点F.
图中相等的线段有：______________________________;
图中相等的劣弧有:_________________________________________.
2.已知：如图②,AB是⊙O直径，CD是弦，AE⊥CD，BF⊥CD.
求证：EC＝DF
3、已知：如图③，⊙O 中， AB为 弦，C 为 AB 的中点，OC
交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.
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五、归纳与小结：谈谈你的收获与感受。
六、作业：见作业纸
内容：4.1 圆的对称性(1) 班级 姓名 日期 月 日
1．如图①，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，已知AB=4，CD=2，AB的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为（ ）
A．3：2 B．：2 C．： D．5：4
① ② ③ ④
2．如图②，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中错误的是（ ）
A．∠COE=∠DOE B．CE=DE C．AE=BE D．
3．如图③，EF是⊙O的直径，OE=5，弦MN=8，则E、F两点到直线MN的距离之和（ ）
A．3 B．6 C．8 D．12
4．“圆材埋壁”是我国古代著名数学家著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？” 此问题的实质是解决下面的问题：“如图④，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1，AB=10，求CD的长．”根据题意可得CD的长为________．
5.如图，OA=OB，AB交⊙O与点C、D，AC与BD是否相等？为什么？
6.如图，⊙O的直径是10，弦AB的长为8，P是AB上的一个动点，求OP的取值范围。
7.在直径为650mm的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度。
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图2
图1
●O
A
B
C
D
M└
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A
B
O
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A
C
D
B
O
.
C
D
A
B
O
●O
A
B
C
D
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A
O
B
E
C
D
F
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