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《 6. 2. 2 用坐标表示平移 》教学设计
授课教师： 北京市第八中学 冯娜
教 材： 《人教版义务教育课程标准实验教科书 数学》 七年级 下册
第六章《平面直角坐标系》 第二节 第二课时
一、教学内容的说明
学生在第五章《相交线与平行线》中已经学习了图形的平移（从形的角度理解平移），在本章学习平面直角坐标系的基础知识后，本节课学习用坐标来表示平移（即从数的角度刻画平移）. 这节课不仅探究了平移所引起坐标变化的规律，也探究了坐标变化引起位置变化的规律.
通过本课的学习，让学生初步体会平面直角坐标系架起了数与形之间的“桥梁”，为今后在平面直角坐标系中研究其它几种图形变换奠定基础.
二、教学目标
初步掌握点的坐标变化与点的平移关系，进而理解图形各个点的坐标变化与图形平移的关系，并解决与平移有关的问题.
经历探索点的平移与点的坐标变化之间的规律过程，体会数形结合思想. 了解利用图形的平移变换解决简单问题.
培养学生主动探索的精神，提高学生的学习兴趣.
三、教学重点和难点
教学重点是让学生发现并归纳点的坐标变化与点的平移的关系；教学难点是文字语言、图形语言、坐标表示之间的转化以及应用.
四、教学方法和教学手段
本课采用教师的启发引导与学生的自主探究相结合的教学方法，利用多媒体等手段教学.
五、教学过程设计与实施
根据班级学生基础较好的特点，我把这节课分为五个环节:
（一）情境引入
本环节主要是创设情境，在实际问题中引出本节课题.
1．首先观看建国60周年阅兵式短片，然后提出问题：
短片中,方阵可以看成是进行什么运动？
2. 方阵的平移就是组成方阵的每一个士兵的平移，那么怎样保证方阵的移动整齐划一？
其实在训练期间，标兵准确地编入了方阵指定位置，完成了对每位参训人员坐标定位的编号工作.为了走的更齐，他们找来胶带在地上每六十公分就贴上一条,这样做就可以保证每一位士兵的落脚点一致.
【设计意图】
引导学生发现：可以借助地面标尺（平面直角坐标系）刻画士兵的移动（点的平移），进而可以刻画方阵的移动（图形的平移）.
（二）探究新知
本环节主要是引导学生探究点的坐标变化与点的平移规律.
例1. 如图，已知A（–1 , 2），根据下列条件，在相应的坐标系中分别画出平移后的点，
写出它们的坐标，并观察平移前后点的坐标变化.
(1) 将点A向右平移1个单位长度，得到点A1；
将点A向右平移5个单位长度，得到点A2；
将点A向左平移3个单位长度，得到点A3；
将点A向左平移6个单位长度，得到点A4；
(2) 将点A向上平移1个单位长度,得到点A5；
将点A向上平移3个单位长度, 得到点A6；
将点A向下平移2个单位长度,得到点A7；将点A向下平移4个单位长度, 得到点A8；
教学过程中注重让学生明确：将哪个点沿着什么方向，平移几个单位后，得到的是哪个点.
【设计意图】 通过描点画图，使得学生发现点的平移引起点的坐标变化的规律.
在例1的基础上总结规律，为了易于学生接受，规定a>0，b>0.
平移方式 示意图 点的坐标变化 平移前后点的坐标
将点A( x , y )向右平移 a个单位长度，得到点A1 横坐标________纵坐标________ 由点 A( x , y )变为点 A1 ______
将点A( x , y )向左平移 a个单位长度，得到点A2 横坐标________纵坐标________ 由点 A( x , y )变为点 A2 ________
将点A( x , y )向上平移b个单位长度，得到点A3 横坐标________纵坐标________ 由点 A( x , y )变为点 A3 ________
将点A( x , y )向下平移b个单位长度，得到点A4 横坐标________纵坐标________ 由点 A( x , y )变为点 A4 ________
在此基础上可以归纳出： 点的左右平移点的横坐标变化, 纵坐标不变
点的上下平移点的横坐标不变, 纵坐标变化
反之，点的坐标变化可以引起点的位置的如何变化？引导学生继续探究.
那么，我们可以得到：点的左右平移点的横坐标变化, 纵坐标不变
点的上下平移点的横坐标不变, 纵坐标变化
接着启发学生：将点向左、向下平移分别转化为向右、向上平移.
若点A(–1 , 2 )向右平移4个单位长度后得到点B, 求点B的坐标.
分析： 设点B的坐标是 ( x , 2)，
则 x = –1 + 4 = 3
若点A(–1 , 2 )向左平移4个单位长度后得到点B，求点B的坐标.
分析： 设点B的坐标是( x , 2 )，
则 x = – 1 – 4 = –1 + ( – 4 ) = – 5
最后得到点的平移与点的坐标变化的一般规律：
对于任意数a、b，
点A( x , y ) 向左或向右平移|a|个单位长度，可以看成是将点A( x , y )向右平移a个单位长度, 则平移后的点的坐标是________________.
点A( x , y ) 向上或向下平移|b|个单位长度，可以看成是将点A( x , y )向上平移b个单位长度, 则平移后的点的坐标是________________.
【设计意图】
1. 引导学生从文字语言、图形语言、坐标表示三种方式描述平移.
2. 将点向四个方向平移的问题转化为两个方向的平移，主要是淡化口诀“左减右加，上加下减”，防止学生在学习函数图象平移过程中出现混淆.
（三）知识运用
本环节主要是让学生对刚学习的知识进行巩固和加深，包含例2、例3两个题.
例2. 填空.
(1) 点A (–1 , 2) 先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，可以得到点D的坐标是________.
(2) 点A向上平移4个单位长度后得到点C( 2 , – 4 )，则点A的坐标是_______.
(3) 点A (–1 , 2) 向 ____平移_____个单位长度，可以得到点C (–1 , –3).
(4) 点A (–1 , 2) 先向____平移____个单位长度，再向_____平移_____个单位长度，可以得到点D (–3 , 3).
让学生明确：将哪个点沿着什么方向，平移几个单位后，得到的是哪个点.
【设计意图】 巩固新知，培养学生养成良好的审题习惯.
例3. 已知第二象限的点 M ( a – 1 , 5 ) 先沿水平方向平移3个单位长度，再沿竖直方向平移4个单位长度后得到N ( 2 , b – 1 )，则 a = ______ , b = _______ .
让学生在充分思考后，先找一位学生说出他的思路，和我的预想一样，第一个学生采用的将平移的文字语言转化成坐标表示，即根据平移方向的不确定性分类讨论，列出相应的方程. 第二个学生则转化成了图形语言：即点M 在直线y = 5上 ，点N在直线x = 2上 ，不难发现点M只能向右平移3个单位长度，并且平移后的点M必须在直线x = 2上 ，因此可得出点M平移后的点的坐标是( 2 , 5 )，以此作为突破点，题目可解.
【设计意图】
1. 设计例3的目的是考查学生的审题能力，比如“第二象限”、“沿水平、竖直方向平移”.
2. 让学生体会：实现平移的三种方式的转化，其实体现了数形结合的数学思想.
在探究完用坐标表示点沿水平、竖直方向的平移后，学生可能会有这样的疑问：点沿任意方向的平移用坐标该如何表示？ 学生受所学知识限制，并不能解决这类问题，里面涉及函数、三角形等知识，因此这里只是简单说明一下情况，不做研究，等到相应知识学完后，再进行探究. 但应让学生认识到：任意方向的平移都可以分解为水平和竖直两个方向的平移.
（四）知识拓展
在平移过程中，组成图形的每个点在同一方向上的平移距离相等，由此学生很容易得到这样的事实：在平移过程中，图形上每对对应点的横坐标变化相同，纵坐标变化相同. 最后让学生明确：把握图形关键点的平移就可以反应图形的平移.
例4.
(1) 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC，
平移一次△ABC，使A移动到A′, 画出平移后的
△A′B′C′；
(2) 求(1)中的△ABC的面积.
【设计意图】
1. 让学生利用新、旧知识寻求解决图形平移的方法.
2. 在初步掌握求三角形面积方法的基础上，引导学生发现可以将图形进行平移后再求面积，让学生体会可以利用平移变换将所求问题进行转化.
（五）归纳小结，布置作业
在这节课的最后，让学生思考“这节课你最大的收获是什么？”，引导学生从知识、方法等角度进行总结：
1. 点的平移和点的坐标变化的基本规律.
2. 数形结合思想的应用.
作业：七年级下册教科书 第53页~第54页 第1~4题
思考题：
例4.
(3) 将(1) 中的△ABC沿着二、四象限角平分线 (直线y = – x ) 平移3个单位长度，
画出平移后的三角形，并思考在平移过程中点A的横坐标的变化量与纵坐标的变化量有什么数量关系？那么对于△ABC上的其它点的结论又是什么呢？
【设计意图】
思考题是对本节课内容的一个延续和加深，设置的是图形沿特殊直线（二、四象限角平分线）平移的问题，渗透函数思想.
探究新知
情境引入
探寻点的坐标变化与点的平移规律
探寻图形上点的坐标变化与图形平移的规律
归纳小结,布置作业
知识运用
知识拓展
O
y
x
1
1
A
O
y
x
A( x , y )
O
y
x
A( x , y )
O
y
x
A ( x , y )
O
y
x
A ( x , y )
x
y
O
y = 5
x = 2
M
P ( 2 , 5 )
N ( 2 , 9 )
N ( 2 , 1 )
O
y
x
1
1
A
B
A′
C
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《 6.2.2 用坐标表示平移 》教学设计说明
北京市第八中学 冯娜
一．本课数学内容的本质、地位和作用分析
1. 本课数学内容的本质
本课数学内容的本质是从数的角度刻画图形的平移. 使学生在探索图形平移变换的过程中初步建立空间观念，感受数形结合思想，尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具.
2. 本课数学内容的地位和作用分析
平面直角坐标系其实就是一个平台. 在这个平台中，图形可以用另一种方式表达出来：就是数字. 通过它可以重新刻画图形的性质、运动……图形的平移就是这样被刻画的. 通过本课数学内容，让学生看到平面直角坐标系架起了数与形之间的桥梁，加强了知识间的相互联系，同时让学生体会平面直角坐标系是解决数学问题的一个强有力的工具. 另外本课的学习也为今后学习其它几种图形变换如轴对称变换、旋转变换、位似等奠定基础，对后面研究函数问题也有帮助.
二．教学目标分析
1. 初步掌握点的坐标变化与点的平移之间关系，进而理解图形各个点的坐标变化与图形平移的关系，解决与平移有关的问题.
在探索规律过程中，充分调动学生的积极性，通过探究发现并总结规律，对于这些规律，不让学生死记硬背，要让学生在坐标系中结合图形的变换理解这些结论.
2. 探索点的平移与点的坐标变化之间的规律；初步了解利用图形的平移变换解决简单问题.
《义务教育数学课程标准》中提出：“应注重体现数学课程的基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生，提高他们的推理能力、抽象能力、想象力和创造力.”本着这一基本原则，在本课教学中，让学生在充分思考的前提下，先展示学生自己的研究成果，再和老师、其他同学一起分析其中的真伪，能体会并汲取他人思维的精华，让学生在不断学习中提升分析解决问题的能力.
3. 培养学生主动探索，敢于实践的精神，让学生在已有的知识基础上学会主动寻求解决问题的途径，从成功中体会研究数学问题的乐趣，从而增强学生学习数学的兴趣.
三．教学问题诊断
在知识层面，学生在第五章《相交线与平行线》中学习了图形平移，在第六章《平面直角坐标系》中学习有关平面直角坐标系的相关知识，掌握了可以用坐标来表示地理位置（坐标应用的第一节），本节课是坐标应用的第二节内容. 授课对象是学生基础较好的班级.
1. 情景引入
学生可能困惑的是：既然已经学习了图形平移，为什么还要研究用坐标表示平移？为了解决这个问题，我以建国60周年阅兵式中的士兵方阵为背景，提出问题：怎样才能保证方阵的移动整齐划一？从而激发学生的求知欲，然后利用网上公布的相关资料，引导学生思考、发现其中蕴含的数学知识，进而让学生体会用坐标表示平移的作用.
2. 规律总结
在总结规律时，不希望学生死记硬背口诀“左减右加，上加下减”，这对学生的后继学习可能会造成干扰，所以授课中没有过分强调. 考虑到学生基础较好，在总结规律后，将学生的认知进一步提升，也就是将四个方向上的平移转化成两个方向上的平移，并且从较抽象的字母直接入手探究一般规律.
3. 问题的延伸
实际上，学生在研究完点沿水平和竖直方向的平移后，细心地学生就会发现点可以沿任意方向进行平移，此时学生就会产生一种强烈的求知欲，想知道此时平移与坐标的规律又是什么？因此，在教学中，安排了这一问题的讲解说明，既保证了知识的完整性，又体现了知识的可持续性.
4. 数学思想的逐步深化
学生对于“点的平移与点的坐标变化之间的规律”的应用还是存在着一定的困难，主要体现在数与形之间不能灵活转化，比如例3和例4的第1问。其实现阶段的学生并不十分理解什么是数形结合思想，什么时候要用这个思想？因此在教学中需要结合学生的认知程度来渗透数形结合的数学思想. 我在教学中是借助文字语言、图形语言、坐标表示的转化来实现的。如果转化成图形语言，就是“形”；如果转化成坐标表示，就是“数”. 在现在所学习的章节中，这样解释数形相结合，学生好理解，也好运用. 当然根据不同的知识，数形结合思想的体现方式也有所不同.
5. 课后拓展
对于这节课的思考题，学生会遇到一些困难，比如：沿二、四象限角平分线(直线y =–x)平移三个单位长度，学生可能会在平移方向上产生误解. 学生会很容易想到求出平移后的点的坐标，但以学生现有知识是无法解出的，因此有些学生会感到无从下手，不过正好可以激发学生寻求其它的解决方法的愿望. 可以利用二、四象限角平分线上的点的坐标特征，设平移后点A的坐标为( x0 , y0 )，则y0=–x0.可以知道由于平移前点A的坐标是(– 4 , 4 )，则点A横坐标的变化量x0 + 4，纵坐标的变化量是y0 – 4= – x0– 4，因此点A的横坐标的变化量与纵坐标的变化量互为相反数. 而这个结论与平移几个单位长度是没有关系的. 通过这道题，使学生对平面直角坐标系中图形平移的理解更为全面、透彻一些，同时再次感受数形结合思想. (课后学生对这个问题的解决还是不错的)
四．本节课的教法特点
本节课采用学生自主探究与教师启发引导相结合的教学方法. 从情境引入，到引导学生在平面直角坐标系中探寻点的平移与点的坐标的变化规律，直至在平移过程中运用点的坐标的变化规律解决问题，都立足于在学生已有知识的基础上，进一步发展提高，并有针对性的解决学生的难点，最大限度地调动学生的积极性，使学生有足够机会展示思维、发展个性.
五．预期效果分析
本节课基本完成了课前设计的教学目标，达到了如下教学效果：
1. 学生理解并掌握坐标与平移之间的关系，并能解决相关问题.
2. 在教材使用中，将教材中的知识和内容依据设定的目标进行重新整合，在整个教学过程中，设计了一系列问题，学生在解决问题的过程中，体会到了数学思想方法的重要作用.
3. 通过教学使学生进一步认识平面直角坐标系是建立数形联系的有效载体，是体现数形结合思想的重要工具.
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