圆周角定理 学案2

圆周角定理 学案 (二)
教学目标(一)知识点 1．掌握圆周角定理及推论． 2．会熟练运用推论解决问题．
(二)能力训练：1．培养学生观察、分析及理解问题的能力．2．在学生自主探索推论的过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式．
(三)情感与价值观：培养学生的探索精神和解决问题的能力.
教学重点：圆周角定理的几个推论的应用．
教学难点：理解几个推论的“题设”和“结论”．
教学方法：自主探究法与互助合作学习
教学过程
创设问题情境，引入新课
[师]请同学们回忆一下我们前几节课学习了哪些和圆有关系的角 它们之间有什么关系
。
[师]我们在分析、证明上述定理证明过程中，用到了些什么数学思想方法
[生]分类讨论、化归、转化以及由特殊到一般和由一般到特殊的思想方法．
[师]同学们请看下面这个问题：
已知弦AB和CD交于⊙O内一点P，如图.
求证：PA·PB=PC·PD。
教师点拨：要证PA·PB＝PC·PD，可证．由此考虑证明以PA、PC为边的三角形与以PD、PB为边的三角形相似．由于图中没有这两个三角形，所以考虑作辅助线AC和BD．要证△PAC∽△PDB．由已知条件可得∠APC与∠DPB相等，如能再找到一对角相等．如∠A＝∠D或∠C＝∠B．便可证得所求结论．如何寻找∠A=∠D或∠C=∠B.要想解决这个问题．我们需先进行下面的学习．
讲授新课
[师]请同学们画一个圆，以A、C为端点的弧所对的 圆
周角有多少个 (至少画三个)它们的大小有什么关系 你是
如何得到的 请同学们思考。
[师]大家想一想，我们能否用验证的方法得到上图中的∠ABC＝∠ADC＝∠AEC (同学们互相交流、讨论)
[师]通过刚才同学的学习，我们上面提出的问题∠A=∠D或∠C＝∠B找到答案了吗
[师]如果我们把上面的同弧改成等弧，结论一样吗
[师]通过我们刚才的探讨，我们可以得到一个推论．
。
小组讨论：若将上面推论中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，结论成立吗 请同学们互相议一议．
[生]如右图，结论不成立．因为一条弦所对的
圆周角有两种可能，在弦不是 直径的情况下是不相等的.
[师]接下来我们看下面的问题：
如右图，BC是⊙O的直径，它所对的圆周
角是锐角、直角，还是钝角 你是如何判断的
(同学们互相交流，讨论)
[师]反过来，在右图中，如果圆周角∠BAC
=90°，那么它所对的弦BC经过圆心O吗 为什么
[师]通过刚才大家的交流，我们又得到了圆周角定理的又一个推论：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
教师点拨：这一推论应用非常广泛，一般地，如果题目的已知条件中有直径时，往往作出直径上的圆周角——直角：如果需要直角或证明垂直时，往往作出直径即可解决问题．
[师]为了进一步熟悉推论，我们看下面的例题．
[例]如图示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系 为什么
[师生共析]由于AB是⊙O的直径，故连接AD．由推论直径所对的圆周角是直角，便可得AD⊥BC，又因为△ABC中，AC＝AB，所以由等腰三角形的二线合一，可证得BD=CD．
下面哪位同学能叙述一下理由
[师]通过我们学习圆周角定理及推论，大家互相交流，讨论一下，我们探索上述问题时，用到了哪些方法 试举例说明．
[生]在得出本节的结论过程中，我们用到了度量与证明的方法，比如说在研究同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；还学到了分类与转化的方法．比如说在探索圆周角定理过程中，定理的证明应分三种情况，在这三种情况中，第一种情况是特殊情况，是证明的基础，其他两种情况都可以转化为第一种情况来解决，再比如说，学习圆周角定义时，可由前面学习列的圆心角类比得出圆周角的概念……
随堂练习
1．为什么有些电影院的坐位排列(横排)呈圆弧形？说一说这种设计的合理性．
答：有些电影院的坐位排列呈圆弧形，这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等．
2．如下图，哪个角与∠BAC相等
3. 如下图，⊙O的直径AB＝10 cm，C为⊙O上的一点，∠ABC＝30°，求AC的长．
课时小结
本节课我们学习了圆周角定理的2个推论，结合我们上节课学到的圆周角定理，我们知道，在同圆或等圆中，根据弦及其所对的圆心角，弧，弦、弦心距之间的关系，实现了圆中这些量之间相等关系的转化，而圆周角定理建立了圆心角与圆周角之间的关系，因此，最终实现了圆中的角(圆心角和圆周角)，线段(弦、弦心距)、弧等量与量之间相等关系的相等相互转化，从而为研究圆的性质提供了有力的工具和方法．
作业
课本习题
知识与拓展：
1． 如下右图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC于D，P是弧AC上一动点，连结PB分别交AD、AC于点E、F．(1)当弧PA=弧AB时，求证：AE=EB；(2)当点P在什么位置时，AF=EF，证明你的结论．
参考练习 1．若⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥BC于D，且∠BOD=48°．则∠BAC＝
2．△ABC是半径为2 cm的圆内接三角形，若BC=2 cm，则∠A的度数为 .
3．在⊙O中，直径AB＝10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，则BC= cm，AD= cm，BD= cm．
体会：
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