三角形中位线定理 教学案

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课 题： 1.5 三角形中位线定理
教学目标：
1． 理解三角形中位线的概念，掌握它的性质．
2． 能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．
3．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力．
4．能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论．理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法．
重点、难点
1．重点：掌握和运用三角形中位线的性质．
2．难点：三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）．
（1）强调三角形的中位线与中线的区别：
（2）要把三角形中位线性质的特点、条件、结论及作用交代清楚：
学习过程：
一、情景创设
实验：请同学们思考：将任意一个三角形分成四个全等的三角形，你是如何切割的？（答案如图）
图中有几个平行四边形？你是如何判断的？
二、引入新课
1． 三角形中位线： ．
2． 三角形中位线性质
　　三角形中位线定理： ．
　定理符号语言的表达：
如图，在△ABC中
∵D、E是AB、AC的中点
∴
　应注意的两个问题：①第一个结论是表明中位线与第三边的位置关系，第二个结论是说明中位线与第三边的数量关系，在应用时可根据需要来选用其中的结论（可以单独用其中结论）．②这个定理的证明方法很多，关键在于如何添加辅助线．
三探索活动
已知： 如图，点D、E、分别为△ABC边AB、AC的中点，求证：DE∥BC且DE=BC．
分析：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形．
方法1：如图（1），延长DE到F，使EF=DE，连接CF，（也可以过点C作CF∥AB交DE的延长线于F点，证明方法与上面大体相同）
方法2：如图（2），延长DE到F，使EF=DE，连接CF、CD和AF，
【思考】：
（1）想一想：①一个三角形的中位线共有几条？②三角形的中位线与中线有什么区别？
（2）三角形的中位线与第三边有怎样的关系？
三角形中位线的性质：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．
〖拓展〗已知：△ABC的周长为a，面积为s，连接各边中点得△A1B1C1，再连接△A1B1C1各边中点得△A2B2C2……，
则（１）　第３次连接所得△A3B3C3的周长＝ ，面积＝
（２）第n次连接所得△AnBnCn的周长＝ ，面积＝
四典型例题
1、 如图，△ABC中，AD是BC的中线，EF是中位线，
求证：AD、EF互相平分。
2、已知，在三角形ABC中，BD平分∠ABC，AD ⊥BD，F为AC的中点，
求证：DE∥BC，DF=（BC－AB）
3 求证：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形．
已知：如图所示，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
　　求证：四边形EFGH是平行四边形．‘
思　顺次连结矩形菱形正方形各边中点所得的四边形是什么四边形？等腰梯形呢？
（学生边画图边观察，请学生猜想）
2、猜测：当四边形满足什么条件时，四边形EFGH为矩形、菱形、正方形？
五、课堂练习
（一）填空
1如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN=20 m，那么A、B两点的距离是 m，理由是 ．
2．△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
（1）若EF=5cm，则AB= cm；若BC=9cm，则DE= cm；
（2）中线AF与DE中位线有什么特殊的关系？证明你的猜想．
3．一个三角形的周长是135cm，过三角形各顶点作对边的平行线，则这三条平行线所组成的三角形的周长是 cm．
(二)解答
1已知：如图点E. F .G. H分别是线段 AB. BC. C D. AD的中点
当四边形DBCA满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？
六小结与作业
评价与反思
A
B
C
D
E
H
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