1.4 正余弦函数的图像和性质(学案)

曲靖市第二中学 第一章 三角函数 2010级高一数学备课组
1.4 正余弦函数的图像和性质
一、导学目标
1．理解并掌握利用单位圆作正弦函数和余弦函数图象的方法；
2．理解并熟练掌握用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图的方法，并利用图象解决一些有关问题；
3．掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周期；
4．掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正、余弦函数的单调区间．
二、尝试练习
（一）知识探究
1．用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象
（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．
① 函数y=sinx的图象
第一步：在直角坐标系的轴上任取一点，以为圆心作单位圆，从这个圆与轴的交点A起把圆分成n(这里n=12)等份.把轴上从到这一段分成(这里)等份.
第二步：在单位圆中画出对应于角，，,…，的正弦线（等价于“列表” ）.把角的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与轴上相应的点重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）.
第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象．
根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着轴向右、向左连续地平行移动（每次移动个单位长度），就得到y=sinx，x∈R的图象.
把角的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与轴上相应的点重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx的图象.
② 余弦函数y=cosx的图象
探究1：你能根据诱导公式，以正弦函数的图象为基础，通过适当的图像变换得到余弦函数的图象？
根据诱导公式,可以把正弦函数y=sinx的图象向左平移个单位长度即得余弦函数y=cosx的图象.
③ 正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．
2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：
探究2：作正弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？
正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)， (,1)， (,0) ，(,-1)， (2,0)
探究3：
① y=cosx，xR与函数y=sin(x+) ，xR的图象相同；
② 将y=sinx的图象向左平移即得y=cosx的图象；
③ 也同样可用五点法作余弦曲线：
余弦函数y=cosx，x[0,2]的五个关键点是：(0,1) ，(,0)， (,-1)， (,0)， (2,1)
只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握．
“五点（画图）法”的优点是方便，缺点是精确度不高．
（二）知识升华
1．定义域：
正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R［或(－∞，＋∞)］．
2．值域：
正弦函数、余弦函数的值域都是 ．
（ⅰ）其中正弦函数y=sinx,x∈R，
① 当且仅当x＝ 时，取得最大值 ；
② 当且仅当x＝ 时，取得最小值 ．
（ⅱ）而余弦函数y＝cosx，x∈R，
① 当且仅当x＝ ，k∈Z时，取得最大值 ；
② 当且仅当x＝ ，k∈Z时，取得最小值 ．
3．奇偶性：
（ⅰ）正弦曲线关于 对称,余弦曲线关于 对称，所以函数y＝sinxx,x∈R为 函数，y＝cosxx,x∈R为 函数．
（ⅱ）y=sinx的对称轴为x=，k∈Z， y=cosx的对称轴为x=，k∈Z；
y=sinx的对称中心为x=，k∈Z ，y=cosx的对称中心为x=，k∈Z．
4．单调性：
（ⅰ）正弦函数在每一个闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.
（ⅱ）余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.
5．周期性：
（ⅰ）（观察图象）正弦函数性质如下：
1 正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；
2 规律是：每隔2重复出现一次（或者说每隔2k,kZ重复出现）；
3 这个规律由诱导公式sin(2k+x)=sinx可以说明.
结论：象这样的函数叫做周期函数.
文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得。
符号语言：当增加（）时，总有．
也即：（1）当自变量增加时，正弦函数的值又重复出现；
（2）对于定义域内的任意，恒成立.
余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为函数的周期性.
（ⅱ） 周期函数定义：对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：f (x+T)=f (x)那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
问题：（1）对于函数，有，能否说是它的周期？
（2）正弦函数，是不是周期函数，如果是，周期是多少？
（3）若函数的周期为，则，也是的周期吗？为什么？
（是，其原因为：）
说明： （1）周期函数x定义域M，则必有x+TM, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；
（2）“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x0+t)f (x0)）；
（3）T往往是多值的（如y=sinx，2,4,…,-2,-4,…都是周期）周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）；
一般结论：函数及函数，的周期.
（三）我也能行
1．画出函数，的简图，并回答下列问题.
① 在上的解集为 .
② 在上的解集为 .
③ 在上的解为 .
2．求使函数取得最大值、最小值的自变量的集合，并分别写出最大值、最小值是什么．
3．（2010湖北—文2）函数 =，的最小正周期为 （ ）
A． B． C． D．
4．(2006北京—文2)函数y=1+cosx的图象 （ ）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线x=对称
5．函数的周期是　　　　　　　　　，对称轴是　　　　　　　　　，对称中心是　　　　　　　　　，单调递增区间是　　　　　　　　　．
三、精点精评
【例1】 函数y＝3sin(－2x)在什么区间是减函数？当时，求该函数的单调递减区间．
【例2】 函数y=|sinx|的周期是
【解析】 作出函数y=|sinx|的简图（如下图所示），由图可知函数的周期是.
四、直击高考
1．（2006辽宁—文1） 函数的最小正周期是（　　）
Ａ ( http: / / wxc. / ) Ｂ ( http: / / wxc. / ) Ｃ ( http: / / wxc. / ) Ｄ ( http: / / wxc. / )
2．函数y＝sin（2x＋）图象的一条对称轴方程是 ( )
A．x＝－ B．x＝－ C．x＝ D．x＝
3．（2007福建—文5）函数的图象 （　　）
Ａ ( http: / / wxc. )　关于点对称 Ｂ ( http: / / wxc. )　关于直线对称
Ｃ ( http: / / wxc. )　关于点对称 Ｄ ( http: / / wxc. )　关于直线对称
4．（2009浙江—理8）已知a是实数，则函数f（x）=1+asinax的图像不可能是 ( )
5．(2004天津—文10) 函数为增函数的区间是 ( )
A. B. C. D.
6．（2009四川—理4）已知函数，下面结论错误的是 ( )
A．函数的最小正周期为 　　B．函数在区间上是增函数
C．函数的图像关于直线对称 　 D．函数是奇函数
7．（2007全国II—文3）函数的一个单调增区间是 （ ）
A． B． C． D．
8．（2006湖南—文3）设点P是函数的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值，则的最小正周期是
A ( http: / / wxc. / ) 2π 　　　　B ( http: / / wxc. / ) π 　　　　C ( http: / / wxc. / ) 　　　 D ( http: / / wxc. / )
9．（2008江苏1）最小正周期为，其中，则 10
心得与体会
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与你共勉：要想超越别人，就得先走在他人的前面。 2010-11-23