《点、直线、平面之间的位置关系》全章教案
文档属性
| 名称 | 《点、直线、平面之间的位置关系》全章教案 |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 598.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2010-12-04 09:06:00 | ||
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文档简介
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《点、直线、平面之间的位置关系》全章教案
2.1.1 平面
授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
一、教学目标：
1、知识与技能：利用生活中的实物对平面进行描述；掌握平面的表示法及水平放置的直观图；掌握平面的基本性质及作用；培养学生的空间想象能力。
2、过程与方法：通过讨论，对平面有了感性认识；归纳整理本节所学知识。
3、情感态度与价值观：认识到我们所处的世界是一个三维空间，增强学习的兴趣。
二、教学重点：1、平面的概念及表示；
2、平面的基本性质：注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。
难点：平面基本性质的掌握与运用。
三、学法指导：通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等，从而较好地完成本节课的教学目标。
四、教学过程
（一）实物引入、揭示课题
生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，请举出更多例子。
问题：平面的含义是什么？
（二）研探新知
1、平面的含义
几何里所说的“平面”是从一些物体中抽象出来的（原始概念），平面是无限延展的。
2、平面的画法及表示
问题：在平面几何中，怎样画直线？
类比、迁移：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角
画成450，横边长等于邻边的2倍长。
表示法：平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。
如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画。
平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。
点A在平面α内，记作：A ∈α ；点B在平面α外，记作：B α 。
3、平面的基本性质：
（1）思考：如果直线l与平面α有一个公共点P，直线l是否在平面α内？
如果直线l与平面α有两个公共点呢？
演示：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上。
归纳（公理1）：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
符号语言：。
公理1作用：判断直线是否在平面内。
直线l在平面α内（平面α经过直线l），记作：；
直线l在平面α外，记作：。
（2）实物演示：三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪。
自行车要放稳需几个点？
归纳（公理2）：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示：A、B、C三点不共线有且只有一个平面α ，使A ∈α、B ∈α、C ∈α 。
公理2作用：确定一个平面的依据。
推论1：过一条直线和直线外一点确定一个平面。
推论2：两条相交直线确定一个平面。
推论3：两条平行直线确定一个平面。
（3）演示：长方体模型中，两个平面的交线的含义。
思考：把一个三角板的一个角立在课桌上，三角板所在的平面与桌面所在的平面是否只相交于一点B，为什么？
归纳（公理3）：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示：P ∈α ∩βα ∩β = l，且P ∈l。
公理3作用：判定两个平面是否相交的依据。
4、例题：用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系：
分析（1）；
（2）。
通过例子，让学生掌握图形中点、线、面的位置关系及符号的正确使用。
5、课堂练习：课本P43 练习1、2、3、4；P51 习题2.1 A组 1、2。
（三）课时小结：（师生互动，共同归纳）
（1）本节课我们学习了哪些知识内容？
（2）三个公理的内容及作用是什么？
（3）公理化方法：从一些原始概念（基本概念）和一些不加证明的原始命题（公理）出发，运用逻辑推理，推导出其他命题和定理的方法。
（四）作业布置
（1）复习本节课内容；
（2）预习：同一平面内的两条直线有几种位置关系？
教学反思：
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
一、教学目标：
1、知识与技能：了解空间中两条直线的位置关系；理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；理解并掌握公理4、等角定理。
2、过程与方法：师生的共同讨论与讲授法相结合，让学生在学习过程不断归纳整理所学知识。
3、情感态度与价值观：感受掌握空间两直线关系的必要性，提高学习兴趣。
二、教学重点：异面直线的概念；公理4及等角定理。
难点：异面直线定义的理解。
三、学法指导：阅读教材、思考、交流、概括，较好地完成本节课的教学目标。
四、教学过程
（一）创设情景、导入课题
问题1：同一平面内的两条直线有几种位置关系？空间中的两条直线呢？
问题2：没有公共点的两条直线一定平行吗？
问题3：没有公共点的两条直线一定在同一个平面内吗？
观察：如图，长方体ABCD-A'B'C'D'中，线段A'B所在的直线与线段C'C所在直线的位置关系如何？
举例：举出生活中类似的例子。
（二）讲授新课
1、异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线。
2、空间两条直线的位置关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
课堂练习1：正方体的棱所在的直线中，与直线A1B异面的有哪些？
答案：D1C1，CC1，B1C1，DD1，AD，CD。
课堂练习2：判断下列命题是否正确，若正确，请简述理由；若不正确，请举出反例。
（1）没有公共点的两条直线是异面直线；
（2）互不平行的两条直线是异面直线；
（3）分别在两个平面内的两条直线一定异面；
（4）一个平面内的直线与这个平面外的直线一定异面；
（5）分别与两条异面直线都相交的两条直线共面。
（6）分别与两条异面直线都相交的两条直线异面。
答案：（1）~（6）都错，反例略。
异面直线直观图的画法：
异面直线的判定：（1）既不相交也不平行的两条直线是异面直线。
（2）过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。
数学语言：直线AB与直线l是异面直线。
探究：如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB、CD、EF、GH这四条线段所在的直线是异面直线的有 对。
分析：AB与CD，AB与GH，EF与GH共3对。
3、平行公理：
引入：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？
观察：如图，长方体ABCD-A'B'C'D'中，BB'∥AA'，DD'∥AA'，那么BB'与DD'平行吗？
举出现实中相应的例子（如教室里的灯管）。
归纳（公理4）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条直线，。
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
4、等角定理：
引入：在同一平面内，如果一个角的两边与另一个的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，能否推广到空间？
观察：如图，长方体ABCD-A'B'C'D'中，∠ADC与A'D'C'、∠ADC与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？
∠ADC = ∠A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 1800。
归纳（等角定理）：空间中如果两个角的两边分别对应平行，
那么这两个角相等或互补。
拓展：有关平面图形的结论都可以推广到空间中来吗？试分别找出一个可以推广和一个不可以推广的例子。（如对边相等的四边形为平行四边形，在平面图形中成立，但在空间却不成立。）
5、例题巩固：
如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形。
证明：连接BD，因为EH是三角形ABD的中位线，
所以EH // BD，且；同理FG // BD，且；
所以EH // FG，且EH = FG，所以四边形EFGH为平行四边形。
探究：如果再加上条件AC = BD，那么四边形EFGH是什么图形？（菱形）
拓展：若AC⊥BD，则四边形EFGH又是什么图形？（矩形）
（三）课堂练习：课本P48，练习1；P56习题2.1 [A组] 3，6。
（四）本节课学习了哪些内容？
1、异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线，既不相交，也不平行，没有公共点。
2、空间两条直线的位置关系：相交、平行、异面。
3、平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行（平行线的传递性）。
4、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
（五）布置作业：导与练P34，基础应用。
教学反思：
异面直线所成的角
授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
一、教学目标
1、知识与技能：理解并掌握异面直线所成的角的定义，熟记异面直线所成角的范围，会用平移转换法求异面直线所成的角。
2、过程与方法：借助正方体、长方体这一主要载体，以师为主导，引导学生主动参与，探究异面直线所成角的概念形成过程，以及角的求解及其所蕴含的转化思想与化归方法。
3、情感态度与价值观：
（1）通过本节学习，培养学生不断探索发现新知识的精神，渗透事物相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点。
（2）培养学生的空间想象能力、分析问题、解决问题的能力以及逻辑推理能力，使学生初步掌握将空间问题转化为平面问题的数学思想。
二、教学重点：异面直线所成的角的定义、范围与计算。
难点：空间平移点的选取及解题规范。
三、教学过程
（一）创设情景，引入新课
复习：1、异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线，既不相交，也不平行，没有公共点。
2、空间两条直线的位置关系：相交、平行、异面。
3、平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行（平行线的传递性）。
4、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
问题1：正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为BC的中点，判断直线A1C1、B1C1、C1E、C1C与直线AB的位置关系。
说明：从位置关系一看，同为异面直线，但它们的相对位置却是不同的，说明仅用“异面”与考虑异面直线间的相对位置是不够的。
问题2：用什么来刻画两条异面直线的相对位置呢？
提示：在平面几何中，用“距离”来刻画两平行直线间的相对位置，用“角”来刻画两相交直线间的相对位置。
问题3：一张纸中画有两条能相交的直线、（但交点在纸外），现给你一副三角板和量角器，限定不许拼接纸片，不许延长纸上的线段。问如何量出、所成角的大小？其理论依据是什么？
学生动手操作。
问题4：能否将上述结论推广到空间两直线？
（二）新授课
1、异面直线所成角的定义（学生类比问题3给出定义）：
已知异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线a' ∥a、b' ∥b，把a' 与b' 所成的锐角（或直角）叫异面直线a与b所成的角（夹角）。
范围：。
思考：两条异面直线所成角的大小是否随空间任意点O位置的不同而改变？
点O可任选，一般取特殊位置，如线段的中点或端点。
2、探究：（1）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，另一条直线是否也与这条直线垂直？即a∥b，若a⊥c，则b⊥c？
（成立，因为b、c所成的角与a、c所成的角相等，都是90°。）
（2）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？
（否，两条直线可能相交、平行或异面。）
2、例、习题剖析：
例1、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求：
（1）A1B1与CC1所成的角；
（2）A1B与CC1所成的角；
（3）A1C1与BC所成的角；
（4）A1C1与D1C所成的角；
分析：（1）∵A1B // CC1 --------找
∴ 为A1B与CC1所成的角 --------证
在△A1BB1中，； --------算
∴ A1B与CC1所成的角为45o --------答
（2）；（3）； （4）。
这种求法就是利用平移将两条异面直线转化到同一个三角形中，通过解三角形来求解。把这种方法叫做——平移法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，简记为“找——证——算——答”。
变式一：（07福建卷）如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、BC1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（ ）
（A）45° （B）60° （C）90° （D）120°
解：连接A1B，BC1，A1C1 ---------------------作
∵ A1B // EF，BC1 // GH
∴ ∠A1B C1为EF1与GH所成的角（或其补角） -----------证
在三角形A1BC1中，A1B = BC1 = A1C1
∴ ∠A1B C1=60° -----------算
∴ 异面直线EF与GH所成的角等于60° ---------答
小结：求异面直线所成的角一般要有四个步骤：
（1）作图：作出所求的角及题中涉及的有关图形等；
（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的；
（3）计算：一般是利用解三角形计算得出结果。
（4）结论。
简记为“作（或找）——证——算——答”。
例2、长方体ABCD—A1B1C1D1中， AA1 = AB = 2，AD = 1，求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值。
解：设A1C1与B1D1交于O，取B1B中点E，连接OE，
因为OE // D1B，所以∠C1OE或其补角，就是异面直线A1C1与BD1所成的角或其补角。
在△C1OE中，，
，
，
所以，
所以异面直线A1C1与BD1所成的角的余弦值为。
变式2：（05福建卷）如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1 = AB = 2，AD = 1，E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是__________。
变式3：在正四面体S—ABC中，SA⊥BC，E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（ ）
（A）30° （B）45° （C）60° （D）90°
（三）课堂小结
1、异面直线所成角的定义、范围及其求解。
2、求角的大小，常用“平移法”：“作（或找）——证——算——答”。
3、数学思想——化异面为共面，化空间为平面。这是我们学习空间几何最常用到的数学思想——转化化归思想。
（四）课后作业：
1、空间四边形ABCD中，P、R分别是AB、CD的中点，且PR =，AC = BD = 2，求AC与BD所成的角。
2、正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为AB的中点，N为BB1的中点，求A1M与C1N所成角的余弦值。
3、课本P48第2题。
4、变式3题。
教学反思：
2.2.1 直线与平面平行的判定
授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
一、教学目标：
1、知识与技能：了解空间中直线与平面的位置关系，理解并掌握直线与平面平行的判定定理，进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力。
2、过程与方法：学生通过观察图形，借助已有知识，得出空间中直线与平面的位置关系，直线与平面平行的判定定理。
3、情感态度与价值观：让学生在发现中学习，培养空间问题平面化（降维）的思想，增强学习的积极性。
二、教学重点：空间中直线与平面的位置关系，直线与平面平行的判定定理及应用。
难点：判定定理的应用，例题的证明。
三、学法指导：学生借助实例，通过观察、类比、思考、探讨，教师予以启发，得出直线与平面的位置关系，直线与平面平行的判定。
四、教学过程
（一）创设情景、导入课题
思考（1）一支笔所在的直线与一个作业本所在的平面，可能有几种位置关系？
（2）如图，线段A1B所在的直线与长方体的六个面所在平面有几种位置关系？
（二）直线与平面的位置关系
归纳：直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点，记作：；
（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点，记作：；
（3）直线在平面平行 —— 没有公共点，记作：。
直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用来表示。
例1：下列命题中正确的个数是（ ）
（1）若直线l上有无数个点不在平面α内，则l // α；
（2）若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；
（3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；
（4）若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点；
（5）平行于同一平面的两条直线互相平行。
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
答案：B
课堂练习1：若直线a不平行于平面α，且，则下列结论成立的是（ ）
（A）α内的所有直线与a异面 （B）α内不存在与a平行的直线
（C）α内存在唯一的直线与a平行 （D）α内的直线与a都相交
答案：B
（三）直线与平面平行的判定
1、揭示问题：根据定义，判定直线与平面是否平行，只需判定直线与平面有没有公共点。但是，直线无限伸长，平面无限延展，如何保证直线与平面没有公共点呢？
2、直观感知，操作确认：
（1）转动门扇：门扇转动的一边与门框所在的平面是否平行？
（2）观察：将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，封面边缘所在的直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？
3、探究：（1）如右图，直线a与平面α平行吗？
（2）平面α外的直线a平行于平面α内的直线b，直线a与平面α的位置关系如何？
4、归纳（直线与平面平行的判定定理）平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
符号语言：。
作用：线线平行，则线面平行。
将直线与平面平行关系（空间问题）转化为直线间平行关系（平面问题）。
5、感受生活中线面平行的例子：教室里日光灯与天花板，足球门的顶部与地面等。
6、直线与平面平行的判定方法：
（1）利用定义，说明直线与平面没有公共点；
（2）利用判定定理，应用时的关键是在平面内找到与已知直线平行的直线。
7、思考：平行线有传递性，线面平行有传递性吗？即以下命题是否成立？
（1）；（2）。
说明：以上两个命题都是假命题，线面平行没有传递性。
课堂练习2：若，则b与的位置关系是 。
答案：或。
（四）定理的应用
例1、求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面。
已知：如图，空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点。
求证：EF // 平面BCD。
证明：连接BD，因为AE = EB，AF = FD，
所以EF // BD（三角形中位线的性质），
因为平面BCD，平面BCD，
由直线与平面平行的判定定理得EF // 平面BCD。
小结：要证明一条已知直线与一个平面平行，只要在这个平面内找出一条直线与已知直线平行，就可断定已知直线与这个平面平行。
变式1：如图，空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD上的点，若，则EF与平面BCD的位置关系是 。
答案：EF // 平面BCD。
变式2：如图，四棱锥A—DBCE中，底面DBCE为平行四边形，F为AE的中点，求证：AB // 平面DCF。
分析：连接BE交CD于点O，则OF // AB（中位线）。
例2：如图在正方体ABCD–A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点，求证：EF // 平面BDD1B1。
分析：要证明线面平行，根据线面平行的判定定理，只需证明EF与平面BDD1B1内的一条直线平行即可。
小结：1、证明线面平行可先证线线平行，但要注意“三条件”的说明，关键是找到面内的直线。
2、证明线面平行的一般步骤是：（1）证线线平行；（2）说明两直线一条在面内，另一条在面外；（3）由判定定理得到结论。
变式3：如图，正方体ABCD–A1B1C1D1中，E、F分别是对角线A1D、B1D1的中点，证判直线EF分别与正方体六个面中的哪些平面平行？并证明你的结论。
课堂练习3：1、如图，长方体ABCD–A1B1C1D1中，
（1）与AB平行的平面是 ；
（2）与AA1平行的平面是 ；
（3）与AD平行的平面是 。
2、如图，正方体ABCD–A1B1C1D1中，E为DD1的中点，试判断BD1与平面AEC的位置关系，并说明理由。
（五）课堂总结
1、直线与平面的位置关系：相交，平行，直线在平面内。
2、直线与平面平行的判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
3、证明线面平行的一般步骤是：（1）证线线平行；（2）说明两直线一条在面内，另一条在面外；（3）由判定定理得到结论。要注意“三条件”的说明，关键是找到面内的直线。
（六）布置作业：
课本P62 习题2.2 [A组]第3题，[B组]第1题；变式3题。导与练P40，1 ~ 11。
教学反思：
2.2.2 平面与平面平行的判定
授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
一、教学目标：
1、知识与技能：了解空间中平面与平面的位置关系，理解并掌握平面与平面平行的判定定理，进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力。
2、过程与方法：学生通过观察图形，借助已有知识，得出空间中平面与平面的位置关系，平面与平面平行的判定定理。
3、情感态度与价值观：让学生在发现中学习，培养空间问题平面化（降维）的思想，增强学习的积极性。
二、教学重点：空间中平面与平面的位置关系，平面与平面平行的判定定理及应用。
难点：判定定理的应用，例题的证明。
三、学法指导：学生借助实例，通过观察、类比、思考、探讨，教师予以启发，得出平面与平面的位置关系，平面与平面平行的判定。
四、教学过程
（一）平面与平面的位置关系
思考：（1）拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？
（2）如图，围成长方体的六个面，两两之间的位置关系有几种？
两个平面的位置关系：
（1）两个平面平行——没有公共点，记作：；
（2）两个平面相交——有且只有一条公共直线，记作：。
用图形表示为：
画两个相互平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行。
探究：已知平面α、β，直线a、b，且，则直线a与直线b具有怎样的位置关系？
拓展：若呢？
课堂练习1：如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论。
（二）平面与平面平行的判定
1、观察：三角板的一条边所在直线与桌面平行，这个三角板所在平面与桌面平行吗？三角板的两条边所在直线分别与桌面平行，情况又如何呢？
2、若一个平面内的所有直线都与另一个平面平行，那么这两个平面一定平行。
3、探究：（1）平面β内有一条直线与平面α平行，α、β平行吗？
（2）平面β内有两条直线与平面α平行，α、β平行吗？
（3）平面β内有两条相交直线与平面α平行，α、β平行吗？
通过长方体模型，引导学生观察、思考、交流，得出结论。
4、归纳（两个平面平行的判定定理）：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。〖线不在多，相交就行。〗
符号语言：。
作用：线面平行，则面面平行。
5、平面平行的传递性：如果平面α // 平面β，平面β // 平面γ，则平面α // 平面γ。
课堂练习2：
1、判断下列命题是否正确，正确的说明理由，错误的举例说明：
（1）已知平面α，β和直线m，n，若，则α // β；
（2）一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一个平面β，则α // β。
2、平面α与平面β平行的条件可以是（ ）
（A）α内有无穷多条直线都与β平行
（B）直线a // α，a // β，且直线a不在α内，也不在β内
（C）直线，直线，且
（D）α内的任何直线都与β平行
（三）定理的应用：
例1、已知正方体ABCD—A1B1C1D1，求证：平面AB1D1//平面C1BD。
分析：由AB1 // DC1，得AB1 // 平面C1BD；AD1 // BC1，得AD1 //平面C1BD，
证明：因为ABCD—A1B1C1D1为正方体，
所以D1C1 // A1B1，D1C1 = A1B1，
又AB // A1B1，AB = A1B1，所以DC // D1C1，DC = D1C1，所以D1C1 BA为平行四边形，
所以AD1 // BC1，又平面C1BD，平面C1BD，
由直线与平面平行的判定定理得AD1 //平面C1BD。
同理AB1 // 平面C1BD，又，所以平面AB1D1//平面C1BD。
变式1：已知在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点。
求证（1）E、F、B、D四点共面；
（2）平面AMN // 平面EFBD。
例2：求证：如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行，那么这两个平面平行。
已知：，
求证：α // β。
分析：由线线平行得线面平行，再得面面平行。
小结：面面平行的判定定理的实质就是一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行，本例可作为定理使用。
变式2：已知四棱锥V—ABCD，四边形ABCD为平行四边形，E、F、G分别是AD、BC、VB的中点，求证：平面EFG // 平面VDC。
例3：如图，α // β，A、C，B、D，且A、B、C、D不共面，E、F分别是AB、CD的中点，求证：EF // α，EF // β。
分析：欲证线面平行，可先证面面平行，再结合面面平行的定义从而得证。
证明：连结AD，取AD的中点为G，连结EG，
因为E为AB的中点，所以EG为△ABD的中位线，所以EG // BD，
因为EG平面β，BD平面β，所以EG // β。
连结GF，同理证得GF // β，又EG∩GF = G，
所以平面EGF // 平面β，又EF平面EGF，所以EF // β，同理EF // α。
变式3：如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是A1D1、A1B1的中点，在该正方体中作出与平面AMN平行的平面，并证明你的结论。
（四）归纳整理、整体认识
1、平面与平面的位置关系：相交，平行；
2、平面与平面平行的判定：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
3、面面平行的判定定理的实质就是一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行。
（五）布置作业：
课本第61页习题2.2 [ A组] 第7、8题；变式3题；导与练P44，1 ~ 11。
教学反思：
2.2.3 直线与平面平行的性质
授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
一、教学目标：
1、知识与技能：掌握直线与平面平行的性质定理及其应用。
2、过程与方法：学生通过观察与类比，借助实物模型理解性质及应用。
3、情感态度与价值观：进一步提高学生空间想象能力、思维能力；体会类比的作用；渗透等价转化的思想。
二、教学重点：直线与平面平行的性质定理的理解。
难点：直线与平面平行的性质定理的证明及正确运用。
三、学法指导：学生借助实物，通过类比、交流等，得出性质及基本应用。
四、教学过程
（一）创设情景、引入新课
复习：直线与平面平行的判定定理：。
思考：（1）如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面内的直线有哪些位置关系？
（2）教室内日光灯管所在的直线与地面平行，如何在地面上作一条直线与灯管所在的直线平行？
（二）研探新知
问题1：命题“若直线a平行于平面α ，则直线a平行于平面α内的一切直线”对吗？
直线会与平面内哪些直线平行呢？
问题2：在上面的论述中平面α的直线b满足什么条件时可以与直线a平行？
没有公共点——共面（平行）。
归纳（直线与平面平行的性质定理）：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
符号语言：。
证明：因为，所以，
因为，所以a与b没有公共点，又因为，所以a // b。
简记为：线面平行则线线平行。作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
（三）例题剖析
例1、如图所示的一块木料中，棱BC平竽于面。
（1）要经过面内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？
（2）所画的线与平面AC是什么位置关系？
分析：（1）经过木料表面内的一点P和棱BC将木料锯开，实际上是经过BC及BC外一点P作截面，也就是找出平面与平面的交线。可以由直线与平面平行的性质定理和公理4、公理2作出。
（2）由于所作的直线EF平行于BC，所以所画的线EF与平面AC平行，而BE、CF则与平面AC相交。
例2、已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面。
已知：，求证：。
证明：过直线a作平面β交平面α于直线c，因为，
所以a // c，因为a // b，所以b // c，又因为，所以。
说明：线线平行线面平行，转化是立体几何的一种重要的思想方法。
变式：求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行。
已知：，
求证：a // l。
分析：利用线面平行的性质定理。
证明：过a作平面交于b，因为，所以a // b，
过a作平面交平面于c，因为，所以a // c，所以b // c。
又因为且，所以，
由于平面过b交于l，所以b // l，又a // b，所以a // l。
（四）课堂练习
1、判断下列命题的真假：
（1）； （ ） （2）； （ ）
（3）； （ ） （4）； （ ）
（5）过平面外一点和这个平面平行的直线只有一条。 （ ）
2、填空：
（1）若两直线a、b异面，且a // α ，则b与α的位置关系可能是 。
（2）若两直线a、b相交，且a // α ，则b与α的位置关系可能是 。
3、长方体ABCD—A1B1C1D1中，点（异于B、B1），，，求证：MN // 平面ABCD。
（五）归纳小结
证明线面平行的转化思想：
要证a // α ，通过构造过直线a的平面β与平面α相交于直线b，只要证明a // b即可。
线线平行线面平行面面平行（（1）平行公理；（2）三角形中位线；（3）平行线分线段成比例；（4）相似三角形对应边成比例；（5）平行四边形对边平行。）
（六）布置作业：
课本P61，习题2.2 [A组] 第5，6题；[B组]第2题；导与练P47，1 ~ 11。
教学反思：
2.2.4 平面与平面平行的性质
授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
一、教学目标
1、知识与技能：掌握两个平面平行的性质定理及其应用。
2、过程与方法：学生通过观察与类比，借助实物模型理解性质及应用。
3、情感态度与价值观：进一步提高学生空间想象能力、思维能力，体会类比的作用，渗透等价转化的思想。
二、教学重点：平面与平面平行的性质定理的理解。
难点：面面平行性质定理的证明及正确应用。
三、学法指导：学生借助实物，通过类比、交流等，得出性质及基本应用。
四、教学过程
（一）创设情景，揭示课题
复习：两个平面平行的判定定理：。
相关性质：1、若两个平面平行，那么一个平面内的任意一条直线都和另一个平面平行。
2、平行于同一个平面的两个平面平行。
问题1：若两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么位置关系？
学生借助长方体模型思考、交流得出结论：异面或平行。
问题2：分别在两个平行平面内的两条直线满足什么条件时平行？（共面）
问题3：长方体中，平面ABCD内哪些直线会与直线平行？怎么样找到这些直线？
（平面ABCD内的直线只要与共面即可）
（二）研探新知
例1、如图，已知平面α、β、γ满足，求证：a // b。
证明：因为，所以，又因为，所以a，b没有公共点，又因为a，b同在平面γ内，所以a // b。
归纳（两个平面平行的性质定理）如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号语言：。
可以由平面与平面平行得出直线与直线平行。
课堂练习1：判断下列命题是否正确。
（1）如果a，b是两条直线，且a // b，那么a平行于经过b的任何平面。
（2）如果直线a和平面α满足a // α，那么a与α内的任何直线平行。
（3）如果直线a，b和平面α满足a // α，b // α，那么a // b。
（4）如果直线a，b和平面α满足a // b，a // α，，那么b // α。
例2、求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等。
已知：，求证：AB = CD。
证明：因为AB // CD，所以过AB、CD可作平面γ，且平面γ与平面α和β分别相交于AC和BD，因为α // β，所以BD // AC，因此，四边形ABDC是平行四边形，所以AB = CD。
变式1：如图，α // β // γ，直线a与b分别交α ，β ，γ于点A、B、C和点D、E、F，求证：。
例3：如图，ABCD与BAFE是两个全等的正方形，点M在AC上，点N在FB上，AM = FN，求证：MN // 平面BCE。
变式2：如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，平面PAD平面PBC = l。
（1）求证：BC // l；
（2）MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论。
（三）归纳小结
1、平面与平面平行的几条性质：
（1）性质定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号语言：。
（2）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
（3）夹在两个平行平面间的平行线段相等。
（4）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行。
2、通过对性质定理的学习，大家应注意些什么？
3、本节课涉及到哪些主要的数学思想方法？
（五）布置作业：
课本第63页 习题2.2 [B组] 第3题；变式2题；导与练P50，1 ~ 11。
教学反思：
2.3.1直线与平面垂直的判定与性质
授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
一、教学目标
1、知识与技能（1）掌握直线和平面垂直的定义及判定定理、性质定理；
（2）掌握判定直线和平面垂直的方法；掌握直线和平面垂直的性质。
（3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。
2、过程与方法（1）感受直线和平面垂直的定义的形成过程；
（2）探究判定直线与平面垂直的方法。
3、情感态度与价值观：培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知。
二、教学重点、难点：直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。
三、教学设计
（一）创设情景，揭示课题
举例：旗杆与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系。
模型演示：直棱柱的侧棱与底面的位置关系。
（二）研探新知
1、直线与平面垂直的定义：直线l与平面内α的任意一条直线都垂直。记作：l ⊥α 。
直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，垂线与平面的交点P叫做垂足。
2、直线与平面垂直的判定：
（1）探究：准备一块三角形纸片。
过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）。
① 折痕AD与桌面所在平面α垂直吗？
② 如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面α垂直？（AD是BC边上的高）
（2）思考：
① 有人说，折痕AD所在直线已桌面所在平面α上的一条直线垂直，就可以判断AD垂直平面α ，你同意他的说法吗？
② 如图，由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系不变，即AD⊥CD，AD⊥BD，由此你能得到什么结论？
（3）归纳结论：（直线与平面垂直的判定定理）
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
符号语言：。
作用：由线线垂直得到线面垂直。（线不在多，相交就行。）
强调：① 定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
② 定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
3、实际应用，巩固深化
例1：有一根旗杆AB高8米，它的顶端A挂有一条长10米的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和旗杆脚不在同一条直线上）C、D，如果这两点都和旗杆脚B的距离是6米，那么旗杆就和地面升起垂直，为什么？
分析：AB⊥BC，AB⊥BD，且B、C、D三点不共线。
课堂练习：已知三角形ABC，直线l ⊥AB，l ⊥AC，求证l ⊥BC。
例2：直线a、b和平面α有以下三种关系：（1）a // b，（2），（3），如果任意取其中两个作为前提，另一个作为结论构造命题，能构成几个命题？并判断其真假。如果是真命题，请予以证明；如果是假命题，请举一个反例。
命题1：如图，已知，求证：。
证明：在平面α内作两条相交直线m，n，因为直线，根据直线与平面垂直的定义知，又因为a // b，所以，又因为，m，n是两条相交直线，所以。
归纳：两条互相平行的直线，如果有一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直。
命题2：如图，已知直线a ⊥α ，b ⊥α ，那么a // b。
证明（反证法）假设a、b不平行，且，是经过点O与直线b平行的直线。直线b与确定平面β，设，则。因为a ⊥α 、b ⊥α ，所以a ⊥c 、b ⊥c，又因为，所以。这样在平面β内，经过直线c上同一点O就有两条直线b，与c垂直，显然不可能，因此a // b。
归纳（直线与平面垂直的性质）：垂直于同一平面的两条直线平行。
说明：可以由两条直线与一个平面垂直判定两条直线平行，性质定理揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系。
（三）课堂练习：课本P67，练习1、2。
1、如图，在三棱锥V—ABC中，VA = VC，AB = BC，求证：VB⊥AC。
2、过三角形ABC所在平面α外一点P，作PO ⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC。
（1）若PA = PB = PC，∠C = 90°，则点O是AB边的 点。
（2）若PA = PB = PC，则点O是三角形ABC的 心。
（3）若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是三角形ABC的 心。
（四）归纳小结：
（1）获得直线与平面垂直的判定定理的基本过程。
（2）直线与平面垂直的判定定理，体现的数学思想方法是什么？
（五）课后作业：
1、正方体ABCD—A1B1C1D1中，求证：AC⊥BDD1B1。
2、如图，已知PA⊥平面ABC，AC⊥BC，O、D分别为AB、AC的中点，求证：OD⊥平面PAC。
3、如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MN⊥CD。
教学反思：
三垂线定理
授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
一、教学目标
1、知识与技能：理解三垂线定理及其逆定理的证明，准确把握“空间三线”垂直关系的实质；掌握三垂线定理及其逆定理解题的一般步骤。
2、过程与方法：通过三垂线定理的证明及应用，体会空间线线、线面垂直关系的转化。
3、情感态度与价值观：培养学生的观察、猜想和论证能力；培养学生对待知识的科学态度和辩证唯物主义观点。
二、教学重点：三垂线定理及其逆定理的证明和初步应用。
难点：三垂线定理中的垂直关系及证明过程。
关键：把握住斜线和它在平面上的射影必定同时垂直于平面内的某条直线。
三、教材分析：
1、“三垂线定理”是高中立体几何中的重要内容之一，它是在研究了空间直线和平面垂直的基础上研究两条直线垂直关系的一个重要定理，它既是线面垂直关系的一个应用，又为以后学习面面垂直，研究空间距离、空间角奠定了基础，同时这节课也是培养学生空间想象能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力都有重要意义。
2、本节课的教学过程为：猜、证、比、用，即猜想平面内的直线与平面的斜线垂直的特征；证明三垂线定理及其逆定理；比较两个定理；应用定理证题。
由于本节课安排在立体几何学习的初始阶段，是学生空间观念形成的关键时期，因此要重视让学生动手做模型，教师演示指导，让学生直观地感受到空间线面、线线关系的变化，再在教师的引导下思考线面、线线垂直关系存在的因果关系，逐步推理、猜想命题，论证命题，从而发现定理，揭示定理的实质，在定理论证中进一步发展定理，引出逆定理，再进行比较，从而更进一步地把握定理的关键。对定理的应用，只要求学生在理解定理的基础上，理清应用定理证题的一般步骤，学会证明一些简单问题。
3、本节课采用启发、引导、探索式相结合的教学方法，启发、引导学生积极思考，勇于探索，使学生的心理达到一种“欲罢不能”的兴奋状态，从而产生浓厚的学习兴趣，发挥学生的主观能动性，体现学生的主体作用。
四、教学过程
（一）复习和引入新课
提问：（1）直线和平面垂直的定义是什么？（直线垂直于平面内的任意一条直线。）
（2）直线和平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
（3）如图，如果PO⊥平面α，PA与平面α交于点A，则PO为平面α的垂线，PA为平面α的斜线，连接垂足O与斜足A的直线OA叫做斜线PA在平面α内的射影。
（二）猜想和发现
1、揭示问题，引导探究
根据直线和平面垂直的定义知平面内的任意一条直线都和平面的垂线垂直。
进一步，平面内的任意一条直线是否都和平面的一条斜线垂直？（否）
是否平面内的所有直线都不和平面的一条斜线垂直？
2、模型演示
引导学生用三角板和铅笔在桌面上搭建模型（如图）。
如图表示平面的斜线（PO）在平面内有垂线（a），且有无数条。这些直线应具备什么条件，即怎样判定平面内的直线与平面的一条斜线垂直呢？
指导学生用三角板和铅笔在桌面上搭成模型（如图），使铅笔与三角板的斜边垂直，引导学生观察猜想发现规律，经过实验，发现铅笔和三角板在平面α内的直角边垂直时，便与斜边垂直。
3、结论：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
（三）证明定理
实验得出的结果是否正确还得进行证明。
已知：PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO是PO在平面α上的射影，（如图）。
求证：a⊥PA。
分析：证明两直线垂直，可转化为证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面，从本题条件看，PO在平面PAO内，只要证明a⊥平面PAO即可。
证明：因为，所以PO ⊥a，又a ⊥OA，PO∩OA = O，所以a⊥平面POA，所以a ⊥PA。
（四）揭示定理
上面命题反映了平面内一条直线、平面的斜线和斜线在这个平面内的射影这三者之间的垂直关系，这就是著名的三垂线定理，下面请大家根据已知条件和结论，把三垂线定理完整地表达出来。
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的实质是平面内的直线与平面的斜线垂直的判定定理。这个定理之所以著名，不仅在于它给了我们一个证明线线垂直的重要方法，为研究计算空间角、空间距离奠定了基础，而且这个定理的证明方法——“线面垂直法”，也是一种非常重要的方法。
刚才我们由a与PA、AO垂直得到了a与平面PAO垂直，现在我们再看，由于PA与a总垂直，那么当a与PO垂直时还会有a⊥平面PAO吗？进一步可得到什么结论？（a⊥AO）这样我们又得到了一个重要定理：
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。
请同学们写出证明过程，并与原定理进行对比。
（五）原、逆定理的比较
相同点：（1）结构相同：都是由线线垂直推证线线垂直；
（2）证明方法相同：都采用了线面垂直法。
不同点：（1）用途不同：原定理是用来证空间两直线垂直；逆定理是用来证平面上两直线垂直。
（2）条件与结论不同：原定理：“与射影垂直”“与斜线垂直”；逆定理：“与斜线垂直”“与射影垂直”。
（六）定理的应用
例1：如图，O是△ABC的垂心，PO⊥平面ABC，连结PA，求证：BC⊥PA。
分析：PO是平面的垂线，PA是平面的斜线，BC在平面ABC上，所以，欲证BC⊥PA，只需证明BC垂直PA在平面ABC上的射影即可。
证明：连结AO并延长交BC于D，则AO是PA在平面ABC上的射影。
又O是△ABC的垂心，所以AD⊥BC，由三垂线定理可得BC⊥PA。
小结：使用三垂线定理证题的一般步骤是：
一定——定平面及平面内的一条直线；二找——找平面的垂线、斜线及射影；三证——证明平面内一直线与射影垂直。
由于逆定理与原定理的实质相同，结构相似，因而使用时也可以按以上步骤进行，这对我们在复杂图形中使用定理很有好处。
例2：正方体ABCD—A1B1C1D1中，求证：
（1）A1C⊥BD； （2）A1C⊥BC1； （3）A1C⊥平面BDC1。
4、探究：如图，直四棱柱（侧面与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD满足什么条件时，？
解：连结，因为平面，所以为在平面内的射影，由三垂线定理知，当时，有，即四边形ABCD的对角线互相垂直时，。
（七）归纳总结
1、本节课重点学习了三垂线定理及其逆定理，它们是空间两线垂直的判定与性质定理，要牢固掌握，并注意原、逆定理的区别与联系。
2、学会按“一定、二找、三证”的步骤应用两个定理证明线线垂直。
（八）布置作业
1、已知点O是△ABC的BC边上的高上的任意一点，且OP⊥平面ABC，求证PA⊥BC。
2、如图，PD⊥平面ABC，AC = BC，D为AB的中点，求证：AB⊥PC。
3、如图，ABCD是矩形，PA⊥平面AC，连结PB、PC、PD，指出图中有哪些三角形是直角三角形，并说明理由。
教学反思：
直线与平面所成的角
授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
一、教学目标
1、知识与技能：理解并掌握直线与平面所成的角的定义，熟记直线与平面所成角的范围，会求直线与平面所成的角。
2、过程与方法：借助正方体、长方体这一主要载体，以师为主导，引导学生主动参与，探究异面直线所成角的概念形成过程，以及角的求解及其所蕴含的转化思想与化归方法。
3、情感态度与价值观：
（1）培养学生不断探索发现新知识的精神，渗透事物相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点。
（2）培养学生的空间想象能力、分析问题、解决问题的能力以及逻辑推理能力，使学生初步掌握将空间问题转化为平面问题的数学思想。
二、教学重点：直线与平面所成的角的定义、范围与计算。
难点：角的寻找（垂线）。
三、教学过程
（一）创设情景，引入新课
复面的垂线：垂直于平面的直线。
平面的斜线：与平面相交但不垂直的直线。
射影：过垂足和斜足的直线叫做斜线在平面上的射影。
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。
三垂线定理及其逆定理的证明：线面垂直法。
问题：如图，E为长方体ABCD—A1B1C1D1的边AB上任意一点，直线AA1，A1E，A1B中哪些与底面ABCD垂直？
从位置关系来看，同为直线，但它们的相对位置是不同的，如何刻画直线与平面的位置关系？
模型演示：笔与桌面的位置关系。
（二）研探新知
1、直线与平面所成角的定义：
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
注：l ⊥α时，所成角为90°；l // α时，所成角为0°。
范围：。
课堂练习：两条直线和一个平面所成的角相等，这两条直线一定平行吗？
2、应用举例：
例1：在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求：
（1）直线A1B和平面A1B1CD所成的角；
（2）直线DB1与平面ABCD所成角的正弦值。
解（1）连结BC1交B1C于点O，连结OA1，
因为A1B1⊥平面BCC1B1，所以A1B1⊥BC1，
因为BCC1B1为正方形，所以B1C⊥BC1，
又，所以BO⊥平面A1B1CD，
所以∠BA1O为直线A1B和平面A1B1CD所成的角，且∠BOA = 90°，
设正方体的棱长为a，则，
所以，得∠BA1O = 30°，
所以直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°。
（2）学生练习。
小结：求直线与平面所成的角一般要有三个步骤：
（1）作图：作出所求的角及题中涉及的有关图形等；
（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的；
（3）计算：在证明的基础上计算得出结果。
例2：如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ABC = 90°，AB = BC = 1。
（1）求异面直线B1C1与AC所成角的大小；
（2）若直线A1C与平面ABC所成角为45°，求三棱锥A1—ABC的体积。
（三）课堂练习
1、已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别为1和2，A、B两点在平面α内的射影之间的距离为，求直线AB和平面α所成的角。
2、求正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值。
3、如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥PC，AD // BC，PD : DC : BC = 1 : 1 :，求直线PB与平面PDC所成角的大小。
（四）作业：
例2，课堂练习2题。导与练P55，1 ~ 11。
教学反思：
二面角及其平面角
授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
一、教学目标
1、知识与技能：（1）正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；
（2）掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；
（3）学会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。
2、过程与方法：（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；
（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。
3、情感态度与价值观：通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。
二、教学重点：平面与平面垂直的判定；
难点：如何度量二面角的大小。
三、学法指导：实物观察，类比归纳，语言表达。
四、教学过程
（一）创设情景，揭示课题
实例：（1）修筑水坝时，为了使坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度。
（2）发射人造地球卫星时，根据需要，使卫星轨道平面与地球赤道平面成一定的角度。
问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？
问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？
（二）研探新知
1、二面角的有关概念
演示：把纸对折，观察其形状，并进行归纳：
角 二面角
图形 A 边 顶点 O 边 B A 梭 l βB α
定义 从平面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形 从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
构成 射线 — 点（顶点）一 射线 半平面 一 线（棱）一 半平面
表示 ∠AOB 二面角α – l – β或α – AB – β
2、二面角的度量
问题：我们常说“把门开大一些”，是指哪个角大一些？
应该怎样刻画二两角的大小呢？（模型演示）
归纳（二面角的平面角）：在二面角α—l—β的棱上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角。
说明：（1）在表示二面角的平面角时，要求“OA ⊥l，OB ⊥l”；
（2）∠AOB的大小与点O在l上位置无关；
（3）二面角的大小可以用它的平面角来度量，范围：；
（4）直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。
3、两个平面互相垂直的概念
观察：教室相邻的两个墙角与地面可以构成几个二面角？分别指出构成这些二面角的面、棱、平面角及其度数。
两个平面互相垂直：两个平面所成的角为直二面角，记作：。
演示：课本与桌面垂直。
（三）求二面角的大小
例1：如图，在三棱锥V—ABC中，VA = VB = AC = BC = 2，AB =，VC = 1，试画出二面角V—AB—C的平面角，并求它的度数。
课堂练习1：（1）在一个二面角的一个面内有一点，它到棱的距离等于到另一个面的距离的2倍，求二面角的度数。
（2）如图，四棱锥V—ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，试画出二面角V—AB—C的平面角，并求它的度数。
例2：正方体ABCD—A1B1C1D1中，求
（1）二面角A1—CD—B的大小；
（2）二面角C1—BD—C的平面角的余弦值；
（3）二面角A—BD1—C的的平面角的余弦值。
课堂练习2：（1）如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是棱A1B1的中点，求二面角M—BD—A的平面角的正切值。
（2）如图，已知平面α，β，且α∩β = AB，PC⊥α，PD⊥β，C，D是垂足，
① 判断直线AB与CD的位置关系，并证明你的结论；
② 若PC = 5，PD = 8，PC = 7，求二面角α—AB—β的大小。
（四）课堂总结
1、二面角的平面角必须具备三个条件：
（1）角的顶点在二面角的棱上；
（2）角的两边分别在二面角的两个半平面内；
（3）角的两条边分别与二面角的棱垂直。
准确、恰当地作出二面角的平面角，是解答有关二面角问题的关键。
2、确定二面角的平面角的方法：
（1）定义法：在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线。
（2）垂面法：过棱上一点作棱的垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条射线（交线）所成的角，即为二面角的平面角。
（3）垂线法（三垂线定理）：过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角，此种方法通用于求二面角的所有题目，具体步骤为：
一找——找平面及平面的垂线；
二证——证明斜线或射影与棱垂直；
三求——求出所得二面角的平面角的大小。
（五）布置作业：
课堂练习1、2。（共4题）
教学反思：
平面与平面垂直的判定与性质
授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
一、教学目标
1、知识与技能：（1）掌握平面与平面垂直的判定定理及性质定理；
（2）能运用判定定理、性质定理解决一些简单问题；
（3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系。
2、过程与方法：从开放性的角度设计问题，引导学生建立新的认知结构，挖掘学生的创造潜能。
3、情感态度与价值观：通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力。
二、教学重点、难点：判定定理、性质定理的证明及其应用。
三、学法指导：直观感知、操作确认，猜想与证明。
四、教学过程
（一）由开放题设计知识的产生过程
问题导入：直线a和平面α，β有以下三种关系：①a⊥β，②aα，③α⊥β，如果任意取其中两个作为前提，另一个作为结论构造命题，能构成几个命题？如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请举出一个反例，并补充条件使其成为真命题并加以证明。
学生画图形，搭模型——用课本、桌面作平面，铅笔作直线，能构成三个不同的命题： 。
其中（1）是真命题，（2），（3）均是假命题。
（二）用开放的思维探索命题的真假
1、证明命题（1）为真
分析：设α∩β = CD，欲证α⊥β，只须判断二面角α – CD – β为直二面角。为此，作OB⊥CD，得其二面角∠AOB（如图）。，从而证明了α⊥β。
归纳（两个平面垂直的判定定理）：一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
符号语言：。
作用：由线面垂直得到面面垂直。
2、考察命题（2）的真假
由α⊥β，α内的直线a不一定能与β垂直（反例如图）。
问题：对于命题（2），能否在α⊥β，aα的条件下，再增加某些条件，使a⊥β的结论成立呢？
引导学生分析，发现增加“a垂直于α与β的交线”的限制条件后，就能判定a⊥β。
证明：在β内引直线BE⊥CD，垂足为B，则∠ABE是二面角α—CD—β的平面角。
由知AB⊥BE，又AB⊥CD，BE与CD是β内的两条相交直线，所以AB ⊥β。
归纳（两个平面垂直的性质定理）：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
符号语言：设，则有AB ⊥β。
作用：由面面垂直得到线面垂直。
3、考察命题（3）的真假
途径1：结论开放。α⊥β且a⊥β不一定能得到aα，但可以判断a与α的位置关系是什么？（平行或在平面内）
途径2：条件开放。为了得到aα这个结论，需要增加什么条件？（由途径1可知：为使a∥α不成立，a须经过α内的一点P。）
思考：（1）设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线a，直线a与平面α具有什么位置关系？
分析：过一点只能作一条直线与已知平面垂直。（答：直线a必在平面α内）
归纳：。
（2）已知平面α、β和直线a，若α ⊥β，a ⊥β，，则直线a与平面α具有什么位置关系？（答：直线a与平面α平行）
归纳：。
探究：已知平面α、β和直线a，若α ⊥β，，则直线a与平面β具有什么位置关系？（a ⊥β）
4、应用举例
例：如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC。
证明：设圆O所在平面为α ，由已知条件，
PA ⊥α ，BC在α内，所以PA⊥BC，
因为点C是圆周上不同于A、B的任意一点，AB是圆O的直径，
所以∠BCA是直角，即BC⊥AC。
又因为PA与AC是△PAC所在平面内的两条相交直线，
所以BC⊥平面PAC，又因为BC在平面PBC内，所以平面PAC⊥平面PBC。
5、探究：如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？
拓展：哪些直线互相垂直？线面垂直呢？
（三）通过开放性练习的研究深化对知识的认识
课堂练习：直线a和平面α,β有以下三种关系：①a⊥α，②a∥β，③α⊥β，以其中两个作为条件，另一个作为结论，构成三个命题，试探讨其真假。
（四）课堂总结
1、直线与平面垂直的判定：。
2、直线与平面垂直的性质：（1）设，则有AB ⊥β。
（2）；。
（五）作业：课堂练习。
教学反思：
立体几何复习
授课类型：复习课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
一、教学目标：
1、知识与技能：（1）掌握知识结构与联系，进一步巩固、深化所学知识；
（2）通过对知识的梳理，提高学生的归纳知识和综合运用知识的能力。
2、过程与方法：利用框图对本章知识进行系统的小结，直观、简明再现所学知识，化抽象为直观，易于识记，同时凸现数学知识的发展和联系。
3、情感态度与价值观：通过知识的整合、梳理，理会空间点、线、面间的位置关系及其互相联系，进一步培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。
二、教学重点：各知识点间的网络关系。
难点：在空间如何实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化。
三、教学过程
（一）整合知识，发展思维
1、刻画平面的三个公理是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形问题，进行逻辑推理的基础。
公理1：——判定直线是否在平面内。
公理2：不共线的三点确定一个平面——确定平面的依据。
推论1：直线与直线外一点确定一个平面。
推论2：两条相交或平行直线确定一个平面。
公理3：。——判定两个平面交线的位置。
公理4：。——判定空间直线之间平行。
2、位置关系：
（1）直线与直线：相交、平行、异面。
（2）直线与平面：直线在平面内、相交、平行。
（3）平面与平面：相交、平行。
3、空间平行、垂直之间的转化与联系：
判定定理 性质定理
直线与平面平行
平面与平面平行
直线与平面垂直
平面与平面垂直
转化思想：直线与直线平行 直线与平面平行 平面与平面平行
直线与直线垂直 直线与平面垂直 平面与平面垂直
4、空间问题解决的重要思想方法：化空间问题为平面问题。
5、观察和推是认识世界的两种重要手段，两者相辅相成，缺一不可。
（二）应用举例，深化巩固
例1、（1）已知平面α、β和直线m，给出条件：
① m // α ， ② m ⊥α ， ③ mα ， ④ α ⊥β ， ⑤ α // β。
① 当满足条件 时，有m // β；
② 当满足条件 时，有m ⊥β。
（2）已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面，给出下列命题：
① 若m // α ，则m平行于平面α内任意一条直线；
② 若α // β，mα ，nβ，则m // n；
③ 若m ⊥α，n ⊥β，m // n，则α // β；
④若α // β，m α，则m // β。
上面命题中，真命题的序号是 。
例2、如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点。
（1）求证：CD⊥PD；
（2）求证：EF // 平面PAD；
（3）当平面PCD与平面ABCD成多大角时，直线EF⊥平面PCD。
例3：如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面△ABC是直角三角形，∠ABC = 90°，BC = BB1，且A1C∩AC1 = D，BC1∩B1C = E，连结DE。
（1）求证：A1B1⊥平面BB1C1C；
（2）求证：A1C⊥BC1；
（3）求证：DE⊥平面BB1C1C。
课堂练习（作业）
1、如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA = CB = CD = BD = 2，AB = AD =。
（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）求异面直线AB与CD所成角的大小；
（3）求点E到平面ACD的距离。
2、如图，已知是棱长为3的正方体，点在上，点在上，且，
（1）求证：四点共面；
（2）若点在上，，点在上，
，垂足为，求证：面；
（3）用表示截面和面所成锐二面角大小，求。
D
C
B
A
α
·B
共面直线
A
B
A
1
B1
1
D
1
C1
1
C
D
E
a
b
A
B
A
1
B
1
D
1
C
1
C
D
A
C
B
S
E
F
A
C
B
D
R
P
A
B
A
1
B
1
1
C
1
C
D
M
N
D
D
C
A
B
A
1
B
1
D
1
C
1
E
α
A
P
O
D
C
A
B
A
1
B
1
D
1
C
1
A
B
C
D
P
A
B
C
D
P
A
B
C
D
E
F
A
B
C
A1
B1
C1
D
E
A
B
C
D
O
E
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《点、直线、平面之间的位置关系》全章教案
2.1.1 平面
授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
一、教学目标：
1、知识与技能：利用生活中的实物对平面进行描述；掌握平面的表示法及水平放置的直观图；掌握平面的基本性质及作用；培养学生的空间想象能力。
2、过程与方法：通过讨论，对平面有了感性认识；归纳整理本节所学知识。
3、情感态度与价值观：认识到我们所处的世界是一个三维空间，增强学习的兴趣。
二、教学重点：1、平面的概念及表示；
2、平面的基本性质：注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。
难点：平面基本性质的掌握与运用。
三、学法指导：通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等，从而较好地完成本节课的教学目标。
四、教学过程
（一）实物引入、揭示课题
生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，请举出更多例子。
问题：平面的含义是什么？
（二）研探新知
1、平面的含义
几何里所说的“平面”是从一些物体中抽象出来的（原始概念），平面是无限延展的。
2、平面的画法及表示
问题：在平面几何中，怎样画直线？
类比、迁移：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角
画成450，横边长等于邻边的2倍长。
表示法：平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。
如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画。
平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。
点A在平面α内，记作：A ∈α ；点B在平面α外，记作：B α 。
3、平面的基本性质：
（1）思考：如果直线l与平面α有一个公共点P，直线l是否在平面α内？
如果直线l与平面α有两个公共点呢？
演示：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上。
归纳（公理1）：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
符号语言：。
公理1作用：判断直线是否在平面内。
直线l在平面α内（平面α经过直线l），记作：；
直线l在平面α外，记作：。
（2）实物演示：三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪。
自行车要放稳需几个点？
归纳（公理2）：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示：A、B、C三点不共线有且只有一个平面α ，使A ∈α、B ∈α、C ∈α 。
公理2作用：确定一个平面的依据。
推论1：过一条直线和直线外一点确定一个平面。
推论2：两条相交直线确定一个平面。
推论3：两条平行直线确定一个平面。
（3）演示：长方体模型中，两个平面的交线的含义。
思考：把一个三角板的一个角立在课桌上，三角板所在的平面与桌面所在的平面是否只相交于一点B，为什么？
归纳（公理3）：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示：P ∈α ∩βα ∩β = l，且P ∈l。
公理3作用：判定两个平面是否相交的依据。
4、例题：用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系：
分析（1）；
（2）。
通过例子，让学生掌握图形中点、线、面的位置关系及符号的正确使用。
5、课堂练习：课本P43 练习1、2、3、4；P51 习题2.1 A组 1、2。
（三）课时小结：（师生互动，共同归纳）
（1）本节课我们学习了哪些知识内容？
（2）三个公理的内容及作用是什么？
（3）公理化方法：从一些原始概念（基本概念）和一些不加证明的原始命题（公理）出发，运用逻辑推理，推导出其他命题和定理的方法。
（四）作业布置
（1）复习本节课内容；
（2）预习：同一平面内的两条直线有几种位置关系？
教学反思：
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
一、教学目标：
1、知识与技能：了解空间中两条直线的位置关系；理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；理解并掌握公理4、等角定理。
2、过程与方法：师生的共同讨论与讲授法相结合，让学生在学习过程不断归纳整理所学知识。
3、情感态度与价值观：感受掌握空间两直线关系的必要性，提高学习兴趣。
二、教学重点：异面直线的概念；公理4及等角定理。
难点：异面直线定义的理解。
三、学法指导：阅读教材、思考、交流、概括，较好地完成本节课的教学目标。
四、教学过程
（一）创设情景、导入课题
问题1：同一平面内的两条直线有几种位置关系？空间中的两条直线呢？
问题2：没有公共点的两条直线一定平行吗？
问题3：没有公共点的两条直线一定在同一个平面内吗？
观察：如图，长方体ABCD-A'B'C'D'中，线段A'B所在的直线与线段C'C所在直线的位置关系如何？
举例：举出生活中类似的例子。
（二）讲授新课
1、异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线。
2、空间两条直线的位置关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
课堂练习1：正方体的棱所在的直线中，与直线A1B异面的有哪些？
答案：D1C1，CC1，B1C1，DD1，AD，CD。
课堂练习2：判断下列命题是否正确，若正确，请简述理由；若不正确，请举出反例。
（1）没有公共点的两条直线是异面直线；
（2）互不平行的两条直线是异面直线；
（3）分别在两个平面内的两条直线一定异面；
（4）一个平面内的直线与这个平面外的直线一定异面；
（5）分别与两条异面直线都相交的两条直线共面。
（6）分别与两条异面直线都相交的两条直线异面。
答案：（1）~（6）都错，反例略。
异面直线直观图的画法：
异面直线的判定：（1）既不相交也不平行的两条直线是异面直线。
（2）过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。
数学语言：直线AB与直线l是异面直线。
探究：如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB、CD、EF、GH这四条线段所在的直线是异面直线的有 对。
分析：AB与CD，AB与GH，EF与GH共3对。
3、平行公理：
引入：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？
观察：如图，长方体ABCD-A'B'C'D'中，BB'∥AA'，DD'∥AA'，那么BB'与DD'平行吗？
举出现实中相应的例子（如教室里的灯管）。
归纳（公理4）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条直线，。
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
4、等角定理：
引入：在同一平面内，如果一个角的两边与另一个的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，能否推广到空间？
观察：如图，长方体ABCD-A'B'C'D'中，∠ADC与A'D'C'、∠ADC与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？
∠ADC = ∠A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 1800。
归纳（等角定理）：空间中如果两个角的两边分别对应平行，
那么这两个角相等或互补。
拓展：有关平面图形的结论都可以推广到空间中来吗？试分别找出一个可以推广和一个不可以推广的例子。（如对边相等的四边形为平行四边形，在平面图形中成立，但在空间却不成立。）
5、例题巩固：
如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形。
证明：连接BD，因为EH是三角形ABD的中位线，
所以EH // BD，且；同理FG // BD，且；
所以EH // FG，且EH = FG，所以四边形EFGH为平行四边形。
探究：如果再加上条件AC = BD，那么四边形EFGH是什么图形？（菱形）
拓展：若AC⊥BD，则四边形EFGH又是什么图形？（矩形）
（三）课堂练习：课本P48，练习1；P56习题2.1 [A组] 3，6。
（四）本节课学习了哪些内容？
1、异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线，既不相交，也不平行，没有公共点。
2、空间两条直线的位置关系：相交、平行、异面。
3、平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行（平行线的传递性）。
4、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
（五）布置作业：导与练P34，基础应用。
教学反思：
异面直线所成的角
授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
一、教学目标
1、知识与技能：理解并掌握异面直线所成的角的定义，熟记异面直线所成角的范围，会用平移转换法求异面直线所成的角。
2、过程与方法：借助正方体、长方体这一主要载体，以师为主导，引导学生主动参与，探究异面直线所成角的概念形成过程，以及角的求解及其所蕴含的转化思想与化归方法。
3、情感态度与价值观：
（1）通过本节学习，培养学生不断探索发现新知识的精神，渗透事物相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点。
（2）培养学生的空间想象能力、分析问题、解决问题的能力以及逻辑推理能力，使学生初步掌握将空间问题转化为平面问题的数学思想。
二、教学重点：异面直线所成的角的定义、范围与计算。
难点：空间平移点的选取及解题规范。
三、教学过程
（一）创设情景，引入新课
复习：1、异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线，既不相交，也不平行，没有公共点。
2、空间两条直线的位置关系：相交、平行、异面。
3、平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行（平行线的传递性）。
4、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
问题1：正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为BC的中点，判断直线A1C1、B1C1、C1E、C1C与直线AB的位置关系。
说明：从位置关系一看，同为异面直线，但它们的相对位置却是不同的，说明仅用“异面”与考虑异面直线间的相对位置是不够的。
问题2：用什么来刻画两条异面直线的相对位置呢？
提示：在平面几何中，用“距离”来刻画两平行直线间的相对位置，用“角”来刻画两相交直线间的相对位置。
问题3：一张纸中画有两条能相交的直线、（但交点在纸外），现给你一副三角板和量角器，限定不许拼接纸片，不许延长纸上的线段。问如何量出、所成角的大小？其理论依据是什么？
学生动手操作。
问题4：能否将上述结论推广到空间两直线？
（二）新授课
1、异面直线所成角的定义（学生类比问题3给出定义）：
已知异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线a' ∥a、b' ∥b，把a' 与b' 所成的锐角（或直角）叫异面直线a与b所成的角（夹角）。
范围：。
思考：两条异面直线所成角的大小是否随空间任意点O位置的不同而改变？
点O可任选，一般取特殊位置，如线段的中点或端点。
2、探究：（1）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，另一条直线是否也与这条直线垂直？即a∥b，若a⊥c，则b⊥c？
（成立，因为b、c所成的角与a、c所成的角相等，都是90°。）
（2）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？
（否，两条直线可能相交、平行或异面。）
2、例、习题剖析：
例1、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求：
（1）A1B1与CC1所成的角；
（2）A1B与CC1所成的角；
（3）A1C1与BC所成的角；
（4）A1C1与D1C所成的角；
分析：（1）∵A1B // CC1 --------找
∴ 为A1B与CC1所成的角 --------证
在△A1BB1中，； --------算
∴ A1B与CC1所成的角为45o --------答
（2）；（3）； （4）。
这种求法就是利用平移将两条异面直线转化到同一个三角形中，通过解三角形来求解。把这种方法叫做——平移法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，简记为“找——证——算——答”。
变式一：（07福建卷）如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、BC1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（ ）
（A）45° （B）60° （C）90° （D）120°
解：连接A1B，BC1，A1C1 ---------------------作
∵ A1B // EF，BC1 // GH
∴ ∠A1B C1为EF1与GH所成的角（或其补角） -----------证
在三角形A1BC1中，A1B = BC1 = A1C1
∴ ∠A1B C1=60° -----------算
∴ 异面直线EF与GH所成的角等于60° ---------答
小结：求异面直线所成的角一般要有四个步骤：
（1）作图：作出所求的角及题中涉及的有关图形等；
（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的；
（3）计算：一般是利用解三角形计算得出结果。
（4）结论。
简记为“作（或找）——证——算——答”。
例2、长方体ABCD—A1B1C1D1中， AA1 = AB = 2，AD = 1，求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值。
解：设A1C1与B1D1交于O，取B1B中点E，连接OE，
因为OE // D1B，所以∠C1OE或其补角，就是异面直线A1C1与BD1所成的角或其补角。
在△C1OE中，，
，
，
所以，
所以异面直线A1C1与BD1所成的角的余弦值为。
变式2：（05福建卷）如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1 = AB = 2，AD = 1，E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是__________。
变式3：在正四面体S—ABC中，SA⊥BC，E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（ ）
（A）30° （B）45° （C）60° （D）90°
（三）课堂小结
1、异面直线所成角的定义、范围及其求解。
2、求角的大小，常用“平移法”：“作（或找）——证——算——答”。
3、数学思想——化异面为共面，化空间为平面。这是我们学习空间几何最常用到的数学思想——转化化归思想。
（四）课后作业：
1、空间四边形ABCD中，P、R分别是AB、CD的中点，且PR =，AC = BD = 2，求AC与BD所成的角。
2、正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为AB的中点，N为BB1的中点，求A1M与C1N所成角的余弦值。
3、课本P48第2题。
4、变式3题。
教学反思：
2.2.1 直线与平面平行的判定
授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
一、教学目标：
1、知识与技能：了解空间中直线与平面的位置关系，理解并掌握直线与平面平行的判定定理，进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力。
2、过程与方法：学生通过观察图形，借助已有知识，得出空间中直线与平面的位置关系，直线与平面平行的判定定理。
3、情感态度与价值观：让学生在发现中学习，培养空间问题平面化（降维）的思想，增强学习的积极性。
二、教学重点：空间中直线与平面的位置关系，直线与平面平行的判定定理及应用。
难点：判定定理的应用，例题的证明。
三、学法指导：学生借助实例，通过观察、类比、思考、探讨，教师予以启发，得出直线与平面的位置关系，直线与平面平行的判定。
四、教学过程
（一）创设情景、导入课题
思考（1）一支笔所在的直线与一个作业本所在的平面，可能有几种位置关系？
（2）如图，线段A1B所在的直线与长方体的六个面所在平面有几种位置关系？
（二）直线与平面的位置关系
归纳：直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点，记作：；
（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点，记作：；
（3）直线在平面平行 —— 没有公共点，记作：。
直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用来表示。
例1：下列命题中正确的个数是（ ）
（1）若直线l上有无数个点不在平面α内，则l // α；
（2）若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；
（3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；
（4）若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点；
（5）平行于同一平面的两条直线互相平行。
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
答案：B
课堂练习1：若直线a不平行于平面α，且，则下列结论成立的是（ ）
（A）α内的所有直线与a异面 （B）α内不存在与a平行的直线
（C）α内存在唯一的直线与a平行 （D）α内的直线与a都相交
答案：B
（三）直线与平面平行的判定
1、揭示问题：根据定义，判定直线与平面是否平行，只需判定直线与平面有没有公共点。但是，直线无限伸长，平面无限延展，如何保证直线与平面没有公共点呢？
2、直观感知，操作确认：
（1）转动门扇：门扇转动的一边与门框所在的平面是否平行？
（2）观察：将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，封面边缘所在的直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？
3、探究：（1）如右图，直线a与平面α平行吗？
（2）平面α外的直线a平行于平面α内的直线b，直线a与平面α的位置关系如何？
4、归纳（直线与平面平行的判定定理）平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
符号语言：。
作用：线线平行，则线面平行。
将直线与平面平行关系（空间问题）转化为直线间平行关系（平面问题）。
5、感受生活中线面平行的例子：教室里日光灯与天花板，足球门的顶部与地面等。
6、直线与平面平行的判定方法：
（1）利用定义，说明直线与平面没有公共点；
（2）利用判定定理，应用时的关键是在平面内找到与已知直线平行的直线。
7、思考：平行线有传递性，线面平行有传递性吗？即以下命题是否成立？
（1）；（2）。
说明：以上两个命题都是假命题，线面平行没有传递性。
课堂练习2：若，则b与的位置关系是 。
答案：或。
（四）定理的应用
例1、求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面。
已知：如图，空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点。
求证：EF // 平面BCD。
证明：连接BD，因为AE = EB，AF = FD，
所以EF // BD（三角形中位线的性质），
因为平面BCD，平面BCD，
由直线与平面平行的判定定理得EF // 平面BCD。
小结：要证明一条已知直线与一个平面平行，只要在这个平面内找出一条直线与已知直线平行，就可断定已知直线与这个平面平行。
变式1：如图，空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD上的点，若，则EF与平面BCD的位置关系是 。
答案：EF // 平面BCD。
变式2：如图，四棱锥A—DBCE中，底面DBCE为平行四边形，F为AE的中点，求证：AB // 平面DCF。
分析：连接BE交CD于点O，则OF // AB（中位线）。
例2：如图在正方体ABCD–A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点，求证：EF // 平面BDD1B1。
分析：要证明线面平行，根据线面平行的判定定理，只需证明EF与平面BDD1B1内的一条直线平行即可。
小结：1、证明线面平行可先证线线平行，但要注意“三条件”的说明，关键是找到面内的直线。
2、证明线面平行的一般步骤是：（1）证线线平行；（2）说明两直线一条在面内，另一条在面外；（3）由判定定理得到结论。
变式3：如图，正方体ABCD–A1B1C1D1中，E、F分别是对角线A1D、B1D1的中点，证判直线EF分别与正方体六个面中的哪些平面平行？并证明你的结论。
课堂练习3：1、如图，长方体ABCD–A1B1C1D1中，
（1）与AB平行的平面是 ；
（2）与AA1平行的平面是 ；
（3）与AD平行的平面是 。
2、如图，正方体ABCD–A1B1C1D1中，E为DD1的中点，试判断BD1与平面AEC的位置关系，并说明理由。
（五）课堂总结
1、直线与平面的位置关系：相交，平行，直线在平面内。
2、直线与平面平行的判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
3、证明线面平行的一般步骤是：（1）证线线平行；（2）说明两直线一条在面内，另一条在面外；（3）由判定定理得到结论。要注意“三条件”的说明，关键是找到面内的直线。
（六）布置作业：
课本P62 习题2.2 [A组]第3题，[B组]第1题；变式3题。导与练P40，1 ~ 11。
教学反思：
2.2.2 平面与平面平行的判定
授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
一、教学目标：
1、知识与技能：了解空间中平面与平面的位置关系，理解并掌握平面与平面平行的判定定理，进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力。
2、过程与方法：学生通过观察图形，借助已有知识，得出空间中平面与平面的位置关系，平面与平面平行的判定定理。
3、情感态度与价值观：让学生在发现中学习，培养空间问题平面化（降维）的思想，增强学习的积极性。
二、教学重点：空间中平面与平面的位置关系，平面与平面平行的判定定理及应用。
难点：判定定理的应用，例题的证明。
三、学法指导：学生借助实例，通过观察、类比、思考、探讨，教师予以启发，得出平面与平面的位置关系，平面与平面平行的判定。
四、教学过程
（一）平面与平面的位置关系
思考：（1）拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？
（2）如图，围成长方体的六个面，两两之间的位置关系有几种？
两个平面的位置关系：
（1）两个平面平行——没有公共点，记作：；
（2）两个平面相交——有且只有一条公共直线，记作：。
用图形表示为：
画两个相互平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行。
探究：已知平面α、β，直线a、b，且，则直线a与直线b具有怎样的位置关系？
拓展：若呢？
课堂练习1：如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论。
（二）平面与平面平行的判定
1、观察：三角板的一条边所在直线与桌面平行，这个三角板所在平面与桌面平行吗？三角板的两条边所在直线分别与桌面平行，情况又如何呢？
2、若一个平面内的所有直线都与另一个平面平行，那么这两个平面一定平行。
3、探究：（1）平面β内有一条直线与平面α平行，α、β平行吗？
（2）平面β内有两条直线与平面α平行，α、β平行吗？
（3）平面β内有两条相交直线与平面α平行，α、β平行吗？
通过长方体模型，引导学生观察、思考、交流，得出结论。
4、归纳（两个平面平行的判定定理）：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。〖线不在多，相交就行。〗
符号语言：。
作用：线面平行，则面面平行。
5、平面平行的传递性：如果平面α // 平面β，平面β // 平面γ，则平面α // 平面γ。
课堂练习2：
1、判断下列命题是否正确，正确的说明理由，错误的举例说明：
（1）已知平面α，β和直线m，n，若，则α // β；
（2）一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一个平面β，则α // β。
2、平面α与平面β平行的条件可以是（ ）
（A）α内有无穷多条直线都与β平行
（B）直线a // α，a // β，且直线a不在α内，也不在β内
（C）直线，直线，且
（D）α内的任何直线都与β平行
（三）定理的应用：
例1、已知正方体ABCD—A1B1C1D1，求证：平面AB1D1//平面C1BD。
分析：由AB1 // DC1，得AB1 // 平面C1BD；AD1 // BC1，得AD1 //平面C1BD，
证明：因为ABCD—A1B1C1D1为正方体，
所以D1C1 // A1B1，D1C1 = A1B1，
又AB // A1B1，AB = A1B1，所以DC // D1C1，DC = D1C1，所以D1C1 BA为平行四边形，
所以AD1 // BC1，又平面C1BD，平面C1BD，
由直线与平面平行的判定定理得AD1 //平面C1BD。
同理AB1 // 平面C1BD，又，所以平面AB1D1//平面C1BD。
变式1：已知在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点。
求证（1）E、F、B、D四点共面；
（2）平面AMN // 平面EFBD。
例2：求证：如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行，那么这两个平面平行。
已知：，
求证：α // β。
分析：由线线平行得线面平行，再得面面平行。
小结：面面平行的判定定理的实质就是一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行，本例可作为定理使用。
变式2：已知四棱锥V—ABCD，四边形ABCD为平行四边形，E、F、G分别是AD、BC、VB的中点，求证：平面EFG // 平面VDC。
例3：如图，α // β，A、C，B、D，且A、B、C、D不共面，E、F分别是AB、CD的中点，求证：EF // α，EF // β。
分析：欲证线面平行，可先证面面平行，再结合面面平行的定义从而得证。
证明：连结AD，取AD的中点为G，连结EG，
因为E为AB的中点，所以EG为△ABD的中位线，所以EG // BD，
因为EG平面β，BD平面β，所以EG // β。
连结GF，同理证得GF // β，又EG∩GF = G，
所以平面EGF // 平面β，又EF平面EGF，所以EF // β，同理EF // α。
变式3：如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是A1D1、A1B1的中点，在该正方体中作出与平面AMN平行的平面，并证明你的结论。
（四）归纳整理、整体认识
1、平面与平面的位置关系：相交，平行；
2、平面与平面平行的判定：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
3、面面平行的判定定理的实质就是一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行。
（五）布置作业：
课本第61页习题2.2 [ A组] 第7、8题；变式3题；导与练P44，1 ~ 11。
教学反思：
2.2.3 直线与平面平行的性质
授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
一、教学目标：
1、知识与技能：掌握直线与平面平行的性质定理及其应用。
2、过程与方法：学生通过观察与类比，借助实物模型理解性质及应用。
3、情感态度与价值观：进一步提高学生空间想象能力、思维能力；体会类比的作用；渗透等价转化的思想。
二、教学重点：直线与平面平行的性质定理的理解。
难点：直线与平面平行的性质定理的证明及正确运用。
三、学法指导：学生借助实物，通过类比、交流等，得出性质及基本应用。
四、教学过程
（一）创设情景、引入新课
复习：直线与平面平行的判定定理：。
思考：（1）如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面内的直线有哪些位置关系？
（2）教室内日光灯管所在的直线与地面平行，如何在地面上作一条直线与灯管所在的直线平行？
（二）研探新知
问题1：命题“若直线a平行于平面α ，则直线a平行于平面α内的一切直线”对吗？
直线会与平面内哪些直线平行呢？
问题2：在上面的论述中平面α的直线b满足什么条件时可以与直线a平行？
没有公共点——共面（平行）。
归纳（直线与平面平行的性质定理）：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
符号语言：。
证明：因为，所以，
因为，所以a与b没有公共点，又因为，所以a // b。
简记为：线面平行则线线平行。作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
（三）例题剖析
例1、如图所示的一块木料中，棱BC平竽于面。
（1）要经过面内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？
（2）所画的线与平面AC是什么位置关系？
分析：（1）经过木料表面内的一点P和棱BC将木料锯开，实际上是经过BC及BC外一点P作截面，也就是找出平面与平面的交线。可以由直线与平面平行的性质定理和公理4、公理2作出。
（2）由于所作的直线EF平行于BC，所以所画的线EF与平面AC平行，而BE、CF则与平面AC相交。
例2、已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面。
已知：，求证：。
证明：过直线a作平面β交平面α于直线c，因为，
所以a // c，因为a // b，所以b // c，又因为，所以。
说明：线线平行线面平行，转化是立体几何的一种重要的思想方法。
变式：求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行。
已知：，
求证：a // l。
分析：利用线面平行的性质定理。
证明：过a作平面交于b，因为，所以a // b，
过a作平面交平面于c，因为，所以a // c，所以b // c。
又因为且，所以，
由于平面过b交于l，所以b // l，又a // b，所以a // l。
（四）课堂练习
1、判断下列命题的真假：
（1）； （ ） （2）； （ ）
（3）； （ ） （4）； （ ）
（5）过平面外一点和这个平面平行的直线只有一条。 （ ）
2、填空：
（1）若两直线a、b异面，且a // α ，则b与α的位置关系可能是 。
（2）若两直线a、b相交，且a // α ，则b与α的位置关系可能是 。
3、长方体ABCD—A1B1C1D1中，点（异于B、B1），，，求证：MN // 平面ABCD。
（五）归纳小结
证明线面平行的转化思想：
要证a // α ，通过构造过直线a的平面β与平面α相交于直线b，只要证明a // b即可。
线线平行线面平行面面平行（（1）平行公理；（2）三角形中位线；（3）平行线分线段成比例；（4）相似三角形对应边成比例；（5）平行四边形对边平行。）
（六）布置作业：
课本P61，习题2.2 [A组] 第5，6题；[B组]第2题；导与练P47，1 ~ 11。
教学反思：
2.2.4 平面与平面平行的性质
授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
一、教学目标
1、知识与技能：掌握两个平面平行的性质定理及其应用。
2、过程与方法：学生通过观察与类比，借助实物模型理解性质及应用。
3、情感态度与价值观：进一步提高学生空间想象能力、思维能力，体会类比的作用，渗透等价转化的思想。
二、教学重点：平面与平面平行的性质定理的理解。
难点：面面平行性质定理的证明及正确应用。
三、学法指导：学生借助实物，通过类比、交流等，得出性质及基本应用。
四、教学过程
（一）创设情景，揭示课题
复习：两个平面平行的判定定理：。
相关性质：1、若两个平面平行，那么一个平面内的任意一条直线都和另一个平面平行。
2、平行于同一个平面的两个平面平行。
问题1：若两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么位置关系？
学生借助长方体模型思考、交流得出结论：异面或平行。
问题2：分别在两个平行平面内的两条直线满足什么条件时平行？（共面）
问题3：长方体中，平面ABCD内哪些直线会与直线平行？怎么样找到这些直线？
（平面ABCD内的直线只要与共面即可）
（二）研探新知
例1、如图，已知平面α、β、γ满足，求证：a // b。
证明：因为，所以，又因为，所以a，b没有公共点，又因为a，b同在平面γ内，所以a // b。
归纳（两个平面平行的性质定理）如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号语言：。
可以由平面与平面平行得出直线与直线平行。
课堂练习1：判断下列命题是否正确。
（1）如果a，b是两条直线，且a // b，那么a平行于经过b的任何平面。
（2）如果直线a和平面α满足a // α，那么a与α内的任何直线平行。
（3）如果直线a，b和平面α满足a // α，b // α，那么a // b。
（4）如果直线a，b和平面α满足a // b，a // α，，那么b // α。
例2、求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等。
已知：，求证：AB = CD。
证明：因为AB // CD，所以过AB、CD可作平面γ，且平面γ与平面α和β分别相交于AC和BD，因为α // β，所以BD // AC，因此，四边形ABDC是平行四边形，所以AB = CD。
变式1：如图，α // β // γ，直线a与b分别交α ，β ，γ于点A、B、C和点D、E、F，求证：。
例3：如图，ABCD与BAFE是两个全等的正方形，点M在AC上，点N在FB上，AM = FN，求证：MN // 平面BCE。
变式2：如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，平面PAD平面PBC = l。
（1）求证：BC // l；
（2）MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论。
（三）归纳小结
1、平面与平面平行的几条性质：
（1）性质定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号语言：。
（2）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
（3）夹在两个平行平面间的平行线段相等。
（4）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行。
2、通过对性质定理的学习，大家应注意些什么？
3、本节课涉及到哪些主要的数学思想方法？
（五）布置作业：
课本第63页 习题2.2 [B组] 第3题；变式2题；导与练P50，1 ~ 11。
教学反思：
2.3.1直线与平面垂直的判定与性质
授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
一、教学目标
1、知识与技能（1）掌握直线和平面垂直的定义及判定定理、性质定理；
（2）掌握判定直线和平面垂直的方法；掌握直线和平面垂直的性质。
（3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。
2、过程与方法（1）感受直线和平面垂直的定义的形成过程；
（2）探究判定直线与平面垂直的方法。
3、情感态度与价值观：培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知。
二、教学重点、难点：直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。
三、教学设计
（一）创设情景，揭示课题
举例：旗杆与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系。
模型演示：直棱柱的侧棱与底面的位置关系。
（二）研探新知
1、直线与平面垂直的定义：直线l与平面内α的任意一条直线都垂直。记作：l ⊥α 。
直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，垂线与平面的交点P叫做垂足。
2、直线与平面垂直的判定：
（1）探究：准备一块三角形纸片。
过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）。
① 折痕AD与桌面所在平面α垂直吗？
② 如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面α垂直？（AD是BC边上的高）
（2）思考：
① 有人说，折痕AD所在直线已桌面所在平面α上的一条直线垂直，就可以判断AD垂直平面α ，你同意他的说法吗？
② 如图，由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系不变，即AD⊥CD，AD⊥BD，由此你能得到什么结论？
（3）归纳结论：（直线与平面垂直的判定定理）
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
符号语言：。
作用：由线线垂直得到线面垂直。（线不在多，相交就行。）
强调：① 定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
② 定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
3、实际应用，巩固深化
例1：有一根旗杆AB高8米，它的顶端A挂有一条长10米的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和旗杆脚不在同一条直线上）C、D，如果这两点都和旗杆脚B的距离是6米，那么旗杆就和地面升起垂直，为什么？
分析：AB⊥BC，AB⊥BD，且B、C、D三点不共线。
课堂练习：已知三角形ABC，直线l ⊥AB，l ⊥AC，求证l ⊥BC。
例2：直线a、b和平面α有以下三种关系：（1）a // b，（2），（3），如果任意取其中两个作为前提，另一个作为结论构造命题，能构成几个命题？并判断其真假。如果是真命题，请予以证明；如果是假命题，请举一个反例。
命题1：如图，已知，求证：。
证明：在平面α内作两条相交直线m，n，因为直线，根据直线与平面垂直的定义知，又因为a // b，所以，又因为，m，n是两条相交直线，所以。
归纳：两条互相平行的直线，如果有一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直。
命题2：如图，已知直线a ⊥α ，b ⊥α ，那么a // b。
证明（反证法）假设a、b不平行，且，是经过点O与直线b平行的直线。直线b与确定平面β，设，则。因为a ⊥α 、b ⊥α ，所以a ⊥c 、b ⊥c，又因为，所以。这样在平面β内，经过直线c上同一点O就有两条直线b，与c垂直，显然不可能，因此a // b。
归纳（直线与平面垂直的性质）：垂直于同一平面的两条直线平行。
说明：可以由两条直线与一个平面垂直判定两条直线平行，性质定理揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系。
（三）课堂练习：课本P67，练习1、2。
1、如图，在三棱锥V—ABC中，VA = VC，AB = BC，求证：VB⊥AC。
2、过三角形ABC所在平面α外一点P，作PO ⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC。
（1）若PA = PB = PC，∠C = 90°，则点O是AB边的 点。
（2）若PA = PB = PC，则点O是三角形ABC的 心。
（3）若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是三角形ABC的 心。
（四）归纳小结：
（1）获得直线与平面垂直的判定定理的基本过程。
（2）直线与平面垂直的判定定理，体现的数学思想方法是什么？
（五）课后作业：
1、正方体ABCD—A1B1C1D1中，求证：AC⊥BDD1B1。
2、如图，已知PA⊥平面ABC，AC⊥BC，O、D分别为AB、AC的中点，求证：OD⊥平面PAC。
3、如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MN⊥CD。
教学反思：
三垂线定理
授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
一、教学目标
1、知识与技能：理解三垂线定理及其逆定理的证明，准确把握“空间三线”垂直关系的实质；掌握三垂线定理及其逆定理解题的一般步骤。
2、过程与方法：通过三垂线定理的证明及应用，体会空间线线、线面垂直关系的转化。
3、情感态度与价值观：培养学生的观察、猜想和论证能力；培养学生对待知识的科学态度和辩证唯物主义观点。
二、教学重点：三垂线定理及其逆定理的证明和初步应用。
难点：三垂线定理中的垂直关系及证明过程。
关键：把握住斜线和它在平面上的射影必定同时垂直于平面内的某条直线。
三、教材分析：
1、“三垂线定理”是高中立体几何中的重要内容之一，它是在研究了空间直线和平面垂直的基础上研究两条直线垂直关系的一个重要定理，它既是线面垂直关系的一个应用，又为以后学习面面垂直，研究空间距离、空间角奠定了基础，同时这节课也是培养学生空间想象能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力都有重要意义。
2、本节课的教学过程为：猜、证、比、用，即猜想平面内的直线与平面的斜线垂直的特征；证明三垂线定理及其逆定理；比较两个定理；应用定理证题。
由于本节课安排在立体几何学习的初始阶段，是学生空间观念形成的关键时期，因此要重视让学生动手做模型，教师演示指导，让学生直观地感受到空间线面、线线关系的变化，再在教师的引导下思考线面、线线垂直关系存在的因果关系，逐步推理、猜想命题，论证命题，从而发现定理，揭示定理的实质，在定理论证中进一步发展定理，引出逆定理，再进行比较，从而更进一步地把握定理的关键。对定理的应用，只要求学生在理解定理的基础上，理清应用定理证题的一般步骤，学会证明一些简单问题。
3、本节课采用启发、引导、探索式相结合的教学方法，启发、引导学生积极思考，勇于探索，使学生的心理达到一种“欲罢不能”的兴奋状态，从而产生浓厚的学习兴趣，发挥学生的主观能动性，体现学生的主体作用。
四、教学过程
（一）复习和引入新课
提问：（1）直线和平面垂直的定义是什么？（直线垂直于平面内的任意一条直线。）
（2）直线和平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
（3）如图，如果PO⊥平面α，PA与平面α交于点A，则PO为平面α的垂线，PA为平面α的斜线，连接垂足O与斜足A的直线OA叫做斜线PA在平面α内的射影。
（二）猜想和发现
1、揭示问题，引导探究
根据直线和平面垂直的定义知平面内的任意一条直线都和平面的垂线垂直。
进一步，平面内的任意一条直线是否都和平面的一条斜线垂直？（否）
是否平面内的所有直线都不和平面的一条斜线垂直？
2、模型演示
引导学生用三角板和铅笔在桌面上搭建模型（如图）。
如图表示平面的斜线（PO）在平面内有垂线（a），且有无数条。这些直线应具备什么条件，即怎样判定平面内的直线与平面的一条斜线垂直呢？
指导学生用三角板和铅笔在桌面上搭成模型（如图），使铅笔与三角板的斜边垂直，引导学生观察猜想发现规律，经过实验，发现铅笔和三角板在平面α内的直角边垂直时，便与斜边垂直。
3、结论：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
（三）证明定理
实验得出的结果是否正确还得进行证明。
已知：PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO是PO在平面α上的射影，（如图）。
求证：a⊥PA。
分析：证明两直线垂直，可转化为证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面，从本题条件看，PO在平面PAO内，只要证明a⊥平面PAO即可。
证明：因为，所以PO ⊥a，又a ⊥OA，PO∩OA = O，所以a⊥平面POA，所以a ⊥PA。
（四）揭示定理
上面命题反映了平面内一条直线、平面的斜线和斜线在这个平面内的射影这三者之间的垂直关系，这就是著名的三垂线定理，下面请大家根据已知条件和结论，把三垂线定理完整地表达出来。
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的实质是平面内的直线与平面的斜线垂直的判定定理。这个定理之所以著名，不仅在于它给了我们一个证明线线垂直的重要方法，为研究计算空间角、空间距离奠定了基础，而且这个定理的证明方法——“线面垂直法”，也是一种非常重要的方法。
刚才我们由a与PA、AO垂直得到了a与平面PAO垂直，现在我们再看，由于PA与a总垂直，那么当a与PO垂直时还会有a⊥平面PAO吗？进一步可得到什么结论？（a⊥AO）这样我们又得到了一个重要定理：
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。
请同学们写出证明过程，并与原定理进行对比。
（五）原、逆定理的比较
相同点：（1）结构相同：都是由线线垂直推证线线垂直；
（2）证明方法相同：都采用了线面垂直法。
不同点：（1）用途不同：原定理是用来证空间两直线垂直；逆定理是用来证平面上两直线垂直。
（2）条件与结论不同：原定理：“与射影垂直”“与斜线垂直”；逆定理：“与斜线垂直”“与射影垂直”。
（六）定理的应用
例1：如图，O是△ABC的垂心，PO⊥平面ABC，连结PA，求证：BC⊥PA。
分析：PO是平面的垂线，PA是平面的斜线，BC在平面ABC上，所以，欲证BC⊥PA，只需证明BC垂直PA在平面ABC上的射影即可。
证明：连结AO并延长交BC于D，则AO是PA在平面ABC上的射影。
又O是△ABC的垂心，所以AD⊥BC，由三垂线定理可得BC⊥PA。
小结：使用三垂线定理证题的一般步骤是：
一定——定平面及平面内的一条直线；二找——找平面的垂线、斜线及射影；三证——证明平面内一直线与射影垂直。
由于逆定理与原定理的实质相同，结构相似，因而使用时也可以按以上步骤进行，这对我们在复杂图形中使用定理很有好处。
例2：正方体ABCD—A1B1C1D1中，求证：
（1）A1C⊥BD； （2）A1C⊥BC1； （3）A1C⊥平面BDC1。
4、探究：如图，直四棱柱（侧面与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD满足什么条件时，？
解：连结，因为平面，所以为在平面内的射影，由三垂线定理知，当时，有，即四边形ABCD的对角线互相垂直时，。
（七）归纳总结
1、本节课重点学习了三垂线定理及其逆定理，它们是空间两线垂直的判定与性质定理，要牢固掌握，并注意原、逆定理的区别与联系。
2、学会按“一定、二找、三证”的步骤应用两个定理证明线线垂直。
（八）布置作业
1、已知点O是△ABC的BC边上的高上的任意一点，且OP⊥平面ABC，求证PA⊥BC。
2、如图，PD⊥平面ABC，AC = BC，D为AB的中点，求证：AB⊥PC。
3、如图，ABCD是矩形，PA⊥平面AC，连结PB、PC、PD，指出图中有哪些三角形是直角三角形，并说明理由。
教学反思：
直线与平面所成的角
授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
一、教学目标
1、知识与技能：理解并掌握直线与平面所成的角的定义，熟记直线与平面所成角的范围，会求直线与平面所成的角。
2、过程与方法：借助正方体、长方体这一主要载体，以师为主导，引导学生主动参与，探究异面直线所成角的概念形成过程，以及角的求解及其所蕴含的转化思想与化归方法。
3、情感态度与价值观：
（1）培养学生不断探索发现新知识的精神，渗透事物相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点。
（2）培养学生的空间想象能力、分析问题、解决问题的能力以及逻辑推理能力，使学生初步掌握将空间问题转化为平面问题的数学思想。
二、教学重点：直线与平面所成的角的定义、范围与计算。
难点：角的寻找（垂线）。
三、教学过程
（一）创设情景，引入新课
复面的垂线：垂直于平面的直线。
平面的斜线：与平面相交但不垂直的直线。
射影：过垂足和斜足的直线叫做斜线在平面上的射影。
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。
三垂线定理及其逆定理的证明：线面垂直法。
问题：如图，E为长方体ABCD—A1B1C1D1的边AB上任意一点，直线AA1，A1E，A1B中哪些与底面ABCD垂直？
从位置关系来看，同为直线，但它们的相对位置是不同的，如何刻画直线与平面的位置关系？
模型演示：笔与桌面的位置关系。
（二）研探新知
1、直线与平面所成角的定义：
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
注：l ⊥α时，所成角为90°；l // α时，所成角为0°。
范围：。
课堂练习：两条直线和一个平面所成的角相等，这两条直线一定平行吗？
2、应用举例：
例1：在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求：
（1）直线A1B和平面A1B1CD所成的角；
（2）直线DB1与平面ABCD所成角的正弦值。
解（1）连结BC1交B1C于点O，连结OA1，
因为A1B1⊥平面BCC1B1，所以A1B1⊥BC1，
因为BCC1B1为正方形，所以B1C⊥BC1，
又，所以BO⊥平面A1B1CD，
所以∠BA1O为直线A1B和平面A1B1CD所成的角，且∠BOA = 90°，
设正方体的棱长为a，则，
所以，得∠BA1O = 30°，
所以直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°。
（2）学生练习。
小结：求直线与平面所成的角一般要有三个步骤：
（1）作图：作出所求的角及题中涉及的有关图形等；
（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的；
（3）计算：在证明的基础上计算得出结果。
例2：如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ABC = 90°，AB = BC = 1。
（1）求异面直线B1C1与AC所成角的大小；
（2）若直线A1C与平面ABC所成角为45°，求三棱锥A1—ABC的体积。
（三）课堂练习
1、已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别为1和2，A、B两点在平面α内的射影之间的距离为，求直线AB和平面α所成的角。
2、求正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值。
3、如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥PC，AD // BC，PD : DC : BC = 1 : 1 :，求直线PB与平面PDC所成角的大小。
（四）作业：
例2，课堂练习2题。导与练P55，1 ~ 11。
教学反思：
二面角及其平面角
授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
一、教学目标
1、知识与技能：（1）正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；
（2）掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；
（3）学会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。
2、过程与方法：（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；
（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。
3、情感态度与价值观：通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。
二、教学重点：平面与平面垂直的判定；
难点：如何度量二面角的大小。
三、学法指导：实物观察，类比归纳，语言表达。
四、教学过程
（一）创设情景，揭示课题
实例：（1）修筑水坝时，为了使坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度。
（2）发射人造地球卫星时，根据需要，使卫星轨道平面与地球赤道平面成一定的角度。
问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？
问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？
（二）研探新知
1、二面角的有关概念
演示：把纸对折，观察其形状，并进行归纳：
角 二面角
图形 A 边 顶点 O 边 B A 梭 l βB α
定义 从平面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形 从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
构成 射线 — 点（顶点）一 射线 半平面 一 线（棱）一 半平面
表示 ∠AOB 二面角α – l – β或α – AB – β
2、二面角的度量
问题：我们常说“把门开大一些”，是指哪个角大一些？
应该怎样刻画二两角的大小呢？（模型演示）
归纳（二面角的平面角）：在二面角α—l—β的棱上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角。
说明：（1）在表示二面角的平面角时，要求“OA ⊥l，OB ⊥l”；
（2）∠AOB的大小与点O在l上位置无关；
（3）二面角的大小可以用它的平面角来度量，范围：；
（4）直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。
3、两个平面互相垂直的概念
观察：教室相邻的两个墙角与地面可以构成几个二面角？分别指出构成这些二面角的面、棱、平面角及其度数。
两个平面互相垂直：两个平面所成的角为直二面角，记作：。
演示：课本与桌面垂直。
（三）求二面角的大小
例1：如图，在三棱锥V—ABC中，VA = VB = AC = BC = 2，AB =，VC = 1，试画出二面角V—AB—C的平面角，并求它的度数。
课堂练习1：（1）在一个二面角的一个面内有一点，它到棱的距离等于到另一个面的距离的2倍，求二面角的度数。
（2）如图，四棱锥V—ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，试画出二面角V—AB—C的平面角，并求它的度数。
例2：正方体ABCD—A1B1C1D1中，求
（1）二面角A1—CD—B的大小；
（2）二面角C1—BD—C的平面角的余弦值；
（3）二面角A—BD1—C的的平面角的余弦值。
课堂练习2：（1）如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是棱A1B1的中点，求二面角M—BD—A的平面角的正切值。
（2）如图，已知平面α，β，且α∩β = AB，PC⊥α，PD⊥β，C，D是垂足，
① 判断直线AB与CD的位置关系，并证明你的结论；
② 若PC = 5，PD = 8，PC = 7，求二面角α—AB—β的大小。
（四）课堂总结
1、二面角的平面角必须具备三个条件：
（1）角的顶点在二面角的棱上；
（2）角的两边分别在二面角的两个半平面内；
（3）角的两条边分别与二面角的棱垂直。
准确、恰当地作出二面角的平面角，是解答有关二面角问题的关键。
2、确定二面角的平面角的方法：
（1）定义法：在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线。
（2）垂面法：过棱上一点作棱的垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条射线（交线）所成的角，即为二面角的平面角。
（3）垂线法（三垂线定理）：过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角，此种方法通用于求二面角的所有题目，具体步骤为：
一找——找平面及平面的垂线；
二证——证明斜线或射影与棱垂直；
三求——求出所得二面角的平面角的大小。
（五）布置作业：
课堂练习1、2。（共4题）
教学反思：
平面与平面垂直的判定与性质
授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
一、教学目标
1、知识与技能：（1）掌握平面与平面垂直的判定定理及性质定理；
（2）能运用判定定理、性质定理解决一些简单问题；
（3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系。
2、过程与方法：从开放性的角度设计问题，引导学生建立新的认知结构，挖掘学生的创造潜能。
3、情感态度与价值观：通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力。
二、教学重点、难点：判定定理、性质定理的证明及其应用。
三、学法指导：直观感知、操作确认，猜想与证明。
四、教学过程
（一）由开放题设计知识的产生过程
问题导入：直线a和平面α，β有以下三种关系：①a⊥β，②aα，③α⊥β，如果任意取其中两个作为前提，另一个作为结论构造命题，能构成几个命题？如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请举出一个反例，并补充条件使其成为真命题并加以证明。
学生画图形，搭模型——用课本、桌面作平面，铅笔作直线，能构成三个不同的命题： 。
其中（1）是真命题，（2），（3）均是假命题。
（二）用开放的思维探索命题的真假
1、证明命题（1）为真
分析：设α∩β = CD，欲证α⊥β，只须判断二面角α – CD – β为直二面角。为此，作OB⊥CD，得其二面角∠AOB（如图）。，从而证明了α⊥β。
归纳（两个平面垂直的判定定理）：一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
符号语言：。
作用：由线面垂直得到面面垂直。
2、考察命题（2）的真假
由α⊥β，α内的直线a不一定能与β垂直（反例如图）。
问题：对于命题（2），能否在α⊥β，aα的条件下，再增加某些条件，使a⊥β的结论成立呢？
引导学生分析，发现增加“a垂直于α与β的交线”的限制条件后，就能判定a⊥β。
证明：在β内引直线BE⊥CD，垂足为B，则∠ABE是二面角α—CD—β的平面角。
由知AB⊥BE，又AB⊥CD，BE与CD是β内的两条相交直线，所以AB ⊥β。
归纳（两个平面垂直的性质定理）：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
符号语言：设，则有AB ⊥β。
作用：由面面垂直得到线面垂直。
3、考察命题（3）的真假
途径1：结论开放。α⊥β且a⊥β不一定能得到aα，但可以判断a与α的位置关系是什么？（平行或在平面内）
途径2：条件开放。为了得到aα这个结论，需要增加什么条件？（由途径1可知：为使a∥α不成立，a须经过α内的一点P。）
思考：（1）设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线a，直线a与平面α具有什么位置关系？
分析：过一点只能作一条直线与已知平面垂直。（答：直线a必在平面α内）
归纳：。
（2）已知平面α、β和直线a，若α ⊥β，a ⊥β，，则直线a与平面α具有什么位置关系？（答：直线a与平面α平行）
归纳：。
探究：已知平面α、β和直线a，若α ⊥β，，则直线a与平面β具有什么位置关系？（a ⊥β）
4、应用举例
例：如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC。
证明：设圆O所在平面为α ，由已知条件，
PA ⊥α ，BC在α内，所以PA⊥BC，
因为点C是圆周上不同于A、B的任意一点，AB是圆O的直径，
所以∠BCA是直角，即BC⊥AC。
又因为PA与AC是△PAC所在平面内的两条相交直线，
所以BC⊥平面PAC，又因为BC在平面PBC内，所以平面PAC⊥平面PBC。
5、探究：如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？
拓展：哪些直线互相垂直？线面垂直呢？
（三）通过开放性练习的研究深化对知识的认识
课堂练习：直线a和平面α,β有以下三种关系：①a⊥α，②a∥β，③α⊥β，以其中两个作为条件，另一个作为结论，构成三个命题，试探讨其真假。
（四）课堂总结
1、直线与平面垂直的判定：。
2、直线与平面垂直的性质：（1）设，则有AB ⊥β。
（2）；。
（五）作业：课堂练习。
教学反思：
立体几何复习
授课类型：复习课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
一、教学目标：
1、知识与技能：（1）掌握知识结构与联系，进一步巩固、深化所学知识；
（2）通过对知识的梳理，提高学生的归纳知识和综合运用知识的能力。
2、过程与方法：利用框图对本章知识进行系统的小结，直观、简明再现所学知识，化抽象为直观，易于识记，同时凸现数学知识的发展和联系。
3、情感态度与价值观：通过知识的整合、梳理，理会空间点、线、面间的位置关系及其互相联系，进一步培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。
二、教学重点：各知识点间的网络关系。
难点：在空间如何实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化。
三、教学过程
（一）整合知识，发展思维
1、刻画平面的三个公理是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形问题，进行逻辑推理的基础。
公理1：——判定直线是否在平面内。
公理2：不共线的三点确定一个平面——确定平面的依据。
推论1：直线与直线外一点确定一个平面。
推论2：两条相交或平行直线确定一个平面。
公理3：。——判定两个平面交线的位置。
公理4：。——判定空间直线之间平行。
2、位置关系：
（1）直线与直线：相交、平行、异面。
（2）直线与平面：直线在平面内、相交、平行。
（3）平面与平面：相交、平行。
3、空间平行、垂直之间的转化与联系：
判定定理 性质定理
直线与平面平行
平面与平面平行
直线与平面垂直
平面与平面垂直
转化思想：直线与直线平行 直线与平面平行 平面与平面平行
直线与直线垂直 直线与平面垂直 平面与平面垂直
4、空间问题解决的重要思想方法：化空间问题为平面问题。
5、观察和推是认识世界的两种重要手段，两者相辅相成，缺一不可。
（二）应用举例，深化巩固
例1、（1）已知平面α、β和直线m，给出条件：
① m // α ， ② m ⊥α ， ③ mα ， ④ α ⊥β ， ⑤ α // β。
① 当满足条件 时，有m // β；
② 当满足条件 时，有m ⊥β。
（2）已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面，给出下列命题：
① 若m // α ，则m平行于平面α内任意一条直线；
② 若α // β，mα ，nβ，则m // n；
③ 若m ⊥α，n ⊥β，m // n，则α // β；
④若α // β，m α，则m // β。
上面命题中，真命题的序号是 。
例2、如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点。
（1）求证：CD⊥PD；
（2）求证：EF // 平面PAD；
（3）当平面PCD与平面ABCD成多大角时，直线EF⊥平面PCD。
例3：如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面△ABC是直角三角形，∠ABC = 90°，BC = BB1，且A1C∩AC1 = D，BC1∩B1C = E，连结DE。
（1）求证：A1B1⊥平面BB1C1C；
（2）求证：A1C⊥BC1；
（3）求证：DE⊥平面BB1C1C。
课堂练习（作业）
1、如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA = CB = CD = BD = 2，AB = AD =。
（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）求异面直线AB与CD所成角的大小；
（3）求点E到平面ACD的距离。
2、如图，已知是棱长为3的正方体，点在上，点在上，且，
（1）求证：四点共面；
（2）若点在上，，点在上，
，垂足为，求证：面；
（3）用表示截面和面所成锐二面角大小，求。
D
C
B
A
α
·B
共面直线
A
B
A
1
B1
1
D
1
C1
1
C
D
E
a
b
A
B
A
1
B
1
D
1
C
1
C
D
A
C
B
S
E
F
A
C
B
D
R
P
A
B
A
1
B
1
1
C
1
C
D
M
N
D
D
C
A
B
A
1
B
1
D
1
C
1
E
α
A
P
O
D
C
A
B
A
1
B
1
D
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