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11.3 角 的 平 分 线 的 性 质
张
晋
华
山西省晋中市榆次五中
11.3 “角的平分线的性质”教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.会作已知角的平分线；
2.了解角的平分线的性质,能利用三角形全等证明角的平分线的性质；
3.会利用角的平分线的性质进行证明与计算.
（二）过程与方法
在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,进一步发展学生的推理证明意识和能力.
（三）情感、态度与价值观
在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神,增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验.
二、教学重点、难点
重点：角的平分线的性质的证明及应用；
难点：角的平分线的性质的探究.
三、教法学法
三步导学的教学模式；自主探索,合作交流的学习方式.
四、教与学互动设计
（一）激情导课
如图是小明制作的风筝，他根据AB=AD，BC=DC.不用度量，就知道AC是∠DAB的角平分线，你知道其中的道理吗？
（二）民主导学
1、探究一：角的平分线的作法
Ⅰ、议一议
问题1
请你拿出准备好的角，用你自己的方法画出它的角平分线.
问题2
如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线. 你能说明它的道理吗
问题3
通过上面的探究，你有什么启发？你能用尺规作图作已知角的平分线吗？请你试着做一做，并与同伴交流.
已知：∠MAN
求作：∠MAN的角平分线.
作法：（1）以A为圆心，适当长为半径画弧，交AM于B，交AN于D.
（2）分别以B、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠MAN的内部交于点C.
（3）画射线AC.
∴射线AC即为所求.
Ⅱ、练一练
平分平角∠AOB.通过上面的步骤得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD.直线CD与直线AB是什么关系？
思考：你能总结出“过直线上一点作这条直线的垂线”的方法吗？请说明你的方法。
2、探究二：角的平分线的性质
Ⅰ、做一做
如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开.观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？试着证明你的结论.
（1）角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
（2）角的平分线性质的证明步骤：
① 明确命题中的已知和求证;
已知:一个点在一个角的平分线上.
结论:这个点到这个角两边的距离相等.
②M根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证;
已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E.
求证: PD=PE.
③M经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程.
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥ OB (已知)
∴ ∠PDO= ∠PEO=90°(垂直的定义)
在△PDO和△PEO中
∠PDO= ∠PEO（已证）
∠AOC= ∠BOC （已证）
OP=OP （公共边）
∴ △PDO ≌ △PEO（AAS）
∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）
符号语言：
∵∠AOC=∠BOC, PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E.（已知）
∴ PD=PE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）
Ⅱ、练一练
(1) 下面四个图中,点P都在∠AOB的平分线上,则图形_____ 中PD＝PE.
(2)下图中,PD⊥OA,PE⊥OB，垂足分别为点D、E，则图中PD＝PE吗
(3)在S区有一个贸易市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路，怎样修才能使路最短？它们有怎样的数量关系呢？
思考：角的平分线的性质在应用时应该注意什么问题
3、角的平分线性质的应用
（1）如图,△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，CD＝3cm，则点D到AB的距离为 cm．
（第1题图） （第2题①图） （第2题②图）
（2）变式训练，深化新知
变式①，如图,△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为点E，AC=8cm， 则AD+DE= cm.
变式②，如图,△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，F在BC上，AD=DF
求证：CF=EA
（三）检测导结
1、目标检测 (本测试题共三道题，相信大家一定会做得非常棒！)
(1)如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=_____cm.
(第1题图) (第2题图) (第3题图)
(2)如图，点C为直线AB上一点，过点C作直线MN，使MN⊥AB.（不写作法，保留作图痕迹，写出结论）
(3)已知:如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F.
求证:EB=FC.
2、请你谈谈学习这节课的收获.
（四）布置作业
1.必做题：习题11.3 (1、4) 2.选做题：习题11.3 (5)
3.思考题
如图，要在Ｓ区建一个集贸市场,使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（在图上标出它的位置，比例尺1：20000）
（五）结束寄语
严格性之于数学家,犹如道德之于人.
条理清晰,因果相应,言必有据,是学习者谨记和遵循的原则.
希望每一个同学都能用聪明和智慧编织出更加精彩的人生！
五、板书设计
11.3 角的平分线的性质
1. 角的平分线的作法 2. 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 3.应用
已知：∠MAN 已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，
求作：∠MAN的角平分线 垂足分别为点D、E.
求证: PD=PE.
∴ 射线AC即为所求. 符号语言：
∵∠AOC=∠BOC, PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E.
∴ PD=PE
六、教学反思
A
D
B
C
E
C
A
D
B
M
N
C
A
B
O
A
B
O
B
P
O
A
C
E
D
B
P
O
A
C
E
D
P
O
A
B
C
E
D
P
O
A
B
C
E
D
P
O
A
B
C
E
D
D
A
C
B
D
C
B
B
P
O
A
C
E
D
S
公路
铁路
P
C
D
A
B
E
B
A
D
C
C
D
B
A
E
F
D
E
P
A
O
B
C
B
A
C
B
P
O
A
C
E
D
C
A
DN
BM
N
M
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11.3 角 的 平 分 线 的 性 质
张
晋
华
山西省晋中市榆次五中
11.3 “角的平分线的性质”教学设计
本节课的内容是人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级上册第十一章第三节“角的平分线的性质”（第一课时），下面从以下四个方面加以说明：
一、数学内容的本质、地位、作用分析
1.数学内容的本质
角的平分线的点到角的两边的距离相等.
2.数学内容的地位和作用
角的平分线的性质是全等三角形知识的运用和延续，它为后面证明线段相等、角相等的几何证明提供了一种新的、更为简单的证明方法.本节分为两课时：第一课时让学生动手探究角的平分线的画法、角的平分线的性质；第二课时主要探究角的平分线的判定，并在此基础上进行简单应用.本节课是第一课时的内容，它不仅为学生动手操作、观察、交流等活动提供了良好的素材，同时也让学生学习了怎样从实际问题中建立数学模型、解决实际问题.
二、教学目标分析
1、教学目标
根据课程标准要求、教材及学生的实际情况，我从知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个方面确定教学目标.
1.知识与技能
（1）会作已知角的平分线；
（2）了解角的平分线的性质,能利用三角形全等证明角的平分线的性质；
（3）会利用角的平分线的性质进行证明与计算.
2.过程与方法
在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,进一步发展学生的推理证明意识和能力.
3.情感、态度与价值观
在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神,增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验.
2、目标分析：
1.知识与技能
（1）所谓“会作已知角的平分线”，就是让学生通过探究角平分仪的原理,从而抽象概括出用尺规做角的平分线的作法；
（2）所谓“了解角的平分线的性质,能利用三角形全等证明角的平分线的性质”，就是让学生通过折纸归纳出角的平分线的性质，并能用三角形全等证明这个性质,体会用数学推理的方法证明猜想成立的必要性。
（3）所谓“会利用角的平分线的性质进行证明与计算”，就是通过变式训练,让学生会利用角的平分线的性质进行证明与计算.
2.过程与方法
所谓“在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,进一步发展学生的推理证明意识和能力”， 就是在活动中，让学生通过自主探索、合作交流等方式，帮助学生积累数学活动的经验，发展有条理的思维及初步的演绎推理能力。
3.情感、态度与价值观
所谓“在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神,增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验”，就是通过自主探索、合作交流等方式，培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神,增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验.
三、教学问题诊断分析
（1）在利用平分角的仪器的原理探究角的平分线的作法中，学生在作图时出现两弧不相交的问题，角的平分线画成直线或线段等问题，引导学生找到原因，自己解决问题.
（2）在折纸活动中，学生在折以第一条折痕为斜边的直角三角形时遇到很大困难，原因是他们不了解以第一条折痕为斜边折的直角三角形是为了产生角的平分线上的点到角的两边的距离，为猜想出性质作铺垫。因此，这里我安排分组活动，让学生在活动中相互交流，从而寻找正确的折叠方法.
（3）在探究角的平分线的性质证明过程中,学生遇到困难，原因是学生第一次接触命题的证明，不知道命题的证明该从何下手，因此我鼓励学生在组内相互探讨、交流，从而找到性质的证明方法，同时在探究过程中总结出命题的证明步骤.而在证明的过程中，应重点引导学生结合图形分析猜想的已知、求证。以及得出性质之后，用符号语言加以表示.
四、教法特点及预期效果分析
针对八年级学生的知识结构和心理特征，本节课采用“三步导学”的教学模式.以“问题”方式引导学生的活动和思考，以“变式”的形式使学生体会相关知识之间的联系和整体性.具体如下：
（1）激情导课
以“风筝”这一学生熟知的实际问题为切入点，既激发了学生的求知欲，又复习了三角形全等的知识，为引出本节课学习做好了铺垫.
（2）民主导学
①角的平分线的作法
从运用富有挑战性的学习材料----简易平分角仪器出发，提出了将一个已知角进行平分的的方法，同时，从简易平分角仪器中，引导学生总结角的平分线的作法，并对结果运用三角形全等的知识加以证明，提高了学生运用知识解决问题的能力，充分体现了学生自己动手，主动探索，合作交流的学习方式,并通过练一练巩固角的平分线的作法，同时总结出“过直线上一点作这条直线的垂线”的作法.
②角的平分线的性质
通过折纸的方法探索、归纳出角的平分线的性质，在证明角的平分线性质的基础上，把角的平分线性质运用到实际生活中去，并且通过练一练让学生明确性质的两个条件缺一不可，从而加深对性质的理解，学生在熟悉的知识背景下逐一将问题解决，使得他们的思维螺旋上升，在解决问题的过程中提高了学生综合运用知识的能力.
③角的平分线的应用
变式训练：不断的在图形中加条件，问题层层加深，而这些变式题目全部围绕本节课的重点，这样既能使整节课的知识体系完整，又能让学生掌握解决这一类问题的方法.
（3）检测导结
学生在目标检测的基础上，对这节课的学习情况进行反思总结，把课堂上学会了什么，没有学会什么以及今后怎样改进等问题彻底地弄清楚！
而本节课的反馈信息我将从学生的提问、讨论，练习中了解学生的学习动态，反思自己的教学实践，并在后继的教学中采取相应的补救措施.
总之，整节课我的设计是想在平等的师生关系下,通过一系列的问题设计，使得本节课的各种目标得以有效达成，学生在轻松、快乐的课堂氛围中自主探索新知，这样使得每位学生在本节课中都能得到不同的收获.最终实现“人人学有价值的数学、人人都能获得必需的数学以及不同的人在数学上都能得到不同的发展”,让学生真正感受到:课伊始,趣已生;课继续,情更浓;课已尽,意犹存.让数学课堂真正焕发出无穷的活力!
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