高二上学期10-11学年同步测试数学：选修2-1（苏教版）

2010—2011学年度上学期单元测试
高二数学试题【苏教版】
命题范围：选修2-1
全卷满分150分，用时120分钟。
第Ⅰ卷（共60分）
一、（60分，每小题5分）
1．已知命题：，，则命题是 （ ）
A．， B．，
C． ， D．，
2．已知，则“”是“”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．下列曲线中离心率为的是 （ ）
A． B． C． D．
4．已知抛物线与直线，“”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件；
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．抛物线上的点到直线距离的最小值是 （ ）
A． B． C． D．
6．设双曲线（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于 （ ）
A． B．2 C． D．
7．设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若且，则点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．若点到双曲线的一条淅近线的距离为，则双曲线的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
9．设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若△OAF（O为坐标原点）的面积为4,则抛物线方程为 （ ）
A． B． C． D．
10．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为 （ ）
A．2 B．3 C．6 D．8
11．设，常数，定义运算“*”：，若，则动点P（）的轨迹是 （ ）
A．圆 B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
12．若椭圆或双曲线上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为2：1，则称此椭圆或双曲线存在“F点”，下列曲线中存在“F点”的是 （ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷 （共90分）
二、填空题（20分，每小题5分）
13．已知点和向量，若，则点的坐标为
14．已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为
15．双曲线上一点P到右焦点的距离是实轴两端点到右焦[来源点距离的等差中项，则P点到左焦点的距离为 ．
16．椭圆的左、右焦点分别为、 , 过焦点F1的直线交椭圆于两点 ，若的内切圆的面积为，，两点的坐标分别为和，则的值为
三、解答题（70分）
17．（本题满分10分）已知：，：，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围。
18．（本题满分12分）已知双曲线的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，点是它的一个焦点，并且离心率为．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）已知点，设是双曲线上的点，是点关于原点的对称点，
求的取值范围．
19．（本题满分12分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M、N分别是A1B、B1C1的中点．
（Ⅰ）求证：MN⊥平面A1BC；
（Ⅱ）求直线BC1和平面A1BC所成角的大小．
20．（本题满分12分）
已知动点到定点的距离与点到定直线：的距离之比为．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设、是直线上的两个点，点与点关于原点对称，若，
求的最小值．
21．（本题满分12分）如图，抛物线的顶点O在坐标原点，焦点在y轴负半轴上，过点M（0，－2）作直线l与抛物线相交于A，B两点，且满足．
（Ⅰ）求直线l和抛物线的方程；
（Ⅱ）当抛物线上一动点P从点A到B运动时，求△ABP面积的最大值．
22．（本题满分12分）
如图，设F1，F2是椭圆C：（）的左、右焦点，A，B分别是椭圆C的右顶点和上顶点，P是椭圆C上一点，O为坐标原点，PF1⊥PF 2，。
（1）设椭圆C的离心率为e，证明：；
（2）证明：；
（3）设，求椭圆的长轴长。
参考答案
一、（60分）
1．B（全称命题的否定是特称命题，故选 B．、
2．A （由可得, 即得, ∴“”是“”的充分不必要条件, 故应选A）、
3．B （由得，选B）、
4．B（当时，直线与抛物线只有一个交点；所以直线l与抛物线有两个不同交点必须；当时，由得，，则不一定大于零，此时直线l与抛物线可能没有交点可能有一个交点，也可能有两个交点．所以“”是“直线l与抛物线有两个不同交点” 必要不充分条件．故选Ｂ．）、
5．A （设抛物线上一点为（m，－m2），该点到直线的距离为，当m=时，取得最小值为，选A）、
6．C （设切点，则切线的斜率为．由题意有又
解得: ．）、
7．D（设P（x，y），则Q（－x，y），又设A（a，0），B（0，b），则a0，b0，于是，由可得a＝x，b＝3y，所以x0，y0又＝（－a，b）＝（－x，3y），由＝1可得
故选D）、
8．A （设过一象限的渐近线倾斜角为
所以，因此，选A）、
9．B（抛物线的焦点F坐标为,则直线的方程为,它与轴的交点为A,所以△OAF的面积为,解得．所以抛物线方程为,故选 B．）、
10．C （由题意，F（-1，0），设点P，则有,解得，
因为，，所以
==，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最大值，选C）、
11．D （因为,所以
，则,设，
即
消去得故点P的轨迹为抛物线的一部分）、
12．D （设椭圆或双曲线上点P到两焦点F的距离分别为,,则由方程可得解之得而由可得其不符合条件;由方程可得解之得, 而由可得其不符合条件;由方程可得解之得,而由可得其不符合条件;由方程可得解之得,而由可得其符合条件; 故应选 D．）、
二、（20分）
13．（设B（x,y,z），则，又，解得x=-5,y=6,z=24,所以B点坐标为）、
14． （据椭圆方程可得,又椭圆与双曲线焦点相同,故其焦点坐标为,又据已知得: ,故,故其渐近线方程为．）、
15．13（由得设左焦点为，右焦点为,则，由双曲线的定义得：）、
16． （如右图所示．由的内切圆的
面积为，可得内切圆M的半径为1,
则,
又
,
∴．）、
三．（70分）
17．解：因为是q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件,由p：可得,由q：可得,因为p是q的充分不必要条件，所以 ，得
18．解：（Ⅰ）设双曲线方程为（），半焦距为,依题意得　　解得,所求双曲线C的方程为
（Ⅱ）依题意有：，
，又,， 由可得，,
故的取值范围是
19．（Ⅰ）据题意CA、CB、CC1两两垂直，以C为原点，
CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图．
设AC＝BC＝CC1＝a，则
，．所以，
．于是，，即MN⊥BA1，
MN⊥CA1．又，故MN⊥平面A1B C．
（Ⅱ）因为MN⊥平面A1BC，则为平面A1BC的法向量，又，
则，所以．
故直线BC1和平面A1BC所成的角为30 ．
20．解：（1）设点，依题意，有．整理，得．
所以动点的轨迹的方程为．
（2）∵点与点关于原点对称，∴点的坐标为．
∵、是直线上的两个点，∴可设，（不妨设）．
∵，∴．即．即．
由于，则，．∴．
当且仅当，时，等号成立．故的最小值为．
21．解：（Ⅰ）据题意可设直线l的方程为，
抛物线方程为．由得，．
设点，则
．
所以．
因为，所以，解得．
故直线的方程为，抛物线方程为
（Ⅱ）解法一：据题意，当抛物线过点P的切线与平行时，△APB面积最大．
设点，因为，由，，所以此时，点P到直线的距离．
由，得．
所以．
故△ABP面积的最大值为．
解法二：由得，．
所以．
设点，点P到直线的距离． ）
则，
当时，max=，此时点．
故△ABP面积的最大值为．
22．（1）证明：由知，，又因为，所以
设P（x，y），，则由椭圆的定义可得,，有,由面积相等得，即
因为，所以，则，可得，得
又 ，所以
（2）证明：由（1）有，所以
则，又因为A（a，0），所以
（3）解：由于，则为直角三角形，则
即，由得，解得
则，有，所以，所求椭圆的长轴长为4
B
A1
B1
C1
N
A
C
M
x
y
O
P
A
B
M
x
y
O
A
B
M
B
A1
B1
C1
N
A
C
M
x
y
z