课件27张PPT。问题 :赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m, 你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗?九年级数学(下)第三章 圆3.2圆的对称性(1)圆的对称性七中实验学校 许小虎请观察下列三个银行标志有何共同点??回顾思考:1、什么是轴对称图形?2、我们所学的圆是不是轴对称图形呢?圆的对称性圆是轴对称图形吗? 如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少
条对称轴?你是用什么方法找到的?圆是轴对称图形.圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线可利用折叠的方法即可解决上述问题.它有无数条对称轴.
探究发现: 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每条弧叫半圆弧,简称半圆(如弧AC).连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).D圆的相关概念:EOE弦心距从圆心到弦的距离叫做弦心距弧AB弦AB弧:弦:直径:劣弧:优弧: 1.如图1,AB是圆的一条弦,作直径CD,使CD⊥AB,垂足为P:探究发现:· 请同学们将图1沿着直径CD对折,你能发现什么结论? 请同学们将图2沿着直径CD对折,还有上面结论吗? 图1图2 2.如图2,AB是圆的一条弦,作直径CD,使CD与AB相较于点P:③AM=BM,AB是⊙的一条弦.作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M. ① CD是直径② CD⊥AB题设结论如图,已知:AB是圆O的一条弦,直径CD垂直于AB,垂足为M,求证:AM=BM,弧AC=弧BC,弧AD=弧BD
证明:连接OA,OB,则OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB,OM=OM,∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合, 垂径定理: 垂直于弦的直径平分弦,
并且平分弦所对的两条弧.CD⊥AB,如图∵ CD是直径,∴AM=BM,提炼知识:MOACBN①直线MN过圆心O ② MN⊥AB③AC=BC
④弧AM=弧BM
⑤弧AN=弧BN垂径定理: 如果交换垂径定理的条件和结论的部分语句,会有一些什么样的结论呢?①直线MN过圆心O ② MN⊥AB③AC=BC
④弧AM=弧BM
⑤弧AN=弧BN垂径定理:①直线MN过圆心③ AC=BC
②MN⊥AB
④弧AM=弧BM ⑤弧AN=弧BN探索结论:垂径定理的逆定理:探索:即为:AB是圆O的弦 (不是直径),直径MN交AB于点C,且AC= BC 则MN⊥AB, 弧AM=弧BM,弧AN=弧BN,
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。注意:一个圆的任意两条直径总是互相平分,但是它们不一定互相垂直。因此这里的弦如果是直径,结论就不一定成立。
你可以写出相应的命题吗?
相信自己是最棒的!知“二”推“三”如图,在下列五个条件中:只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.① 过圆心的直线,③ AM=BM,② CD⊥AB,练一练:试 金 石 如图,已知在⊙O中,弦AB的长为8厘米,圆心O到AB的距离为3厘米,求⊙O的半径。E解题小结:在解决有关弦的问题时,常作垂直于弦的半径,连接圆心和弦的一端点(即得半径),构成直角三角形。半弦半径弦心距半弦2+弦心距2=半径2已知:如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D两点。
试说明:AC=BD。证明:过O作OE⊥AB,垂足为E,则 AE=BE,CE=DE。
AE-CE=BE-DE。
所以,AC=BDE牛刀小试自我检测填一填1、判断:
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. ( )
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧. ( )
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.( )
⑷弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. ( )√??√直径不是直径的弦解得:R≈27.9(m)解决赵州桥拱半径的问题?在Rt△OAD中,由勾股定理,得即 R2=18.72+(R-7.2)2因此,赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2AB=37.4,CD=7.2,OD=OC-CD=R-7.2在图中如图,用 AB 表示主桥拱长37.4米,设AB 所在圆的圆心为O,半径为R. 经过圆心O作弦AB的垂线OC,D为垂足,OC与AB相交于点C,根据前面的结论,D是 AB的中点,C是弧AB 的中点,CD是拱高为7.2米.应用创新:挑战自我试一试 如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.3、本节学习的数学方法就是对称证明思想。1.本节主要内容:(1)圆的轴对称性(2)弦与弧、直径、弦心距(3)垂径定理及逆定理2.解题思路:运用垂径定理,将问题转化为解直角三角形
课后作业:书P101 习题3.2 内容你能破镜重圆吗?ABACmn·O 作弦AB.AC及它们的垂直平分线m.n,交于O点;以O为圆心,OA为半径作圆。破镜重圆ABCmn·O 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。
作图依据:以自信为圆心以刻苦为半径画出自己圆满的人生目标明确,勿易放弃谢谢大家思考题已知:AB是⊙O直径,
CD是弦,AE⊥CD,
BF⊥CD
求证:EC=DF圆的对称性(1)
成都七中实验学校 许小虎
一、教学目标:
识记与理解:
理解圆的轴对称性及其相关性质;
利用原的轴对称性研究垂径定理及其逆定理。
能力与方法:
经历探索圆的对称性及其相关性质的过程,进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。发展学生的数学思维能力。
情感态度价值观:
培养学生独立探索,相互合作交流的精神;
通过学习垂径定理及其逆定理的证明,使学生领会数学的严谨性和探索精神,培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神。
二、教学重难点
教学重点:利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理;
教学难点:和圆有关的相关概念的辨析理解。
三、教法:引导探究法、情境教学法
四、学法:合作学习法
五、教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计说明
导入
出示赵州桥图片,讲解赵州桥历史,引导学生思考:赵州桥与我们数学问题息息相关,并提出问题:如何计算赵州桥主拱桥半径。
了解赵州桥历史并思考:赵州桥与什么数学问题相关,如何计算赵州桥主拱桥半径。
以历史名桥赵州桥为例,通过介
绍赵州桥,引导学生从生活中发
现数学问题,实质疑问,激发学
生学习兴趣。
新课:
回
顾
与
思
考
1.出示三个银行图标,引导学生观察思考图形的特征性质以及轴对称图形的性质。
观察三个银行图标,思考三个图形有何共同特征?回忆复习轴对称图形的性质。
培养学生观察分析能力,通过对轴对称图形性质的复习,引入圆的对称性这一新知识。
实
验
与
探
索
2.引导学生思考:圆是否为轴对称图形,如果是又用什么方法来证明?
想一想:圆是否为轴对称图形,对称轴有多少条。并且动手通过折叠的方式找出圆为轴对称图形的依据。
通过对圆的对称性质的思考,培养学生的动手能力以及探究能力,加深学生对圆的对称性质的理解。
实
验
与
探
究
3.引导学生动手折叠并结合教材学习圆上的相关概念,
通过动手折叠的方式直观的了解圆上各部分的名称,再回归于教材,通过阅读得出圆上相关的概念
培养学生动手的能力及阅读理解能力,将教学回归到教材,充分利用教材,加深学生对圆上相关概念的理解和认识
4.出示两幅圆,结合于上述远的相关概念的认识,引导再次利用折叠的方式探究圆的对称性,从而引入对垂径定理的直观认识
分组进行探究,自主的通过折叠和观察动态的对折过程,用文字语言口述得出的结论
培养学生分组合作的能力,和自
我探究思考,动手操作能力,体
现由一般到特殊的探究问题的思
想给学生一定的时间去探索讨论,有利于创新意识的培养
提
炼
知
识
5.引导学生思考,如何对所得结论的进行证明
独立思考,思考后讨论,再交流,展示解决问题的思想和方案
6.引导学生分析垂径定理的结构特征及逆定理并归纳
表述定理的不同表述形式,分析定理的条件和结论的组成
明白定理不同表达方式,发掘定理的内涵与外延
应
用
与
创
新
7.获取学生信息,帮助部分学生,参与学生问题解决之中,并随时指导点拨
教师针对性讲解,评价
独立思考并解决问题
修正自己解决问题中的错误,完善解答过程,赵州桥图片,实际问题
用垂径定理进行线段的计算
将实际问题转化为数学问题
小
结
与
反
馈
8. 对学生的归纳给予合理的评价并进一步完善
表述自己本节课的收获、体会;还有对垂径定理的认识
知识与方法的归纳,对定理认识的升华
拓
展
与
延
伸
9.提出创新问题,学生讨论后给予评价和完善
独立思考,思考后讨论,再交流,展示解决问题的思想和方案
学生利用所学知识解决实际问题,体会所学知识的使用及重要性激发学生对本节课内容的内化,利用垂径定理解决“破镜重圆”问题
情
感
与
交
流
“以自信为圆心
以刻苦为半径
目标明确,勿易放弃
画出自己圆满的人生”
学生对数学学习与感性的认识,培养其价值观和情感观
情感交流,与学习的熏陶;
培养其价值观和情感观
六、教学流程:
教师活动
学生活动
导入:呈现赵州桥图片,导入新课
想一想:图片中提出的问题
观察并发现,三幅图的特点,思考圆的对称性
提出问题,引入新课
创设情景,三幅银行标示,引入对圆的对称性的思考
引导学生通过折叠和阅读教材,学习圆的相关概念及垂径定理及逆定理的探究认识
动手折叠,阅读教材,理解认识概念,探究圆垂径定理与逆定理间的条件与结论的关系
学生独立思考并解决相应习题,思考后讨论,再交流,展示解决问题的思想和方案
引导学生解决相应练习,结合对垂径定理的学习和认识,引入部分“赵州桥桥拱半径”问题
小结:引导学生思考本节课所学主要内容知识与方法的归纳,对定理认识的升华
表述自己本节课的收获、体会;还有对垂径定理的认识
学生利用所学知识解决实际问题,体会所学知识的使用及重要性
拓展:激发学生对本节课内容的内化,利用垂径定理解决“破镜重圆”问题
学生对数学学习与感性的认识,培养其价值观和情感观
情感交流,与学习的熏陶
七、板书设计:
§3.2.1 圆的对称性(一)
一 、与圆有关的概念:
1. 圆弧
2. 弦
3. 直径
4. 弦心距
二 、垂径定理:
垂径定理的逆定理:
三 、课堂练习
四 、课时小结
五 、课后作业
八、教学反思:
本教学设计会侧重学生对新知识形成过程的认识和理解,采用通过实验、观察、猜想、验证的手法去探求几何定理。对培养学生的动手能力,直觉思维、逻辑思维有较大的帮助。
较好体现了学为主体,教为主导的教学策略,师生在该节课的教与学互动性会得到充分的展示,学生也会得到充分的发挥机会;另外通过创新探索的内容,会使学生进一步体会数学在生活中的应用,培养学生探索精神。
本教学设计在实试过程中,时间会较为紧迫,因此,相应的练习安排得较少,这样可能会影响了学生对新定理的应用的训练,同时教师要鼓励学困生敢于发表自己的看法,并帮助他们去记忆和运用垂径定理及其逆定理。