2.2.1椭圆的标准方程
一、填空题
1．方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是________．
解析：因为焦点在y轴上，所以16＋m>25－m，即m>，又因为b2＝25－m>0，故m<25，所以m的取值范围为2．椭圆＋＝1(m解析：因为m－n>0，故焦点在x轴上，所以c＝＝，故焦点坐标为(，0)，(－，0)．答案：(，0)，(－，0)
3．已知椭圆的标准方程是＋＝1(a>5)，它的两焦点分别是F1，F2，且F1F2＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为________．
解析：因为F1F2＝8，即即所以2c＝8，即c＝4，所以a2＝25＋16＝41，即a＝，所以△ABF2的周长为4a＝4.答案：4
4．过点(－3,2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程是________．
解析：因为c2＝9－4＝5，所以设所求椭圆的标准方程为＋＝1.由点(－3,2)在椭圆上知＋＝1，所以a2＝15.所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.答案：＋＝1
5．已知椭圆的焦点是F1(0，－1)、F2(0,1)，P是椭圆上一点，并且PF1＋PF2＝2F1F2，则椭圆的标准方程是________．
解析：由PF1＋PF2＝2F1F2＝2×2＝4，得2a＝4.又c＝1，所以b2＝3.所以椭圆的标准方程是＋＝1.答案：＋＝1
6．已知椭圆的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且2a＝10，则椭圆的标准方程是________．
解析：由椭圆定义知c＝1，∴b＝＝.∴椭圆的标准方程为＋＝1.答案：＋＝1
7．若△ABC的两个顶点坐标A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为________．
解析：顶点C到两个定点A，B的距离之和为定值10，且大于两定点间的距离，因此顶点C的轨迹为椭圆，并且2a＝10，所以a＝5,2c＝8，所以c＝4，所以b2＝a2－c2＝9，故顶点C的轨迹方程为＋＝1.又A、B、C三点构成三角形，所以y≠0.所以顶点C的轨迹方程为＋＝1(y≠0)答案：＋＝1(y≠0)
8．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上的一点，Q是PF1的中点，若OQ＝1，则PF1＝________.
解析：如图所示，连结PF2，由于Q是PF1的中点，所以OQ是△PF12的中位线，所以PF2＝2OQ＝2，根据椭圆的定义知，PF1＋PF2＝2a＝8，所以PF1＝6.答案：6
9．设F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1∶PF2＝2∶1，则△PF1F2的面积等于________．
解析：由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝，∴PF1＋PF2＝2a＝6.又PF1∶PF2＝2∶1，∴PF1＝4，PF2＝2，由22＋42＝(2)2可知△PF1F2是直角三角形，故△PF1F2的面积为PF1·PF2＝×2×4＝4.答案：4
二、解答题
10．已知椭圆x2＋2y2＝a2(a>0)的左焦点F1到直线y＝x－2的距离为2，求椭圆的标准方程．
解：原方程可化为＋＝1(a>0)，∴c＝＝a，即左焦点F1.由已知得＝2，解得a＝2或a＝－6(舍去)，即a2＝8.∴b2＝a2－c2＝8－4＝4.故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
11．已知圆C：(x－3)2＋y2＝100及点A(－3,0)，P是圆C上任意一点，线段PA的垂直平分线l与PC相交于点Q，求点Q的轨迹方程．
解：如图所示．∵l是线段PA的垂直平分线，∴AQ＝PQ.∴AQ＋CQ＝PQ＋CQ＝CP＝10，且10>6.
∴点Q的轨迹是以A、C为焦点的椭圆，且2a＝10，c＝3，即a＝5，b＝4.∴点Q的轨迹方程为＋＝1.
12．已知F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上任意一点．
(1)若∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积；
(2)求PF1·PF2的最大值．
解：(1)设PF1＝m，PF2＝n(m>0，n>0)．根据椭圆的定义得m＋n＝20.在△F1PF2中，由余弦定理得PF＋PF－2PF1·PF2·cos∠F1PF2＝F1F，即m2＋n2－2mn·cos＝122.∴m2＋n2－mn＝144，即(m＋n)2－3mn＝144.∴202－3mn＝144，即mn＝.又∵S△F1PF2＝PF1·PF2·sin∠F1PF2＝mn·sin，∴S△F1PF2＝××＝.
(2)∵a＝10，∴根据椭圆的定义得PF1＋PF2＝20.∵PF1＋PF2≥2，∴PF1·PF2≤2＝2＝100，当且仅当PF1＝PF2＝10时，等号成立．∴PF1·PF2的最大值是100.
2.2.1椭圆的标准方程
一、填空题
1．方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是________．
2．椭圆＋＝1(m3．已知椭圆的标准方程是＋＝1(a>5)，它的两焦点分别是F1，F2，且F1F2＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为________．
4．过点(－3,2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程是________．
5．已知椭圆的焦点是F1(0，－1)、F2(0,1)，P是椭圆上一点，并且PF1＋PF2＝2F1F2，则椭圆的标准方程是________．
6．已知椭圆的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且2a＝10，则椭圆的标准方程是________．
7．若△ABC的两个顶点坐标A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为________．
8．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上的一点，Q是PF1的中点，若OQ＝1，则PF1＝______.
9．设F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1∶PF2＝2∶1，则△PF1F2的面积等于________．
二、解答题
10．已知椭圆x2＋2y2＝a2(a>0)的左焦点F1到直线y＝x－2的距离为2，求椭圆的标准方程．
11．已知圆C：(x－3)2＋y2＝100及点A(－3,0)，P是圆C上任意一点，线段PA的垂直平分线l与PC相交于点Q，求点Q的轨迹方程．
12．已知F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上任意一点．
(1)若∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积；
(2)求PF1·PF2的最大值．
2.2.1椭圆的标准方程即时巩固
一、填空题
1．动点P到两个定点F1(0，－4)、F2(0,4)的距离之和为10，则动点P的轨迹方程是________．
解析：由椭圆定义知2a＝10，∴a＝5，∵c＝4，∴b2＝a2－c2＝9.又∵焦点在y轴上，所以椭圆标准方程为＋＝1.
2．(2010年扬州调研)椭圆＋＝1的焦点坐标为________．
解析由椭圆方程知焦点在y轴上，所以a2＝169，b2＝25，所以c＝＝12.焦点坐标为(0，－12)，(0,12)．答案：(0,12)，(0，－12)
3．椭圆＋＝1的焦距为2，则m＝________.
解析：将焦点在x轴、y轴上两种情况分别进行讨论．当焦点在x轴上时，由2c＝2得c＝1，∵a2＝4，b2＝m，∴c2＝4－m＝1，即m＝3；当焦点在y轴上时，由2c＝2得c＝1，∵a2＝m，b2＝4，∴c2＝m－4＝1，即m＝5.故m＝3或5.
4．(2010年无锡模拟)如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是________．
解析：原方程可化为＋＝1，∵焦点在y轴上，∴>2，即k<1，又k>0，∴0二、解答题
5．已知a＝4，c＝，求椭圆的标准方程．
解：若椭圆的焦点在x轴上，则设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．∵a＝4，c＝，∴b2＝a2－c2＝16－15＝1，∴所求椭圆的标准方程为＋y2＝1；若椭圆的焦点在y轴上，则设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
∵a＝4，c＝，∴b2＝a2－c2＝16－15＝1，∴所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.
综上所述，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋x2＝1.
6．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；
(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．
解：(1)∵椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．将点(5,0)代入上式得a＝5，又c＝4，
∴b2＝a2－c2＝25－16＝9，故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)∵椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．∵椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
∴解得故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.
2.2.1椭圆的标准方程即时巩固
一、填空题
1．动点P到两个定点F1(0，－4)、F2(0,4)的距离之和为10，则动点P的轨迹方程是________．
2．椭圆＋＝1的焦点坐标为________．
3．椭圆＋＝1的焦距为2，则m＝________.
4．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是________．
二、解答题
5．已知a＝4，c＝，求椭圆的标准方程．
6．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；
(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．
2.2.1椭圆的标准方程提高
一、填空题
1．若椭圆＋＝1的离心率e＝，则k的值为________．
解析：当焦点在x轴上时，a＝，b＝2，c＝，e＝＝＝，解得k＝；当焦点在y轴上时，a＝2，b＝，c＝，e＝＝＝，解得k＝.所以k的值为或.答案：或
2．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程是___________．
解析：由两个焦点三等分长轴知3·2c＝2a，即a＝3c.由a＝9得c＝3，所以b2＝a2－c2＝72，所以椭圆的标准方程是＋＝1.
3．已知椭圆的焦点在x轴上，长、短半轴之和为10，焦距为4，则该椭圆的标准方程为____________．
解析：由题意知a＋b＝10，c＝2，又因为c2＝a2－b2，所以a＝6，b＝4，所以该椭圆的标准方程为＋＝1.
4．设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P.若△F1F2P为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________．
解析：由题意知，PF2＝F1F2＝2c，PF1＝PF2＝2c，∴PF2＋PF1＝2c(＋1)＝2a，∴e＝＝＝－1.
5．以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为________．
解析：如图，设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，焦距的一半为c.由题意知∠F1AF2＝90°，∠AF2F1＝60°.
∴AF2＝c，AF1＝2c·sin60°＝c.∴AF1＋AF2＝2a＝(＋1)c.∴e＝＝＝－1.答案：－1
6．已知两椭圆＋＝1与＋＝1(0解析：∵c＝25－9＝16，∴c1＝4，∵c＝(25－k)－(9－k)＝16，∴c2＝4.∵∴c1＝c2，∴2c1＝2c2，∴有相同的焦距．答案：焦距
7．若F1、F2是椭圆C：＋＝1的焦点，则在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为________．
解析：∵椭圆C：＋＝1，∴c＝2，∴F1(－2,0)，F2(2,0)，其短轴的端点为B(0,2)，A(0，－2)，∴∠F1BF2＝∠F1AF2＝90°.又短轴端点与F1、F2连线所成的角是椭圆上动点P与F1、F2连线所成角中的最大角，∴满足PF1⊥PF2的点有2个．答案：2
8．若椭圆＋＝1(a>b>0)焦距的一半为c，直线y＝2x与椭圆的一个交点的横坐标恰为c，则该椭圆的离心率为________．
解析：由题设可得2c＝，即b2＝2ac，∴c2＋2ac－a2＝0，即e2＋2e－1＝0，又09．已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围是____________．
解析：因为点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，即在椭圆＋＝1上，所以点(m，n)满足椭圆的范围|x|≤，|y|≤2，因此|m|≤，即－≤m≤，所以2m＋4∈[4－2，4＋2]．答案：[4－2，4＋2]
二、解答题
10．如图，椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，一条直线l经过F1与椭圆交于A、B两点．
(1)求△ABF2的周长；
(2)若直线l的倾斜角为45°，求△ABF2的面积．
解：由椭圆的方程＋＝1知，a＝4，b＝3，∴c＝＝.
(1)△ABF2的周长为AB＋AF2＋BF2＝(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)＝4a＝4×4＝16.
(2)由c＝知F1(－，0)、F2(，0)，又k1＝tan45°＝1，∴直线l的方程为x－y＋＝0.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则由，消去x整理，得25y2－18y－81＝0，∴y1＋y2＝，y1y2＝－.∴|y1－y2|＝＝ ＝，
∴S△ABF2＝F1F2·|y1－y2|＝×2×＝.
11．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦所在直线的方程．
解：(1)由消去y，得5x2＋2mx＋m2－1＝0.因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，解得－≤m≤.
(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)．由(1)知，5x2＋2mx＋m2－1＝0，由根与系数的关系，得x1＋x2＝－，x1x2＝(m2－1)．
所以AB＝ ＝＝＝ ＝，
所以当m＝0时，AB的值最大，此时直线方程为y＝x.
12.如图，点A、B分别是椭圆＋＝1长轴的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.
(1)求P点坐标；
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于MB，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．
解：(1)由已知可得点A(－6,0)，F(4,0)，设点P(x，y)，则＝(x＋6，y)，＝(x－4，y)．由已知得消去y得2x2＋9x－18＝0.∴x＝或x＝－6.∵y>0，∴x＝，y＝.∴P点坐标是(，)．
(2)直线AP的方程是x－y＋6＝0.设M(m,0)(－6≤m≤6)，则M到直线AP的距离是.
又MB＝6－m，∴＝6－m.∵－6≤m≤6，∴m＝2.椭圆上的点(x，y)到点M的距离
d＝＝ ＝ .由于－6≤x≤6，∴当x＝时，d取最小值为.
2.2.1椭圆的标准方程提高
一、填空题
1．若椭圆＋＝1的离心率e＝，则k的值为________．
2．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程是___________．
3．已知椭圆的焦点在x轴上，长、短半轴之和为10，焦距为4，则该椭圆的标准方程为____________．
4．设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P.若△F1F2P为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________．
5．以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为________．
6．已知两椭圆＋＝1与＋＝1(07．若F1、F2是椭圆C：＋＝1的焦点，则在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为________．
8．若椭圆＋＝1(a>b>0)焦距的一半为c，直线y＝2x与椭圆的一个交点的横坐标恰为c，则该椭圆的离心率为________．
9．已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围是____________．
二、解答题
10．如图，椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，一条直线l经过F1与椭圆交于A、B两点．
(1)求△ABF2的周长；(2)若直线l的倾斜角为45°，求△ABF2的面积．
11．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在直线的方程．
12.如图，点A、B分别是椭圆＋＝1长轴的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.(1)求P点坐标；(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于MB，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．
2.2.2 随堂及时巩固
一、填空题
1．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于________．
解析：由题意知2a＝2×2b，即a2＝4b2＝b2＋c2，所以c2＝3b2，所以a2＝c2，所以e＝.答案：
2．若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m＝________.
解析：∵e2＝1－，a2＝2，b2＝m，e＝，∴m＝.答案：
3．椭圆9x2＋y2＝81的长轴长为_____，短轴长为_____，焦点坐标为_______，顶点坐标为______，离心率为__．
解析：椭圆方程化为＋＝1，则a＝9，b＝3，∴c＝6.∴长轴长2a＝18，短轴长2b＝6，焦点坐标分别为F1(0，－6)，F2(0,6)，顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，B1(0，－9)，B2(0,9)，离心率为e＝＝＝.
4．(2010年泰州调研)椭圆的一个焦点将其长轴分成∶两段，则椭圆的离心率为________．
解析：不妨设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，由题意知椭圆的右焦点F满足要求，于是有＝，∴＝5－2，即e＝5－2.
二、解答题
5．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过点P(－3,0)，Q(0，－2)；
(2)长轴长为20，离心率等于.
解：(1)由椭圆的几何性质知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，所以点P、Q分别是椭圆的长轴和短轴的一个端点，于是有a＝3，b＝2.又长轴在x轴上，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)∵2a＝20，e＝＝，∴a＝10，c＝6，b2＝a2－c2＝64.由于椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
6．(2010年南师附中模拟)已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标和顶点坐标．
解：∵m>，∴a2＝m，b2＝.∴c＝＝ .由e＝得 ＝，
∴m＝1.∴椭圆标准方程为＋＝1.∴a＝1，b＝，c＝.故椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)；四个顶点分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B1(0，－)，B2(0，)．
