课件14张PPT。余弦定理 正弦定理 在一个三角形中，各边和 它所对角的正弦值的比相等，即正弦定理可以解哪几类的三角形问题？ （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（进而求出其他的边和角）。什么叫正弦定理 ？ 因为某种实际需要，需测量左图中A、B二点间的距离。如何测量？ 实际测量中，测量人员在如图所示位置取点C，用皮尺测得AC=8米，BC=5米，∠ACB= 。由此测量人员可以得到AB的长度。
问：怎么样算AB的长度？实际问题数学化 在△ABC中，已知边AC，BC
及∠C ,求AB.分析转化:一般化: 已知三角形两边分别为a和b,这两
边的夹角为C，角C满足什么条件时较易
求出第三边c？勾股定理你能用向量证明勾股定理吗？特殊化 余弦定理 a2=b2+c2-2bc·cosA
b2=c2+a2-2ca·cosB
c2=a2+b2-2ab·cosC你能用文字说明吗？ 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 想一想： 余弦定理能够解决什么问题？ a2=b2+c2-2bc·cosA
b2=c2+a2-2ca·cosB
c2=a2+b2-2ab·cosC方程思想：四个量，知三求一1、 已知两边和它们的夹角求另一边（直接用）2、已知三边求角（变形）练一练：会用才是硬道理思考：已知条件不变，将例1稍做改动
（1）在三角形ABC中，已知a=7,b=10,c=6,判定三角形ABC的形状变式1:已知三角形三边长为a,b,c,怎样判断△ABC是锐角三角形,直角三角形还是钝角三角形？设a是最长边,则
△ABC是直角三角形?a2=b2+c2
△ABC是锐角三角形?a2 △ABC是钝角三角形?a2>b2+c2分析：求最大角的余弦值，最主要的是判断哪个角是最大角。由大边对大角，已知两边可求出第三边,找到最大角。则有：b是最大边，那么B 是最大角例4：一钝角三角形的边长为连续自然数，则这三边长为（ ）
A、1，2，3 B、2，3，4 C、3，4，5 D、4，5，6分析： 要看哪一组符合要求，只需检验哪一个选项
中的最大角是钝角，即该角的余弦值小于0。A、C显然不满足B总结（1）余弦定理适用于任何三角形（3）由余弦定理可知：（2）余弦定理的作用： a、已知三边，求三个角 b、已知两边及这两边的夹角，求第三边，进而可求出其它两个角c、判断三角形的形状课件14张PPT。正弦定理 现实生活中有许多测绘问题，如：测量楼高、隧道长等，
往往由于地形条件的制约，有一些量不易被直接测量。这时
就需要能够根据其它易测量的数据来计算。如下面一例： 如图在河岸一侧有A、B两点，现要测量这两点距河对岸
点C处的距离。现可以测量AB的长以及图中角A和角B的大小，
如何利用这三个条件去求AC、BC间的长度呢？ 上述问题实际上是：利用边和角去求另外的边和角的解
三角形问题。若上述条件放在什么样的三角形中可以解决。现在我们来研究三角形边与角之间的关系：在初中我们学过解直角三角形． 我们再来研究，在任意三角形中这一关系是否成立呢？ 当⊿ABC是锐角三角形时，设边AB上
的高是CD，根据三角函数的定义。⑵公式的变形：
①a:b:c=sinA:sinB:sinC
②a=ksinA, b=ksinB, c=ksinC 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的
比相等。即注：
⑴正弦定理可以解决下列三角问题：
①已知两角和任一边，求其它两边和一角。
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。正弦定理有两个方面的作用：
解三角形和实现边角转化来研究三角函数的问题. 正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦之
间的一个关系式。由正弦函数在区间上的单调性可知，正弦
定理非常好的描述了任意三角形中边与角的一种数量关系。 一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，
b，c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元
素的过程叫做解三角形。例1 在⊿ABC中，A=32.0°,B=81.8°,a=42.9 cm,解
三角形。解 根据三角形内角和定理，C=180°-(A+B)=180°-(32.0°+81.8°)=66.2°.根据正弦定理，根据正弦定理，例2 在⊿ABC中，已知a=20 cm,b=28 cm,A=40°,解三角形。(角度精确到1°，边长精确到1 cm) 由我们学过的全等三角形的知识，上面的条件能确定一个三角形吗？解 根据正弦定理，因为0°＜B＜180°,所以B≈64°,或B≈116°.(1) 当B≈64°时，(2) 当B≈116°时，解课堂练习1、在△ABC中，已知：a=10，C=30o，A=45o，
求：b (保留两个有效数字)。参考答案：b≈142、在△ABC中，已知：a=10，b=15，B=30o，
求：A (精确到1o) 。参考答案：A≈19°.思考：在△ABC中，已知：a=10，b=20，C=45o，能用正弦
定理直接求出A吗？课堂练习课本第10页 习题1.1 A组第1、2题课件15张PPT。正弦定理和余弦定理应用举例复 习1、正弦定理和余弦定理的概念（请学生答）余弦定理：a2 = b2+c2-2bccosA
b2 = a2+c2-2accosB
c2 = a2+b2-2abcosC2、正弦定理和余弦定理可解哪些三角形？
(引导学生回答)余弦定理可解决三角形中：
（1）已知三边，求三个角。
（2）已知二边及一角，求其它边和角。正弦定理可解决三角形中：
（1）已知二角及一边 求其它边和角。
（2）已知二边及其中一边的对角，求其它边和角。 在修建“万里长江第一隧”—武汉过江隧道时，
由于环境因素不可直接测量其长度，于是工作人员
分别以船舶设计院和月亮湾为顶点测量出B，C两个
角，以及BC两地之间距离，那么我们能否结合这些
测量值计算出隧道的长度呢？ 解斜三角形的问题，通常都要根据题意，从实际问题中抽
象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出所要求
的量，从而得到实际问题的解。
在这个过程中，贯穿了数学建模的思想。这种思想即是从
实际问题出发，经过抽象概括，把它转化为具体问题中的数学
模型，然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际
问题的解。正弦定理和余弦定理体现了三角形中边角之间的相
互关系，在测量学，运动学，力学，电学等诸多领域有着广泛
的应用。例1 如图，设AB两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，
测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55 m，∠BAC=51°, ∠ACB=75°.求AB两点间的距离。（精确到0.1m）分析：所求的边AB的对角是已知的，又已知三角形的一边AC，根据三角形内角和定理可计算出边AC的对角，根据正弦定理，可计算出边AB.解 根据正弦定理，得答：AB两点间的距离为65.7 m。 为了测量河对岸A,B两点之间的距离，在河岸这边取点C,
D，测得∠ADC=85°， ∠BDC=60°, ∠ACD=47°, ∠BCD
=72°,CD =100m,设A,B,C,D在同一平面内，试求A,B 之间的
距离。（精确到1m）课堂练习想一想 图中给出了怎样的一个几何图形？已知什么，求什么？答：烟囱的高为 29.9 m.解：
ABCABCbaaABCDaABCaABCDaABCDa1121234112123例3、现从雷达发现一艘船装有走私物品，海关缉私队立即由
A港口乘快艇出发追击此船，若快艇在A处时，观测到该船在
北偏西15°的B处，A、B间的距离为100海里，且走私船以每
小时40 海里的速度沿东北方向行驶，快艇的速度可达每小时
60海里，问快航艇沿什么方向追击，才能最快追上走私船？用
共去多少时间？分三步建立数学模型：
一是确立两船相对位置及走私船的航
向;
二是讨论最短追击路线（形成三角形
时追击的时间最短）;
三是形成三角形，并找到边角关系。解：设用t小时快艇追上走私船，则BC=40t AC=60t由余弦定理：（60t）2 = 1002+（40t）2–2×100×40tcos120°3600t2 = 10000+1600t2+4000t20t2-40t-100 = 0 t2-2t-5 = 0∴ t≈3.45小时 ∴A≈35.3°答：沿北偏东20.3°方向最快3.45小时可追上。课堂练习1.在分析问题解决问题的过程中关键要分析题意，分清已知与求，根据题意画出示意图，并正确运用正弦定理和余弦定理解题。
2.在解实际问题的过程中，贯穿了数学建模的思想，其流程图
可表示为：数学模型实际问题数学模型的解实际问题的解课堂小结
