北师大版高中数学必修4第三章《三角恒等变形》全部教案
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| 名称 | 北师大版高中数学必修4第三章《三角恒等变形》全部教案 |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 397.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2010-12-04 09:19:00 | ||
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文档简介
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北师大版高中数学必修4第三章《三角恒等变形》全部教案
法门高中 姚连省
第一课时§3.1.1两角和与差的余弦（一）
（一）教学目标：1、知识目标：（1）利用向量的数量积去发现两角差的余弦公式；2）灵活正反运用两角差的余弦。2、能力目标：（1）通过求两个向量的夹角，发现两角差的余弦，培养学生融会贯通的能力。（2）培养学生注重知识的形成过程。3、情感目标：通过公式的推导，更进一步发现“向量”的强大作用。
（二）教学重点、难点
重点： （1）两角差的余弦；（2）灵活应用两角差的公式解决问题
难点： （1）两角差的余弦的推导；（2）两角差的余弦的灵活应用
（三）教学方法：本节主要是采用数形结合的思路，由代数的精密推导和几何的直观性，推导出两角差的余弦，使学生养成数形结合的习惯；另外，整体上是由特殊到一般，再由一般回归特殊应用的辩证唯物思想的方法。这样学生易接受。
（四）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 复习向量的数量积以及它的主要作用：求两个向量夹角的余弦值。正板书：例1：已知向量，，求<>的余弦解：=1=1====即：cos15o== 学生回答，老师写副板书；写出向量的数量积以及它的变形（求夹角的余弦值）师：求向量夹角的余弦值，应具备哪些条件？生：应该求出两个向量的数量积以及它们各自的模师：回答很好。我们先来求这两个向量的模以及它们的数量积。生：上黑板板书。师：下面我们来看看这道题的几何解释。由上面的代数解法可知，它们的模都是1，这说明它们都在单位圆上。（给出幻灯片或边说边画）如果，，则∠AOB=<>=15o；通过图形可知，实际上我们求的就是cos15o 以旧带新，注意创设问题的情境，为引出新课程打基础。通过这道题一来巩固向量积，二来为引出两角差的余弦做好准备。先通过代数方法来求；从几何图形上直观的反应这道题。
加深同学们从几何图形上进一步理解两个向量夹角的余弦 练习1：向量与向量夹角的余弦值解：cos<>= 师：思考题：请同学们按照上述想法来看这道题师：提醒学生从几何图形方面想问题。并找学生回答。生：在坐标系的单位圆中画出向量，由图形可知，这两个向量的夹角是60o，所以它们夹角的余弦值是 让学生深刻理解和掌握通过图形可以解决两个向量夹角的余弦利用向量积公式出发来求，碰到的困难是“求不出向量积”；逼着学生从几何角度想问题。
公式的推导以及理解 公式cos（α—β）的推导，以及公式的结构。练习2：设∠XOA=α，∠XOB=β，那么向量，夹角的余弦值是多少？解：点A，点B，那么，所以cos∠AOB=cos（α－β）=cos<>==总结：cos(α－β)=cosαcosβ+sinαsinβ. 师：如果上述图形中∠XOA=α，∠XOB=β，那么向量，夹角的余弦值是多少？生：点A，点B，那么，所以cos∠AOB=cos（α-β）=cos<>==师：非常好。我们注意到在推导过程中，角α，β没有任何限制。所以cos（α-β）= 由特殊到一般。推导出两角差的余弦。
公式的应用 例2：已知cosα=（），求cos（）解：因为cosα=，且所以sin==因此cos（）=coscosα+sinsinα=练习2：P135练习B 1（1）3（2）4（2） 师：请看这道题生：由α的余弦求出α的正弦，而是特殊值，由两角差的余弦公式可以求出 强化公式的应用
归纳小结 本节主要是从向量的数量积以及利用向量在单位圆中的图形两种思路探讨了两角差的余弦公式的推导。 依赖板书，与学生共同总结本节课的内容。 使学生对本课的知识点有一个完成得清晰的认识，体现了由特殊到一般，以及数形结合的教育思想。
布置作业 P131：习题3-1A3；2（5） 课后思考：两角和的余弦公式 巩固本节课所学的知识。注重公式的形成过程。
五、教后反思：
第二课时§３.1。两角和与差的余弦(二)
（一）教学目标：1、知识目标：掌握公式结构特点，会用公式求值．2、能力目标：培养学生的观察，分析，类比，联想能力，间接推理能力，自学能力．3、情感能力：发展学生正向，逆向思维能力，构建良好的数学思维品质．
（二）教学重点，难点
重点是公式的结构特点，会用公式求值．
难点是公式的逆向和变形运用．
（三）教学方法：教师按照课本的知识结构先设计若干问题，课前印发给学生，引导他们阅读课本，课堂上在教师三导（引导，指导，辅导）下，以学生为主体，对所设问题进行读，议，练，讲，其间教师通过提问，参与讨论，巡视学生练习及板演，观察学生情绪等渠道，及时搜集反馈信息，及时作出评价，再发指令，使教学过程处于动态平衡中．
（四）教学过程
教 学 环 节 教 学 内 容 师 生 互 动 设计意图
复习引入 复习公式 先让学生默写两角和与差的余弦公式，然后指出这两个公式是讨论复角与单角的余弦函数间的关系，且此关系对任意角均成立，并且要注意 是错误的． 以旧引新，注意创设情境，通过设疑，引导学生开展积极的思维活动．
公 式 的 运 用 例1、已知，求． 例1 学生练习，板演，教师讲评注意几个问题：特殊角不需要查表，直接求出三角函数值．再求时，要注意角的取值范围，三角函数值的正负．代入时，从左至右依次代入．注意可以象上面这样逆用． 例1是使学生掌握公式的正向应用，并进一步熟悉公式的特征，为后面的灵活运用奠定基础．
变式１：已知且均为锐角，求 变式１教师讲评注意几个问题：将看作一个整体，角由得到．应用公式由得到，再进一步参考．确定的值． 变式１是一个典型例题，在变式中注意配凑公式，对它的解法深入讨论，有益于启发学生思维，提高学生的解题能力，且在解题过程中提炼思想方法，有利于培养学生良好的思维品质．
公式的运用 例2 利用证明： 例2 学生练习，教师讲评注意两个问题：方法１可以按和差角的余弦公式直接展开，将看作一个整体角．方法２也可以 ，再按诱导公式进行运算． 例2要求学生用两种方法来做，培养学生良好的思维品质．
公式的运用 练习１，已知求． 练习１使用平方法将两个等式平方，然后相加，利用只剩下问题得解．思维过程可以逆向，（考虑由入手，寻找想到平方．） 通过这个练习，培养学生良好的发现问题解决问题的能力．
归纳小结 从知识，方法两个方面来对本节课的内容进行归纳总结． 对公式做到一掌握，二会想，三会用． 使学生对所学内容有一个清晰完整的认识
布置作业 教材练习３．１B 2 ,3教材p131页 １ 思考题：1、已知cos()=求(sin+sin)2+(cos+cos)2的值。2、sinsin=，coscos=， (0, ),(0, ),求cos()的值 巩固本课所学知识，培养学生自觉学习的习惯，
五、教学反思：
第三课时3.1.2 两角和与差的正弦
一、教学目标：⒈知识目标：掌握两角和与差公式的推导过程；
⒉能力目标：培养学生利用公式求值、化简的分析、转化、推理能力；
⒊情感目标：发展学生的正、逆向思维能力，构建良好的思维品质。
二、教学重点、难点
重点：两角和与差公式的应用和旋转变换公式；
难点：两角和与差公式变aSina＋bCosa为一个角的三角函数的形式。
三、教学方法：温故、推新，循序渐进，以学生为主体逐步掌握本节知识要点
四、教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 复习：⑴Cos(αβ)=？⑵Sin(π/2－α)= ⑶任意角三角函数的定义：若p(x，y) ︱op︱=r则Sinα= Cosα= 学生回答 为证明Sin(αβ)作好准备。
公式推导及理解 例：求证：Sin(α+β)=SinαCosβ+CosαSinβ证明：（略）求证：Sin(α－β)=SinαCosβ－CosαSinβ 分析：等式两边的特征？如何由左→右把α+β的正弦化成α、β的正、余弦？联系所学知识，已学过的哪一个公式可把α+β的三角函数化成α、β的函数形式？（学生回答）故需要把（α+β）的正弦化成与α+β的相关的余弦形式即可。问：Sin(α+β)应化成哪个角的余弦形式？问：Cos[－(α+β)]又如何展开才可得到α、β的正、余弦形式？学生证明 注重分析，使学生理解知识间的相互转化。巩固Sin(α+β)的推导过程。
公式的深化 （标题）两角和与差的正弦Sin(α+β)=SinαCosβ+CosαSinβSin(α－β)=SinαCosβ－CosαSinβ公式的特征及与两角和与差的余弦的区别公式的作用正用：求非特殊角的正弦值。如：求Sin75°=？ Sin15°=？逆用：把具有角α、β的正余弦交叉积的形式化简求值。如Sin22°Cos38°＋Cos22°Sin38°= 练习：P138/2⑴—⑸，3 巩固公式
公式的应用 例1：已知向量=(3，4)逆时针旋转45°到的位置，求点p’(x’，y’)的坐标。解：（略）例2：已知点P（x，y）与原点的距离保持不变，逆时针旋转θ角到点p’(x’，y’)求证：x’=xCosθ－ySinθy’=xSinθ＋yCosθ证明：（略）注：这个结论叫旋转变换公式练习：P139/2例3：求函数y=aSinx+bCosx的最大值和最小值，其中a，b是不同时为零的实数。解：（略）注：凡形如的相关问题，一般提出去处理。练习：(1)求y=Sinx＋Cosx的最值和周期(2)p138例5 问题：求点p’(x’，y’)的坐标必须知怎样的条件？由所给点P的坐标可知哪些结论？师生共同完成解答过程若把向量=(3，4)改为=(x，y)，结论变吗？再把45°改为θ，对结论有影响吗？学生证明。问：公式的记忆规律？问题：欲求函数y=aSinx+bCosx的最值和周期，必须化成什么形式？已知表达式中的Sinx、Cosx系数变成同一个角θ的余弦、正弦方可。设P(a，b)，则设以op为终边的一个角为θ，则Cosθ、Sinθ即可用a、b表示此时需对y=aSinx+bCosx做怎样的变形？问题：y=aSinx＋bCosβ还可提吗？学生练习学生看书 培养学生的分析能力和运算推理能力
归纳小结作业 本节所学知识：Sin(α±β)公式的推导及Sin(α±β)的应用。P132/A 4，B 1，3 师生一起总结 培养学生的归纳整理的学习习惯
五、教学反思：
第四课时 3.1两角和与差的正弦、余弦函数
一.教学目标
1.知识与技能：（1）能够推导两角差的余弦公式；（2）能够利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式；（3）能够运用两角和的正、余弦公式进行化简、求值、证明；（4）揭示知识背景，引发学生学习兴趣；（5）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.
2.过程与方法：通过创设情境：通过向量的手段证明两角差的余弦公式，让学生进一步体会向量作为一种有效手段的同时掌握两角差的余弦函数，然后通过诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式；讲解例题，总结方法，巩固练习.
3.情感态度价值观：通过本节的学习，使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识；理解掌握两角和与差的三角的各种变形，提高逆用思维的能力.
二.教学重、难点 ：重点: 公式的应用.
难点: 两角差的余弦公式的推导.
三.学法与教学用具
学法：(1)自主性学习法：通过自学掌握两角差的余弦公式.(2)探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程.(3)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 教学用具:电脑、投影机.
四.教学过程
（一）、复习：1、写出两角和与差的余弦公式，说说它是如何推导的。
2、写出两角和与差的正弦公式，说说它是如何推导的。
3、说说公式结构的特征。
（二）、例题解析：
例1、利用和（差）角公式计算下列各式的值
（1）、；（2）、；
解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.
（1）、；
（2）、；
例2、已知是第四象限角，求的值.
解：因为是第四象限角，得，
，于是有
例3、已知，是第三象限角，求的值.
解：因为，由此得
又因为是第三象限角，所以
所以
点评：注意角、的象限，也就是符号问题.
例4、化简
解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？
思考：是怎么得到的？，我们是构造一个叫使它的正、余弦分别等于和的.
（三）、小结：本节我们学习了两角和与差正弦、余弦公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.
（四）作业： 习题3.1 A组第1,2,3题．
五、课后反思：
第五课时3.1.3两角和与差的21世纪教育网
一、教学目标
1、知识与技能：（1）能够利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式；（2）能够运用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明；（3）揭示知识背景，引发学生学习兴趣；（4）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.
2、过程与方法：借助两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式，让学生进一步体会各个公式之间的联系及结构特点；讲解例题，总结方法，巩固练习.
3、情感态度价值观：通过本节的学习，使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识；理解掌握两角和与差的三角的各种变形，提高逆用思维的能力.
二、教学重、难点 ：重点: 公式的应用. 难点: 公式的推导.
三、学法与教学用具
学法：(1)自主性学习+探究式学习法：通过通过类比分析、探索、掌握两角和与差的正切公式的推导过程。(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距。
教学用具:电脑、投影机
四、教学过程
【探究新知】
1．两角和与差的正切公式 T+ ,T
问：在两角和与差的正、余弦公式的基础上，你能用tan，tan表示tan(+)和tan()吗？（让学生回答）
[展示投影] ∵cos (+)0
tan(+)= 当coscos0时
分子分母同时除以coscos得：
以代得：
2．运用此公式应注意些什么？（让学生回答）
[展示投影] 注意：1必须在定义域范围内使用上述公式。即：tan，tan，tan(±)只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能（也只需）用诱导公式来解；2注意公式的结构，尤其是符号。）
[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）
例1.求tan15，tan75及cot15的值：
解：1 tan15= tan(4530)=
2 tan75= tan(45+30)=
3 cot15= cot(4530)= （为什么？）
例2.（见课本P134例1）
例3.已知tan=，tan=2 求cot()，并求+的值，其中0<<90, 90<<180.
解：cot()=∵ tan(+)=
又∵0<<90, 90<<180 ∴90<+<270 ∴+=135
例4. 求下列各式的值：1 2tan17+tan28+tan17tan28
解：1原式=
2 ∵
∴tan17+tan28=tan(17+28)(1tan17tan28)=1 tan17tan28
∴原式=1 tan17tan28+ tan17tan28=1
【展示投影】练习 教材P135第1、2、3、4题.
【课堂小结】：1．必须在定义域范围内使用上述公式。即：tan，tan，tan(±)只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能（也只需）用诱导公式来解；2．注意公式的结构，尤其是符号。
五、评价设计：作业：习题3.1 A组第4、5、6、7、8题．
六、课后反思：
第六课时3.2二倍角的三角函数
一.教学目标：
1.知识与技能
（1）能够由和角公式而导出倍角公式；
（2）能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力；
（3）能推导和理解半角公式；（
4）揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识. 并培养学生综合分析能力.
2.过程与方法
让学生自己由和角公式而导出倍角公式和半角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.
3.情感态度价值观
通过本节的学习，使同学们对三角函数各个公式之间有一个全新的认识；理解掌握三角函数各个公式的各种变形，增强学生灵活运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能力.提高逆用思维的能力.
二.教学重、难点
重点:倍角公式的应用.
难点:公式的推导.
三.学法与教法
教法与学法：(1)自主+探究性学习：让学生自己由和角公式导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
四.教学过程
（一）探究新知
1、复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
2、提出问题：公式中如果，公式会变得如何？
3、让学生板演得下述二倍角公式：
[展示投影]这组公式有何特点？应注意些什么？
注意：1．每个公式的特点，嘱记：尤其是“倍角”的意义是相对的，如：是的倍角.
2．熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次）
3．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：
这两个形式今后常用.
（二）[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）
例1.（公式巩固性练习）求值：
①．sin2230’cos2230’=
②．
③．
④．
例2.化简
①．
②．
③．
④．
例3、已知，求sin2，cos2，tan2的值。
解：∵ ∴
∴sin2 = 2sincos =
cos2 =
tan2 =
[展示投影]思考：你能否有办法用sin、cos和tan表示多倍角的正弦、余弦和21世纪教育网？你的思路、方法和步骤是什么？试用sin、cos和tan分别表示sin3，cos3，tan3.
[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）
例4. cos20cos40cos80 =
例5.求函数的值域.
解： ————降次
（三）、[展示投影]学生练习：
教材P140练习第1、2、3题
（四）、学习小结
1．公式的特点要嘱记：尤其是“倍角”的意义是相对的，如：是的倍角.
2．熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次）.
3．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：
这两个形式今后常用.
4.半角公式左边是平方形式，只要知道角终边所在象限，就可以开平方；公式的“本质”是用角的余弦表示角的正弦、余弦、正切.
5．注意公式的结构，尤其是符号.
（五）、作业布置：习题3.2 A组第1、2、3、4题．
五、教学反思：
第七课时3.3 半角的三角函数
一.教学目标：
（1）能推导和理解半角公式；
（2）能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力。
二.教学重、难点
重点:半角公式的应用.
难点:公式的推导.
三.学法与教法
教法与学法：(1)自主+探究性学习：让学生自己由和角公式导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
四.教学过程
（一）、探究新知
1、复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
2、提出问题：公式中如果，公式会变得如何？
3、让学生板演得下述二倍角公式：
[展示投影]这组公式有何特点？应注意些什么？
注意：1．每个公式的特点，嘱记：尤其是“倍角”的意义是相对的，如：是的倍角.
2．熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次）
3．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：
这两个形式今后常用.
（二）、[展示投影]思考（学生思考，学生做，教师适当提示）
你能够证明：
证：1在 中，以代2，代 即得：
∴
2在 中，以代2，代 即得：
∴
3以上结果相除得：
[展示投影]这组公式有何特点？应注意些什么？
注意：1左边是平方形式，只要知道角终边所在象限，就可以开平方。
2公式的“本质”是用角的余弦表示角的正弦、余弦、正切
3上述公式称之谓半角公式（课标规定这套公式不必记忆）
4还有一个有用的公式：（课后自己证）
（三）、[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）
例1. 已知cos，求的值.
解：由得
例2. 求cos的值.
解：cos=
例3、已知sin，，求的值.
解析：∵，∴且
由半角公式可得
（四）、[展示投影]练习
教材P145练习第1、2、3题.
（五）小结：（1）能推导和理解半角公式；（2）能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力。
（六）、作业布置：习题3.3 A组第1、2、3、4题．
五、教学反思：
第八课时3.4三角函数的和差化积与积化和差
一.教学目标：
1.知识与技能
（1）能够推导“和差化积”及“积化和差”公式，并对此有所了解.
（2）能较熟练地运用公式进行化简、求值、探索和证明一些恒等关系，进一步体会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会如何综合利用这些公式解决问题.（3）揭示知识背景，培养学生的应用意识与建模意识.
2.过程与方法
让学生自己导出“和差化积”及“积化和差”公式，领会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；同时让学生初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.
3.情感态度价值观
通过本节的学习，使同学们对三角恒等变形公式的意义和作用有一个初步的认识；理解并掌握三角函数各个公式的灵活变形，体会公式所蕴涵的和谐美，增强学生灵活运用数学知识解决实际问题的能力.
二.教学重、难点
重点:三角恒等变形.
难点: “和差化积”及“积化和差”公式的推导.
三.学法与教法
教法与学法：(1)自主+探究性学习：让学生自己根据已有的知识导出“和差化积”及“积化和差”公式，领会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
四.教学过程
（一）创设情景
请回忆两角和的正弦公式、两角差的正弦公式、两角和的余弦公式、两角差的余弦公式；问你能否用sin与sin表示sin·cos和cos ·sin？类似地能否用cos与cos来表示cos·cos和sin·sin？
【探究新知】
[展示投影]（在学生已完成的基础上进行评价）
积化和差公式的推导
sin( + ) + sin( ) = 2sincos sincos =[sin( + ) + sin( )]
sin( + ) sin( ) = 2cossin cossin =[sin( + ) sin( )]
cos( + ) + cos( ) = 2coscos coscos =[cos( + ) + cos( )]
cos( + ) cos( ) = 2sinsin sinsin = [cos( + ) cos( )]
[展示投影]这组公式有何特点？应注意些什么？
这套公式称为三角函数积化和差公式，熟悉结构，不要求记忆，它的优点在于将“积式”化为“和差”，有利于简化计算。（在告知公式前提下）
（二）、[展示投影]练习
1.求的值
2.求的值
3.在积化和差中若令 + = ， = φ，则， 代入可得什么的式子，做做看：（教师巡视，先观察学生做的情况，再决定是否示范）
∴
引导学生观察这套公式的特点：这套公式称为和差化积公式，其特点是同名的正（余）弦才能使用，它与积化和差公式相辅相成，配合使用.
（三）、[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）
例1.教材P148例2.
例2.教材P149例3.
[展示投影]练习.
教材P149第1、2题.
[展示投影]例题讲评（学生边做教师边提示）
例3. 已知cos cos = ，sin sin = ，求tan( + )的值
解：∵cos cos = ，∴ ①
sin sin =，∴ ②
∵ ∴ ∴
∴
例4.教材P150例6. （学生做，教师巡视，鼓励学生用多种方法求解）
[展示投影]练习
1.化简①；②；③
2. 教材P151练习第1、2、3、4题.
[展示投影]例题讲评（学生边思考教师边提示）
例5.要使半径为R的半圆形木料截成长方形（如图），应怎样截取才能使长方形的面积最大？
解：设∠AOB=，在△AOB中
∴长方形的面积S=
∴当时，长方形的面积S为
[学生自主学习阶段]
学生阅读教材P154~158相关内容，学生提问，学生回答，教师控制课堂节奏。
学生自主学习检测：教材P158~159的相应习题。
（四）、学习小结：尝试由学生小结，学生补充的形式.
（五）、作业布置：习题3.4 A组第1、2、3、4、5、6、7题．
2. 作业：习题3.5 A组第4题（选做）．
五、课后反思：
第九课时三角函数的简单应用
一、教学目标:1、知识目标：a通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法；b体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；c体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．2、能力目标：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力．3、情感目标：让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，从而激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神；培养学生勇于探索、勤于思考的精神。
二、教学重难点
教学重点：根据已知图象求解析式；将实际问题抽象为三角函数模型。
教学难点：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题．
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、例题探析（学生边做教师边提示）
例1、一缉私艇发现在方位角45°方向，距离12海里的海面上有一走私船正以10海里/小时的速度沿方位角为105°方向逃窜，若缉私艇的速度为14海里/小时，缉私艇沿方位角45°+α的方向追去，若要在最短的时间内追上该走私船，求追及所需时间和α角的正弦.（注：方位角是指正北方向按顺时针方向旋转形成的角）.
解：设缉私艇与走私船原来的位置分别为A、B，在C处两船相遇，由条件知∠ABC=120°，AB=12（海里），
设t小时后追及，，由正弦定理得
由正弦定理得；
再由余弦定理得
但当，不合，
.
例2、如图，人眼在M处看一幅画AB，AB=6米，OB=2米，问人应在何处，使视角∠AMB最大？
解：设∠AMO=，∠BMO=，∠AMB==- ,OM=x (x>0)
tan=,tan=,tan=tan(-)==
当且仅当x=，即x=4时，tan最大。因为21世纪教育网在（0, ）上是增函数，所以当人距O点4米，∠AMB最大。
例3、水渠横断面为等腰梯形，渠深为h，梯形面积为S. 为了使渠道的渗水量达到最小，
并降低成本，应尽量减少水与水渠壁的接触面. 问此时水渠壁的倾斜角α应是多少？
A B
D C
例3、解：设，，
，
设记
，等号成立时，；
（注）也可以对u求导：得，
单调递减，处左负右正，
时，u最小，从而y最小.
例4. 已知cos cos = ，sin sin = ，求tan( + )的值
解：∵cos cos = ，∴ ①
sin sin =，∴ ②
∵ ∴ ∴
∴
（二）课堂练习
1、下表是某城市1973-2002年月平均气温（华氏）
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6 73.1 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7
若用表示月份，表示平均气温，则下面四个函数模型中最合适的是（ ）答案：【C】
A、 B、
C、 D、
2、如图3-5-1为一半径为3的水轮，水轮圆心O距离
水面，已知水轮自点B开始1旋转4圈，水轮上
的点P到水面距离与时间满足函数关系
，则有（ ） 答案：【 A】
A、， B、，
C、， D、，
3、一条河宽1 km，相距4 km（直线距离）的两座城市A与B分别位于河的两岸（如下图），现需铺设一条电缆线连通A与B，已知底下电缆的修建费用为2万元／km，水下电缆的修建费用为4万元／km，假定河的两岸是平行的直线，问应如何铺设电缆可以使总的修建费用最少？
【答案：见后附】
（三）、课堂小结：1.三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,我们可以通过建立三角函数模型来解决实际问题,如天气预报,地震预测,等等. 2.建立三角函数模型的一般步聚:
（四）、作业布置：1、如图所示，足球比赛地宽为a m，球门宽b m在足球比赛中，甲方边锋从乙方球门附近过人沿直线（贴近球场边线）向前推进．试问：该边锋在距乙方底线多远时起脚射门的可命中角最大（图中AB表示乙方所守球门，AB所在直线为乙方边线，表示甲方边锋前进的直线）？
2、技能培养
物体沿斜坡由静止下滑，物体下滑到坡底的水平距离为定值S，若不计摩擦阻力，求当斜坡倾斜角为何值时，物体到达坡底的时间最短？
如图甲所示，人（眼）在点C处看一幅画AB，AB＝6 km，OB =2 m，问人应站在何处，使视角∠ACB最大？
课外练习：3、拓展空间
（1）、倾角为45°的山坡上某处有一风暴点，该风暴点到达山脚有两条路，一条是笔直到达山脚的销路，另一条是与小路夹角成45°的直线公路，若某辆汽车的最大爬颇度数是35°，问这辆汽车能否到达该风暴点？
（2）、平面上有两个向量，今有动点P向（－１，2）开始沿着与向量相同的方向做匀速直线运动，速度为｜｜，另一动点Q从点（－2，－1）出发，沿与向量＋相同的方向做匀速直线运动，速度为｜ ｜，设P，Q在时刻t = 0 s 时分别在处，求当时，t为多少？
答案:
五、教学反思：
第十课时三角恒等变换复习小结
一、教学目标：
1、 知识目标：初步了解三角恒等变换公式的框图；熟悉公式之间的内在联系，并能用主要公式求三角函数值及三角函数的性质；
2、 能力目标：培养学生观察、分析、综合等能力；通过构造角，转化条件解决较为简单的三角函数综合题；
3、 情感目标：通过复习，提高学生对三角变换的应用能力；从而提高学生应用数学知识解决问题的意识；
二、教学重点、难点：
强化公式的记忆，并利用公式解决三角函数综合题；
三、教学方法：
利用较为常见的变换加强对公式的记忆，引导学生并通过学生的交流来达到用三角恒等变换解决三角函数问题的基本目标；从而对全章有个整体认识。
四、教学过程：
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
知识结构的复习 阅读课本P153知识结构框图，并根据箭头方向回忆并讨论公式推导的简单方法； 学生：分小组简单讨论各公式的推导过程。 熟悉公式之间的关系，加深公式的记忆。
强化练习 = ； ； ； 学生回答 为以下例题做准备，并强化公式的简单应用。
例题选讲 例1：若，。且都为锐角。求：的值。 学生：板书，观察学生板书中的问题。教师：纠正学生板书中的问题。 通过例1，学会构造角的基本方法，并注意求三角函数值时要特别关注角的范围；
例题选讲 例2：已知：且求：的值。 学生：提出解题方法。教师：分析思路的全过程，演示解题全过程。 提高学生观察问题、分析问题的能力，以及综合运用三角恒等变换的变形能力
例题选讲 例3：已知函数：求：的最小正周期及单调递增区间。 教师：分析思路，引导学生回忆形如 的形式的三角函数的性质，并体会三角恒等变换在解决综合问题中的应用价值。 通过例题回顾正弦函数性质，并进一步理解三角恒等变换在解决三角函数问题时的作用。（即：化成形如 的形式）
例题选讲（备选） 例4：已知，，定义函数求：（1）函数的最小正周期；（2）函数取得最大值时所有值的集合；（3）若，求函数的值域。 学生：较好学生说出解题思路，写出较为规范的解题过程。教师：纠正问题，重点讲解第三小问。 通过例4，提高学生综合运用知识的能力，体会三角恒等变换的应用价值
小结与回顾 让学生总结出：1、三角恒等变换的地位和作用；2、在解决问题时的常见方法 培养学生总结问题的能力，并明确本节课的重点。
作业 课本P154 巩固与提高11、12、13 让学生达到学习要求，检验学习效果。
五、教后反思：
第十一课时、第十二课时第三章 三角恒等变形复习课（2课时）
[第一部分：基础知识]
基本公式 常见变形
一、两角和与差公式及规律 常见变形
二、二倍角公式及规律 常见变形
( ※ )三、积化和差与和差化积公式
四、学习本章应注意的问题
1、两角差的余弦公式是本章中其余公式的基础，应记准该公式的形式.
2、倍角公式有升、降幂的功能，如果升幂，则角减半，如果降幂，则角加倍，根据条件灵活选用.
3、公式的“三用”（顺用、逆用、变用）是熟练进行三角变形的前提.
[第二部分：基本技能与基本数学思想方法]
1、 整体原则-------从角度关系、函数名称差异、式子结构特征分析入手，寻求三角变形的思维指向；
2、 角度配凑方法 如
等;
3、 方程思想；
4、 消参数思想；
5、 “1”的代换；
6、 关于间的互相转化；
7、 关于的齐次分式、二次齐次式与间的互相转化；
8、 配凑辅助角公式:
一般地，其中
9、关于已知条件是的求值、化简、证明的变形及其思维方法。其中是任意角；等等。
[第三部分：应用举例]
［例１］已知
（1） 求
（2） 若求的值．
［分析］求三角函数式的值，一般先化简，再代值计算．
［略解］当时，
当时，
故当n为偶数时，
当n为奇数时，
［例２］已知求的值．
［分析］已知三角函数式的值，求其它三角函数式的值的基本思路：考虑已知式与待求式之间的相互转化．
［略解］原式＝
［例３］已知
（1） 求的值；
（2） 当时，求的值．
［分析］从角度关系分析入手，寻求变形的思维方向．
［略解］（１）
［方法１］
从而，
［方法２］设
（２）由已知可得
[例4]已知求的值.
[分析]根据问题及已知条件可先“化切为弦”。由，只需求出和，问题即可迎刃而解.
[略解]
[点评] 对公式整体把握，可“居高临下”的审视问题。
[例5]已知求的值.
[分析]要想求出的值，即要求出的值，而要出现和，只需对条件式两边平方相加即可。
[ 略解 ] 将两条件式分别平方，得
将上面两式相加，得
[ 例6]已知方程有两根，求的最小值.
[分析] 可借助于一元二次方程的根与系数关系求出关于m的解析式。
[ 略解]
又
解得
故 的最小值为
[例7]已知求的值.
[分析]注意到 可通过与的正、余弦值来求出的值。
[略解] 由已知可得
[例8] 的值等于 （ ）
A． B． C． D．
[分析]从角度关系分析入手，尝试配凑已知角、待求角、特殊角之间的和、差、倍、半表示式。
[略解]
故选B.
[例9]求函数的最小值。
[分析]注意到，故可把用表示。
[略解]
其中 故函数的最小值为。
[例10] 已知满足方程其中为常数，且。
求证：当时，
[分析]从角度关系分析入手，先将、转化为。
[略解]由两边平方，并化简得
①
依题意，是方程①的两个实根。
==
[例11]若且求证：.
[分析] 比较条件式与已知式，可以发现需要消去.
[证明]得
。┅┅（3）
得
。┅┅（4）
得 .
作业设计：1、写出你学习本章的复习小结或心得体会以及对今后的学习有何计划.2、完成教材P162~163中A组习题.3、（选做）复习题3的B、C组试题.
课后反思：
tan(+)=
tan()=
A
B
现实问题
现实模型
改造
三角函数模型
抽象 概括
解析式
图 形
三角函数模型的解
数学 方法
还原 说明
现实模型的解
是否符合实际 修改
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
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北师大版高中数学必修4第三章《三角恒等变形》全部教案
法门高中 姚连省
第一课时§3.1.1两角和与差的余弦（一）
（一）教学目标：1、知识目标：（1）利用向量的数量积去发现两角差的余弦公式；2）灵活正反运用两角差的余弦。2、能力目标：（1）通过求两个向量的夹角，发现两角差的余弦，培养学生融会贯通的能力。（2）培养学生注重知识的形成过程。3、情感目标：通过公式的推导，更进一步发现“向量”的强大作用。
（二）教学重点、难点
重点： （1）两角差的余弦；（2）灵活应用两角差的公式解决问题
难点： （1）两角差的余弦的推导；（2）两角差的余弦的灵活应用
（三）教学方法：本节主要是采用数形结合的思路，由代数的精密推导和几何的直观性，推导出两角差的余弦，使学生养成数形结合的习惯；另外，整体上是由特殊到一般，再由一般回归特殊应用的辩证唯物思想的方法。这样学生易接受。
（四）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 复习向量的数量积以及它的主要作用：求两个向量夹角的余弦值。正板书：例1：已知向量，，求<>的余弦解：=1=1====即：cos15o== 学生回答，老师写副板书；写出向量的数量积以及它的变形（求夹角的余弦值）师：求向量夹角的余弦值，应具备哪些条件？生：应该求出两个向量的数量积以及它们各自的模师：回答很好。我们先来求这两个向量的模以及它们的数量积。生：上黑板板书。师：下面我们来看看这道题的几何解释。由上面的代数解法可知，它们的模都是1，这说明它们都在单位圆上。（给出幻灯片或边说边画）如果，，则∠AOB=<>=15o；通过图形可知，实际上我们求的就是cos15o 以旧带新，注意创设问题的情境，为引出新课程打基础。通过这道题一来巩固向量积，二来为引出两角差的余弦做好准备。先通过代数方法来求；从几何图形上直观的反应这道题。
加深同学们从几何图形上进一步理解两个向量夹角的余弦 练习1：向量与向量夹角的余弦值解：cos<>= 师：思考题：请同学们按照上述想法来看这道题师：提醒学生从几何图形方面想问题。并找学生回答。生：在坐标系的单位圆中画出向量，由图形可知，这两个向量的夹角是60o，所以它们夹角的余弦值是 让学生深刻理解和掌握通过图形可以解决两个向量夹角的余弦利用向量积公式出发来求，碰到的困难是“求不出向量积”；逼着学生从几何角度想问题。
公式的推导以及理解 公式cos（α—β）的推导，以及公式的结构。练习2：设∠XOA=α，∠XOB=β，那么向量，夹角的余弦值是多少？解：点A，点B，那么，所以cos∠AOB=cos（α－β）=cos<>==总结：cos(α－β)=cosαcosβ+sinαsinβ. 师：如果上述图形中∠XOA=α，∠XOB=β，那么向量，夹角的余弦值是多少？生：点A，点B，那么，所以cos∠AOB=cos（α-β）=cos<>==师：非常好。我们注意到在推导过程中，角α，β没有任何限制。所以cos（α-β）= 由特殊到一般。推导出两角差的余弦。
公式的应用 例2：已知cosα=（），求cos（）解：因为cosα=，且所以sin==因此cos（）=coscosα+sinsinα=练习2：P135练习B 1（1）3（2）4（2） 师：请看这道题生：由α的余弦求出α的正弦，而是特殊值，由两角差的余弦公式可以求出 强化公式的应用
归纳小结 本节主要是从向量的数量积以及利用向量在单位圆中的图形两种思路探讨了两角差的余弦公式的推导。 依赖板书，与学生共同总结本节课的内容。 使学生对本课的知识点有一个完成得清晰的认识，体现了由特殊到一般，以及数形结合的教育思想。
布置作业 P131：习题3-1A3；2（5） 课后思考：两角和的余弦公式 巩固本节课所学的知识。注重公式的形成过程。
五、教后反思：
第二课时§３.1。两角和与差的余弦(二)
（一）教学目标：1、知识目标：掌握公式结构特点，会用公式求值．2、能力目标：培养学生的观察，分析，类比，联想能力，间接推理能力，自学能力．3、情感能力：发展学生正向，逆向思维能力，构建良好的数学思维品质．
（二）教学重点，难点
重点是公式的结构特点，会用公式求值．
难点是公式的逆向和变形运用．
（三）教学方法：教师按照课本的知识结构先设计若干问题，课前印发给学生，引导他们阅读课本，课堂上在教师三导（引导，指导，辅导）下，以学生为主体，对所设问题进行读，议，练，讲，其间教师通过提问，参与讨论，巡视学生练习及板演，观察学生情绪等渠道，及时搜集反馈信息，及时作出评价，再发指令，使教学过程处于动态平衡中．
（四）教学过程
教 学 环 节 教 学 内 容 师 生 互 动 设计意图
复习引入 复习公式 先让学生默写两角和与差的余弦公式，然后指出这两个公式是讨论复角与单角的余弦函数间的关系，且此关系对任意角均成立，并且要注意 是错误的． 以旧引新，注意创设情境，通过设疑，引导学生开展积极的思维活动．
公 式 的 运 用 例1、已知，求． 例1 学生练习，板演，教师讲评注意几个问题：特殊角不需要查表，直接求出三角函数值．再求时，要注意角的取值范围，三角函数值的正负．代入时，从左至右依次代入．注意可以象上面这样逆用． 例1是使学生掌握公式的正向应用，并进一步熟悉公式的特征，为后面的灵活运用奠定基础．
变式１：已知且均为锐角，求 变式１教师讲评注意几个问题：将看作一个整体，角由得到．应用公式由得到，再进一步参考．确定的值． 变式１是一个典型例题，在变式中注意配凑公式，对它的解法深入讨论，有益于启发学生思维，提高学生的解题能力，且在解题过程中提炼思想方法，有利于培养学生良好的思维品质．
公式的运用 例2 利用证明： 例2 学生练习，教师讲评注意两个问题：方法１可以按和差角的余弦公式直接展开，将看作一个整体角．方法２也可以 ，再按诱导公式进行运算． 例2要求学生用两种方法来做，培养学生良好的思维品质．
公式的运用 练习１，已知求． 练习１使用平方法将两个等式平方，然后相加，利用只剩下问题得解．思维过程可以逆向，（考虑由入手，寻找想到平方．） 通过这个练习，培养学生良好的发现问题解决问题的能力．
归纳小结 从知识，方法两个方面来对本节课的内容进行归纳总结． 对公式做到一掌握，二会想，三会用． 使学生对所学内容有一个清晰完整的认识
布置作业 教材练习３．１B 2 ,3教材p131页 １ 思考题：1、已知cos()=求(sin+sin)2+(cos+cos)2的值。2、sinsin=，coscos=， (0, ),(0, ),求cos()的值 巩固本课所学知识，培养学生自觉学习的习惯，
五、教学反思：
第三课时3.1.2 两角和与差的正弦
一、教学目标：⒈知识目标：掌握两角和与差公式的推导过程；
⒉能力目标：培养学生利用公式求值、化简的分析、转化、推理能力；
⒊情感目标：发展学生的正、逆向思维能力，构建良好的思维品质。
二、教学重点、难点
重点：两角和与差公式的应用和旋转变换公式；
难点：两角和与差公式变aSina＋bCosa为一个角的三角函数的形式。
三、教学方法：温故、推新，循序渐进，以学生为主体逐步掌握本节知识要点
四、教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 复习：⑴Cos(αβ)=？⑵Sin(π/2－α)= ⑶任意角三角函数的定义：若p(x，y) ︱op︱=r则Sinα= Cosα= 学生回答 为证明Sin(αβ)作好准备。
公式推导及理解 例：求证：Sin(α+β)=SinαCosβ+CosαSinβ证明：（略）求证：Sin(α－β)=SinαCosβ－CosαSinβ 分析：等式两边的特征？如何由左→右把α+β的正弦化成α、β的正、余弦？联系所学知识，已学过的哪一个公式可把α+β的三角函数化成α、β的函数形式？（学生回答）故需要把（α+β）的正弦化成与α+β的相关的余弦形式即可。问：Sin(α+β)应化成哪个角的余弦形式？问：Cos[－(α+β)]又如何展开才可得到α、β的正、余弦形式？学生证明 注重分析，使学生理解知识间的相互转化。巩固Sin(α+β)的推导过程。
公式的深化 （标题）两角和与差的正弦Sin(α+β)=SinαCosβ+CosαSinβSin(α－β)=SinαCosβ－CosαSinβ公式的特征及与两角和与差的余弦的区别公式的作用正用：求非特殊角的正弦值。如：求Sin75°=？ Sin15°=？逆用：把具有角α、β的正余弦交叉积的形式化简求值。如Sin22°Cos38°＋Cos22°Sin38°= 练习：P138/2⑴—⑸，3 巩固公式
公式的应用 例1：已知向量=(3，4)逆时针旋转45°到的位置，求点p’(x’，y’)的坐标。解：（略）例2：已知点P（x，y）与原点的距离保持不变，逆时针旋转θ角到点p’(x’，y’)求证：x’=xCosθ－ySinθy’=xSinθ＋yCosθ证明：（略）注：这个结论叫旋转变换公式练习：P139/2例3：求函数y=aSinx+bCosx的最大值和最小值，其中a，b是不同时为零的实数。解：（略）注：凡形如的相关问题，一般提出去处理。练习：(1)求y=Sinx＋Cosx的最值和周期(2)p138例5 问题：求点p’(x’，y’)的坐标必须知怎样的条件？由所给点P的坐标可知哪些结论？师生共同完成解答过程若把向量=(3，4)改为=(x，y)，结论变吗？再把45°改为θ，对结论有影响吗？学生证明。问：公式的记忆规律？问题：欲求函数y=aSinx+bCosx的最值和周期，必须化成什么形式？已知表达式中的Sinx、Cosx系数变成同一个角θ的余弦、正弦方可。设P(a，b)，则设以op为终边的一个角为θ，则Cosθ、Sinθ即可用a、b表示此时需对y=aSinx+bCosx做怎样的变形？问题：y=aSinx＋bCosβ还可提吗？学生练习学生看书 培养学生的分析能力和运算推理能力
归纳小结作业 本节所学知识：Sin(α±β)公式的推导及Sin(α±β)的应用。P132/A 4，B 1，3 师生一起总结 培养学生的归纳整理的学习习惯
五、教学反思：
第四课时 3.1两角和与差的正弦、余弦函数
一.教学目标
1.知识与技能：（1）能够推导两角差的余弦公式；（2）能够利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式；（3）能够运用两角和的正、余弦公式进行化简、求值、证明；（4）揭示知识背景，引发学生学习兴趣；（5）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.
2.过程与方法：通过创设情境：通过向量的手段证明两角差的余弦公式，让学生进一步体会向量作为一种有效手段的同时掌握两角差的余弦函数，然后通过诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式；讲解例题，总结方法，巩固练习.
3.情感态度价值观：通过本节的学习，使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识；理解掌握两角和与差的三角的各种变形，提高逆用思维的能力.
二.教学重、难点 ：重点: 公式的应用.
难点: 两角差的余弦公式的推导.
三.学法与教学用具
学法：(1)自主性学习法：通过自学掌握两角差的余弦公式.(2)探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程.(3)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 教学用具:电脑、投影机.
四.教学过程
（一）、复习：1、写出两角和与差的余弦公式，说说它是如何推导的。
2、写出两角和与差的正弦公式，说说它是如何推导的。
3、说说公式结构的特征。
（二）、例题解析：
例1、利用和（差）角公式计算下列各式的值
（1）、；（2）、；
解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.
（1）、；
（2）、；
例2、已知是第四象限角，求的值.
解：因为是第四象限角，得，
，于是有
例3、已知，是第三象限角，求的值.
解：因为，由此得
又因为是第三象限角，所以
所以
点评：注意角、的象限，也就是符号问题.
例4、化简
解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？
思考：是怎么得到的？，我们是构造一个叫使它的正、余弦分别等于和的.
（三）、小结：本节我们学习了两角和与差正弦、余弦公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.
（四）作业： 习题3.1 A组第1,2,3题．
五、课后反思：
第五课时3.1.3两角和与差的21世纪教育网
一、教学目标
1、知识与技能：（1）能够利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式；（2）能够运用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明；（3）揭示知识背景，引发学生学习兴趣；（4）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.
2、过程与方法：借助两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式，让学生进一步体会各个公式之间的联系及结构特点；讲解例题，总结方法，巩固练习.
3、情感态度价值观：通过本节的学习，使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识；理解掌握两角和与差的三角的各种变形，提高逆用思维的能力.
二、教学重、难点 ：重点: 公式的应用. 难点: 公式的推导.
三、学法与教学用具
学法：(1)自主性学习+探究式学习法：通过通过类比分析、探索、掌握两角和与差的正切公式的推导过程。(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距。
教学用具:电脑、投影机
四、教学过程
【探究新知】
1．两角和与差的正切公式 T+ ,T
问：在两角和与差的正、余弦公式的基础上，你能用tan，tan表示tan(+)和tan()吗？（让学生回答）
[展示投影] ∵cos (+)0
tan(+)= 当coscos0时
分子分母同时除以coscos得：
以代得：
2．运用此公式应注意些什么？（让学生回答）
[展示投影] 注意：1必须在定义域范围内使用上述公式。即：tan，tan，tan(±)只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能（也只需）用诱导公式来解；2注意公式的结构，尤其是符号。）
[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）
例1.求tan15，tan75及cot15的值：
解：1 tan15= tan(4530)=
2 tan75= tan(45+30)=
3 cot15= cot(4530)= （为什么？）
例2.（见课本P134例1）
例3.已知tan=，tan=2 求cot()，并求+的值，其中0<<90, 90<<180.
解：cot()=∵ tan(+)=
又∵0<<90, 90<<180 ∴90<+<270 ∴+=135
例4. 求下列各式的值：1 2tan17+tan28+tan17tan28
解：1原式=
2 ∵
∴tan17+tan28=tan(17+28)(1tan17tan28)=1 tan17tan28
∴原式=1 tan17tan28+ tan17tan28=1
【展示投影】练习 教材P135第1、2、3、4题.
【课堂小结】：1．必须在定义域范围内使用上述公式。即：tan，tan，tan(±)只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能（也只需）用诱导公式来解；2．注意公式的结构，尤其是符号。
五、评价设计：作业：习题3.1 A组第4、5、6、7、8题．
六、课后反思：
第六课时3.2二倍角的三角函数
一.教学目标：
1.知识与技能
（1）能够由和角公式而导出倍角公式；
（2）能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力；
（3）能推导和理解半角公式；（
4）揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识. 并培养学生综合分析能力.
2.过程与方法
让学生自己由和角公式而导出倍角公式和半角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.
3.情感态度价值观
通过本节的学习，使同学们对三角函数各个公式之间有一个全新的认识；理解掌握三角函数各个公式的各种变形，增强学生灵活运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能力.提高逆用思维的能力.
二.教学重、难点
重点:倍角公式的应用.
难点:公式的推导.
三.学法与教法
教法与学法：(1)自主+探究性学习：让学生自己由和角公式导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
四.教学过程
（一）探究新知
1、复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
2、提出问题：公式中如果，公式会变得如何？
3、让学生板演得下述二倍角公式：
[展示投影]这组公式有何特点？应注意些什么？
注意：1．每个公式的特点，嘱记：尤其是“倍角”的意义是相对的，如：是的倍角.
2．熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次）
3．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：
这两个形式今后常用.
（二）[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）
例1.（公式巩固性练习）求值：
①．sin2230’cos2230’=
②．
③．
④．
例2.化简
①．
②．
③．
④．
例3、已知，求sin2，cos2，tan2的值。
解：∵ ∴
∴sin2 = 2sincos =
cos2 =
tan2 =
[展示投影]思考：你能否有办法用sin、cos和tan表示多倍角的正弦、余弦和21世纪教育网？你的思路、方法和步骤是什么？试用sin、cos和tan分别表示sin3，cos3，tan3.
[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）
例4. cos20cos40cos80 =
例5.求函数的值域.
解： ————降次
（三）、[展示投影]学生练习：
教材P140练习第1、2、3题
（四）、学习小结
1．公式的特点要嘱记：尤其是“倍角”的意义是相对的，如：是的倍角.
2．熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次）.
3．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：
这两个形式今后常用.
4.半角公式左边是平方形式，只要知道角终边所在象限，就可以开平方；公式的“本质”是用角的余弦表示角的正弦、余弦、正切.
5．注意公式的结构，尤其是符号.
（五）、作业布置：习题3.2 A组第1、2、3、4题．
五、教学反思：
第七课时3.3 半角的三角函数
一.教学目标：
（1）能推导和理解半角公式；
（2）能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力。
二.教学重、难点
重点:半角公式的应用.
难点:公式的推导.
三.学法与教法
教法与学法：(1)自主+探究性学习：让学生自己由和角公式导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
四.教学过程
（一）、探究新知
1、复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
2、提出问题：公式中如果，公式会变得如何？
3、让学生板演得下述二倍角公式：
[展示投影]这组公式有何特点？应注意些什么？
注意：1．每个公式的特点，嘱记：尤其是“倍角”的意义是相对的，如：是的倍角.
2．熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次）
3．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：
这两个形式今后常用.
（二）、[展示投影]思考（学生思考，学生做，教师适当提示）
你能够证明：
证：1在 中，以代2，代 即得：
∴
2在 中，以代2，代 即得：
∴
3以上结果相除得：
[展示投影]这组公式有何特点？应注意些什么？
注意：1左边是平方形式，只要知道角终边所在象限，就可以开平方。
2公式的“本质”是用角的余弦表示角的正弦、余弦、正切
3上述公式称之谓半角公式（课标规定这套公式不必记忆）
4还有一个有用的公式：（课后自己证）
（三）、[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）
例1. 已知cos，求的值.
解：由得
例2. 求cos的值.
解：cos=
例3、已知sin，，求的值.
解析：∵，∴且
由半角公式可得
（四）、[展示投影]练习
教材P145练习第1、2、3题.
（五）小结：（1）能推导和理解半角公式；（2）能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力。
（六）、作业布置：习题3.3 A组第1、2、3、4题．
五、教学反思：
第八课时3.4三角函数的和差化积与积化和差
一.教学目标：
1.知识与技能
（1）能够推导“和差化积”及“积化和差”公式，并对此有所了解.
（2）能较熟练地运用公式进行化简、求值、探索和证明一些恒等关系，进一步体会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会如何综合利用这些公式解决问题.（3）揭示知识背景，培养学生的应用意识与建模意识.
2.过程与方法
让学生自己导出“和差化积”及“积化和差”公式，领会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；同时让学生初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.
3.情感态度价值观
通过本节的学习，使同学们对三角恒等变形公式的意义和作用有一个初步的认识；理解并掌握三角函数各个公式的灵活变形，体会公式所蕴涵的和谐美，增强学生灵活运用数学知识解决实际问题的能力.
二.教学重、难点
重点:三角恒等变形.
难点: “和差化积”及“积化和差”公式的推导.
三.学法与教法
教法与学法：(1)自主+探究性学习：让学生自己根据已有的知识导出“和差化积”及“积化和差”公式，领会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
四.教学过程
（一）创设情景
请回忆两角和的正弦公式、两角差的正弦公式、两角和的余弦公式、两角差的余弦公式；问你能否用sin与sin表示sin·cos和cos ·sin？类似地能否用cos与cos来表示cos·cos和sin·sin？
【探究新知】
[展示投影]（在学生已完成的基础上进行评价）
积化和差公式的推导
sin( + ) + sin( ) = 2sincos sincos =[sin( + ) + sin( )]
sin( + ) sin( ) = 2cossin cossin =[sin( + ) sin( )]
cos( + ) + cos( ) = 2coscos coscos =[cos( + ) + cos( )]
cos( + ) cos( ) = 2sinsin sinsin = [cos( + ) cos( )]
[展示投影]这组公式有何特点？应注意些什么？
这套公式称为三角函数积化和差公式，熟悉结构，不要求记忆，它的优点在于将“积式”化为“和差”，有利于简化计算。（在告知公式前提下）
（二）、[展示投影]练习
1.求的值
2.求的值
3.在积化和差中若令 + = ， = φ，则， 代入可得什么的式子，做做看：（教师巡视，先观察学生做的情况，再决定是否示范）
∴
引导学生观察这套公式的特点：这套公式称为和差化积公式，其特点是同名的正（余）弦才能使用，它与积化和差公式相辅相成，配合使用.
（三）、[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）
例1.教材P148例2.
例2.教材P149例3.
[展示投影]练习.
教材P149第1、2题.
[展示投影]例题讲评（学生边做教师边提示）
例3. 已知cos cos = ，sin sin = ，求tan( + )的值
解：∵cos cos = ，∴ ①
sin sin =，∴ ②
∵ ∴ ∴
∴
例4.教材P150例6. （学生做，教师巡视，鼓励学生用多种方法求解）
[展示投影]练习
1.化简①；②；③
2. 教材P151练习第1、2、3、4题.
[展示投影]例题讲评（学生边思考教师边提示）
例5.要使半径为R的半圆形木料截成长方形（如图），应怎样截取才能使长方形的面积最大？
解：设∠AOB=，在△AOB中
∴长方形的面积S=
∴当时，长方形的面积S为
[学生自主学习阶段]
学生阅读教材P154~158相关内容，学生提问，学生回答，教师控制课堂节奏。
学生自主学习检测：教材P158~159的相应习题。
（四）、学习小结：尝试由学生小结，学生补充的形式.
（五）、作业布置：习题3.4 A组第1、2、3、4、5、6、7题．
2. 作业：习题3.5 A组第4题（选做）．
五、课后反思：
第九课时三角函数的简单应用
一、教学目标:1、知识目标：a通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法；b体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；c体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．2、能力目标：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力．3、情感目标：让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，从而激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神；培养学生勇于探索、勤于思考的精神。
二、教学重难点
教学重点：根据已知图象求解析式；将实际问题抽象为三角函数模型。
教学难点：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题．
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、例题探析（学生边做教师边提示）
例1、一缉私艇发现在方位角45°方向，距离12海里的海面上有一走私船正以10海里/小时的速度沿方位角为105°方向逃窜，若缉私艇的速度为14海里/小时，缉私艇沿方位角45°+α的方向追去，若要在最短的时间内追上该走私船，求追及所需时间和α角的正弦.（注：方位角是指正北方向按顺时针方向旋转形成的角）.
解：设缉私艇与走私船原来的位置分别为A、B，在C处两船相遇，由条件知∠ABC=120°，AB=12（海里），
设t小时后追及，，由正弦定理得
由正弦定理得；
再由余弦定理得
但当，不合，
.
例2、如图，人眼在M处看一幅画AB，AB=6米，OB=2米，问人应在何处，使视角∠AMB最大？
解：设∠AMO=，∠BMO=，∠AMB==- ,OM=x (x>0)
tan=,tan=,tan=tan(-)==
当且仅当x=，即x=4时，tan最大。因为21世纪教育网在（0, ）上是增函数，所以当人距O点4米，∠AMB最大。
例3、水渠横断面为等腰梯形，渠深为h，梯形面积为S. 为了使渠道的渗水量达到最小，
并降低成本，应尽量减少水与水渠壁的接触面. 问此时水渠壁的倾斜角α应是多少？
A B
D C
例3、解：设，，
，
设记
，等号成立时，；
（注）也可以对u求导：得，
单调递减，处左负右正，
时，u最小，从而y最小.
例4. 已知cos cos = ，sin sin = ，求tan( + )的值
解：∵cos cos = ，∴ ①
sin sin =，∴ ②
∵ ∴ ∴
∴
（二）课堂练习
1、下表是某城市1973-2002年月平均气温（华氏）
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6 73.1 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7
若用表示月份，表示平均气温，则下面四个函数模型中最合适的是（ ）答案：【C】
A、 B、
C、 D、
2、如图3-5-1为一半径为3的水轮，水轮圆心O距离
水面，已知水轮自点B开始1旋转4圈，水轮上
的点P到水面距离与时间满足函数关系
，则有（ ） 答案：【 A】
A、， B、，
C、， D、，
3、一条河宽1 km，相距4 km（直线距离）的两座城市A与B分别位于河的两岸（如下图），现需铺设一条电缆线连通A与B，已知底下电缆的修建费用为2万元／km，水下电缆的修建费用为4万元／km，假定河的两岸是平行的直线，问应如何铺设电缆可以使总的修建费用最少？
【答案：见后附】
（三）、课堂小结：1.三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,我们可以通过建立三角函数模型来解决实际问题,如天气预报,地震预测,等等. 2.建立三角函数模型的一般步聚:
（四）、作业布置：1、如图所示，足球比赛地宽为a m，球门宽b m在足球比赛中，甲方边锋从乙方球门附近过人沿直线（贴近球场边线）向前推进．试问：该边锋在距乙方底线多远时起脚射门的可命中角最大（图中AB表示乙方所守球门，AB所在直线为乙方边线，表示甲方边锋前进的直线）？
2、技能培养
物体沿斜坡由静止下滑，物体下滑到坡底的水平距离为定值S，若不计摩擦阻力，求当斜坡倾斜角为何值时，物体到达坡底的时间最短？
如图甲所示，人（眼）在点C处看一幅画AB，AB＝6 km，OB =2 m，问人应站在何处，使视角∠ACB最大？
课外练习：3、拓展空间
（1）、倾角为45°的山坡上某处有一风暴点，该风暴点到达山脚有两条路，一条是笔直到达山脚的销路，另一条是与小路夹角成45°的直线公路，若某辆汽车的最大爬颇度数是35°，问这辆汽车能否到达该风暴点？
（2）、平面上有两个向量，今有动点P向（－１，2）开始沿着与向量相同的方向做匀速直线运动，速度为｜｜，另一动点Q从点（－2，－1）出发，沿与向量＋相同的方向做匀速直线运动，速度为｜ ｜，设P，Q在时刻t = 0 s 时分别在处，求当时，t为多少？
答案:
五、教学反思：
第十课时三角恒等变换复习小结
一、教学目标：
1、 知识目标：初步了解三角恒等变换公式的框图；熟悉公式之间的内在联系，并能用主要公式求三角函数值及三角函数的性质；
2、 能力目标：培养学生观察、分析、综合等能力；通过构造角，转化条件解决较为简单的三角函数综合题；
3、 情感目标：通过复习，提高学生对三角变换的应用能力；从而提高学生应用数学知识解决问题的意识；
二、教学重点、难点：
强化公式的记忆，并利用公式解决三角函数综合题；
三、教学方法：
利用较为常见的变换加强对公式的记忆，引导学生并通过学生的交流来达到用三角恒等变换解决三角函数问题的基本目标；从而对全章有个整体认识。
四、教学过程：
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
知识结构的复习 阅读课本P153知识结构框图，并根据箭头方向回忆并讨论公式推导的简单方法； 学生：分小组简单讨论各公式的推导过程。 熟悉公式之间的关系，加深公式的记忆。
强化练习 = ； ； ； 学生回答 为以下例题做准备，并强化公式的简单应用。
例题选讲 例1：若，。且都为锐角。求：的值。 学生：板书，观察学生板书中的问题。教师：纠正学生板书中的问题。 通过例1，学会构造角的基本方法，并注意求三角函数值时要特别关注角的范围；
例题选讲 例2：已知：且求：的值。 学生：提出解题方法。教师：分析思路的全过程，演示解题全过程。 提高学生观察问题、分析问题的能力，以及综合运用三角恒等变换的变形能力
例题选讲 例3：已知函数：求：的最小正周期及单调递增区间。 教师：分析思路，引导学生回忆形如 的形式的三角函数的性质，并体会三角恒等变换在解决综合问题中的应用价值。 通过例题回顾正弦函数性质，并进一步理解三角恒等变换在解决三角函数问题时的作用。（即：化成形如 的形式）
例题选讲（备选） 例4：已知，，定义函数求：（1）函数的最小正周期；（2）函数取得最大值时所有值的集合；（3）若，求函数的值域。 学生：较好学生说出解题思路，写出较为规范的解题过程。教师：纠正问题，重点讲解第三小问。 通过例4，提高学生综合运用知识的能力，体会三角恒等变换的应用价值
小结与回顾 让学生总结出：1、三角恒等变换的地位和作用；2、在解决问题时的常见方法 培养学生总结问题的能力，并明确本节课的重点。
作业 课本P154 巩固与提高11、12、13 让学生达到学习要求，检验学习效果。
五、教后反思：
第十一课时、第十二课时第三章 三角恒等变形复习课（2课时）
[第一部分：基础知识]
基本公式 常见变形
一、两角和与差公式及规律 常见变形
二、二倍角公式及规律 常见变形
( ※ )三、积化和差与和差化积公式
四、学习本章应注意的问题
1、两角差的余弦公式是本章中其余公式的基础，应记准该公式的形式.
2、倍角公式有升、降幂的功能，如果升幂，则角减半，如果降幂，则角加倍，根据条件灵活选用.
3、公式的“三用”（顺用、逆用、变用）是熟练进行三角变形的前提.
[第二部分：基本技能与基本数学思想方法]
1、 整体原则-------从角度关系、函数名称差异、式子结构特征分析入手，寻求三角变形的思维指向；
2、 角度配凑方法 如
等;
3、 方程思想；
4、 消参数思想；
5、 “1”的代换；
6、 关于间的互相转化；
7、 关于的齐次分式、二次齐次式与间的互相转化；
8、 配凑辅助角公式:
一般地，其中
9、关于已知条件是的求值、化简、证明的变形及其思维方法。其中是任意角；等等。
[第三部分：应用举例]
［例１］已知
（1） 求
（2） 若求的值．
［分析］求三角函数式的值，一般先化简，再代值计算．
［略解］当时，
当时，
故当n为偶数时，
当n为奇数时，
［例２］已知求的值．
［分析］已知三角函数式的值，求其它三角函数式的值的基本思路：考虑已知式与待求式之间的相互转化．
［略解］原式＝
［例３］已知
（1） 求的值；
（2） 当时，求的值．
［分析］从角度关系分析入手，寻求变形的思维方向．
［略解］（１）
［方法１］
从而，
［方法２］设
（２）由已知可得
[例4]已知求的值.
[分析]根据问题及已知条件可先“化切为弦”。由，只需求出和，问题即可迎刃而解.
[略解]
[点评] 对公式整体把握，可“居高临下”的审视问题。
[例5]已知求的值.
[分析]要想求出的值，即要求出的值，而要出现和，只需对条件式两边平方相加即可。
[ 略解 ] 将两条件式分别平方，得
将上面两式相加，得
[ 例6]已知方程有两根，求的最小值.
[分析] 可借助于一元二次方程的根与系数关系求出关于m的解析式。
[ 略解]
又
解得
故 的最小值为
[例7]已知求的值.
[分析]注意到 可通过与的正、余弦值来求出的值。
[略解] 由已知可得
[例8] 的值等于 （ ）
A． B． C． D．
[分析]从角度关系分析入手，尝试配凑已知角、待求角、特殊角之间的和、差、倍、半表示式。
[略解]
故选B.
[例9]求函数的最小值。
[分析]注意到，故可把用表示。
[略解]
其中 故函数的最小值为。
[例10] 已知满足方程其中为常数，且。
求证：当时，
[分析]从角度关系分析入手，先将、转化为。
[略解]由两边平方，并化简得
①
依题意，是方程①的两个实根。
==
[例11]若且求证：.
[分析] 比较条件式与已知式，可以发现需要消去.
[证明]得
。┅┅（3）
得
。┅┅（4）
得 .
作业设计：1、写出你学习本章的复习小结或心得体会以及对今后的学习有何计划.2、完成教材P162~163中A组习题.3、（选做）复习题3的B、C组试题.
课后反思：
tan(+)=
tan()=
A
B
现实问题
现实模型
改造
三角函数模型
抽象 概括
解析式
图 形
三角函数模型的解
数学 方法
还原 说明
现实模型的解
是否符合实际 修改
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
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