九年级 数学（下） §2.1二次函数所描述的关系
主备人：许俊丽 参与人：冷慧 安建敏 赵丽英
【学习目标】1．探索并归纳二次函数的定义． 2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．
【重点】二次函数的概念
【难点】经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程
【学习过程】第一环节 课前准备
1. 函数的定义是
表示方法有：
2.我们学过 函数，它们的一般形式分别是：
第二环节 创设问题情境，引入新课
某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．
(1)问题中的变量是 ，其中 是自变量， 是因变量。
(2)设果园增种x棵橙子树，则果园共有 棵橙子树，这时平均每棵树结 个橙子。
(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式
（4）判断一下上式中的y是否是x的函数？ ，若是函数，与原来学过的函数相同吗？
第三环节 想一想
活动内容：如果你是果园的负责人，你最关心的问题是什么
你能根据表格中的数据作出猜测吗？种 棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多。
第四环节 做一做
1、本金是存入银行时的资金，利息是银行根据利率和存的时间付给的“报酬”，
2、本息和就是 ．利息＝ × × ．
3、设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转如果存款额是100元，一年后的本息和 (不考虑利息税)，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)． 。在这个关系式中，y是x的函数吗？
第五环节 归纳总结
一般地，形如 的函数叫做x的二次函数(quadratic function)．
思考：1、上述概念中的a的条件是 ，为什么？
2、对于二次函数y=ax +bx+c中的b和c可否为0？若b和c各自为0或均为0，上述函数的式子可以改写成怎样？你认为它们还是不是二次函数？
3、由问题1和2，你能否总结：一个函数是否是二次函数，关键看什么？
例1．下列函数中， 是二次函数。（填序号）
（1）y=3(x-1) +1 (2) (3) s=3-2t (4) y=1/x -x (5) v= r
例2、用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m )与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？
第六环节 课堂反馈
①.下列函数中, 是二次函数。
(1）v=10πr (3) s=3-2t (5)y=(x+3) -x (6) y=3(x-1) +1;
②.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m )与矩形一边长a(m)之间的关系式是什么？它是什么函数？
③.如果函数y= +kx+1是二次函数,则k的值一定是______
④.如果函数y=(k-3) +kx+1是二次函数,则k的值一定是______
⑤圆的半径是4cm,假设半径增加xcm时,圆的面积增加ycm .
（1）写出y与x之间的函数关系表达式；
（2）当圆的半径分别增加1cm, 2cm时,圆的面积增加多少？
第七环节 布置作业
必做题： 课本P39-40习题2.1第1、2题； 选做题：同步训练
6
X/棵
1
2
3
4
5
7
8
9
10
11
12
13
14
Y/个九年级 数学（下） §2.5 用三种方法表示二次函数
主备人：安建敏 参与人： 赵丽英 许俊丽 冷慧
【学习目标】会运用解析式、列表、画图象三种方法表示二次函数及它们的优缺点；能够从不同的侧面对函数性质进行研究。
【重点】三种方法表示二次函数的优缺点；
【难点】三种方法表示二次函数的优缺点；
【学习过程】第一环节 温故知新
二次函数y=ax +bx+c图像的顶点坐标 ，对称轴 。
第二环节 解决问题
1．问题一：已知矩形周长20cm,并设它的一边长为xcm,面积为ycm2. y随x的而变化的规律是什么？，
（1）用函数表达式表示 ； （3）用图象表示：
（2）用表格表示：
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10-x
Y
（4）自变量x的取值范围是 ；
（5）当x= ,长方形的面积最大。它的最大面积是 。
（6）如何描述y随x的变化而变化的情况
2、 两个数相差2,设其中较大的一个数为x,那么它们的积y是如何随x的变化而变化的
（1）用函数表达式表示 ； （3）用图象表示：
（2）用表格表示：
X
x-2
Y
（4）自变量x的取值范围是 ；
（5）图象的对称轴是 ，顶点坐标是
（6）如何描述y随x的变化而变化的情况
（7）你是分别通过哪种表示方式回答上面三个问题的？
第二环节 课堂小结
1．二次函数的三种表示方式各有什么特点 它们之间有什么联系 与同伴进行交流.
优点 缺点
表达式
表格
图象
关系
第三环节 课堂反馈
两个数的和为6，这两个数的积最大可以达到多少？利用图像描述成绩与因数之间的关系。
第四环节 课堂小结 本节课你的收获是什么？ 还有那些困惑？
第五环节 布置作业 必做 P63 习题2.6 2、3题 选做：同步训练
x
x九年级 数学（下） §2.2 结识抛物线
主备人：许俊丽 参与人：冷慧 安建敏 赵丽英
【学习目标】1．能利用描点法作出函数y=x2的图象，能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质．
2．猜想并能作出y=-x2的图象，能比较它与y=x2的图象的异同．
【重点】作出函数y＝±x2的图象，并根据图象认识和理解二次函数y＝±x2的性质。
【难点】由y=x2的图象及性质对比地学习y＝-x2的图象及性质，并能比较出它们的异同点。
【学习过程】第一环节 温故知新
(1)二次函数的概念：
（2）画函数的图象的主要步骤：
第二环节 探究二次函数y＝x2的图象和性质
1.用描点法画二次函数y=x2的图象。
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y …
2.观察图象，思考下列问题：
(1)你能描述图象的形状吗
(2)图象是轴对称图形吗？
(3)图象 与x轴有交点吗？ 。
(4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何
变化？ ，当x>0时，y随着x
的值增大而
(5)当x取 值时,y的值最小 最小值是
第三环节 探究二次函数y＝- x2的图象和性质
X
Y
1. 二次函数y=－x2的图象是什么形状？
先想一想，然后作出它的图象。
2.它与二次函数y=x2的图象有什么关系？ 3.二次函数y=－x2的图象有哪些性质？
抛物线 y＝x2 y＝- x2
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
4．填表：
第四环节 课堂反馈
正方形的边长为a,面积为S, （1）写出y与x之间的函数关系表达式
（2）当圆的半径分别增加1cm, 2cm时,圆的面积分别增加多少？
（3）试作出S随a的变化而变化的图象.
第五环节 课堂小结 本节课你的收获是什么？ 还有那些困惑？
延伸拓展：已知点A(1，a)在抛物线y=x2 上。（1）求A的坐标；
（2）在x 轴上是否存在点P，使得△OAP是等腰三角形？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。
第六环节 布置作业 必做 P44 习题2.2 1,2题 选做：同步训练
A
x
y
o
o
x
y九年级 数学（下） §2.4。1二次函数y=ax2+bx+c的图象（一）
主备人：冷慧 参与人：安建敏 赵丽英 许俊丽
【学习目标】1．能作出y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象，并能理解它与y=ax2的图象的关系，理解a、h和k对二次函数图像的影响。 2．能说出y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
【重点】y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象的关系，y=a(x-h)2+k的图象性质
【难点】理解y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2的图象的关系，理解a、h和k对二次函数图像的影响。
【学习过程】第一环节 温故而知新
二次函数和的图象性质？与对二次函数图象的影响？
第二环节 做一做
1．完成下表。
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
3x2
2．在坐标系中作出二次函数 y=3x2．它的对称轴是 ，顶点坐标是 。
3．在坐标系中作出二次函数y=3(x-1)2，对称轴是 ，顶点坐标是 。函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系
4．猜想：在同一坐标系中二次函数y=3(x+1)2图象的位置和形状？
5.在上面的坐标系中作出二次函数y=3(x+1)2的图象，对称轴是 ，顶点坐标是 。
6.请总结二次函数y=a(x-h)2 与y=ax2的图象关系.
7. 在上面的坐标系中作出二次函数 y=3(x-1)2+2的图象。对称轴 ，顶点坐标是 。
第三环节 归纳总结
抛物线 y=a(x-h)2＋k (a>0) y=a(x-h)2＋k (a＜0)
顶点坐标
对称轴
开口方向
最值
第四环节 课堂反馈
1．填表
开口方向
对称轴
顶点坐标
2．由二次函数y=-3x2的图象怎样移动得到二次函数y=-3(x-2)2+4的图象 ？
第五环节 课堂小结 本节课你的收获是什么？ 还有那些困惑？
第六环节 布置作业
必做题： 课本P53-54习题2.4第1、2、3题； 选做题：同步训练
x
y
x九年级 数学（下） § 2.4。2二次函数y=ax +bx+c的图象（二）
主备人：冷慧 参与人：安建敏 许俊丽 赵丽英
【学习目标】推导二次函数的对称轴和顶点坐标公式；
能利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式，解决一些问题。
【重点】推导二次函数的对称轴和顶点坐标公式，并利用此解决一些问题。
【难点】用配方法推导的对称轴和顶点坐标公式
【学习过程】第一环节 温故知新
1、 说出y=a(x-h)2+k中，a、h、k对图像的影响。
2、 y=a(x-h)2+k的对称轴 ，顶点坐标 。
第二环节 引入
1．提供素材：北京时间2007年6月1日零时零八分，中国在西昌卫星发射中心用“长征三号甲”运载火箭成功发射“鑫诺三号”通信卫星，这是中国“长征”系列运载火箭的第一百次飞行。中国“长征”系列运载火箭已完成一百次航天发射，其发射记录由两位数步入三位数，中国也成为继美、俄、欧之后世界上第四个主力品牌火箭执行航天发射达到百次的国家。
2．提出问题：当一枚火箭被竖直向上发射时,它的高度 h (m) 与时间 t (s) 的关系可以用公式 h = - 5 t + 150 t +10 表示,经过多长时间,火箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？
点拨：如能把它化成y=a(x-h)2+k的形式，则可以很快知道它的顶点坐标、对称轴,
3．为了解决这个实际问题，从一个具体的数学问题出发，要求学生求y=3x2-6x + 5的顶点坐标、对称轴等。
第三环节 做一做
1、把二次函数y=ax +bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式，写出它的顶点坐标、对称轴
2、写出它们的顶点坐标、对称轴
第三环节 链接生活， 解决实际问题：
两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y=0.0225x +0.9x+10表示,而且左右两条抛物线关手y轴对称．
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是少？
⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？
⑶你知道图中右面钢缆的表达式是什么吗
第四环节 课堂反馈
1、写出二次函数的顶点坐标、对称轴
2、它的高度 h (m) 与时间 t (s) 的关系可以用公式 h = - 5 t + 150 t +10 表示,经过多长时间,火箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？
第五环节 课堂小结 本节课你的收获是什么？ 还有那些困惑？
第六环节 布置作业 必做 P60 习题2.5 1、3题 选做：同步训练九年级 数学（下） §2.6 何时获得最大利润
主备人：许俊丽 参与人：冷慧 安建敏 赵丽英
【学习目标】 能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值，发展解决问题的能力。
【重点】【难点】能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值
【学习过程】第一环节 温故而知新
1．二次函数y＝ax2+bx+c的顶点坐标 。
2.二次函数y＝ax2+bx+c，若a>0，当x= 时，y有最 值，y= 。
若a<0，当x= 时，y有最 值，y= 。
3．利润= － 进价， 总利润= ×销售量
第二环节 做一做
某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是2.5元。根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.5元时，销售量是500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件。请你帮助分析，销售单价是多少时，可以获利最多
设销售单价为x(x≤13.5)元，那么
(1)销售量可以表示为 ；
(2)每件的利润可以表示为 ；
(3)所获总利润可以表示为 ；
(4)当销售单价是多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
第三环节 想一想 练一练
1．本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题，我们得到了表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的函数关系是：二次函数表达式y＝(600-5x)(100+x)＝-5x2+100x+60000。
2．画出二次函数的图象，并根据图象回答问题。
X/棵
Y/元
(1) 增种 棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上。
(2)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系。
第四环节 课堂反馈
1.已知 二次函数y＝x2-6x+c的最小值为1，则c= 。
2.某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件。根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件。如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润？
第五环节 课堂小结 本节课你的收获是什么？ 还有那些困惑？
第六环节 布置作业
必做题： 课本P66习题2.7第1、2、3题； 选做题：同步训练
x
x九年级 数学（下） §2.8二次函数与一元二次方程（一）
主备人：赵丽英 参与人：许俊丽 冷慧 安建敏
【学习目标】理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。
【重点】【难点】理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。
【学习过程】第一环节 课前热身、耐心填一填
1．抛物线y = x2+2x- 4的对称轴是_______, 顶点坐标是___________.最 值为
2. .抛物线y=2(x-2)(x-3) 与x轴的交点为________ _______,与y轴的交点为_______.
第二环节 用心想一想，马到功成
1．我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=－5t2+v0t+h0表示, 其中h0(m) 是抛出时的高度, v0(m/s)是抛出时的速度. 一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t (s)的关系如图所示,那么(1) h和t的关系式是 ,（2）小球经过 秒后落地.
y=x2+2x y=x2-2x+1 y=x2-2x+2
与x 轴交点坐标
草图
2.
3.一元二次方程ax2+bx+c=0的根与二次函数y=ax2+bx+c图象和x轴交点关系。
根的判别式Δ=b2-4ac ax2+bx+c=0根的情况 图象和x轴交点
有两个交点
有一个交点
没有交点 没有实数根
b2-4ac > 0
b2-4ac = 0
b2-4ac < 0
第三环节 放开手脚，做一做
已知二次函数y=kx2－7x－7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是什么
第四环节 课堂反馈
1．抛物线y=-3（x－2）（x＋5）与x轴的交点坐标为 _______
2．抛物线y=x2－2x＋3与两坐标轴交点的个数为 个．
3．抛物线y=2x2＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m= ____________
4．二次函数y=kx2＋3x－4的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围 ．
5．若a＞0，b＞0，c＞0，△＞0，那么抛物线y=ax2＋bx＋c 不经过 象限．
第五环节 课堂小结 本节课你的收获是什么？还有那些困惑？
第六环节 教材题变形，拓展延伸
一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）可以用公式h=－4.9t2＋19.6t 来表示．其中t（s）表示足球被踢出后经过的时间．
（1）当t=1时，足球的高度是 ，
（2）t为何值时，h最大？
（3）经过多长时间球落地？
（4）方程－4.9t2＋19.6t =0的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗
（5）方程14.7=－4.9t2＋19.6t 的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗
第七环节 布置作业 1.必做：课本72页习题2.9 1，2 ，3 选做：同步训练
x
x
x九年级 数学（下） §2.8。2二次函数与一元二次方程（二）
主备人：赵丽英 参与人：许俊丽 冷慧 安建敏
【学习目标】1．巩固理解二次函数图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根；
2．巩固理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标．
【重点】【难点】理解二次函数图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根；巩固理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标．
【学习过程】第一环节 课前热身、耐心填一填
1.
在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y（m）与飞行时间x（s）的关系满足y=－x2＋10x．（1）经过_____时间，炮弹达到它的最高点。最高点的高度是_____。（2）经过_____秒，炮弹落在地上爆炸。
2.一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函数y=ax2+bx+c的图象抛物线与直线________交点的________坐标。
3.一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c的图象抛物线与直线_________交点的_________坐标
4. 抛物线y=ax2＋bx＋c经过点（0，0）与（12，0），最高点纵坐标是3，求这条抛物线的表达式___________________ .
第二环节 用心想一想，马到功成
你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根吗？
第三环节 教材题变形，拓展延伸
利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.
第四环节 大胆尝试、练一练
1.若无论x取何实数，二次函数y=ax2+bx+c的值总为负，那么a、c应满足的条件是（ ）
A.a>0且b2-4ac≥0 B.a>0且b2-4ac>0
C.a<0且b2-4ac<0 D.a <0且b2-4ac ≤0
2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，请根据图象判断下列
各式的符号：a 0 ,b 0,c 0 , 0 , a-b+c 0,a+b+c 0
3.函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）
4.已知二次函数y=ax2+bx+c中a>0,b<0,c<0,请画一个能反映这样特征的二次函数草图.
第五环节 课堂小结 本节课你的收获是什么？ 还有那些困惑？
第六环节 布置作业 必做 P78 习题2.10 2题 选做：同步训练
1
-1
x
-1九年级 数学（下） §2.3 刹车距离与二次函数
主备人：冷慧 参与人：安建敏 赵丽英 许俊丽
【学习目标】1.能作出二次函数和的图象，并能够比较它们与二次函数的图象的异同，理解与对二次函数图象的影响。
2.能说出二次函数和图象的开口方向、对称轴、顶点坐标。
【重点】和图象的作法和性质
【难点】能比较、和的图象的异同，理解与对二次函数图象的影响。
【学习过程】第一环节 温故知新
1.二次函数y＝x2与y=-x2的图象一样吗？
2.二次函数只有y＝x2与y＝-x2这两种吗
第二环节 探究二次函数的图象
1. 给出s＝v2的图象，在同一直角坐标系内作出函数s=v2的图象；
S
s=v2
2. 比较s=v2和s＝v2的图象相同点与不同点：
3．作y=2x2的图象．
x … －3 －2 -1 0 1 2 33 …
y=2x2 … …
4．二次函数y＝2x2的图象形状是 ，它的开口
方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是
5．它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同
6.思考二次函数的系数对图象的影响
7.想一想,在同一坐标系中作二次函数y＝ - x2与y＝ - 2x2的图象,会是什么样
第三环节 议一议
1. 在同一直角坐标系内作出函数y＝2x2与y＝2x2+1的图象。
x … －3 －2 -1 0 1 2 33 …
y＝2x2+1 … …
2. 比较它们的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标。
3. 如果加2呢？减1呢？
4.
5.你有何发现？
第四环节 课堂小结
本节课你的收获是什么？还有那些困惑？
第五环节 课堂反馈
1、抛物线y＝-x2，y＝-3x2的开口大小由二次项系数决定，抛物线 的开口最小．
2、把抛物线y＝x2沿y轴向 平移 个单位就可得到抛物线y＝x2 —2；把抛物线y＝－x2沿y轴向 平移 个单位就可得到抛物线y＝－x2+3．
3、抛物线y＝－x2＋2的顶点坐标是 ，对称轴是 ，开口向 ；
第六环节 布置作业 1.必做：课本49页习题2.3 1，2 选做：同步训练九年级 数学（下） §2.7 面积最大是多少
主备人：安建敏 参与人：赵丽英 许俊丽 冷慧
【学习目标】能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．
【重点】经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值．
【难点】能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题．
【学习过程】第一环节 创设问题情境，引入新课
1．如下图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上．
(1)设长方形的一边AB＝x m，那么AD边的长度如何表示？
(2)设长方形的面积为y m2，当x取何值时，y的值最大？
最大值是多少？
第二环节 课堂练习
2．将问题一变式：“设AD边的长为x m，那么AB边的长度如何表示？设长方形的面积为y m2，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
第三环节 课堂反馈
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上.(1)设矩形的一边BC=xm,则AB的长度
(2)设矩形的面积为y,当x取何值时,y的最大值？
最大值是多少
第四环节 课堂小结
本节课你的收获是什么？ 还有那些困惑？
第五环节 延伸拓展
某建筑物的窗户如下图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m．当x等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)？此时，窗户的面积是多少？
第六环节 布置作业
必做题： 课本P68-69习题2.8第1、2、4题； 选做题：同步训练
x
