导数的几何意义

课件24张PPT。导数的几何意义1先来复习导数的概念1.函数的平均变化率2、 t0时刻的瞬时速度 如果函数y=f(x)在点x=x0存在导数,就说函数y=f(x)在点x0处可导,如果极限不存在,就说函数 f(x)在点x0处不可导. 由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:注意:
这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负.
自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择
哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式. 如图,曲线C是函数y=f(x)
的图象,P(x0,y0)是曲线C上的
任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)
为P邻近一点,PQ为C的割线,
PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的
倾斜角.下面来看导数的几何意义:割线的斜率PQ割线切线T请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着
点P逐渐转动
的情况.割线PQ越来越接近曲线在点P的切线 我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即: 这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)
处的切线方程.Py=x2+1xy-111O因此,切线方程为y-2=2(x-1),
即y=2x.求曲线在某点处的切线方程
的基本步骤:
先利用切线斜率的定义求出切线的斜率,
然后利用点斜式求切线方程.曲线某点的切线的斜率
等于函数在该点处的导数即点P处的切线的斜率等于4. (2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),
即12x-3y-16=0.d.求切线方程的步骤：例:求过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程.说明:曲线上求在点P处的切线与求过点P的切线有区别.
在点P处的切线,点P必为切点,求过点P的切线,点P
未必是切点.应注意概念的区别,其求法也有所不同.解:设所求切线的切点在A(x0,y0).因为A是曲线y=x2上的一点,所以,y0=x02 ①.故切点分别为(1,1)或(5,25).当切点为(1,1)时,切线的斜率为k1=2x0=2;当切点为(5,25)时,切线的斜率为k2=2x0=10;所以所求的切线有两条,方程分别为:y-1=2(x-1)或y-25=10(x-5),即y=2x-1或y=10x-25.某时刻血管中药物的浓度的瞬间变化率，
即等于函数图像上该点处的切线的斜率小结：
函数在某处的导数的几何意义：
函数图像上该点处的切线的斜率
1、用途1：求解曲线上某点的切线方程2:求过点P(8，-3)且与曲线y=1/x相切的直线方程.1、已知曲线 f(x)=3x2+x-1上的一点P，横坐标为-2，
求:(1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.作业P11；T4导数的几何意义2函数在某处的导数的几何意义：朝花夕拾函数在某处的导数值等于函数图像上
该点处的切线的斜率PQ割线切线T请看当点Q
沿着曲线
逐渐向点P
接近时,割线PQ绕着
点P逐渐转动
的情况.割线PQ越来越接近曲线在点P的切线过点P的切线PT最贴近点P附近的曲线f(x) ，因此，在P
附近，曲线f(x)就可以用过点P的切线PT来代替以直代曲阅读课本9页的文字说明，体会在微积分中“以直代曲”的思想，
体验数学中以简单的对象代替复杂的解题思路T5某时刻血管中药物的浓度的瞬间变化率，
即等于函数图像上该点处的切线的斜率什么是导函数?由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,
f ’(x0) 是一个确定的数.那么,当x0变化时, f ’(x0) 有且只有一个值与之对应；所以， f ’(x) 是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.t0.20.40.60.80.40-0.7-1.4这是用列表法来表示函数的对应关系！导函数，实际是函数的自变量与其该点处的切线的斜率
的一种对应关系在不致发生混淆时，导函数也简称导数．T6，BT1（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改
变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个
常数，不是变数。弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数”
之间的区别与联系。小结：
一、函数在某处的导数的几何意义：
函数图像上该点处的切线的斜率
用途1：求解曲线上某点的切线方程
用途2：利用导数的几何性质“以直代曲”的数学思想
二、导函数的概念及相关概念的区别