人教新课标八年级数学上册12.3等边三角形学案

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等边三角形（1）
【目标导航】
1.了解等边三角形的性质和判定；
2．理解如何用轴对称性质解释等边三角形的有关性质．
【要点梳理】
活动1 复习旧知
1．等腰三角形的定义： ．
2．等腰三角形的性质：
⑴ ；
⑵ ．
3．等腰三角形的判定：
．
活动2 等边三角形的性质与判定
1．等边三角形的定义：
．
2．等边三角形的性质：
⑴ ；
⑵ ．
3．等边三角形的判定：
⑴ ；
⑵ ．
指出：1．等边三角形是特殊的等腰三角形，除有本身的性质外，还具有等腰三角形的所有性质．
2．等边三角形的定义既是等边三角形的性质，又是它的判定．在证明等边三角形时，若已知三边关系，则先选用定义法；若已知三角关系，则先选用判定1；若已知等腰三角形，则先选用判定2．
活动2 等边三角形的性质与判定的应用
1． 如图△ABC是等边三角形，DE∥BC，交AB，AC于D，E．
求证：△ADE是等边三角形．
2．如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取 点D，E，F，使AD＝BE＝CF．
求证：△DEF是等边三角形．
3． 如图，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，CE平分∠ACD，且CE＝BD．
求证：△DAE为等边三角形．
4． 如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，BE，CD相交于O．
⑴求证：BE＝DC；⑵求∠BOC的度数．
5．如图1，点A是线段BC上一点，△ABD，△AEC都是等边三角形，BE交AD于点M，CD交AE于N．
⑴求证：BE＝DC；
⑵求证：△AMN是等边三角形；
⑶将△ACE绕点A按顺时针方向旋转90°，其它条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断⑴、⑵两小题结论是否仍然成立，并加以证明．
图1
6．如图，△ABC是等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，使AE＝BD，连结CE，DE．求证：EC＝ED．
【课堂操练】
1．在△ABC中∠A＝60°，要使△ABC是
等边三角形，则需添加的一个条件
是： ．
2．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形，其中是等边三角形的有( )
A.①②③ B.①②④
C.①③ D.①②③④
3．如图，△ABC和△ADE都是等边三角形．
求证：BE＝CD．
４．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，DC＝AE，AD、BE交于点F，求∠BFD的度数．
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是CB延长线上一点，∠D＝60°，E是AD上一点，且有DE＝DB，求证：AE＝BE＋BC．
【课后巩固】
1． 等边三角形是轴对称图形，它有 条对称轴，对称轴是 所在的直线．
2．已知AD是等边△ABC的高，BE是AC边的中线，AD与BE交于点F，则∠AFE＝______．
3．如图1，在等边△ABC中，AD是BC上的高，∠BDE＝∠CDF＝60°，图中与BD相等的线段有： ．
4．如图2，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1＝∠2，BE＝CD，则对△ADE的形状最准确的判断是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．不等边三角形 D．不能确定形状
5．如图3，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△ADE是等边三角形，下列结论：
①AD⊥BC；②EF＝FD；③BE＝BD．其中正确的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
6．如图4，已知点D是BC上一点，且满足AB＝AC＝BD，那么∠1与∠2的关系是（ ）
7．下列说法正确的是（ ）
A．有一个角相等的两个等腰三角形全等
B．有一条边对应相等两个等腰三角形全等
C．有一腰和底边对应相等的两个等腰三角形全等
D．有一条边对应相等的两个等边三角形不一定全等
8．如图△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，
求证：DB＝DE．
9．已知：AD是△ABC的中线，∠ADC＝60°，BC＝4．把△ADC沿直线AD折叠后，点C落在点C′的位置上，求BC′的长．
10．如图，△ABC是等边三角形，延长BC至E，延长BA至F，使AF＝BE，连结CF、EF，过点F作直线FD⊥CE于D，试发现∠FCE与∠FEC的数量关系，并说明理由．
11．如图，点D是等边△ABC内一点，DB＝DA，BP＝AB，∠DBP＝∠DBC．求∠BPD的度数．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是
△ABC外一点，且∠ABD＝∠ACD＝
60°．求证：BD＋DC＝AB．
【课外拓展】
13． 等边三角形给人以“稳如泰山”的视觉感受，它具有独特的对称性，请你至少用三种不同的方法，将以下三个等边三角形分割成四个等腰三角形（在图中画出分割线，并标出必要的角的度数）．
14． 如图，点D是等边△ABC内一点，将△BOC
绕点C逆时针旋转60°得△ADC，连接OD．
⑴求证：△DOC是等边三角形；
⑵当150°时，判断△AOD的形状，并说明理由；
⑶探究：当为多少度时，△AOD是等腰三角形．
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