1.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（2） 教学案

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1.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（2）
教学目标
1、认识几种特殊的四边形的性质的联系与区别
2、会证明矩形的性质定理及直角三角形斜边上中线的有关性质定理
3、能运用矩形的性质定理或有关定理进行简单的计算与证明
4、在进行探索、猜想、证明的过程中，能将命题由文字语言转化为图形与符号语言，进一步发展推理论证的能力
教学重、难点
重点：矩形的本质属性
难点：矩形性质定理的综合应用
教学过程：
一、情境创设
矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质。结合下图说说矩形有哪些平行四边形不具有的特殊性质？
你能证明这些性质吗？
二、合作交流
问题一 观察平行四边形和矩形的对角线把它们所分成的三角形，你有何发现？（引导学生不断地学会从多个角度观察、认识图形，主动地发现和获得新的数学结论，不断地积累数学活动的经验）
问题二 证明：矩形的4个角都是直角。
矩形的对角线相等。
问题三 你能证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”吗？说说你的证明思路。
已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°.
求证：边AB上的中线等于AB.
证明：在∠ACB内作∠BCD=∠B，CD交AB于点D
∵∠ACB=90°
∴ACD与BCD互余，∠A与∠B互余
∵∠BCD=∠B
∴∠ACD=∠A
∴DA=DC=DB，即CD是边AB上的中线，且CD=AB
问题四 你对上面的结论还有更多的思考和猜想吗？（引导学生不断学会思考和猜想：由结论进一步能得到什么结论？这个结论的逆命题是否正确。不断发展学生数学思考的能力）
例1 、已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，
且AC=2AB.
求证：△AOB是等边三角形
分析：利用矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，结合“AC=2AB”即可证得。
本题若将“AC=2AB”改为“∠BOC=120°”，你能获得有关这个矩形的哪些结论？
练习：P16页 1、2
例2、如图 在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，交CD于点E，点F在边BC上，
1 如果FE⊥AE，求证FE=AE。
②如果FE=AE 你能证明FE⊥AE吗？
练习：
思考△.如图①所示，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，点M在边AB上，且AM=6．
（1）动点D在边AC上运动，且与点A、C均不重合，设CD=x．
①设△ABC与△ADM的面积之比为y，求y与x之间的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；
②当x取何值时，△ADM是等腰三角形？写出你的理由．
（2）如图②，以图①中的BC、CA为一组邻边的矩形ACBE中，动点D在矩形边上运动一周，能使△ADM是以∠AMD为顶角的等腰三角形共有多少个？（直接写出结果，不要求说明理由）
例3、（吉林省）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，BC=6，沿EF折叠后，点C落在AB边上的点P处，点D落在点Q处，AD与PQ相交于点H，∠BPE=30°．
（1）求BE、QF的长．（2）求四边形PEFH的面积．
【分析】折叠型试题是近年中考试题的热点，要想解好此类题，考生必须有想像力，抓住折叠的角与边不发生变化，必要时需要考生剪一个四边形实际折叠一下帮助理解．
四、分层训练
1、已知，在矩形ABCD中，AE⊥BD，E是垂足，
∠DAE∶∠EAB=2∶1，求∠CAE的度数。
2、 在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若对角线AC=10cm，边BC=8cm，则△ABO的周长为________．
3、如图1，周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（ ）．
（A）98 （B）196 （C）280 （D）284
（1） (2) (3)
4、如图2，根据实际需要，要在矩形实验田里修一条公路（小路任何地方水平宽度都相等），则剩余实验田的面积为________．
5、如图3,在矩形ABCD中，M是BC的中点，且MA⊥MD．若矩形ABCD的周长为48cm，则矩形ABCD的面积为_______cm2．
6、已知，如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OB的中点．
（1）求证：△ADE≌△BCF；（2）若AD=4cm，AB=8cm，求OF的长．
7、如图，在矩形ABCD中，已知AB=8cm，BC=10cm，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的中点F处，折痕为AE，求CE的长．
8、阅读下列过程:
如图①，小肖过AB，CD的中点画直线EF，把矩形ABCD分割成甲、乙两部分．
如图②，小徐过A，C两点画直线AC，把矩形ABCD分割成丙、丁两部分．
回答下列问题：
（1）填空：S甲_____S乙，S丙_____S丁（填“〉”或“〈”或“＝”）；
（2）根据小肖、小徐的分割原理，你还能探索出其他的分割方法吗？请在图③中任意给出一种；
（3）由本题的操作过程，你发现了什么规律？
．9、（2006年烟台市）如图4,先将一矩形ABCD置于直角坐标系中，使点A与坐标系的原点重合，边AB、AD分别落在x轴、y轴上（如图①所示），再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30°（如图②所示），若AB=4，BC=3，则图①和图②中，点B的坐标为_________，点C的坐标为________．
五、小结
从位置、形状、大小等不同的角度，观察和比较平行四边形、矩形的对角线把它们分成的三角形的异同，发现并应用直角三角形的判定证明矩形的特殊性质；反过来，我们又利用矩形的性质证明“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”。
六、课堂检测
七、教后感
A
B
D
C
E
O
① ②
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