勾股定理
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文档简介
勾股定理（一）
学习目标：1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理．2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力．3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习．
学习重点、难点：勾股定理的内容及证明．
导学案：探究活动一：
1.观察下面地板砖示意图： 2.请大家从面积的角度来观察图形：
你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？
发现: 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积
探究活动二：
（1）观察右边两幅图：
（2）填表（每个小正方形的面积为单位1）
（3）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流
（4）分析填表数据，你发现了什么？
（5）是不是其它的直角三角形也有类似 ( H:\数学八下\几何画板勾股定理.gsp" \t "_parent )的结论？
发现: 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.SA＋SB= SC
让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长．
以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五．”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边(勾)的长是3，长的直角边(股)的长是4，那么斜边(弦)的长是5．
再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长．
你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2．
对于任意的直角三角形也有这个性质吗？
二、例习题分析
例1、已知：在△ABC中，∠C=90 ，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c．求证：a2＋b2=c2．
分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明．
⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S△+S小正=S大正
4×ab＋(b－a)2=c2，化简可证．
⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明．
⑷勾股定理的证明方法，达300余种．这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手．激发学生的民族自豪感，和爱国情怀．
例2、已知：在△ABC中，∠C=90 ，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c．求证：a2＋b2=c2．
分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等．
左边S=4×ab＋c2，右边S= (a+b)2
左边和右边面积相等，即4×ab＋c2= (a+b)2，化简可证．
【设计意图】“赵爽证法”以教师讲解为主，学生参与分析为辅，让学生形成拼图意识，感受我国科学家的伟大发明，再通过设计“阅读与填空”，拓展学生的知识面，达到加深理解勾股定理的目的．
三、联系实际，应用所学
【显示投影片4】
问题探究1：一个门框的尺寸如课本图形18．1-4所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过？为什么？
思路点拨：从观察实验可知，木板横着进，竖着进，都无法从门框内通过，因此，尝试斜着通过，而对角线AC或BD是斜着能通过的最大长度．只要测出AC或BD，与木板的宽比较，就能知道木板是否能通过．
【活动方略】
教师活动：拿出教具：如图18．1-4的木框，几块木板，演示引导学生思考．
学生活动：观察、讨论，得到必须应用勾股定理求出木框的斜边AC2=AB2+BC2=12+22=5，AC=≈2.236，然后以此为尺寸，来判断薄木板能否通过木框，结论是可以！
问题探究2：如图18．1-5，一个3cm长的梯子，AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5m，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？
思路点拨：从BD=OD-OB可以看出，必需先求OB，OD，因此，可以通过勾股定理在Rt△AOB，Rt△COD中求出OB和OD，最后将BD求出．
【活动方略】
教师活动：制作投影仪，提出问题，引导学生观察、应用勾股定理，提问个别学生．
学生活动：观察、交流，从中寻找出Rt△AOB，Rt△COD，以此为基础应用勾股定理求得OB和OD．
【课堂演练】
演练题：在Rt△ABC中，已知两直角边a与b的和为pcm，斜边长为qcm，求这个三角形的面积．
思路点拨：因为Rt△的面积等于ab，所以只要求出ab即可，由条件知a+b=p，c=q，联想勾股定理a2+b2=c2，将几何问题转化为代数问题．由a+b=p，a2+b2=q2求出ab．
教师活动：操作投影仪，组织学生演练，以练促思；引导学生进行等式变形．
学生活动：先独立思考，完成演练题1，再争取上台演示．
【设计意图】以两个探究为素材，帮助学生应用勾股定理，再通过设置的演练题来灵活学生的思维．
四、随堂练习，巩固深化
（1）若已知△ABC的两边分别为3和4，你能求出第三边吗？为什么？
（2）如图，已知：在△ABC，∠A=90°，D、E分别在AB、AC上，你能探究出CD2+BE2=BC2+DE2吗？
（提示：BE2+CD2=AD2+AC2+AB2+AE2=（AD2+AE2）+（AC2+AB2）=（DE2+BC2）
五、课堂总结，发展潜能
1．勾股定理：Rt△ABC中，∠C=90°，a2+b2=c2．
2．勾股定理适用于任何形状的直角三角形，在直角三角形中，已知任意两边的长都可以求出第三边的长．
六、布置作业，专题突破
1．课本P77 习题18．1 1，2，3，4，5．
学习目标：1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理．2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力．3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习．
学习重点、难点：勾股定理的内容及证明．
导学案：探究活动一：
1.观察下面地板砖示意图： 2.请大家从面积的角度来观察图形：
你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？
发现: 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积
探究活动二：
（1）观察右边两幅图：
（2）填表（每个小正方形的面积为单位1）
（3）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流
（4）分析填表数据，你发现了什么？
（5）是不是其它的直角三角形也有类似 ( H:\数学八下\几何画板勾股定理.gsp" \t "_parent )的结论？
发现: 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.SA＋SB= SC
让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长．
以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五．”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边(勾)的长是3，长的直角边(股)的长是4，那么斜边(弦)的长是5．
再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长．
你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2．
对于任意的直角三角形也有这个性质吗？
二、例习题分析
例1、已知：在△ABC中，∠C=90 ，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c．求证：a2＋b2=c2．
分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明．
⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S△+S小正=S大正
4×ab＋(b－a)2=c2，化简可证．
⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明．
⑷勾股定理的证明方法，达300余种．这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手．激发学生的民族自豪感，和爱国情怀．
例2、已知：在△ABC中，∠C=90 ，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c．求证：a2＋b2=c2．
分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等．
左边S=4×ab＋c2，右边S= (a+b)2
左边和右边面积相等，即4×ab＋c2= (a+b)2，化简可证．
【设计意图】“赵爽证法”以教师讲解为主，学生参与分析为辅，让学生形成拼图意识，感受我国科学家的伟大发明，再通过设计“阅读与填空”，拓展学生的知识面，达到加深理解勾股定理的目的．
三、联系实际，应用所学
【显示投影片4】
问题探究1：一个门框的尺寸如课本图形18．1-4所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过？为什么？
思路点拨：从观察实验可知，木板横着进，竖着进，都无法从门框内通过，因此，尝试斜着通过，而对角线AC或BD是斜着能通过的最大长度．只要测出AC或BD，与木板的宽比较，就能知道木板是否能通过．
【活动方略】
教师活动：拿出教具：如图18．1-4的木框，几块木板，演示引导学生思考．
学生活动：观察、讨论，得到必须应用勾股定理求出木框的斜边AC2=AB2+BC2=12+22=5，AC=≈2.236，然后以此为尺寸，来判断薄木板能否通过木框，结论是可以！
问题探究2：如图18．1-5，一个3cm长的梯子，AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5m，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？
思路点拨：从BD=OD-OB可以看出，必需先求OB，OD，因此，可以通过勾股定理在Rt△AOB，Rt△COD中求出OB和OD，最后将BD求出．
【活动方略】
教师活动：制作投影仪，提出问题，引导学生观察、应用勾股定理，提问个别学生．
学生活动：观察、交流，从中寻找出Rt△AOB，Rt△COD，以此为基础应用勾股定理求得OB和OD．
【课堂演练】
演练题：在Rt△ABC中，已知两直角边a与b的和为pcm，斜边长为qcm，求这个三角形的面积．
思路点拨：因为Rt△的面积等于ab，所以只要求出ab即可，由条件知a+b=p，c=q，联想勾股定理a2+b2=c2，将几何问题转化为代数问题．由a+b=p，a2+b2=q2求出ab．
教师活动：操作投影仪，组织学生演练，以练促思；引导学生进行等式变形．
学生活动：先独立思考，完成演练题1，再争取上台演示．
【设计意图】以两个探究为素材，帮助学生应用勾股定理，再通过设置的演练题来灵活学生的思维．
四、随堂练习，巩固深化
（1）若已知△ABC的两边分别为3和4，你能求出第三边吗？为什么？
（2）如图，已知：在△ABC，∠A=90°，D、E分别在AB、AC上，你能探究出CD2+BE2=BC2+DE2吗？
（提示：BE2+CD2=AD2+AC2+AB2+AE2=（AD2+AE2）+（AC2+AB2）=（DE2+BC2）
五、课堂总结，发展潜能
1．勾股定理：Rt△ABC中，∠C=90°，a2+b2=c2．
2．勾股定理适用于任何形状的直角三角形，在直角三角形中，已知任意两边的长都可以求出第三边的长．
六、布置作业，专题突破
1．课本P77 习题18．1 1，2，3，4，5．