新课标A版必修41.5 函数y=Asin（ωx+φ）的图象（学案）

曲靖市第二中学 第一章 三角函数 2010级高一数学备课组
1.5 函数的图象
一、导学目标
1.会用“五点法”作出函数以及函数的图象；
2.理解、、对函数的图象的影响；
3.能够将的图象变换到的图象.
4.理解振幅、周期、频率、初相的定义；
5.会根据条件求解析式.
二、尝试练习
（一）探索与发现
探究一、 平移变换
① 函数图象的左右平移变换
【案例1】 画出函数y=sinx，xR、y＝sin(x＋)，x∈R、y＝sin(x－)，x∈R的简图
【解】列表：
x -
x+ 0 2
sin(x+) 0 1 0 –1 0
x
x－ 0 2
sin(x–) 0 1 0 –1 0
描点并画图：
【研究一】 观察上表，第二行均比第一行多（或第一行加得第二行），但所对应的函数值一样，这说明了什么？这一特性反应在图像上会是怎样的情况呢？
观察图像，你发现它们的图像有何异同及联系？你能得到一般性的结论吗？
于是我们得到：
函数，（其中）的图象，可以看作是正弦曲线上所有的点_________（）或______________（）平行移动个单位长度而得到．
你能得到更一般性的结论吗？
将函数的图象向左（）或向右（）平移个单位得到函数的图象．…………………………………称之为函数图象的左、右平移变换．
② 函数图象的左右平移变换
【研究二】 请你模仿【研究一】探究函数，的图象与函数，的图象间的关系？
函数，的图象，可以看作是余弦曲线上所有的点_________（）或______________（）平行移动个单位长度而得到．
你能得到更一般性的结论吗？
将函数的图象向上（）或向下（）平移个单位得到函数的图象．…………………………………称之为函数图象的上、下平移变换．
探究二、 伸缩变换
①　函数图象的横向伸缩变换
【案例３】画出函数y=sin2x，xR；y=sinx，xR的图象．
【解】函数y＝sin2x，x∈R的周期T＝．
我们先画在［0，π］上的简图,在[0, ]上作图,列表：
2x 0 2
x 0
y=sin2x 0 1 0 -1 0
描点并画图：
【研究三】 观察上表，第一行的值应乘以得到第二行相应的值，但所对应的函数值一样，这说明了什么？这一特性反应在图像上会是怎样的情况呢？
观察图像，你发现的图像与的图像有何异同及联系？你能得到一般性的结论吗？
试猜想函数的图像与的图像之间的关系，并将这一结论进行推广．
于是我们得到：
函数（其中且）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的横坐标______________（）或______________（）到原来的倍（纵坐标不变）而得到.
你能得到更一般性的结论吗？
将函数的图象上所有点的横坐标缩短（）或伸长（）到原来的倍（纵坐标不变）得到函数（）的图象．
…………………………………这种变换叫做函数图象的横向伸缩变换．
②　函数图象的纵向伸缩变换
【研究四】 请你模仿【研究三　】探究函数，的图象与函数，的图象间的关系？
函数且)的图象，可以看作是把余弦曲线上所有点的纵坐标___________（）或__________（）到原来的倍（横坐标不变）而得到的．
你能得到更一般性的结论吗？
将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍（横坐标不变）得到函数（）的图象．
…………………………………这种变换叫做函数图象的横向伸缩变换．
（二）知识系统化
探究三、函数的图象
【案例４】 画出函数y＝3sin(2x＋)，x∈R的简图．
【解】(五点法)由T＝，得T＝π 列表：
x –
2x+ 0 π 2π
3sin（2x+) 0 3 0 –3 0
描点画图：
【方法与规律】 作函数的图象主要有以下两种方法：
（ⅰ）用“五点法”作图；
（ⅱ）由函数的图象通过变换得到的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
先平移后伸缩　　先画出函数的图像；再把正弦曲线___________（）或___________（）平行移动个单位长度，得到函数的图像；然后把曲线上各点的横坐标____________（）或____________（）到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图像；最后把曲线上各点的纵坐标____________（）或_________（）到原来的倍（横坐标不变）而得到函数的图象.
先伸缩后平移　　先画出函数的图像；再把正弦曲线上所有的点横坐标____________（）或____________（）到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图像；然后把曲线上各点的___________（）或___________（）平行移动个单位长度得到函数的图像；最后把曲线上各点的纵坐标____________（）或_________（）到原来的倍（横坐标不变）而得到函数的图象.
（三）我也能行
1. 函数，（其中，）物理意义：、、对
函数表示一个振动量时：
A：这个量振动时离开平衡位置的最大距离，称为“振幅”；
T：往复振动一次所需的时间，称为“周期”；
：单位时间内往返振动的次数，称为“频率”；
：称为“相位” ；
：x=0时的相位，称为“初相”．
2. （2010四川—理6）将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（ ）
A． B．
C． D．
3.（2006江苏—4）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点 （ ）
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
B．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
D．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
三、精点精评
例1．（2000全国）已知函数 ．
(Ⅰ)　当函数取得最大值时,求自变量的集合;
(Ⅱ)　该函数的图象可由的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到
例2． （2009陕西—理17）已知函数（其中，，）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为.
(Ⅰ)求的解析式；
（Ⅱ）当，求的值域. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
例3．(2004湖北) 设是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数,其中,下表是该港口某一天从０时到２４时记录的时间t与水深y的关系：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1
经长期观察，函数的图像可以近似地看成函数的图像，下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 （ ）
A. 　　 B.
C. D.
四、直击高考
1. （2010重庆—理6）已知函数
的部分图象如图所示，则 （ ）
A． =1 = B．=1 =-
C．=2 = D．=2 = -
2. （2010全国Ⅱ—理7）为了得到函数的图像，只需把函数的图像 （ ）
A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位
3. （2010辽宁—理5）设>0，函数y=sin（x+）+2的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是 （ ）
A． B． C． D．3
4. （2009辽宁—理8)已知函数=Acos()的图象如图所示，，则= （ ）
A． 　　　　　　　B．
C． 　　　　　　　D． w.w.w.k
5. （2010江西—文12）如图，四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数， ，的图像如下。结果发现其中有一位同学作出的图像有错误，那么有错误的图像是 （ ）
6. （2008全国Ⅰ—理1）为得到函数的图像，只需将函数的图像 （ ）
A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位
4.（2007海南、宁夏—文3）函数在区间的简图是 （　　）
7. （2007安徽—文15）函数的图象为，如下结论中正确的是 （写出所有正确结论的编号） ( http: / / wxc. )　①②③
①图象关于直线对称；
②图象关于点对称；
③函数在区间内是增函数；
④由的图角向右平移个单位长度可以得到图象 ( http: / / wxc. )　
8. （2010广东—理16）已知函数在时取得最大值4
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的解析式；
（3）若，求sin
五、课外阅读与欣赏
翻折变换
　 图象变换是数形结合法解题的的基础，数形结合法解数学习题的特点是把繁琐的演算及逻辑推理过程，在函数图象的辅助下加以简化和形象直观，解题思路清淅、直观、明了、可靠．然而，怎样才能在数形结合法解题过程中做到图象能顺手拈来、得心应手、准确无误呢？我认为关键是要有丰富的初等函数图象知识．而要达到这一点，就得掌握初等函数在复合过程中引起的图象变换规律．以规律求拓宽，为数形结合法解题创造良好的基础条件．
①将函数的图象以轴为对折线，把轴上方的图形折到轴下方去，同时又把轴下方的图象折到轴上方去得到函数的图象．
…………………………………………叫做关于轴的翻转变换．
②将函数的图象以轴为对折线，把轴右侧的部分折到轴左侧去，同时轴左侧的部分折到轴右侧去得到函数的图象．　　
…………………………………………叫做关于轴的翻转变换．
③　将函数的图象在轴上方的图像保留，并将轴下方的图像翻折到轴上方，这两部分图像共同构成了函数的图象．
…………………………………………叫做关于轴的下部折上变换．
如函数图象如图Ⅰ，则函数图象如图Ⅱ．
④　将函数的图象在轴左侧的图像擦去，在轴右侧的图像保留，并将轴右侧的的图像翻折到轴左侧去，这两部分图像共同构成了函数的图象．
…………………………………………称之为关于轴的右到左对称变换．
如函数图象如图（Ⅲ），则函数图象如图（Ⅳ）．
我的感言
y=3sin(2x+)
A
C
D
B
Ｄ　
Ｃ　
Ｂ　
Ａ　
-
3
2
-1
1
o
x
y
-
3
2
-1
1
o
x
y
（图Ⅰ）
（图Ⅱ）
o
x
y
图（Ⅲ）
图（Ⅳ）
o
x
y
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与你共勉：要想超越别人，就得先走在他人的前面。 2010-11-25