1.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（6） 教学案

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1.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（6）
教学目标
1、会证明矩形的判定定理
2、能运用矩形的判定定理进行计算与证明
3、能运用矩形的性质定理与判定定理进行比较简单的综合推理与证明
教学重、难点
重点：矩形判定定理的证明
难点：矩形判定定理的应用
教学过程：
一、情境创设
具备什么条件的平行四边形是矩形？具备什么条件的四边形是矩形？同学之间进行交流。
二、探索活动
问题一 如图，在□ABCD中，AC=BD，由此你可得到什么？
问题二 如图，要证□ABCD是矩形，需证什么？为什么？
根据矩形的定义，只要证□ABCD的一个角是直角；或证∠ABO+∠CBO=90°；或证∠ABC=∠DCB.
问题三 说说证明“对角线相等的平行四边形是矩形”的思路。
由问题二可得出多种证明思路。
三、例题教学
例1、 P22 例5
练习：P23 1、2
例2、 已知：如图，□ABCD的四个内角平分线相交于点E、F、G、H。
求证：EG=FH
分析：由□ABCD，得对边AB∥CD，可证∠ABC+∠BCD=180°
再由两角的平分线可得∠GBC+∠GCB=90°,从而得∠HGF=90°，
同理可证得∠HEF=90°，∠AHB=90°,再由对顶角相等得∠EHG=90°，从而可得四边形EFGH是矩形，再由矩形的对角线相等得出结论。
例3 已知：平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，△AOB是等边三角形，AB
＝4cm，求这个平行四边形的面积（如图4－38）。
分析解题思路：
（1）先判定平行四边形ABCD为矩形。
（2）求出Rt△ABC的直角边BC的长。
（3）计算S＝AB×BC
小结：
（1）具有平行四边形的所有性质。
（2）特有性质：四个角都是直角，对角线线段。
（3）矩形的判定方法1、2都是有两个条件：
①是平行四边形，②有一个角是直角或对角线相等。
判定方法3的两个条件是：①是四边形，②有三个直角。
练习：
1.如图，BO是Rt△ABC斜边上的中线，延长BO至点D，使BO=DO，连结AD，CD，则四边形ABCD是矩形吗？请说明理由．
2．已知：如图，BC是等腰△BED底边ED上的高，四边形ABEC是平行四边形．求证：四边形ABCD是矩形．
例4、（2006年青岛市）如图，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．
【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠1=∠C，AD=CB，AB=CD．
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴AE=AB，CF=CD．
∴AE=CF．
∴△ADE≌△CBF．
（2）当四边形BEDF是菱形时，四边形AGBD是矩形．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∵AG∥BD，
∴四边形AGBD是平行四边形．
∵四边形BEDF是菱形，
∴DE=BE．
∵AE=BE，
∴AE=BE=DE．
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴2∠2+2∠3=180°．
∴∠2+∠3=90°．
即∠ADB=90°，
∴四边形AGBD是矩形．
四、分层训练
1．下列说法错误的是（ ）
（A）有一个内角是直角的平行四边形是矩形
（B）矩形的四个角都是直角，并且对角线相等
（C）对角线相等的平行四边形是矩形
（D）有两个角是直角的四边形是矩形
2．平行四边形内角平分线能够围成的四边形是（ ）
（A）梯形 （B）矩形 （C）正方形 （D）不是平行四边形
3．如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，四边形ABCD应具备的条件是（ ）．
（A）一组对边平行而另一组对边不平行;（B）对角线相等
（C）对角线互相垂直; （D）对角线互相平分
4．工人师傅在做门框或矩形零件时，常常测量它们的两条对角线是否相等来检查直角的精度，为什么
8.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：
（1）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB=CD，EF=GH；
（2）摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是______形，根据的数学原理是：_______________________；
（3）将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是_______形，根据的数学原理是：_____________________．
五、小结
进行推理论证常常需要从两个方向思考：“证明结论，需要什么条件？”“从已知条件可以推出哪些证明结论所需的事项？”这样有利于探索并获得证明的思路。
六、作业
七、教后感
B
A
D
C
O
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