1.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（7） 教学案

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1.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（7）
教学目标
1、会证明菱形的判定定理
2、能运用菱形的判定定理进行计算与证明
3、能运用菱形的性质定理与判定定理进行比较简单的综合推理与证明
教学重、难点
重点：菱形判定定理的证明
难点：菱形判定定理的应用
教学过程：
一、情境创设
具备什么条件的平行四边形是菱形？具备什么条件的四边形是菱形？同学之间进行交流。
二、探索活动
探索“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的证明思路。
问题一 如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，
且AC⊥BD，由此你可证得什么？（可得到两对全等的等腰三角形和
四个全等的直角三角形，还可得到AC、BD互相垂直平分）
问题二 如图，要证平行四边形ABCD是菱形，需证什么？为什么？
（要证平行四边形是菱形，根据菱形的定义，只需证一组邻边相等即可）
问题三 说说证明“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的思路。
（思路一：证相邻的两个直角三角形全等得出一组邻边相等即可；思路二：由垂直平分线的性质可得一组邻边相等。）
可选择思路二证明。
思考与探索 你能用直尺和圆规作一个菱形？并说明作图的理由。
作法一：可利用“四边相等的四边形是菱形”来作，先作一个角，再在角的两边上截取相等的边作为菱形的边长，再分别以两个截点为圆心，菱形的边长为半径画弧，两弧相交于一点，这点即为菱形的第四个顶点；
作法二：可利用“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”来作，可先作出两条互相垂直平分的线段，再将两条线段的四个端点顺次连结起来，即作出了一个菱形。
例1、 已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AD是角平分线，点E、F分别在AC、AD上，且AE=AB，EF∥BC。
求证：四边形CDEF是菱形。
分析：由已知AD为角平分线，AE=AB联想到“三线合一”，
因此连结BE，可得到四边形BDEF的对角线互相垂直，只需证
四边形BDEF是平行四边形即可，而已知EF与BD平行，只需证
EF=BD，这可由全等三角形解决。
练习：
1、已知：如图，在□ABCD中，对角线BD平分∠ABC。
求证：四边形ABCD是菱形。
2、已知：如图，在△ABC中，AD是角平分线，E是AB上一点，且AE=AC，EG∥BC，EG交AD于点G。
求证：四边形EDCG是菱形。
例2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E，又点F在DE的延长线上，且AF=CE．求证：四边形ACEF为菱形．
【分析】欲证四边形ACEF为菱形，可先证四边形ACEF为平行四边形，然后再证ACEF为菱形，当然，也可证四条边相等，直接证四边形为菱形．
练习：1、（2006年河南省）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=3．D是BC边上一点，直线DE⊥BC于D，交AB于E，CF∥AB交直线DF于F．设CD=x．
（1）当x取何值时，四边形EACF是菱形？请说明理由；
（2）当x取何值时，四边形EACD的面积等于2？
2．如图，点E、F是菱形ABCD的边BC、CD上的点，请你添加一个条件（不得另外添加辅助线和字母），使AE=AF，你添加的条件是________．
四、分层训练
1、判断
（1）对角线互相垂直的四边形是菱形。（ ）
（2）对角线互相平分的四边形是菱形。（ ）
（3）两组对边分别平行，且对角线 的四边形是菱形。
（4）两组对边分别相等，且对角线互相垂直的四边形是菱形。（ ）
2、(1)如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE和CE相交于E，求证：四边形OCED是菱形。
3、、已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，
DF∥AB交AC于点F，请判断四边形AEDF的形状，并说明理由。
4、已知：如图，□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC
分别相交于点E、F。
求证：四边形AFCE是菱形。
5、将一张长方形纸片既快又准确地剪出一个菱形，并说出这样剪的依据。
五．目标检测
六、小结
1、 用直尺和圆规作一个菱形，并说明作图依据。
2、 菱形的判定方法。
七、教后感
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