北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》全部教案
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| 名称 | 北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》全部教案 |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 386.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2010-12-04 09:19:00 | ||
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文档简介
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北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》全部教案
扶风县法门高中 姚连省
第一课时 2.1从位移、速度、力到向量
一、教学目标
1.知识与技能：（1）理解向量与数量、向量与力、速度、位移之间的区别；（2）理解向量的实际背景与基本概念，理解向量的几何表示，并体会学科之间的联系.（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。
2.过程与方法：通过力与力的分析等实例，引导学生了解向量的实际背景，帮助学生理解平面向量与向量相等的含义以及向量的几何表示；最后通过讲解例题，指导学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题.
3.情感态度价值观：通过本节的学习，使同学们对向量的实际背景、几何表示有了一个基本的认识；激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.
二.教学重、难点 ：重点: 向量及向量的有关概念、表示方法.难点: 向量及向量的有关概念、表示方法.
三.学法与教法
学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
教法:探究交流法.
四.教学过程
（一）、创设情境
实例：老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去。
问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.
（二）、探究新知
1．学生阅读教材思考如下问题
[展示投影]（学生先讲，教师提示或适当补充）
（1）. 举例说明什么是向量？向量与数量有何区别？既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量等。
注意：①数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。
②从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。
2.向量的表示方法有哪些？
①几何表示法：有向线段
有向线段：具有方向的线段叫做有向线段。记作：
注意：起点一定写在终点的前面。
有向线段的长度：线段AB的长度也叫做有向线段的长度。 有向线段的三要素：起点、方向、长度。
②字母表示法：也可用字母a、b、c（黑体字）来表示，即可表示为（印刷时用黑体字）
3. 向量的模的概念是如何定义的？
向量的大小——长度称为向量的模。
记作：|| 模是可以比较大小的
4.两个特殊的向量：
①零向量——长度（模）为0的向量，记作。的方向是任意的.
注意与0的区别
②单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。
思考：①温度有零上零下之分，“温度”是否向量？
答：不是。因为零上零下也只是大小之分。
②与是否同一向量？
答：不是同一向量。
③有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？
答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。
5.向量间的关系：
（1）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
记作：∥∥
规定：与任一向量平行
（2）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
记作：=
规定：=
任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。
（3）共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ， 所以平行向量也叫共线向量。
= = =
[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）
例题：如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，①分别写出图中与向量、、相等的向量；②分别写出图中与向量、、共线的向量.
（三）、课堂小结：（学生总结，其它学生补充）
①向量及其表示方法.②向量的模.③零向量与单位向量（零向量的方向任意；单位向量不一定相等）④相等向量与平行向量.
（四）、作业：P86 习题2—1
五、 课后反思：
第二课时 2.2从位移的合成到向量的加法（一）
一、教学目标
1.知识与技能：（1）掌握向量加法的概念；能熟练运用三角形法则和平行四边形法则做几个向量的和向量；能准确表述向量加法的交换律和结合律，并能熟练运用它们进行向量计算.（2）通过实例，掌握向量加法的运算，并理解其几何意义.（3）初步体会数形结合在向量解题中的应用.
2.过程与方法：教材利用同学们熟悉的物理知识引出向量的加法，一方面启发我们利用位移的合成去探索两个向量的和，另一方面帮助我们利用物理背景去理解向量的加法. 然后用“相反向量”定义向量的减法；最后通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.
3.情感态度价值观：通过本节内容的学习，使同学们对向量加法的三角形法则和平行四边形法则有了一定的认识，进一步让学生理解和领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的加法，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.
二.教学重难点 ：向量加法的概念和向量加法的法则及运算律.
三.学法与教法
学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教法:探究讨论法.
四.教学设想
（一）、创设情境
提出课题：向量是否能进行运算？
1、某人从A到B，再从B按原方向到C，
则两次的位移和：+=
2、若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，
则两次的位移和：+=
3、某车从A到B，再从B改变方向到C，
则两次的位移和：+=
4、船速为，水速为， 则两速度和：+= 提出课题：向量的加法
（二）、探究新知
1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。注意：两个向量的和仍旧是向量（简称和向量）
2．三角形法则：
强调：① “向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点 ②可以推广到n个向量连加 ③④不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则
[展示投影]例题讲评（学生讲，学生评，教师提示或适当补充）
例1、已知向量、，求作向量+
作法：在平面内取一点，
作
则
【探究新知】
3．加法的交换律和平行四边形法则：思考：上题中+的结果与+是否相同 验证结果相同
从而得到：1向量加法的平行四边形法则2向量加法的交换律：+=+
3、向量加法的结合律：(+) +=+ (+)
（可请学生先上来做，不足之处学生更正）
证：如图：使, ,
则(+) += + (+) =
∴(+) +=+ (+) 从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。
[展示投影]例题讲评（学生讲，学生评，教师提示或适当补充）
例2．如图，一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时水的流速为，求船实际航行的速度的大小与方向。
解：设表示船垂直于对岸的速度，表示水流的速度，
以AD,AB为邻边作平行四边形ABCD，则就是船实际航行的速度
在中，，
所以
因为
4、练习：P95 2,3
（三）、课堂小结：（学生总结，其它学生补充）①向量加法的三角形法则与平行四边形法则.②向量加法运算律.
（四）、作业：习题2.2 A组1,2.3，5
补充题：1、一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为，求水流的速度.
2、一艘船距对岸，以的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km，求河水的流速.
3、一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，船的实际航行的速度的大小为，方向与水流间的夹角是，求和.
4、一艘船以5km/h的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h，则船的实际航行速度大小最大是km/h，最小是km/h
５、已知两个力F1，F2的夹角是直角，且已知它们的合力F与F1的夹角是60，|F|=10N求F1和F2的大小.
６、用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
五、课后反思：
第三课时 2.2从位移的合成到向量的加法（二）
一、教学目标
1.知识与技能：（1）了解相反向量的概念；掌握向量的减法，会作两个向量的减向量；（2）通过实例，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义.（3）初步体会数形结合在向量解题中的应用.
2.过程与方法：教材利用同学们熟悉的物理知识引出向量的加法，一方面启发我们利用位移的合成去探索两个向量的和，另一方面帮助我们利用物理背景去理解向量的加法. 然后用“相反向量”定义向量的减法；最后通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.
3.情感态度价值观：通过本节内容的学习，使同学们对向量加法的三角形法则和平行四边形法则有了一定的认识，进一步让学生理解和领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的加法，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.
二.教学重难点：向量的减法转化为加法的运算.
三.学法与教法
学法与教法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
四.教学设想
（一）、复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则；向量加法的运算定律：
例：在四边形中， .
解：
提出课题：向量的减法
（二）、探究新知
思考：已知，，怎样求作？
这个问题涉及到两个向量相减，到底如何运算呢？首先引入“相反向量”这个概念.
1.用“相反向量”定义向量的减法
①“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量；记作 a
②规定：零向量的相反向量仍是零向量。(a) = a
任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + (a) = 0
如果a、b互为相反向量，则a = b, b = a, a + b = 0
③向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。
即：a b = a + (b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。
2.用加法的逆运算定义向量的减法：
向量的减法是向量加法的逆运算：
若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a b
3.请同学们自己解决思考题： 的作法：
方法一、已知向量、，在平面内任取一点O，作，则。即可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量
方法二、在平面内任取一点O，作则。即也可以表示为从向量的起点指向向量的起点的向量.
方法三、在平面内任取一点O，作，则由向量加法的平行四边形法则可得 .
[展示投影]思考与讨论：
思考：从向量的终点指向向量的终点的向量是什么？（）
讨论：如右图，∥时，怎样作出呢？
探究：
⑴如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量是b a.
（２）若a∥b， 如何作出a b ？
[展示投影]例题讲评（学生讲，学生评，教师提示或适当补充）
例1.已知向量a、b、c、d，求作向量ab、cd。
解：在平面上取一点O，作= a, = b, = c, = d, 作, , 则= ab, = cd
例2.平行四边形中，=，=，用、表示向量，.
解：由平行四边形法则得：
= a + b, = - = ab
变式一：当a, b满足什么条件时，a+b与ab垂直？（|a| = |b|）
变式二：当a, b满足什么条件时，|a+b| = |ab|？（a, b互相垂直）
变式三：a+b与ab可能是相当向量吗？（不可能，∵ 对角线方向不同）
例3.试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
证：由向量加法法则：
= +, = +
由已知：=, =
∴= 即AB与CD平行且相等
∴ABCD为平行四边形
练习：Ｐ98中练习题
（三）、课堂小结：（学生总结，其它学生补充）相反向量及向量减法的运算法则、作图法。
（四）、1．作业：习题2.2 A组第4、5、6题．
2．（备选题）：
①证明：对于任意给定的向量都有
②证明：并说明什么时候取等号？
提示：可用例5的图当、不共线时，由三角形两边之和大于第三边，而两边之差小于第三边得
、
即
1.在△ABC中， =a， =b，则等于( )
A.a+b? B.-a+(-b) C.a-b? D.b-a
2.O为平行四边形ABCD平面上的点，设=a， =b， =c， =d，则
A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0 C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0
３.如图，在四边形ABCD中，根据图示填空：
a+b= ，b+c= ，c-d= ，a+b+c-d= .
４、如图所示，O是四边形ABCD内任一点，试根据图中给出的向量，确定a、b、c、d的方向（用箭头表示），使a+b=，c-d=，并画出b-c和a+d.
五、课后反思：
第四课时 2.3从速度的倍数到数乘向量（一）
一、教学目标：1.知识与技能：（1）要求学生掌握实数与向量积的定义及几何意义.（2）了解数乘运算的运算律，理解向量共线的充要条件。（3）通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。
2.过程与方法：教材利用同学们熟悉的物理知识引出实数与向量的积（强调：1．“模”与“方向”两点) 2．三个运算定律（结合律，第一分配律，第二分配律）），在此基础上得到数乘运算的几何意义。为了帮助学生消化和巩固相应的知识，教材设置了几个例题；通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.
3.情感态度价值观：通过本节内容的学习，使同学们对实数与向量积有了较深的认识，让学生理解和领悟知识将各学科有机的联系起来了，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，有助于培养学生的发散思维和勇于创新的精神.
二.教学重、难点： 重点:实数与向量积的定义及几何意义.难点: 实数与向量积的几何意义的理解.
三.学法与教法： (1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
四.教学过程
（一）、探究新知
1．思考: （引入新课）已知非零向量 作出++和()+()+()
==++=3
==()+()+()=3
讨论：① 3与方向相同且|3|=3||② 3与方向相反且|3|=3||
2．从而提出课题：实数与向量的积；实数λ与向量的积，记作：λ
定义：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ
①|λ|=|λ||| ；②λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=（请学生自己解释其几何意义）
[展示投影]例题讲评（学生先做，学生评，教师提示或适当补充）
例1.（见P96例1）略
[展示投影]
思考：根据几何意义，你能否验证下列实数与向量的积的是否满足下列运算定律（证明的过程可根据学生的实际水平决定）
结合律：λ(μ)=(λμ) ①
第一分配律：(λ+μ)=λ+μ ②
第二分配律：λ(+)=λ+λ ③
结合律证明：如果λ=0，μ=0，=至少有一个成立，则①式成立
如果λ0，μ0，有：|λ(μ)|=|λ||μ|=|λ||μ|||
|(λμ)|=|λμ|| |=|λ||μ||| ；∴|λ(μ)|=|(λμ)|
如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与同向；如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与反向。从而λ(μ)=(λμ)
第一分配律证明：如果λ=0，μ=0，=至少有一个成立，则②式显然成立
如果λ0，μ0，当λ、μ同号时，则λ和μ同向，∴|(λ+μ)|=|λ+μ|||=(|λ|+|μ|)||，|λ+μ|=|λ|+|μ|=|λ|||+|μ|||=(|λ|+|μ|)||
∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与同向。 即：|(λ+μ)|=|λ+μ|
当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λ同向当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μ同向。还可证：|(λ+μ)|=|λ+μ| ∴②式成立
第二分配律证明：如果=，=中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立
当，且λ0，λ1时1当λ>0且λ1时在平面内任取一点O，
作= = =λ =λ
则=+ λ+λ
由作法知：∥有OAB=OA1B1 ||=λ||
∴λ ∴△OAB∽△OA1B1 ∴λ AOB= A1OB1
因此，O，B，B1在同一直线上，||=|λ| 与λ方向也相同
λ(+)=λ+λ 当λ<0时 可类似证明：λ(+)=λ+λ
∴ ③式成立
【探究新知】（师生共同分析向量共线的充要条件）
若有向量()、，实数λ，使=λ 则由实数与向量积的定义知：与为共线向量
若与共线()且||：||=μ，则当与同向时=μ；当与反向时=μ
从而得：向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ.
[展示投影]例题讲评（师生共同分析，学生动手做）例2. （见P97例2）略
例3.（P97例3改编）如图：，不共线，P点在AB上，求证：存在实数
使
（证明过程与P97例3完全类似；略）
思考：由本例你想到了什么？（用向量证明三点共线）
（二）、巩固深化，加强基础
1.见P98练习1、2、3、4题.
2.如例3图，，不共线，=t (tR)用，表示.
3．设,是两个不共线向量，已知=2+k, =+3, =2, 若三点A, B, D共线，求k的值.
解：==(2)(+3)=4
∵A, B, D共线 ∴,共线 ∴存在λ使=λ
即2+k=λ(4) ∴ ∴k=8
（三）、课堂小结（学生总结，其它学生补充）①数乘向量的几何意义理解.②向量与非零向量共线的条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ.
（五）、作业：习题2.3 A组第4、5、6、7题．
六、课后反思：
第五课时 2.3从速度的倍数到数乘向量（二）
——平面向量基本定理
一、教学目的：（1）了解平面向量基本定理；（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.
二、教学重点：平面向量基本定理.教学难点：平面向量基本定理的理解与应用.
三、授课类型：新授课
四、教学过程：
（一）、复习引入：
1．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ
（1）|λ|=|λ|||；（2）λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=
2．运算定律
结合律：λ(μ)=(λμ) ；分配律：(λ+μ)=λ+μ， λ(+)=λ+λ
3. 向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ.
（二）、探究新知
平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2.
探究：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被，，唯一确定的数量
1．思考：①．是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？②．对于平面上两个不共线向量，是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？
2．教师引导学生分析：设，是不共线向量，是平面内任一向量
= =λ1 ==+=λ1+λ2
= =λ2
得平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2.
[注意几个问题]：① 、必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底.② 这个定理也叫共面向量定理.③λ1，λ2是被，，唯一确定的数量.④同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合.
（三）、讲解范例：
例1 已知向量， 求作向量2.5+3.
例2 如图 ABCD的两条对角线交于点M，且=，=，用，表示，，和
例3已知 ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证：+++=4
例4（1）如图，，不共线，=t (tR)用，表示.
（2）设不共线，点P在O、A、B所在的平面内，且.求证：A、B、P三点共线.
例5 已知 a=2e1-3e2，b= 2e1+3e2，其中e1，e2不共线，向量c=2e1-9e2，问是否存在这样的实数与c共线.
（四）、课堂练习：
1.设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有( )
A.e1、e2一定平行 B.e1、e2的模相等
C.同一平面内的任一向量a都有a =λe1+μe2(λ、μ∈R)
D.若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a =λe1+ue2(λ、u∈R)
2.已知矢量a = e1-2e2，b =2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b与c =6e1-2e2的关系
A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定
3.已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则x-y的值等于( )
A.3 B.-3 C.0 D.2
4.已知a、b不共线，且c =λ1a+λ2b(λ1，λ2∈R)，若c与b共线，则λ1= .
5.已知λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一组基底，且a =λ1e1+λ2e2，则a与e1_____，a与e2_________(填共线或不共线).
（五）、小结：1、平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2.2、注意几个问题① 、必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底.② 这个定理也叫共面向量定理.③λ1，λ2是被，，唯一确定的数量.④同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合.
(六)、课后作业：见P100练习1、2题.
1、1kg的重物在两根细绳的支持下，处于平衡状态（如图），已知两细绳与水平线分别成30, 60角，问两细绳各受到多大的力？
解：将重力在两根细绳方向上分解，两细绳间夹角为90
=1 (kg) P1OP=60 P2OP=30
∴=cos60=1 =0.5 (kg)
=cos30=1 =0.87 (kg)
即两根细绳上承受的拉力分别为0.5 kg和0.87 kg
2、如图 ABCD的两条对角线交于点M，且=，=，
用，表示，，和
解：在 ABCD中
∵=+=+
==
∴==(+)=
==()= ==+
===+
3、 如图，在△ABC中，=, =，AD为边BC的中线，G为△ABC的重心，求向量
解法1：∵=, = 则==
∴=+=+而=
∴=+
解法2：过G作BC的平行线，交AB、AC于E、F
∵△AEF∽△ABC ∴ ==
== == ∴=+=+
五、教课反思：
第六课时 2.4平面向量的坐标（一）
一、教学目标：
1.知识与技能：（1）掌握平面向量正交分解及其坐标表示.（2）会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算.（3）理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
2.过程与方法：教材利用正交分解引出向量的坐标，在此基础上得到平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示；最后通过讲解例题，巩固知识结论，培养学生应用能力.
3.情感态度价值观：通过本节内容的学习，使同学们对认识到在全体有序实数对与坐标平面内的所有向量之间可以建立一一对应关系（即点或向量都可以看作有序实数对的直观形象）；让学生领悟到数形结合的思想；培养学生勇于创新的精神.
二.教学重、难点
重点: 平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示.
难点: 平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示.
三.学法与教法： (1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机.
四.教学过程
【创设情境】
（回忆）平面向量的基本定理（基底） =λ1+λ2
其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合.
【探究新知】
（一）、平面向量的坐标表示
1．在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示
思考：在坐标系下，向量是否可以用坐标来表示呢？
取轴、轴上两个单位向量, 作基底，则平面内作一向量
记作：=(x, y) 称作向量的坐标
如：===(2, 2) ===(2, 1) ===(1, 5)=(1, 0) =(0, 1) =(0, 0)
2、由以上例子让学生讨论：①向量的坐标与什么点的坐标有关？②每一平面向量的坐标表示是否唯一的？③两个向量相等的条件是？（两个向量坐标相等）
（二）、平面向量的坐标运算
[展示投影]思考与交流：
直接由学生讨论回答：
思考1．（1）已知(x1, y1) (x2, y2) 求+，的坐标
(2)已知(x, y)和实数λ, 求λ的坐标
解：+=(x1+y1)+(x2+y2)=(x1+ x2)+ (y1+y2)即：+=(x1+ x2,y1+y2)
同理：=(x1x2, y1y2)λ=λ(x+y)=λx+λy∴λ=(λx, λy)
结论：①.两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
②.实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。
思考2.已知你觉得的坐标与A、B点的坐标有什么关系？
∵==( x2, y2) (x1,y1)
= (x2 x1, y2 y1)
结论：③.一个向量的坐标等于表示此向量的有向
线段终点的坐标减去始点的坐标。
[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）
例1.（教材P104例2）
例2. （教材P104例3）
例3.已知三个力 (3, 4), (2, 5), (x, y)的合力++=
求的坐标.
解：由题设++= 得：(3, 4)+ (2, 5)+(x, y)=(0, 0)
即： ∴ ∴(5,1)
例4.已知平面上三点的坐标分别为A(2, 1), B(1, 3),
C(3, 4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。
解：当平行四边形为ABCD时，
仿例2得：D1=(2, 2)
当平行四边形为ACDB时，仿例2得：D2=(4, 6)；当平行四边形为DACB时，仿例2得：D3=(6, 0)
【巩固深化，发展思维】
1．若M(3, -2) N(-5, -1) 且 , 求P点的坐标；
解：设P(x, y) 则(x-3, y+2)=(-8, 1)=(-4, )
∴ ∴P点坐标为(-1, -)
2．若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则2=(-3,-3)
3．已知：四点A(5, 1), B(3, 4), C(1, 3), D(5, -3) 求证：四边形ABCD是梯形。
解：∵=(-2, 3) =(-4, 6) ∴=2
∴∥ 且 |||| ∴四边形ABCD是梯形
【学习小结】 （学生总结，其它学生补充）①向量加法运算的坐标表示.②向量减法运算的坐标表示.③实数与向量的积的坐标表示.
五、评价设计
作业：习题2--4 A组第1，2，3，7，8题．
六、教后反思：
第七课时 2.4平面向量的坐标（二）
——平面向量共线的坐标表示
一、教学目标：（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.
二、教学重点：平面向量的坐标运算。教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性
三、授课类型：新授课
四、教学过程
（一）、复习引入：
1．平面向量的坐标表示
分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得
把叫做向量的（直角）坐标，记作
其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标， 特别地，，，.
2．平面向量的坐标运算
若，，
则，，.
若，，则
（二）、探究新知
∥ ()的充要条件是x1y2-x2y1=0
设=(x1， y1) ，=(x2， y2) 其中.
由=λ得， (x1， y1) =λ(x2， y2) 消去λ，x1y2-x2y1=0
探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y1， y2有可能为0， ∵ ∴x2， y2中至少有一个不为0；（2）充要条件不能写成 ∵x1， x2有可能为0；(3)从而向量共线的充要条件有两种形式：∥ ()
（三）、讲解范例：
例1已知=(4，2)，=(6， y)，且∥，求y.
例2已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(2，5)，试判断A，B，C三点之间的位置关系.
例3设点P是线段P1P2上的一点， P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).
(1) 当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
(2) 当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.
例4若向量=(-1，x)与=(-x， 2)共线且方向相同，求x
解：∵=(-1，x)与=(-x， 2) 共线 ∴(-1)×2- x (-x)=0
∴x=± ∵与方向相同 ∴x=
例5 已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量与平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？
解：∵=(1-(-1)， 3-(-1))=(2， 4) ， =(2-1，7-5)=(1，2)
又 ∵2×2-4×1=0 ∴∥
又 ∵ =(1-(-1)， 5-(-1))=(2，6) ，=(2， 4)，2×4-2×60 ∴与不平行
∴A，B，C不共线 ∴AB与CD不重合 ∴AB∥CD
（四）、课堂练习：
1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，则y=（ ）
A.6 B.5 C.7 D.8
2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（ ）
A.-3 B.-1 C.1 D.3
3.若=i+2j， =(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量). 与共线，则x、y的值可能分别为（ ）
A.1，2 B.2，2 C.3，2 D.2，4
4.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，则y= .
5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b与2a-b平行，则x的值为 .
6.已知□ABCD四个顶点的坐标为A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，则x= .
（五）、小结（学生总结，其它学生补充）①向量加法运算的坐标表示.②向量减法运算的坐标表示.③实数与向量的积的坐标表示.④向量共线的条件.
（六）、课后作业：1.已知
2．已知点A(0,1) B(1,0) C(1,2) D(2,1) 求证：AB∥CD
3．证明下列各组点共线：① A (1,2)，B(-3,4)， C(2,3.5)
② P (-1,2)， Q(0.5,0)， R(5,-6)
4．已知向量=(-1,3) =(x,-1)且∥ 求x .
课后练习：1.教材P105练习1--5
2．（备选题）：已知A(-1, -1) B(1,3) C(1,5) D(2,7) 向量与平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？
解：∵=(1-(-1), 3-(-1))=(2, 4) =(2-1,7-5)=(1,2)
又∵2×2-4-1=0 ∴∥
又∵=(1-(-1), 5-(-1))=(2,6) =(2, 4)
2×4-2×60 ∴与不平行
∴A，B，C不共线 ∴AB与CD不重合 ∴AB∥CD
五、教后反思：
第八课时 2.5从力做的功到向量的数量积（一）
一、教学目标：
1.知识与技能：（1）通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义.（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系. （3）掌握平面向量数量积的运算律和它的一些简单应用.（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
2.过程与方法：教材利用同学们熟悉的物理知识（“做功”）得到向量的数量积的含义及其物理意义、几何意义.为了帮助学生理解和巩固相应的知识，教材设置了4个例题；通过讲解例题，培养学生逻辑思维能力.
3.情感态度价值观：通过本节内容的学习，使同学们认识到向量的数量积与物理学的做功有着非常紧密的联系；让学生进一步领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的数量积，有助于激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神.
二.教学重、难点
重点: 向量数量积的含义及其物理意义、几何意义；运算律.难点: 运算律的理解
三.学法与教法
(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
四.教学过程
【探究新知】（学生阅读教材P107—108，师生共同讨论）
思考：请同学们回忆物理学中做功的含义，问对
一般的向量a和b，如何定义这种运算？
1.力做的功：W = |F| |s|cos 是F与s的夹角
2.定义：平面向量数量积（内积）的定义，a b = |a||b|cos，并规定0与任何向量的数量积为0。
3.向量夹角的概念：范围0≤≤180
[展示投影]由于两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别；因此强调注意的几个问题：
①两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定。
②两个向量的数量积称为内积，写成a b；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个数量的积，书写时要严格区分。
③在实数中，若a0，且a b=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且a b=0，不能推出b=0。因为其中cos有可能为0.这就得性质2.
④已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc a=c.但是a b = b c a = c
如右图：a b = |a||b|cos = |b||OA|
b c = |b||c|cos = |b||OA|
a b=b c 但a c
⑤在实数中，有(a b)c = a(b c)，但是(a b)c a(b c)
显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.
[展示投影]思考与交流：
思考与交流1.射影的概念是如何定义的，举例（或画图）说明；并指出应注意哪些问题.
定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的射影。
注意：①射影也是一个数量，不是向量。②当为锐角时射影为正值；当为钝角时射影为负值；当为直角时射影为0；当 = 0时射影为 |b|；当 = 180时射影为 |b|.
思考与交流2.如何定义向量数量积的几何意义？由向量数量积的几何意义你能得到两个向量的数量积哪些的性质（学生讨论完成，教师作必要的补充）.
几何意义：数量积a b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积。
性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。①e a = a e =|a|cos ②ab a b = 0③当a与b同向时，a b = |a||b|；当a与b反向时，a b = |a||b|。 特别的a a = |a|2或④cos =（|a||b|≠0）⑤ |ab|≤|a||b|
【巩固深化，发展思维】
判断下列各题正确与否：
①若a = 0，则对任一向量b，有a b = 0. ( √ )
②若a 0，则对任一非零向量b，有a b 0. ( × )
③若a 0，a b = 0，则b = 0. ( × )
④若a b = 0，则a 、b至少有一个为零. ( × )
⑤ 若a 0，a b = a c，则b = c. ( × )
⑥若a b = a c，则b = c当且仅当a 0时成立. ( × )
⑦对任意向量a、b、c，有(a b) c a (b c). ( × )
⑧对任意向量a，有a2 = |a|2. ( √ )
例1.已知：
解：（1）
（2）
例2.已知都是非零向量，且垂直，
垂直，求的夹角。
解：由(a + 3b)(7a 5b) = 0 7a2 + 16a b 15b2 = 0 ①
(a 4b)(7a 2b) = 0 7a2 30a b + 8b2 = 0 ②
两式相减：2ab = b2 代入①或②得：a2 = b2设a、b的夹角为，
则cos = ∴ = 60
例3.用向量方法证明：菱形对角线互相垂直。
证：设== a , == b
∵ABCD为菱形 ∴|a| = |b|
∴ = (b + a)(b a) = b2 a2 = |b|2 |a|2 = 0∴即菱形对角线互相垂直。
【巩固深化，发展思维】1.教材P109练习1、2题2. 教材P111练习1、2、3、4、5题
【学习小结】 （学生总结，其它学生补充）
①有关概念：向量的夹角、射影、向量的数量积.②向量数量积的几何意义和物理意义.③向量数量积的五条性质.
五、评价设计
作业：习题2.5 A组第3、4、5、6、7题．
2．（备选题）：
①在ΔABC中，设边BC，CA，AB的长度分别为a，b，c，用向量方法证明：
②求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和。
解：如图： ABCD中：，，=+
∴||2=|+|2=2+2+2
而=-
∴||2=|-|2=2+2-2
∴||2 + ||2 = 22+22= ||2+||2+||2+||2
六、课后反思：
第九课时 2.5从力做的功到向量的数量积（二）
——平面向量数量积的运算律
一、教学目标：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.
二、教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用
三、授课类型：新授课
四、内容分析：启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质. ?
五、教学过程
（一）、复习引入：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos，
（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.
3．“投影”的概念：作图
定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.
投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b|；当 = 180时投影为 |b|.
4．向量的数量积的几何意义：
数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.
5．两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.
1 ea = ae =|a|cos； 2 ab ab = 0
3 当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b|. 特别的aa = |a|2或
4cos = ；5|ab| ≤ |a||b|
（二）、讲解新课：
平面向量数量积的运算律
1．交换律：a b = b a
证：设a，b夹角为，则a b = |a||b|cos，b a = |b||a|cos
∴a b = b a
2．数乘结合律：(a)b =(ab) = a(b)
证：若> 0，(a)b =|a||b|cos， (ab) =|a||b|cos，a(b) =|a||b|cos，
若< 0，(a)b =|a||b|cos() = |a||b|(cos) =|a||b|cos，(ab) =|a||b|cos，
a(b) =|a||b|cos() = |a||b|(cos) =|a||b|cos.
3．分配律：(a + b)c = ac + bc
在平面内取一点O，作= a， = b，= c， ∵a + b （即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cos = |a| cos1 + |b| cos2
∴| c | |a + b| cos =|c| |a| cos1 + |c| |b| cos2， ∴c(a + b) = ca + cb 即：(a + b)c = ac + bc
说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）
（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ
（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，
（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ
(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２
（三）、讲解范例：
例1、 已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a 5b垂直，a 4b与7a 2b垂直，求a与b的夹角.
解：由(a + 3b)(7a 5b) = 0 7a2 + 16ab 15b2 = 0 ①
(a 4b)(7a 2b) = 0 7a2 30ab + 8b2 = 0 ②
两式相减：2ab = b2代入①或②得：a2 = b2
设a、b的夹角为，则cos = ∴ = 60
例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.
解：如图：平行四边形ABCD中，，，=
∴||2=
而= ，
∴||2=
∴||2 + ||2 = 2=
例3 四边形ABCD中，＝ａ，＝ｂ，＝с，＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，试问四边形ABCD是什么图形
分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量.
解：四边形ABCD是矩形，这是因为：
一方面：∵ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）２
即｜ａ｜２＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２с·ｄ＋｜ｄ｜２
由于ａ·ｂ＝с·ｄ，∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２①
同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２②
由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四边形ABCD两组对边分别相等.
∴四边形ABCD是平行四边形
另一方面，由ａ·ｂ＝ｂ·с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四边形ABCD可得ａ＝－с，代入上式得ｂ·(2ａ)＝０，即ａ·ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB⊥BC.
综上所述，四边形ABCD是矩形.
评述：(1)在四边形中，，，，是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；
(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系.
（四）、课堂练习：
1.下列叙述不正确的是（ ）
A.向量的数量积满足交换律 B.向量的数量积满足分配律
C.向量的数量积满足结合律 D.a·b是一个实数
2.已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为６０°，则(a+2b)·(a-3b)等于（ ）
A.72 B.-72 C.36 D.-36
3.|a|=3，|b|=4，向量a+b与a-b的位置关系为（ ）
A.平行 B.垂直 C.夹角为 D.不平行也不垂直
4.已知|a|=3，|b|=4，且a与b的夹角为150°，则(a+b)２＝ .
5.已知|a|=2，|b|=5，a·b=-3，则|a+b|=______，|a-b|= .
6.设|a|=3，|b|=5，且a+λb与a－λb垂直，则λ＝ .
（五）、小结：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.
（六）、课后作业：P111中3、4、5题
六、课后反思：
第十课时 向量的数量积（三）
一、课题：向量的数量积
二、教学目标：要求学生掌握平面向量数量积的运算律，明确向量垂直的充要条件。
三、教学重、难点：向量数量积的运算律和运算律的理解；
四、教学过程：
（一）复习：
1．平面向量数量积（内积）的定义及其几何意义、性质；
2．判断下列各题正确与否：
①若，则对任一向量，有； ( √ )
②若，则对任一非零向量，有； ( × )
③若，，则； ( × )
④若，则至少有一个为零向量； ( × )
⑤若，则当且仅当时成立； ( × )
⑥对任意向量，有． ( √ )
（二）新课讲解：
1．交换律：
证：设夹角为，则，
∴．
2．
证：若，，
， ，
若，，
，
．
3．．
在平面内取一点，作, ，，
∵（即）在方向上的投影等于
在方向上的投影和，
即：
∴，
∴ 即：．
4． 例题分析：
例1 已知都是非零向量，且与垂直，与垂直，求与的夹角。解：由题意可得： ①
②
两式相减得：， 代入①或②得：，
设的夹角为，则
∴，即与的夹角为．
例2求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和。
证明：如图： ABCD，，，，
∴，
而，
∴，
所以， + = = ．
例3 为非零向量，当的模取最小值时，
①求的值； ②求证：与垂直。
解：①，
∴当时, 最小；
②∵，
∴与垂直。
例4 如图，是的三条高，求证：相交于一点。
证：设交于一点，,
则
∵
∴得，
即， ∴，
又∵点在的延长线上，∴相交于一点。
五、小结：数量积的运算律和垂直充要条件的应用。
六、作业： 课本 习题5.6 第2，4题。
补充：1．向量的模分别为，的夹角为，求的模；
2．设是两个不相等的非零向量，且，求与的夹角。
3．设，是相互垂直的单位向量，求．
七、教后反思：
第十一课时 2.6平面向量数量积的坐标表示
一.教学目标：
1.知识与技能
（1）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.
（2）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
（3）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识.
2.过程与方法
通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理解析几何问题是一种有效手段，通过应用帮助学生掌握几个公式的等价形式，然后和同学一起总结方法，最后巩固强化.
3.情感态度价值观
通过本节的学习，使同学们对用坐标来研究向量的数量积有了一个崭新的认识；提高学生迁移知识的能力.
二.教学重、难点
重点: 平面向量数量积的坐标表示以及推得的长度、角度、垂直关系的坐标表示.
难点: 用坐标法处理长度、角度、垂直问题.
三.学法与教法
(1)自主性学习法+探究式学习法
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
四.教学设想
【创设情境】
[展示投影]引入：
请同学们回忆一下实数与向量的乘积的坐标表示以及两向量共线的坐标表示：
【探究新知】
平面两向量数量积的坐标又如何表示呢？
1. 推导坐标公式：设a = (x1, y1)，b = (x2, y2)，x轴上单位向量i，y轴上单位向量j，则：i i = 1，j j = 1，i j = j i = 0.
∵a = x1i + y1j, b = x2i + y2j
∴a b = (x1i + y1j )(x2i + y2j) = x1x2i2 + x1y1i j + x2y1i j + y1y2j2
= x1x2 + y1y2
从而获得公式：a b = x1x2 + y1y2
2.长度、角度、垂直的坐标表示
①a = (x, y) |a|2 = x2 + y2 |a| =
②若A = (x1, y1)，B = (x2, y2)，则=
③cos =
④∵ab a b = 0 即x1x2 + y1y2 = 0（注意与向量共线的坐标表示）
【巩固深化，发展思维】
1.设a = (5, 7)，b = (6, 4)，求a b
2.已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(2, 5)，求证：△ABC是直角三角形.
3.教材P114练习1、2题.
4.已知a = (3, 1)，b = (1, 2)，求满足x a = 9与x b = 4的向量x.
[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）
例1. 教材P113例1.
例2. 教材P113例2.
[展示投影]思考：
1.什么是方向向量？
2.怎样把一个已知向量转化为单位向量？
[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）
例3. 教材P114例3.
【巩固深化，发展思维】
教材P115习题A第1、2、3、4、5、6题.
[学习小结]
①a = (x, y) |a|2 = x2 + y2 |a| =
②若A = (x1, y1)，B = (x2, y2)，则||=
③cos =
④∵ab a b = 0 即x1x2 + y1y2 = 0
五、评价设计
1．作业：习题2.6 B组第1,2,3，4题．
2．（备选题）：
① 如图，以原点和A(5, 2)为顶点作等腰直角△OAB，使B = 90，
求点B和向量的坐标。
解：设B点坐标(x, y)，则= (x, y)， = (x5, y2)
∵ ∴x(x5) + y(y2) = 0即：x2 + y2 5x 2y = 0
又∵|| = || ∴x2 + y2 = (x5)2 + (y2)2即：10x + 4y = 29
由
∴B点坐标或；=或
②在△ABC中，=(2, 3)，=(1, k)，且△ABC的一个内角为直角，
求k值。
解：当A = 90时， = 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =
当B = 90时， = 0，== (12, k3) = (1, k3)
∴2×(1) +3×(k3) = 0 ∴k =
当C = 90时， = 0，∴1 + k(k3) = 0 ∴k =
六、课后反思：
第十二课时、第十三课时2.7平面向量应用举例（2课时）
一.教学目标：
1.知识与技能
（1）经历用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具.
（2）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识；发展运算能力和解决实际问题的能力.
2.过程与方法
通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具；和同学一起总结方法，巩固强化.
3.情感态度价值观
通过本节的学习，使同学们对用向量研究几何以及其它学科有了一个初步的认识；提高学生迁移知识的能力、运算能力和解决实际问题的能力.
二.教学重、难点
重点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用.
难点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用.
三.学法与教法
(1)自主性学习法+探究式学习法
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
四.教学设想
【探究新知】
[展示投影]
同学们阅读教材P116---118的相关内容思考：
1.直线的向量方程是怎么来的？
2.什么是直线的法向量？
【巩固深化，发展思维】
教材P118练习1、2、3题
[展示投影]例题讲评（教师引导学生去做）
例1．如图，AD、BE、CF是△ABC的三条高，求证：AD、BE、CF相交于一点。
证：设BE、CF交于一点H，
= a, = b, = h,
则= h a , = h b , = b a
∵,
∴
∴
又∵点D在AH的延长线上，∴AD、BE、CF相交于一点
[展示投影]预备知识：
1.设P1, P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1, P2的任一点，存在实数λ，使=λ，λ叫做点P分所成的比，
有三种情况：
λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)
注意几个问题：
①λ是关键，λ>0内分 λ<0外分 λ-1
若P与P1重合，λ=0 P与P2重合 λ不存在
②始点终点很重要，如P分的定比λ= 则P分的定比λ=2
2．线段定比分点坐标公式的获得：
设=λ 点P1, P, P2坐标为(x1,y1) (x,y) (x2,y2)
由向量的坐标运算
=(x-x1,y-y1) =( x2-x1, y2-y1)
∵=λ 即(x-x1,y-y1) =λ( x2-x1, y2-y1)
∴ 定比分点坐标公式
3.中点坐标公式：若P是中点时，λ=1
中点公式是定比分点公式的特例。
[展示投影]例题讲评（教师引导学生去做）
例2.已知点①
②求点
解：①由
②由
例3.
上的一点，且求点G的坐标。
解：由D是AB的中点，所以D的坐标为
即G的坐标为 ————.重心坐标公式
例4.过点P1(2, 3), P2(6, -1)的直线上有一点P，使| P1P|:| PP2|=3, 求P点坐标
解：当P内分时
当P外分时当得P(5,0)
当得P(8,-3)
例5.如图，在平面内任取一点O，设
，
这就是线段的定比分点向量公式。
特别当，当P为线段P1P2的中点时，有
例6.教材P119例2.
例7.教材P119例3.
例8.某人骑车以每小时a公里的速度向东行驶，感到风从正东方向吹来，而当速度为2a时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向。
解：设a表示此人以每小时a公里的速度向东行驶的向量，
无风时此人感到风速为a，设实际风速为v，
那么此时人感到的风速为v a，
设= a，= 2a
∵+= ∴= v a，这就是感到由正北方向吹来的风速，
∵+= ∴= v 2a，于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是，
由题意：PBO = 45, PABO, BA = AO
从而，△POB为等腰直角三角形，∴PO = PB =a 即：|v | =a
∴实际风速是a的西北风
【巩固深化，发展思维】
1.教材P119练习1、2、3题.
2.已知平行四边形ABCD的两个顶点为点为则另外两个顶点的坐标为 . （
3.△ABC顶点A(1, 1), B(-2, 10), C(3, 7) BAC平分线交BC边于D,
求D点坐标 . (1,)
[学习小结]：略
五、评价设计
1．作业：习题2.7 A组第1、2、3、4题．
2．（备选题）：①若直线与线段AB有交点，其中A（-2，3），B(3,2),求m的取值范围.
解：设l交有向线段AB于点P（x,y）且
则可得
由于设时，无形中排除了P,B重合的情形，要将B点坐标代入直线方程得
②已知O为△ABC所在平面内一点，且满足||2 + ||2 = ||2 + ||2 = ||2 + ||2，求证：．
证：设= a, = b, = c,
则= c b, = a c, = b a
由题设：2 +2 =2 +2 =2 +2，
化简：a2 + (c b)2 = b2 + (a c)2 = c2 + (b a)2
得： c b = a c = b a
从而 = (b a) c = b c a c = 0
∴ 同理：,
六、课后反思：
第十四课时 第二章平面向量小结与复习课（一）
一、教学目标：1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。2. 了解平面向量基本定理.3. 向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。4. 了解向量形式的三角形不等式：|||-||≤|±|≤||+||(试问：取等号的条件是什么 )和向量形式的平行四边形定理：2(||+||)=|－|+|+|.5. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：6. 向量的坐标概念和坐标表示法；7. 向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）；8. 数量积（点乘或内积）的概念，·=||||cos=xx+yy注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”。
二、教学过程
[第一部分：知识归纳]
1.知识结构
2.重要公式、定理
①.平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2.
②. 向量共线的两种判定方法：∥()
③. a = (x, y) |a|2 = x2 + y2 |a| =
④.若A = (x1, y1)，B = (x2, y2)，则=
⑤.cos =
⑥.ab a b = 0 即x1x2 + y1y2 = 0（注意与向量共线的坐标表示）
3.学习本章应注意的问题及高考展望
①.在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系，注意用向量的语言和方法来表述和解决物理问题。
②.向量是数形结合的载体，在本章的学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题.同时向量的坐标表示为我们用代数方法研究几何问题提供了可能，丰富了我们研究问题的范围和手段。
③.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质，这类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题。
④.以解答题出现的题目，一般结合其它数学知识，综合性较强，难度大，以解决几何问题为主.在学习本章时应立足于课本，掌握双基，精读课本是关键.
[第二部分：基础测试]（供选用）
教材P125—126第1、2、3题
[第三部分：应用举例]（供选用）
例1.如图△ABC中，= c，= a，= b，则下列推导
不正确的是……………（ ）
A．若a b < 0，则△ABC为钝角三角形。
B．若a b = 0，则△ABC为直角三角形。
C．若a b = bc，则△ABC为等腰三角形。
D．若c (a + b + c) = 0，则△ABC为正三角形。
解：A．a b = |a||b|cos < 0，则cos < 0，为钝角 B．显然成立
C．由题设：|a|cosC = |c|cosA，即a、c在b上的投影相等
D．∵a + b + c = 0, ∴上式必为0，∴不能说明△ABC为正三角形
例2.设非零向量a、b、c、d，满足d = (a c) b (a b)c，求证：ad
证：内积a c与a b均为实数，
∴a d = a [(a c) b (a b)c] = a [(a c) b] a [(a b)c]
= (a b)(a c) (a c)(a b) = 0∴ad
例3.已知|a| = 3，b = (1,2)，且a∥b，求a的坐标。
解：设a = (x,y) ∵|a| = 3 ∴…①
又：∵a∥b ∴1 y 2 x = 0 …②
解之： 或
即：a = () 或a = ()
例4.已知a、b都是非零向量， a + 3b与7a 5b垂直，且a 4b与7a 2b垂直，求a与b的夹角。
解：由(a + 3b)(7a 5b) = 0 7a2 + 16a b 15b2 = 0 ①
(a 4b)(7a 2b) = 0 7a2 30a b + 8b2 = 0 ②
两式相减：2ab = b2 代入①或②得：a2 = b2
设a、b的夹角为，则cos = ∴ = 60
例5.证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。
证：设= b，= a，则=+= b+a,
=a +b
∵A, G, D共线，B, G, E共线∴可设=λ，= μ,则=λ=λ(b+a)=λb+λa,= μ= μ(b+a)=μb+μa,∵ 即：b + (μb+μa) =λb+λa∴(μλ)a + (μλ+)b = 0 ∵a, b不平行，
∴ =
例6.设=(a+5b)，=2a + 8b，=3(a b)，求证：A,B,D三点共线。
证：=++=(a+5b) + ( 2a + 8b) + 3(a b)
= (1+)a + (5 + 5)b = (1+)(a + 5b)
而=(a+5b) ∴= (+ 1)又∵, 有公共点 ∴A,B,D三点共线
例7.设作用于同一点O的三个力F1、F2、F3处于平衡状态，如果| F1|=1，|F2|=2，F1与F2的夹角为.求①.F3的大小；②.∠F3OF2的大小.
解：①F1、F2、F3三个力处于平衡状态，故F1+F2+F3=0，即F3= -（F1+F2）.
∴| F3|=| F1+F2|=
②如图：以F2所在直线为x轴，合力作用点为坐标原点，建立直角坐标系.将向量F1、F3正交分解，设∠F3OM=
由受力平衡知
解之得于是∠F3OF2
作业布置：1、写出你学习本章的复习小结或心得体会以及对今后的学习有何计划.
2、完成教材P126---127中A组习题第4---10题.3、（选做）复习题2的B组试题.
[课后反思]
第十五课时第二章平面向量小结与复习课（二）
一、教学目标
1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。
2. 了解平面向量基本定理.
3. 向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。
4. 了解向量形式的三角形不等式：|||-||≤|±|≤||+||(试问：取等号的条件是什么 )和向量形式的平行四边形定理：2(||+||)=|－|+|+|.
5. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：
6. 向量的坐标概念和坐标表示法
7. 向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）
8. 数量积（点乘或内积）的概念，·=||||cos=xx+yy注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”
二、知识与方法
向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直
三、典型例题
例1.对于任意非零向量与，求证：｜｜｜-｜｜｜≤｜±｜≤｜｜+｜｜
证明：(1)两个非零向量与不共线时，+的方向与，的方向都不同，并且｜｜-｜｜＜｜±｜＜｜｜+｜｜
(3)两个非零向量与共线时，①与同向，则+的方向与.相同且｜+｜=｜｜＋｜｜.②与异向时，则+的方向与模较大的向量方向相同，设||＞||，则|+|=||-||.同理可证另一种情况也成立。
例2 已知O为△ABC内部一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，设=，=，=，
且||=2，||=1，| |=3，用与表示
解：如图建立平面直角坐标系xoy，其中, 是单位正交基底向量, 则B（0，1），C（-3，0），设A（x，y），则条件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A（1，-），也就是= －, =， =-3所以-3=3+|即=3－3
例3.下面5个命题：①|·|=||·||②(·)=·③⊥(－)，则·=· ④·=0，则|+|=|－|⑤·=0，则=或=，其中真命题是（ ）
A①②⑤ B ③④ C①③ D②④⑤
例4.设=(a+5b)，=2a + 8b，=3(a b)，求证：A,B,D三点共线。
证：=++=(a+5b) + ( 2a + 8b) + 3(a b)
= (1+)a + (5 + 5)b = (1+)(a + 5b)
而=(a+5b) ∴= (+ 1)
又∵, 有公共点 ∴A,B,D三点共线
例5.已知：A(1,2)，B(2,1)，C(3,2)，D(2,3)，①求证：A，B，C三点不共线
②以、为一组基底来表示++
解：①∵=(1,3), =(2,4) ∵1×43×20 ∴
∴A，B，C三点不共线
②++=(3,5)+(4,2)+(5,1) = (12,8)
设：++= m+ n
即：(12,8) = (m + 2n, 3m + 4n)
∴ ∴++= 3222
例6.求证：|a + b |≤|a| + |b|
证：|a + b |2 = (a + b)2 = |a|2 + |b|2 + 2a b = |a|2 + |b|2 + 2|a||b|cos
≤ |a|2 + |b|2 + 2|a||b| = ( |a| + |b| )2
即：|a + b |≤|a| + |b|
四、巩固训练
1.下面5个命题中正确的有（ ）D
①=·=·； ②·=·=；③·（+）=·+·； ④·（·）=（·）·； ⑤.
A..①②⑤ B.①③⑤ C. ②③④ D. ①③
2.下列命题中，正确命题的个数为（ A ）
①若与是非零向量 ，且与共线时，则与必与或中之一方向相同；②若为单位向量，且∥则=|| ③··=|| ④若与共线，与共线，则与共线；⑤若平面内四点A.B.C.D，必有+=+
A 1 B 2 C 3 D 4
3、已知：|a| =，|b| = 3，a与b夹角为45，求使a+b与a+b夹角为锐角的的取值范围。
解：由题设：a b = |a||b|cos = 3××= 3，(a+b)(a+b) =|a|2 +|b|2 + (2 + 1)a b = 32 + 11 + 3 ∵夹角为锐角 ∴必得32 + 11 + 3 > 0
∴ 或
4、已知四边形ABCD的顶点分别为A(2,1)，B(5,4)，C(2,7)，D(-1,4),求证：四边形ABCD为正方形。
5、a、b为非零向量，当a + tb(tR)的模取最小值时，①求t的值；②求证：b与a + tb垂直
解：① |a + tb|2 = |a|2 + t2|b|2 + 2t| ∴当t =时, |a + tb|最小
五、作业布置：完成教材P126---127中A组习题第11---15题.
（选做）复习题2的C组试题.
六、教后反思：
A B
A(起点)
B
（终点）
a
a
b
c
C O B A
D
E
O
A
B
C
F
A B C
A B
C
C A B
A B
C
a
a
a
C
C
C
B
B
B
A
A
A
a+b
b
a
b
b
a+b
a+b
O
A
B
a
a
a
b
b
b
A
B
C
D
a
c
a+b+c
b
a+b
b+c
A B
D C
ab
A
A
B
B
B’
O
ab
a
a
b
b
O
A
O
B
ab
ab
B
A
O
b
A
B
C
b
a
d
c
D
O
A B
D C
A B
D C
O
B
A
O
C
P
Q
M
N
O
A
B
B1
A1
A
O
B
B1
A1
P
B
A
O
O
N
B
MM
CM
P1
P
P2
30
60
D
M
A
BM
CM
a
b
D
A
BM
CM
a
b
D
A
EM
CM
a
b
BM
FM
GM
O
B
C
A
x
y
b
c
O
x
y
B(x2, y2)
A(x1, y1)
O
x
y
B
A
C
D1
D2
D3
s
F
= 0
= 180
O
O
O
O
O
O
A
A
A
A
A
A
B
B
B
B
B
B
C
C
O
a
A
c
b
A
OO
BO
B1O
a
b
A
OO
BO
B1O
a
b
A
OO
BO
(B1)O
a
b
C
A
B
D
a
b
A B
D C
C
1
2
A
B
O
A1
B1
C
A B
D C
A
B
C
D
E
F
H
A
O
B
A
B
C
D
E
F
H
P1
P1
P1
P2
P2
P2
P
P
P
O
P1
P
P2
O
P1
P
P2
P’
O
P1
P
P2
P
B
A
O
v
v2a
A
B
C
O
A
B
C
a
ca
b
A
B
C
E
F
D
G
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北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》全部教案
扶风县法门高中 姚连省
第一课时 2.1从位移、速度、力到向量
一、教学目标
1.知识与技能：（1）理解向量与数量、向量与力、速度、位移之间的区别；（2）理解向量的实际背景与基本概念，理解向量的几何表示，并体会学科之间的联系.（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。
2.过程与方法：通过力与力的分析等实例，引导学生了解向量的实际背景，帮助学生理解平面向量与向量相等的含义以及向量的几何表示；最后通过讲解例题，指导学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题.
3.情感态度价值观：通过本节的学习，使同学们对向量的实际背景、几何表示有了一个基本的认识；激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.
二.教学重、难点 ：重点: 向量及向量的有关概念、表示方法.难点: 向量及向量的有关概念、表示方法.
三.学法与教法
学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
教法:探究交流法.
四.教学过程
（一）、创设情境
实例：老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去。
问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.
（二）、探究新知
1．学生阅读教材思考如下问题
[展示投影]（学生先讲，教师提示或适当补充）
（1）. 举例说明什么是向量？向量与数量有何区别？既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量等。
注意：①数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。
②从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。
2.向量的表示方法有哪些？
①几何表示法：有向线段
有向线段：具有方向的线段叫做有向线段。记作：
注意：起点一定写在终点的前面。
有向线段的长度：线段AB的长度也叫做有向线段的长度。 有向线段的三要素：起点、方向、长度。
②字母表示法：也可用字母a、b、c（黑体字）来表示，即可表示为（印刷时用黑体字）
3. 向量的模的概念是如何定义的？
向量的大小——长度称为向量的模。
记作：|| 模是可以比较大小的
4.两个特殊的向量：
①零向量——长度（模）为0的向量，记作。的方向是任意的.
注意与0的区别
②单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。
思考：①温度有零上零下之分，“温度”是否向量？
答：不是。因为零上零下也只是大小之分。
②与是否同一向量？
答：不是同一向量。
③有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？
答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。
5.向量间的关系：
（1）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
记作：∥∥
规定：与任一向量平行
（2）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
记作：=
规定：=
任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。
（3）共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ， 所以平行向量也叫共线向量。
= = =
[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）
例题：如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，①分别写出图中与向量、、相等的向量；②分别写出图中与向量、、共线的向量.
（三）、课堂小结：（学生总结，其它学生补充）
①向量及其表示方法.②向量的模.③零向量与单位向量（零向量的方向任意；单位向量不一定相等）④相等向量与平行向量.
（四）、作业：P86 习题2—1
五、 课后反思：
第二课时 2.2从位移的合成到向量的加法（一）
一、教学目标
1.知识与技能：（1）掌握向量加法的概念；能熟练运用三角形法则和平行四边形法则做几个向量的和向量；能准确表述向量加法的交换律和结合律，并能熟练运用它们进行向量计算.（2）通过实例，掌握向量加法的运算，并理解其几何意义.（3）初步体会数形结合在向量解题中的应用.
2.过程与方法：教材利用同学们熟悉的物理知识引出向量的加法，一方面启发我们利用位移的合成去探索两个向量的和，另一方面帮助我们利用物理背景去理解向量的加法. 然后用“相反向量”定义向量的减法；最后通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.
3.情感态度价值观：通过本节内容的学习，使同学们对向量加法的三角形法则和平行四边形法则有了一定的认识，进一步让学生理解和领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的加法，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.
二.教学重难点 ：向量加法的概念和向量加法的法则及运算律.
三.学法与教法
学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教法:探究讨论法.
四.教学设想
（一）、创设情境
提出课题：向量是否能进行运算？
1、某人从A到B，再从B按原方向到C，
则两次的位移和：+=
2、若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，
则两次的位移和：+=
3、某车从A到B，再从B改变方向到C，
则两次的位移和：+=
4、船速为，水速为， 则两速度和：+= 提出课题：向量的加法
（二）、探究新知
1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。注意：两个向量的和仍旧是向量（简称和向量）
2．三角形法则：
强调：① “向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点 ②可以推广到n个向量连加 ③④不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则
[展示投影]例题讲评（学生讲，学生评，教师提示或适当补充）
例1、已知向量、，求作向量+
作法：在平面内取一点，
作
则
【探究新知】
3．加法的交换律和平行四边形法则：思考：上题中+的结果与+是否相同 验证结果相同
从而得到：1向量加法的平行四边形法则2向量加法的交换律：+=+
3、向量加法的结合律：(+) +=+ (+)
（可请学生先上来做，不足之处学生更正）
证：如图：使, ,
则(+) += + (+) =
∴(+) +=+ (+) 从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。
[展示投影]例题讲评（学生讲，学生评，教师提示或适当补充）
例2．如图，一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时水的流速为，求船实际航行的速度的大小与方向。
解：设表示船垂直于对岸的速度，表示水流的速度，
以AD,AB为邻边作平行四边形ABCD，则就是船实际航行的速度
在中，，
所以
因为
4、练习：P95 2,3
（三）、课堂小结：（学生总结，其它学生补充）①向量加法的三角形法则与平行四边形法则.②向量加法运算律.
（四）、作业：习题2.2 A组1,2.3，5
补充题：1、一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为，求水流的速度.
2、一艘船距对岸，以的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km，求河水的流速.
3、一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，船的实际航行的速度的大小为，方向与水流间的夹角是，求和.
4、一艘船以5km/h的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h，则船的实际航行速度大小最大是km/h，最小是km/h
５、已知两个力F1，F2的夹角是直角，且已知它们的合力F与F1的夹角是60，|F|=10N求F1和F2的大小.
６、用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
五、课后反思：
第三课时 2.2从位移的合成到向量的加法（二）
一、教学目标
1.知识与技能：（1）了解相反向量的概念；掌握向量的减法，会作两个向量的减向量；（2）通过实例，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义.（3）初步体会数形结合在向量解题中的应用.
2.过程与方法：教材利用同学们熟悉的物理知识引出向量的加法，一方面启发我们利用位移的合成去探索两个向量的和，另一方面帮助我们利用物理背景去理解向量的加法. 然后用“相反向量”定义向量的减法；最后通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.
3.情感态度价值观：通过本节内容的学习，使同学们对向量加法的三角形法则和平行四边形法则有了一定的认识，进一步让学生理解和领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的加法，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.
二.教学重难点：向量的减法转化为加法的运算.
三.学法与教法
学法与教法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
四.教学设想
（一）、复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则；向量加法的运算定律：
例：在四边形中， .
解：
提出课题：向量的减法
（二）、探究新知
思考：已知，，怎样求作？
这个问题涉及到两个向量相减，到底如何运算呢？首先引入“相反向量”这个概念.
1.用“相反向量”定义向量的减法
①“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量；记作 a
②规定：零向量的相反向量仍是零向量。(a) = a
任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + (a) = 0
如果a、b互为相反向量，则a = b, b = a, a + b = 0
③向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。
即：a b = a + (b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。
2.用加法的逆运算定义向量的减法：
向量的减法是向量加法的逆运算：
若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a b
3.请同学们自己解决思考题： 的作法：
方法一、已知向量、，在平面内任取一点O，作，则。即可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量
方法二、在平面内任取一点O，作则。即也可以表示为从向量的起点指向向量的起点的向量.
方法三、在平面内任取一点O，作，则由向量加法的平行四边形法则可得 .
[展示投影]思考与讨论：
思考：从向量的终点指向向量的终点的向量是什么？（）
讨论：如右图，∥时，怎样作出呢？
探究：
⑴如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量是b a.
（２）若a∥b， 如何作出a b ？
[展示投影]例题讲评（学生讲，学生评，教师提示或适当补充）
例1.已知向量a、b、c、d，求作向量ab、cd。
解：在平面上取一点O，作= a, = b, = c, = d, 作, , 则= ab, = cd
例2.平行四边形中，=，=，用、表示向量，.
解：由平行四边形法则得：
= a + b, = - = ab
变式一：当a, b满足什么条件时，a+b与ab垂直？（|a| = |b|）
变式二：当a, b满足什么条件时，|a+b| = |ab|？（a, b互相垂直）
变式三：a+b与ab可能是相当向量吗？（不可能，∵ 对角线方向不同）
例3.试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
证：由向量加法法则：
= +, = +
由已知：=, =
∴= 即AB与CD平行且相等
∴ABCD为平行四边形
练习：Ｐ98中练习题
（三）、课堂小结：（学生总结，其它学生补充）相反向量及向量减法的运算法则、作图法。
（四）、1．作业：习题2.2 A组第4、5、6题．
2．（备选题）：
①证明：对于任意给定的向量都有
②证明：并说明什么时候取等号？
提示：可用例5的图当、不共线时，由三角形两边之和大于第三边，而两边之差小于第三边得
、
即
1.在△ABC中， =a， =b，则等于( )
A.a+b? B.-a+(-b) C.a-b? D.b-a
2.O为平行四边形ABCD平面上的点，设=a， =b， =c， =d，则
A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0 C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0
３.如图，在四边形ABCD中，根据图示填空：
a+b= ，b+c= ，c-d= ，a+b+c-d= .
４、如图所示，O是四边形ABCD内任一点，试根据图中给出的向量，确定a、b、c、d的方向（用箭头表示），使a+b=，c-d=，并画出b-c和a+d.
五、课后反思：
第四课时 2.3从速度的倍数到数乘向量（一）
一、教学目标：1.知识与技能：（1）要求学生掌握实数与向量积的定义及几何意义.（2）了解数乘运算的运算律，理解向量共线的充要条件。（3）通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。
2.过程与方法：教材利用同学们熟悉的物理知识引出实数与向量的积（强调：1．“模”与“方向”两点) 2．三个运算定律（结合律，第一分配律，第二分配律）），在此基础上得到数乘运算的几何意义。为了帮助学生消化和巩固相应的知识，教材设置了几个例题；通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.
3.情感态度价值观：通过本节内容的学习，使同学们对实数与向量积有了较深的认识，让学生理解和领悟知识将各学科有机的联系起来了，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，有助于培养学生的发散思维和勇于创新的精神.
二.教学重、难点： 重点:实数与向量积的定义及几何意义.难点: 实数与向量积的几何意义的理解.
三.学法与教法： (1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
四.教学过程
（一）、探究新知
1．思考: （引入新课）已知非零向量 作出++和()+()+()
==++=3
==()+()+()=3
讨论：① 3与方向相同且|3|=3||② 3与方向相反且|3|=3||
2．从而提出课题：实数与向量的积；实数λ与向量的积，记作：λ
定义：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ
①|λ|=|λ||| ；②λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=（请学生自己解释其几何意义）
[展示投影]例题讲评（学生先做，学生评，教师提示或适当补充）
例1.（见P96例1）略
[展示投影]
思考：根据几何意义，你能否验证下列实数与向量的积的是否满足下列运算定律（证明的过程可根据学生的实际水平决定）
结合律：λ(μ)=(λμ) ①
第一分配律：(λ+μ)=λ+μ ②
第二分配律：λ(+)=λ+λ ③
结合律证明：如果λ=0，μ=0，=至少有一个成立，则①式成立
如果λ0，μ0，有：|λ(μ)|=|λ||μ|=|λ||μ|||
|(λμ)|=|λμ|| |=|λ||μ||| ；∴|λ(μ)|=|(λμ)|
如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与同向；如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与反向。从而λ(μ)=(λμ)
第一分配律证明：如果λ=0，μ=0，=至少有一个成立，则②式显然成立
如果λ0，μ0，当λ、μ同号时，则λ和μ同向，∴|(λ+μ)|=|λ+μ|||=(|λ|+|μ|)||，|λ+μ|=|λ|+|μ|=|λ|||+|μ|||=(|λ|+|μ|)||
∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与同向。 即：|(λ+μ)|=|λ+μ|
当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λ同向当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μ同向。还可证：|(λ+μ)|=|λ+μ| ∴②式成立
第二分配律证明：如果=，=中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立
当，且λ0，λ1时1当λ>0且λ1时在平面内任取一点O，
作= = =λ =λ
则=+ λ+λ
由作法知：∥有OAB=OA1B1 ||=λ||
∴λ ∴△OAB∽△OA1B1 ∴λ AOB= A1OB1
因此，O，B，B1在同一直线上，||=|λ| 与λ方向也相同
λ(+)=λ+λ 当λ<0时 可类似证明：λ(+)=λ+λ
∴ ③式成立
【探究新知】（师生共同分析向量共线的充要条件）
若有向量()、，实数λ，使=λ 则由实数与向量积的定义知：与为共线向量
若与共线()且||：||=μ，则当与同向时=μ；当与反向时=μ
从而得：向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ.
[展示投影]例题讲评（师生共同分析，学生动手做）例2. （见P97例2）略
例3.（P97例3改编）如图：，不共线，P点在AB上，求证：存在实数
使
（证明过程与P97例3完全类似；略）
思考：由本例你想到了什么？（用向量证明三点共线）
（二）、巩固深化，加强基础
1.见P98练习1、2、3、4题.
2.如例3图，，不共线，=t (tR)用，表示.
3．设,是两个不共线向量，已知=2+k, =+3, =2, 若三点A, B, D共线，求k的值.
解：==(2)(+3)=4
∵A, B, D共线 ∴,共线 ∴存在λ使=λ
即2+k=λ(4) ∴ ∴k=8
（三）、课堂小结（学生总结，其它学生补充）①数乘向量的几何意义理解.②向量与非零向量共线的条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ.
（五）、作业：习题2.3 A组第4、5、6、7题．
六、课后反思：
第五课时 2.3从速度的倍数到数乘向量（二）
——平面向量基本定理
一、教学目的：（1）了解平面向量基本定理；（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.
二、教学重点：平面向量基本定理.教学难点：平面向量基本定理的理解与应用.
三、授课类型：新授课
四、教学过程：
（一）、复习引入：
1．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ
（1）|λ|=|λ|||；（2）λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=
2．运算定律
结合律：λ(μ)=(λμ) ；分配律：(λ+μ)=λ+μ， λ(+)=λ+λ
3. 向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ.
（二）、探究新知
平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2.
探究：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被，，唯一确定的数量
1．思考：①．是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？②．对于平面上两个不共线向量，是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？
2．教师引导学生分析：设，是不共线向量，是平面内任一向量
= =λ1 ==+=λ1+λ2
= =λ2
得平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2.
[注意几个问题]：① 、必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底.② 这个定理也叫共面向量定理.③λ1，λ2是被，，唯一确定的数量.④同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合.
（三）、讲解范例：
例1 已知向量， 求作向量2.5+3.
例2 如图 ABCD的两条对角线交于点M，且=，=，用，表示，，和
例3已知 ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证：+++=4
例4（1）如图，，不共线，=t (tR)用，表示.
（2）设不共线，点P在O、A、B所在的平面内，且.求证：A、B、P三点共线.
例5 已知 a=2e1-3e2，b= 2e1+3e2，其中e1，e2不共线，向量c=2e1-9e2，问是否存在这样的实数与c共线.
（四）、课堂练习：
1.设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有( )
A.e1、e2一定平行 B.e1、e2的模相等
C.同一平面内的任一向量a都有a =λe1+μe2(λ、μ∈R)
D.若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a =λe1+ue2(λ、u∈R)
2.已知矢量a = e1-2e2，b =2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b与c =6e1-2e2的关系
A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定
3.已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则x-y的值等于( )
A.3 B.-3 C.0 D.2
4.已知a、b不共线，且c =λ1a+λ2b(λ1，λ2∈R)，若c与b共线，则λ1= .
5.已知λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一组基底，且a =λ1e1+λ2e2，则a与e1_____，a与e2_________(填共线或不共线).
（五）、小结：1、平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2.2、注意几个问题① 、必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底.② 这个定理也叫共面向量定理.③λ1，λ2是被，，唯一确定的数量.④同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合.
(六)、课后作业：见P100练习1、2题.
1、1kg的重物在两根细绳的支持下，处于平衡状态（如图），已知两细绳与水平线分别成30, 60角，问两细绳各受到多大的力？
解：将重力在两根细绳方向上分解，两细绳间夹角为90
=1 (kg) P1OP=60 P2OP=30
∴=cos60=1 =0.5 (kg)
=cos30=1 =0.87 (kg)
即两根细绳上承受的拉力分别为0.5 kg和0.87 kg
2、如图 ABCD的两条对角线交于点M，且=，=，
用，表示，，和
解：在 ABCD中
∵=+=+
==
∴==(+)=
==()= ==+
===+
3、 如图，在△ABC中，=, =，AD为边BC的中线，G为△ABC的重心，求向量
解法1：∵=, = 则==
∴=+=+而=
∴=+
解法2：过G作BC的平行线，交AB、AC于E、F
∵△AEF∽△ABC ∴ ==
== == ∴=+=+
五、教课反思：
第六课时 2.4平面向量的坐标（一）
一、教学目标：
1.知识与技能：（1）掌握平面向量正交分解及其坐标表示.（2）会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算.（3）理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
2.过程与方法：教材利用正交分解引出向量的坐标，在此基础上得到平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示；最后通过讲解例题，巩固知识结论，培养学生应用能力.
3.情感态度价值观：通过本节内容的学习，使同学们对认识到在全体有序实数对与坐标平面内的所有向量之间可以建立一一对应关系（即点或向量都可以看作有序实数对的直观形象）；让学生领悟到数形结合的思想；培养学生勇于创新的精神.
二.教学重、难点
重点: 平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示.
难点: 平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示.
三.学法与教法： (1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机.
四.教学过程
【创设情境】
（回忆）平面向量的基本定理（基底） =λ1+λ2
其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合.
【探究新知】
（一）、平面向量的坐标表示
1．在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示
思考：在坐标系下，向量是否可以用坐标来表示呢？
取轴、轴上两个单位向量, 作基底，则平面内作一向量
记作：=(x, y) 称作向量的坐标
如：===(2, 2) ===(2, 1) ===(1, 5)=(1, 0) =(0, 1) =(0, 0)
2、由以上例子让学生讨论：①向量的坐标与什么点的坐标有关？②每一平面向量的坐标表示是否唯一的？③两个向量相等的条件是？（两个向量坐标相等）
（二）、平面向量的坐标运算
[展示投影]思考与交流：
直接由学生讨论回答：
思考1．（1）已知(x1, y1) (x2, y2) 求+，的坐标
(2)已知(x, y)和实数λ, 求λ的坐标
解：+=(x1+y1)+(x2+y2)=(x1+ x2)+ (y1+y2)即：+=(x1+ x2,y1+y2)
同理：=(x1x2, y1y2)λ=λ(x+y)=λx+λy∴λ=(λx, λy)
结论：①.两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
②.实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。
思考2.已知你觉得的坐标与A、B点的坐标有什么关系？
∵==( x2, y2) (x1,y1)
= (x2 x1, y2 y1)
结论：③.一个向量的坐标等于表示此向量的有向
线段终点的坐标减去始点的坐标。
[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）
例1.（教材P104例2）
例2. （教材P104例3）
例3.已知三个力 (3, 4), (2, 5), (x, y)的合力++=
求的坐标.
解：由题设++= 得：(3, 4)+ (2, 5)+(x, y)=(0, 0)
即： ∴ ∴(5,1)
例4.已知平面上三点的坐标分别为A(2, 1), B(1, 3),
C(3, 4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。
解：当平行四边形为ABCD时，
仿例2得：D1=(2, 2)
当平行四边形为ACDB时，仿例2得：D2=(4, 6)；当平行四边形为DACB时，仿例2得：D3=(6, 0)
【巩固深化，发展思维】
1．若M(3, -2) N(-5, -1) 且 , 求P点的坐标；
解：设P(x, y) 则(x-3, y+2)=(-8, 1)=(-4, )
∴ ∴P点坐标为(-1, -)
2．若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则2=(-3,-3)
3．已知：四点A(5, 1), B(3, 4), C(1, 3), D(5, -3) 求证：四边形ABCD是梯形。
解：∵=(-2, 3) =(-4, 6) ∴=2
∴∥ 且 |||| ∴四边形ABCD是梯形
【学习小结】 （学生总结，其它学生补充）①向量加法运算的坐标表示.②向量减法运算的坐标表示.③实数与向量的积的坐标表示.
五、评价设计
作业：习题2--4 A组第1，2，3，7，8题．
六、教后反思：
第七课时 2.4平面向量的坐标（二）
——平面向量共线的坐标表示
一、教学目标：（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.
二、教学重点：平面向量的坐标运算。教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性
三、授课类型：新授课
四、教学过程
（一）、复习引入：
1．平面向量的坐标表示
分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得
把叫做向量的（直角）坐标，记作
其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标， 特别地，，，.
2．平面向量的坐标运算
若，，
则，，.
若，，则
（二）、探究新知
∥ ()的充要条件是x1y2-x2y1=0
设=(x1， y1) ，=(x2， y2) 其中.
由=λ得， (x1， y1) =λ(x2， y2) 消去λ，x1y2-x2y1=0
探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y1， y2有可能为0， ∵ ∴x2， y2中至少有一个不为0；（2）充要条件不能写成 ∵x1， x2有可能为0；(3)从而向量共线的充要条件有两种形式：∥ ()
（三）、讲解范例：
例1已知=(4，2)，=(6， y)，且∥，求y.
例2已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(2，5)，试判断A，B，C三点之间的位置关系.
例3设点P是线段P1P2上的一点， P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).
(1) 当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
(2) 当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.
例4若向量=(-1，x)与=(-x， 2)共线且方向相同，求x
解：∵=(-1，x)与=(-x， 2) 共线 ∴(-1)×2- x (-x)=0
∴x=± ∵与方向相同 ∴x=
例5 已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量与平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？
解：∵=(1-(-1)， 3-(-1))=(2， 4) ， =(2-1，7-5)=(1，2)
又 ∵2×2-4×1=0 ∴∥
又 ∵ =(1-(-1)， 5-(-1))=(2，6) ，=(2， 4)，2×4-2×60 ∴与不平行
∴A，B，C不共线 ∴AB与CD不重合 ∴AB∥CD
（四）、课堂练习：
1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，则y=（ ）
A.6 B.5 C.7 D.8
2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（ ）
A.-3 B.-1 C.1 D.3
3.若=i+2j， =(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量). 与共线，则x、y的值可能分别为（ ）
A.1，2 B.2，2 C.3，2 D.2，4
4.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，则y= .
5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b与2a-b平行，则x的值为 .
6.已知□ABCD四个顶点的坐标为A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，则x= .
（五）、小结（学生总结，其它学生补充）①向量加法运算的坐标表示.②向量减法运算的坐标表示.③实数与向量的积的坐标表示.④向量共线的条件.
（六）、课后作业：1.已知
2．已知点A(0,1) B(1,0) C(1,2) D(2,1) 求证：AB∥CD
3．证明下列各组点共线：① A (1,2)，B(-3,4)， C(2,3.5)
② P (-1,2)， Q(0.5,0)， R(5,-6)
4．已知向量=(-1,3) =(x,-1)且∥ 求x .
课后练习：1.教材P105练习1--5
2．（备选题）：已知A(-1, -1) B(1,3) C(1,5) D(2,7) 向量与平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？
解：∵=(1-(-1), 3-(-1))=(2, 4) =(2-1,7-5)=(1,2)
又∵2×2-4-1=0 ∴∥
又∵=(1-(-1), 5-(-1))=(2,6) =(2, 4)
2×4-2×60 ∴与不平行
∴A，B，C不共线 ∴AB与CD不重合 ∴AB∥CD
五、教后反思：
第八课时 2.5从力做的功到向量的数量积（一）
一、教学目标：
1.知识与技能：（1）通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义.（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系. （3）掌握平面向量数量积的运算律和它的一些简单应用.（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
2.过程与方法：教材利用同学们熟悉的物理知识（“做功”）得到向量的数量积的含义及其物理意义、几何意义.为了帮助学生理解和巩固相应的知识，教材设置了4个例题；通过讲解例题，培养学生逻辑思维能力.
3.情感态度价值观：通过本节内容的学习，使同学们认识到向量的数量积与物理学的做功有着非常紧密的联系；让学生进一步领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的数量积，有助于激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神.
二.教学重、难点
重点: 向量数量积的含义及其物理意义、几何意义；运算律.难点: 运算律的理解
三.学法与教法
(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
四.教学过程
【探究新知】（学生阅读教材P107—108，师生共同讨论）
思考：请同学们回忆物理学中做功的含义，问对
一般的向量a和b，如何定义这种运算？
1.力做的功：W = |F| |s|cos 是F与s的夹角
2.定义：平面向量数量积（内积）的定义，a b = |a||b|cos，并规定0与任何向量的数量积为0。
3.向量夹角的概念：范围0≤≤180
[展示投影]由于两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别；因此强调注意的几个问题：
①两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定。
②两个向量的数量积称为内积，写成a b；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个数量的积，书写时要严格区分。
③在实数中，若a0，且a b=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且a b=0，不能推出b=0。因为其中cos有可能为0.这就得性质2.
④已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc a=c.但是a b = b c a = c
如右图：a b = |a||b|cos = |b||OA|
b c = |b||c|cos = |b||OA|
a b=b c 但a c
⑤在实数中，有(a b)c = a(b c)，但是(a b)c a(b c)
显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.
[展示投影]思考与交流：
思考与交流1.射影的概念是如何定义的，举例（或画图）说明；并指出应注意哪些问题.
定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的射影。
注意：①射影也是一个数量，不是向量。②当为锐角时射影为正值；当为钝角时射影为负值；当为直角时射影为0；当 = 0时射影为 |b|；当 = 180时射影为 |b|.
思考与交流2.如何定义向量数量积的几何意义？由向量数量积的几何意义你能得到两个向量的数量积哪些的性质（学生讨论完成，教师作必要的补充）.
几何意义：数量积a b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积。
性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。①e a = a e =|a|cos ②ab a b = 0③当a与b同向时，a b = |a||b|；当a与b反向时，a b = |a||b|。 特别的a a = |a|2或④cos =（|a||b|≠0）⑤ |ab|≤|a||b|
【巩固深化，发展思维】
判断下列各题正确与否：
①若a = 0，则对任一向量b，有a b = 0. ( √ )
②若a 0，则对任一非零向量b，有a b 0. ( × )
③若a 0，a b = 0，则b = 0. ( × )
④若a b = 0，则a 、b至少有一个为零. ( × )
⑤ 若a 0，a b = a c，则b = c. ( × )
⑥若a b = a c，则b = c当且仅当a 0时成立. ( × )
⑦对任意向量a、b、c，有(a b) c a (b c). ( × )
⑧对任意向量a，有a2 = |a|2. ( √ )
例1.已知：
解：（1）
（2）
例2.已知都是非零向量，且垂直，
垂直，求的夹角。
解：由(a + 3b)(7a 5b) = 0 7a2 + 16a b 15b2 = 0 ①
(a 4b)(7a 2b) = 0 7a2 30a b + 8b2 = 0 ②
两式相减：2ab = b2 代入①或②得：a2 = b2设a、b的夹角为，
则cos = ∴ = 60
例3.用向量方法证明：菱形对角线互相垂直。
证：设== a , == b
∵ABCD为菱形 ∴|a| = |b|
∴ = (b + a)(b a) = b2 a2 = |b|2 |a|2 = 0∴即菱形对角线互相垂直。
【巩固深化，发展思维】1.教材P109练习1、2题2. 教材P111练习1、2、3、4、5题
【学习小结】 （学生总结，其它学生补充）
①有关概念：向量的夹角、射影、向量的数量积.②向量数量积的几何意义和物理意义.③向量数量积的五条性质.
五、评价设计
作业：习题2.5 A组第3、4、5、6、7题．
2．（备选题）：
①在ΔABC中，设边BC，CA，AB的长度分别为a，b，c，用向量方法证明：
②求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和。
解：如图： ABCD中：，，=+
∴||2=|+|2=2+2+2
而=-
∴||2=|-|2=2+2-2
∴||2 + ||2 = 22+22= ||2+||2+||2+||2
六、课后反思：
第九课时 2.5从力做的功到向量的数量积（二）
——平面向量数量积的运算律
一、教学目标：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.
二、教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用
三、授课类型：新授课
四、内容分析：启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质. ?
五、教学过程
（一）、复习引入：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos，
（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.
3．“投影”的概念：作图
定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.
投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b|；当 = 180时投影为 |b|.
4．向量的数量积的几何意义：
数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.
5．两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.
1 ea = ae =|a|cos； 2 ab ab = 0
3 当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b|. 特别的aa = |a|2或
4cos = ；5|ab| ≤ |a||b|
（二）、讲解新课：
平面向量数量积的运算律
1．交换律：a b = b a
证：设a，b夹角为，则a b = |a||b|cos，b a = |b||a|cos
∴a b = b a
2．数乘结合律：(a)b =(ab) = a(b)
证：若> 0，(a)b =|a||b|cos， (ab) =|a||b|cos，a(b) =|a||b|cos，
若< 0，(a)b =|a||b|cos() = |a||b|(cos) =|a||b|cos，(ab) =|a||b|cos，
a(b) =|a||b|cos() = |a||b|(cos) =|a||b|cos.
3．分配律：(a + b)c = ac + bc
在平面内取一点O，作= a， = b，= c， ∵a + b （即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cos = |a| cos1 + |b| cos2
∴| c | |a + b| cos =|c| |a| cos1 + |c| |b| cos2， ∴c(a + b) = ca + cb 即：(a + b)c = ac + bc
说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）
（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ
（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，
（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ
(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２
（三）、讲解范例：
例1、 已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a 5b垂直，a 4b与7a 2b垂直，求a与b的夹角.
解：由(a + 3b)(7a 5b) = 0 7a2 + 16ab 15b2 = 0 ①
(a 4b)(7a 2b) = 0 7a2 30ab + 8b2 = 0 ②
两式相减：2ab = b2代入①或②得：a2 = b2
设a、b的夹角为，则cos = ∴ = 60
例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.
解：如图：平行四边形ABCD中，，，=
∴||2=
而= ，
∴||2=
∴||2 + ||2 = 2=
例3 四边形ABCD中，＝ａ，＝ｂ，＝с，＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，试问四边形ABCD是什么图形
分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量.
解：四边形ABCD是矩形，这是因为：
一方面：∵ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）２
即｜ａ｜２＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２с·ｄ＋｜ｄ｜２
由于ａ·ｂ＝с·ｄ，∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２①
同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２②
由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四边形ABCD两组对边分别相等.
∴四边形ABCD是平行四边形
另一方面，由ａ·ｂ＝ｂ·с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四边形ABCD可得ａ＝－с，代入上式得ｂ·(2ａ)＝０，即ａ·ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB⊥BC.
综上所述，四边形ABCD是矩形.
评述：(1)在四边形中，，，，是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；
(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系.
（四）、课堂练习：
1.下列叙述不正确的是（ ）
A.向量的数量积满足交换律 B.向量的数量积满足分配律
C.向量的数量积满足结合律 D.a·b是一个实数
2.已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为６０°，则(a+2b)·(a-3b)等于（ ）
A.72 B.-72 C.36 D.-36
3.|a|=3，|b|=4，向量a+b与a-b的位置关系为（ ）
A.平行 B.垂直 C.夹角为 D.不平行也不垂直
4.已知|a|=3，|b|=4，且a与b的夹角为150°，则(a+b)２＝ .
5.已知|a|=2，|b|=5，a·b=-3，则|a+b|=______，|a-b|= .
6.设|a|=3，|b|=5，且a+λb与a－λb垂直，则λ＝ .
（五）、小结：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.
（六）、课后作业：P111中3、4、5题
六、课后反思：
第十课时 向量的数量积（三）
一、课题：向量的数量积
二、教学目标：要求学生掌握平面向量数量积的运算律，明确向量垂直的充要条件。
三、教学重、难点：向量数量积的运算律和运算律的理解；
四、教学过程：
（一）复习：
1．平面向量数量积（内积）的定义及其几何意义、性质；
2．判断下列各题正确与否：
①若，则对任一向量，有； ( √ )
②若，则对任一非零向量，有； ( × )
③若，，则； ( × )
④若，则至少有一个为零向量； ( × )
⑤若，则当且仅当时成立； ( × )
⑥对任意向量，有． ( √ )
（二）新课讲解：
1．交换律：
证：设夹角为，则，
∴．
2．
证：若，，
， ，
若，，
，
．
3．．
在平面内取一点，作, ，，
∵（即）在方向上的投影等于
在方向上的投影和，
即：
∴，
∴ 即：．
4． 例题分析：
例1 已知都是非零向量，且与垂直，与垂直，求与的夹角。解：由题意可得： ①
②
两式相减得：， 代入①或②得：，
设的夹角为，则
∴，即与的夹角为．
例2求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和。
证明：如图： ABCD，，，，
∴，
而，
∴，
所以， + = = ．
例3 为非零向量，当的模取最小值时，
①求的值； ②求证：与垂直。
解：①，
∴当时, 最小；
②∵，
∴与垂直。
例4 如图，是的三条高，求证：相交于一点。
证：设交于一点，,
则
∵
∴得，
即， ∴，
又∵点在的延长线上，∴相交于一点。
五、小结：数量积的运算律和垂直充要条件的应用。
六、作业： 课本 习题5.6 第2，4题。
补充：1．向量的模分别为，的夹角为，求的模；
2．设是两个不相等的非零向量，且，求与的夹角。
3．设，是相互垂直的单位向量，求．
七、教后反思：
第十一课时 2.6平面向量数量积的坐标表示
一.教学目标：
1.知识与技能
（1）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.
（2）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
（3）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识.
2.过程与方法
通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理解析几何问题是一种有效手段，通过应用帮助学生掌握几个公式的等价形式，然后和同学一起总结方法，最后巩固强化.
3.情感态度价值观
通过本节的学习，使同学们对用坐标来研究向量的数量积有了一个崭新的认识；提高学生迁移知识的能力.
二.教学重、难点
重点: 平面向量数量积的坐标表示以及推得的长度、角度、垂直关系的坐标表示.
难点: 用坐标法处理长度、角度、垂直问题.
三.学法与教法
(1)自主性学习法+探究式学习法
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
四.教学设想
【创设情境】
[展示投影]引入：
请同学们回忆一下实数与向量的乘积的坐标表示以及两向量共线的坐标表示：
【探究新知】
平面两向量数量积的坐标又如何表示呢？
1. 推导坐标公式：设a = (x1, y1)，b = (x2, y2)，x轴上单位向量i，y轴上单位向量j，则：i i = 1，j j = 1，i j = j i = 0.
∵a = x1i + y1j, b = x2i + y2j
∴a b = (x1i + y1j )(x2i + y2j) = x1x2i2 + x1y1i j + x2y1i j + y1y2j2
= x1x2 + y1y2
从而获得公式：a b = x1x2 + y1y2
2.长度、角度、垂直的坐标表示
①a = (x, y) |a|2 = x2 + y2 |a| =
②若A = (x1, y1)，B = (x2, y2)，则=
③cos =
④∵ab a b = 0 即x1x2 + y1y2 = 0（注意与向量共线的坐标表示）
【巩固深化，发展思维】
1.设a = (5, 7)，b = (6, 4)，求a b
2.已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(2, 5)，求证：△ABC是直角三角形.
3.教材P114练习1、2题.
4.已知a = (3, 1)，b = (1, 2)，求满足x a = 9与x b = 4的向量x.
[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）
例1. 教材P113例1.
例2. 教材P113例2.
[展示投影]思考：
1.什么是方向向量？
2.怎样把一个已知向量转化为单位向量？
[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）
例3. 教材P114例3.
【巩固深化，发展思维】
教材P115习题A第1、2、3、4、5、6题.
[学习小结]
①a = (x, y) |a|2 = x2 + y2 |a| =
②若A = (x1, y1)，B = (x2, y2)，则||=
③cos =
④∵ab a b = 0 即x1x2 + y1y2 = 0
五、评价设计
1．作业：习题2.6 B组第1,2,3，4题．
2．（备选题）：
① 如图，以原点和A(5, 2)为顶点作等腰直角△OAB，使B = 90，
求点B和向量的坐标。
解：设B点坐标(x, y)，则= (x, y)， = (x5, y2)
∵ ∴x(x5) + y(y2) = 0即：x2 + y2 5x 2y = 0
又∵|| = || ∴x2 + y2 = (x5)2 + (y2)2即：10x + 4y = 29
由
∴B点坐标或；=或
②在△ABC中，=(2, 3)，=(1, k)，且△ABC的一个内角为直角，
求k值。
解：当A = 90时， = 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =
当B = 90时， = 0，== (12, k3) = (1, k3)
∴2×(1) +3×(k3) = 0 ∴k =
当C = 90时， = 0，∴1 + k(k3) = 0 ∴k =
六、课后反思：
第十二课时、第十三课时2.7平面向量应用举例（2课时）
一.教学目标：
1.知识与技能
（1）经历用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具.
（2）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识；发展运算能力和解决实际问题的能力.
2.过程与方法
通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具；和同学一起总结方法，巩固强化.
3.情感态度价值观
通过本节的学习，使同学们对用向量研究几何以及其它学科有了一个初步的认识；提高学生迁移知识的能力、运算能力和解决实际问题的能力.
二.教学重、难点
重点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用.
难点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用.
三.学法与教法
(1)自主性学习法+探究式学习法
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
四.教学设想
【探究新知】
[展示投影]
同学们阅读教材P116---118的相关内容思考：
1.直线的向量方程是怎么来的？
2.什么是直线的法向量？
【巩固深化，发展思维】
教材P118练习1、2、3题
[展示投影]例题讲评（教师引导学生去做）
例1．如图，AD、BE、CF是△ABC的三条高，求证：AD、BE、CF相交于一点。
证：设BE、CF交于一点H，
= a, = b, = h,
则= h a , = h b , = b a
∵,
∴
∴
又∵点D在AH的延长线上，∴AD、BE、CF相交于一点
[展示投影]预备知识：
1.设P1, P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1, P2的任一点，存在实数λ，使=λ，λ叫做点P分所成的比，
有三种情况：
λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)
注意几个问题：
①λ是关键，λ>0内分 λ<0外分 λ-1
若P与P1重合，λ=0 P与P2重合 λ不存在
②始点终点很重要，如P分的定比λ= 则P分的定比λ=2
2．线段定比分点坐标公式的获得：
设=λ 点P1, P, P2坐标为(x1,y1) (x,y) (x2,y2)
由向量的坐标运算
=(x-x1,y-y1) =( x2-x1, y2-y1)
∵=λ 即(x-x1,y-y1) =λ( x2-x1, y2-y1)
∴ 定比分点坐标公式
3.中点坐标公式：若P是中点时，λ=1
中点公式是定比分点公式的特例。
[展示投影]例题讲评（教师引导学生去做）
例2.已知点①
②求点
解：①由
②由
例3.
上的一点，且求点G的坐标。
解：由D是AB的中点，所以D的坐标为
即G的坐标为 ————.重心坐标公式
例4.过点P1(2, 3), P2(6, -1)的直线上有一点P，使| P1P|:| PP2|=3, 求P点坐标
解：当P内分时
当P外分时当得P(5,0)
当得P(8,-3)
例5.如图，在平面内任取一点O，设
，
这就是线段的定比分点向量公式。
特别当，当P为线段P1P2的中点时，有
例6.教材P119例2.
例7.教材P119例3.
例8.某人骑车以每小时a公里的速度向东行驶，感到风从正东方向吹来，而当速度为2a时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向。
解：设a表示此人以每小时a公里的速度向东行驶的向量，
无风时此人感到风速为a，设实际风速为v，
那么此时人感到的风速为v a，
设= a，= 2a
∵+= ∴= v a，这就是感到由正北方向吹来的风速，
∵+= ∴= v 2a，于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是，
由题意：PBO = 45, PABO, BA = AO
从而，△POB为等腰直角三角形，∴PO = PB =a 即：|v | =a
∴实际风速是a的西北风
【巩固深化，发展思维】
1.教材P119练习1、2、3题.
2.已知平行四边形ABCD的两个顶点为点为则另外两个顶点的坐标为 . （
3.△ABC顶点A(1, 1), B(-2, 10), C(3, 7) BAC平分线交BC边于D,
求D点坐标 . (1,)
[学习小结]：略
五、评价设计
1．作业：习题2.7 A组第1、2、3、4题．
2．（备选题）：①若直线与线段AB有交点，其中A（-2，3），B(3,2),求m的取值范围.
解：设l交有向线段AB于点P（x,y）且
则可得
由于设时，无形中排除了P,B重合的情形，要将B点坐标代入直线方程得
②已知O为△ABC所在平面内一点，且满足||2 + ||2 = ||2 + ||2 = ||2 + ||2，求证：．
证：设= a, = b, = c,
则= c b, = a c, = b a
由题设：2 +2 =2 +2 =2 +2，
化简：a2 + (c b)2 = b2 + (a c)2 = c2 + (b a)2
得： c b = a c = b a
从而 = (b a) c = b c a c = 0
∴ 同理：,
六、课后反思：
第十四课时 第二章平面向量小结与复习课（一）
一、教学目标：1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。2. 了解平面向量基本定理.3. 向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。4. 了解向量形式的三角形不等式：|||-||≤|±|≤||+||(试问：取等号的条件是什么 )和向量形式的平行四边形定理：2(||+||)=|－|+|+|.5. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：6. 向量的坐标概念和坐标表示法；7. 向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）；8. 数量积（点乘或内积）的概念，·=||||cos=xx+yy注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”。
二、教学过程
[第一部分：知识归纳]
1.知识结构
2.重要公式、定理
①.平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2.
②. 向量共线的两种判定方法：∥()
③. a = (x, y) |a|2 = x2 + y2 |a| =
④.若A = (x1, y1)，B = (x2, y2)，则=
⑤.cos =
⑥.ab a b = 0 即x1x2 + y1y2 = 0（注意与向量共线的坐标表示）
3.学习本章应注意的问题及高考展望
①.在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系，注意用向量的语言和方法来表述和解决物理问题。
②.向量是数形结合的载体，在本章的学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题.同时向量的坐标表示为我们用代数方法研究几何问题提供了可能，丰富了我们研究问题的范围和手段。
③.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质，这类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题。
④.以解答题出现的题目，一般结合其它数学知识，综合性较强，难度大，以解决几何问题为主.在学习本章时应立足于课本，掌握双基，精读课本是关键.
[第二部分：基础测试]（供选用）
教材P125—126第1、2、3题
[第三部分：应用举例]（供选用）
例1.如图△ABC中，= c，= a，= b，则下列推导
不正确的是……………（ ）
A．若a b < 0，则△ABC为钝角三角形。
B．若a b = 0，则△ABC为直角三角形。
C．若a b = bc，则△ABC为等腰三角形。
D．若c (a + b + c) = 0，则△ABC为正三角形。
解：A．a b = |a||b|cos < 0，则cos < 0，为钝角 B．显然成立
C．由题设：|a|cosC = |c|cosA，即a、c在b上的投影相等
D．∵a + b + c = 0, ∴上式必为0，∴不能说明△ABC为正三角形
例2.设非零向量a、b、c、d，满足d = (a c) b (a b)c，求证：ad
证：内积a c与a b均为实数，
∴a d = a [(a c) b (a b)c] = a [(a c) b] a [(a b)c]
= (a b)(a c) (a c)(a b) = 0∴ad
例3.已知|a| = 3，b = (1,2)，且a∥b，求a的坐标。
解：设a = (x,y) ∵|a| = 3 ∴…①
又：∵a∥b ∴1 y 2 x = 0 …②
解之： 或
即：a = () 或a = ()
例4.已知a、b都是非零向量， a + 3b与7a 5b垂直，且a 4b与7a 2b垂直，求a与b的夹角。
解：由(a + 3b)(7a 5b) = 0 7a2 + 16a b 15b2 = 0 ①
(a 4b)(7a 2b) = 0 7a2 30a b + 8b2 = 0 ②
两式相减：2ab = b2 代入①或②得：a2 = b2
设a、b的夹角为，则cos = ∴ = 60
例5.证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。
证：设= b，= a，则=+= b+a,
=a +b
∵A, G, D共线，B, G, E共线∴可设=λ，= μ,则=λ=λ(b+a)=λb+λa,= μ= μ(b+a)=μb+μa,∵ 即：b + (μb+μa) =λb+λa∴(μλ)a + (μλ+)b = 0 ∵a, b不平行，
∴ =
例6.设=(a+5b)，=2a + 8b，=3(a b)，求证：A,B,D三点共线。
证：=++=(a+5b) + ( 2a + 8b) + 3(a b)
= (1+)a + (5 + 5)b = (1+)(a + 5b)
而=(a+5b) ∴= (+ 1)又∵, 有公共点 ∴A,B,D三点共线
例7.设作用于同一点O的三个力F1、F2、F3处于平衡状态，如果| F1|=1，|F2|=2，F1与F2的夹角为.求①.F3的大小；②.∠F3OF2的大小.
解：①F1、F2、F3三个力处于平衡状态，故F1+F2+F3=0，即F3= -（F1+F2）.
∴| F3|=| F1+F2|=
②如图：以F2所在直线为x轴，合力作用点为坐标原点，建立直角坐标系.将向量F1、F3正交分解，设∠F3OM=
由受力平衡知
解之得于是∠F3OF2
作业布置：1、写出你学习本章的复习小结或心得体会以及对今后的学习有何计划.
2、完成教材P126---127中A组习题第4---10题.3、（选做）复习题2的B组试题.
[课后反思]
第十五课时第二章平面向量小结与复习课（二）
一、教学目标
1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。
2. 了解平面向量基本定理.
3. 向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。
4. 了解向量形式的三角形不等式：|||-||≤|±|≤||+||(试问：取等号的条件是什么 )和向量形式的平行四边形定理：2(||+||)=|－|+|+|.
5. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：
6. 向量的坐标概念和坐标表示法
7. 向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）
8. 数量积（点乘或内积）的概念，·=||||cos=xx+yy注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”
二、知识与方法
向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直
三、典型例题
例1.对于任意非零向量与，求证：｜｜｜-｜｜｜≤｜±｜≤｜｜+｜｜
证明：(1)两个非零向量与不共线时，+的方向与，的方向都不同，并且｜｜-｜｜＜｜±｜＜｜｜+｜｜
(3)两个非零向量与共线时，①与同向，则+的方向与.相同且｜+｜=｜｜＋｜｜.②与异向时，则+的方向与模较大的向量方向相同，设||＞||，则|+|=||-||.同理可证另一种情况也成立。
例2 已知O为△ABC内部一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，设=，=，=，
且||=2，||=1，| |=3，用与表示
解：如图建立平面直角坐标系xoy，其中, 是单位正交基底向量, 则B（0，1），C（-3，0），设A（x，y），则条件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A（1，-），也就是= －, =， =-3所以-3=3+|即=3－3
例3.下面5个命题：①|·|=||·||②(·)=·③⊥(－)，则·=· ④·=0，则|+|=|－|⑤·=0，则=或=，其中真命题是（ ）
A①②⑤ B ③④ C①③ D②④⑤
例4.设=(a+5b)，=2a + 8b，=3(a b)，求证：A,B,D三点共线。
证：=++=(a+5b) + ( 2a + 8b) + 3(a b)
= (1+)a + (5 + 5)b = (1+)(a + 5b)
而=(a+5b) ∴= (+ 1)
又∵, 有公共点 ∴A,B,D三点共线
例5.已知：A(1,2)，B(2,1)，C(3,2)，D(2,3)，①求证：A，B，C三点不共线
②以、为一组基底来表示++
解：①∵=(1,3), =(2,4) ∵1×43×20 ∴
∴A，B，C三点不共线
②++=(3,5)+(4,2)+(5,1) = (12,8)
设：++= m+ n
即：(12,8) = (m + 2n, 3m + 4n)
∴ ∴++= 3222
例6.求证：|a + b |≤|a| + |b|
证：|a + b |2 = (a + b)2 = |a|2 + |b|2 + 2a b = |a|2 + |b|2 + 2|a||b|cos
≤ |a|2 + |b|2 + 2|a||b| = ( |a| + |b| )2
即：|a + b |≤|a| + |b|
四、巩固训练
1.下面5个命题中正确的有（ ）D
①=·=·； ②·=·=；③·（+）=·+·； ④·（·）=（·）·； ⑤.
A..①②⑤ B.①③⑤ C. ②③④ D. ①③
2.下列命题中，正确命题的个数为（ A ）
①若与是非零向量 ，且与共线时，则与必与或中之一方向相同；②若为单位向量，且∥则=|| ③··=|| ④若与共线，与共线，则与共线；⑤若平面内四点A.B.C.D，必有+=+
A 1 B 2 C 3 D 4
3、已知：|a| =，|b| = 3，a与b夹角为45，求使a+b与a+b夹角为锐角的的取值范围。
解：由题设：a b = |a||b|cos = 3××= 3，(a+b)(a+b) =|a|2 +|b|2 + (2 + 1)a b = 32 + 11 + 3 ∵夹角为锐角 ∴必得32 + 11 + 3 > 0
∴ 或
4、已知四边形ABCD的顶点分别为A(2,1)，B(5,4)，C(2,7)，D(-1,4),求证：四边形ABCD为正方形。
5、a、b为非零向量，当a + tb(tR)的模取最小值时，①求t的值；②求证：b与a + tb垂直
解：① |a + tb|2 = |a|2 + t2|b|2 + 2t| ∴当t =时, |a + tb|最小
五、作业布置：完成教材P126---127中A组习题第11---15题.
（选做）复习题2的C组试题.
六、教后反思：
A B
A(起点)
B
（终点）
a
a
b
c
C O B A
D
E
O
A
B
C
F
A B C
A B
C
C A B
A B
C
a
a
a
C
C
C
B
B
B
A
A
A
a+b
b
a
b
b
a+b
a+b
O
A
B
a
a
a
b
b
b
A
B
C
D
a
c
a+b+c
b
a+b
b+c
A B
D C
ab
A
A
B
B
B’
O
ab
a
a
b
b
O
A
O
B
ab
ab
B
A
O
b
A
B
C
b
a
d
c
D
O
A B
D C
A B
D C
O
B
A
O
C
P
Q
M
N
O
A
B
B1
A1
A
O
B
B1
A1
P
B
A
O
O
N
B
MM
CM
P1
P
P2
30
60
D
M
A
BM
CM
a
b
D
A
BM
CM
a
b
D
A
EM
CM
a
b
BM
FM
GM
O
B
C
A
x
y
b
c
O
x
y
B(x2, y2)
A(x1, y1)
O
x
y
B
A
C
D1
D2
D3
s
F
= 0
= 180
O
O
O
O
O
O
A
A
A
A
A
A
B
B
B
B
B
B
C
C
O
a
A
c
b
A
OO
BO
B1O
a
b
A
OO
BO
B1O
a
b
A
OO
BO
(B1)O
a
b
C
A
B
D
a
b
A B
D C
C
1
2
A
B
O
A1
B1
C
A B
D C
A
B
C
D
E
F
H
A
O
B
A
B
C
D
E
F
H
P1
P1
P1
P2
P2
P2
P
P
P
O
P1
P
P2
O
P1
P
P2
P’
O
P1
P
P2
P
B
A
O
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v2a
A
B
C
O
A
B
C
a
ca
b
A
B
C
E
F
D
G
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