1.4 正切函数的性质和图象(学案)

曲靖市第二中学 第一章 三角函数 2010级高一数学备课组
1.4 正切函数的性质和图象
一、导学目标
1．理解并掌握作正切函数图象的方法；
2．掌握正切函数的性质及其应用；
3．能用正切函数的图象解最简三角不等式．
二、尝试练习
（一）探究正切函数的性质
画出下列各角的正切线：
探究一、正切函数的定义域
当的终边在轴上时，点的横坐标等于，由正切函数的定义可知无意义；
当的终边在轴上时，过点的单位圆的切线平行于轴，它与的终边或其反向延长线不相交，正切线不存在．
所以，我们得到正切函数的定义域是：．
探究二、 正切函数的值域
由图（Ⅰ）可知，当大于且无限接近于时，正切线向轴的负方向无限延伸；由图（Ⅱ）可知，当小于且无限接近于时，正切线向轴的正方向无限延伸．因此，在内可以取任意实数，但没有最大值、最小值．因此，正切函数的值域是实数集．
探究三、正切函数的奇偶性
因为 且，所以正切函数（）是 函数．于是可得：
正切函数（）的图象应关于 对称．
探究四、正切函数的周期性
由诱导公式 且，可知函数（）是 函数，且它的周期是 ．
探究五、正切函数的单调性
由图（Ⅰ）、（Ⅱ）正切线的变化规律可以得出，正切函数在内是 函数，又由正切函数的周期性可知，正切函数在开区间内都是增函数．
【注意】正切函数在每一个开区间内均为增函数，但不能说正切函数在其定义域内是单调增函数．
（二）正切函数图象的猜想
根据正切函数的性质猜想正切函数的图象
猜想一、 正切函数的定义域： ），∴它的图象是由被互相平行的直线所隔开的无数多支曲线组成．
猜想二、 正切函数的周期性： ，∴的周期是 ，∴它的图象可由的图像向右、向左连续地平行移动（每次移动个单位长度）得到.
猜想三、 正切函数的奇偶性： ，∴是 函数，∴的图象应关于 对称．
猜想四、 正切函数的单调性：由正切线的变化规律可以得出，正切函数在内是 函数，所以正切函数在每个周期内的图象均呈上升趋势．
猜想五、 正切函数的值域：由正切线的变化规律可以得出，正切函数 （有，无）最大值，所以正切函数的值域是实数集．从而，正切函数每个周期内的图象均向上、向下无限延伸．
（三）正切函数的图象
问题与思考： 正弦曲线是怎样画的？你能画出正切函数的图象了吗？
1．与正弦曲线一样通过正切线作，的图象：
2．根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数，且的图象，称“正切曲线”．
3．由上面所得正切曲线验证了“根据正切函数的性质所猜想的正切函数图象”是可靠的．
（四）知识系统化
三角函数的图像和性质的对比表：
正弦函数 余弦函数 正切函数
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性
单调性
对称中心
（五）我也能行
1．函数y＝tan（ax＋）（a≠0）的最小正周期为 ( )
Ａ ( http: / / wxc. )　 Ｂ ( http: / / wxc. )　 Ｃ ( http: / / wxc. )　 Ｄ ( http: / / wxc. )
2．函数的定义域是 （ ）
Ａ ( http: / / wxc. ) Ｂ ( http: / / wxc. )
Ｃ ( http: / / wxc. ) Ｄ ( http: / / wxc. )
3． tan1、tan2、tan3的大小关系是 ．
三、精点精评
例1 利用正切函数的单调性比较下列各组数中两个正切值的大小：
（1）与；（2）
例2 求函数的定义域、周期和单调区间.
例3 你能用图象求函数的定义域吗？
解：由得，利用图象知，所求定义域为，亦可利用单位圆求解．
四、直击高考
1．函数图象的对称中心是 ( http: / / wxc. )　
2．（2007江西—文2）函数的最小正周期为 （　　）
Ａ ( http: / / wxc. )　 Ｂ ( http: / / wxc. )　 Ｃ ( http: / / wxc. )　 Ｄ ( http: / / wxc. )　
2．直线 y=a(a为常数)与正切曲线相交的相邻两点间的距离是 （　　）
Ａ ( http: / / wxc. )　 Ｂ ( http: / / wxc. ) Ｃ ( http: / / wxc. ) Ｄ ( http: / / wxc. ) 与值无关　
3．（2006全国I—文6）函数的单调增区间为 （　　）
Ａ ( http: / / wxc. )　 Ｂ ( http: / / wxc. )
Ｃ ( http: / / wxc. )　 Ｄ ( http: / / wxc. )　
4．关于函数 , 有以下命题
①函数f(x)的周期是；
②函数f(x)的定义域是；
③y=f(x)是奇函数；
④y=f(x)的图象关于点 对称；
⑤y=f(x)的一个单调递增区间为；
其中，正确的是 ．
5．作出函数y＝｜tanx｜的图象，并观察函数的最小正周期．
五、课外阅读与欣赏
数形结合也未见得好
【案例】 在区间 范围内，函数y＝tanx与函数y＝sinx的图象交点的个数为（　　）
A. 1　　 　B．2　　　 C．3　　　 D．4
〖解析〗 在同一坐标系中，作出y＝sinx与y＝tanx，在内的图象，很难做到精确，容易误认为3个交点．联想到不等式“sinx＜x＜tanx（）”，故y＝sinx与y＝tanx，在内的图象无交点，又它们都是奇函数，从而y＝sinx与y＝tanx，在内的图象也无交点，所以在区间范围内，函数y＝tanx与函数y＝sinx的图象交点的个数为1个，即坐标原点（0，0）．
〖注〗在同一坐标系中，函数y＝sinx与y＝tanx，在内的图象如下图所示：
我的感言
x
y
0
x
0
y
x
（Ⅰ）
的终边
的终边
（Ⅱ）
（Ⅲ）
的终边
（Ⅳ）
的终边
0
0
T
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与你共勉：要想超越别人，就得先走在他人的前面。 2010-11-23