课件19张PPT。从位移的合成到向量的加法 向量的加法北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》法门高中姚连省制作1一、教学目标：1.知识与技能：（1）掌握向量加法的概念；能熟练运用三角形法则和平行四边形法则做几个向量的和向量；能准确表述向量加法的交换律和结合律，并能熟练运用它们进行向量计算.（2）通过实例，掌握向量加法的运算，并理解其几何意义.（3）初步体会数形结合在向量解题中的应用.2.过程与方法：教材利用同学们熟悉的物理知识引出向量的加法，一方面启发我们利用位移的合成去探索两个向量的和，另一方面帮助我们利用物理背景去理解向量的加法. 然后用“相反向量”定义向量的减法；最后通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.3.情感态度价值观：通过本节内容的学习，使同学们对向量加法的三角形法则和平行四边形法则有了一定的认识，进一步让学生理解和领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的加法，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.
二.教学重难点 ：向量加法的概念和向量加法的法则及运算律.
三.学法与教法
学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教法:探究讨论法.
四.教学设想 1 问题情景导入 一条湍急的河流中一轮船以垂直对岸方向行驶，某游客自言自语：轮船怎么到达对岸的下游？
他百思不得其解！1 上海香港台北1实例分析飞机从上海飞往香港,再从香港飞往台湾,这两次位移的结果与飞机直接从上海飞往台湾的位移是相同的吗？这时我们就把后面这样一次上海至台湾的位移叫做前面两次位移的合位移.上海香港台湾1ABCD由分位移求合位移,称为位移的合成由上节课的学习我们知道位移是向量，因此位移合成就是向量的加法，那什么叫向量加法呢？它又符合哪些规律呢？这就是我们今天要探究的内容--------
§2从位移的合成到向量的加法 向量的加法（板书）1求两个向量和的运算叫向量的加法。合作探究新知1这种作法叫做三角形法则A.作法：[1]在平面内任取一点A讨论：作图关键点在哪？首尾顺次相连类比前面的上海至台湾的飞机位移的合成1学以致用：P76练习第1题1这叫做向量加法的平行四边形法则。讨论：作图关键点平移为同一起点及时反馈：P77练习第2题探究2：作两向量的加法还有没有其它的方法呢？1探究3：数的加法满足交换律与结合律，即对任意 a ，b∈R，有a+b=b+a， (a+b)+c=a+(b+c)
任意向量 的加法是否也满足交换律与结合律？
1A1A2A3探究4：能否将它推广至多个向量的求和？A1A2+A2A3+A3A4=_______
A1A2+A2A3= _______多边形法则：n个向量的和等于
折线起点到终点的向量学以致用 （1） P77练习题第4 题（2）变式 ：求 =Ａ０Ａ１＋Ａ１Ａ２＋．．．＋Ａn-1Ａn＝思维方法归纳：多个向量的和可以任意的组合概念的形成1东北ABC例１轮船从Ａ港沿东偏北 30°方向行驶了40海里到达B处,再由B处沿正北方向行驶40海里到达C处.求此时轮船与A港的相对位置.知识拓展与应用1 例3 在小船过河时,小船沿垂直河岸方向行驶的速度为v1= km/h,河水流动的速度v2=2.0km/h
求小船过河实际航行速度的大小和方向. 111OCＡＢF1F2例题改编（2）：若小船在行驶过程中受到垂直河岸方向的牵引力为40N，水流的冲击力为30N，求小船在行驶中受到的合力。（学生练习）50求物理中的合速度、合位移、合力，可用向量的加法法来解决它。在解的过程中不但要求出它的大小，而且还要求出它们的方向。思维方法提炼：11.向量加法的三角形法则（要点：两向量起点重合组成平行四边形两邻边）2.向量加法的平行四边形法则（要点：两向量首尾连接）3.向量加法满足交换律及结合律向量加法的三角形法则与平行四边形法则可以相互转化回顾与感悟（一） 本节课的知识点深化1（二）方法的提炼
（2）向量加法的两个法则在物理中的运用。求物理中的合速度、合位移、合力，可用向量的加法法来解决它。在解的过程中不但要求出它的大小，而且还要求出它们的方向。
（3）对于变式（1）不用向量加法的平行四边形法则，那能否解决呢？教学反思：1课件17张PPT。北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》从位移、速度、力到向量法门高中姚连省制作1一、教学目标
1.知识与技能：（1）理解向量与数量、向量与力、速度、位移之间的区别；（2）理解向量的实际背景与基本概念，理解向量的几何表示，并体会学科之间的联系.（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。2.过程与方法：通过力与力的分析等实例，引导学生了解向量的实际背景，帮助学生理解平面向量与向量相等的含义以及向量的几何表示；最后通过讲解例题，指导学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题.3.情感态度价值观：通过本节的学习，使同学们对向量的实际背景、几何表示有了一个基本的认识；激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.
二.教学重、难点 ：重点: 向量及向量的有关概念、表示方法.难点: 向量及向量的有关概念、表示方法.
三.学法与教法
学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
教法:探究交流法.
四.教学过程1平面向量的实际背景及基本概念1、向量的物理背景与概念2、向量的几何表示3、相等向量与共线向量1向量的物理背景与概念向量：既有大小，又有方向的量。
数量：只有大小，没有方向的量。思考:力，时间,路程,功是向量吗?速度,加速度是向量吗?
1
唉, 哪儿去了?
嘻嘻!大笨猫!AB老鼠由A向东北逃窜，猫在B处向东追去。猫能否追到老鼠？思考？不能，因为方向错了。 A1向量的表示 由于实数与数轴上的点一一对应，所以数量常常用数轴上的一个点表示，如3，2，-1，…而且不同的点表示不同的数量。 对于向量，我们常用带箭头的线段来表示，线段按一定比例（标度）画出，它的长度表示向量的大小，箭头表示向量的方向。1有向线段：在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，我们就说线段AB具有方向。具有方向的线段叫做有向线段。有向线段的三个要素：起点、方向、长度A（起点）B（终点）向量的表示11、向量的几何表示：用有向线段表示。向量的表示思考: “向量就是有向线段,有向线段就是向量.”的说法对吗?
11.温度含零上和零下温度，所以温度是向量（ ） ××2.向量的模是一个正实数。（ ）×注:向量不能比较大小向量的表示1 平行向量又叫做共线向量各向量的终点与直线l之间有什么关系？相等向量与共线向量1向量相等 向量平行平行向量一定是相等向量吗?相等向量与共线向量111个相等向量与共线向量1习题探析(×)(×)(×)(×)12.下面几个命题： C A．0 B. 1 C. 2 D. 3 其中正确的个数是( )
习题探析13.某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向按东北方向走了 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点（1）作出向量AB,BC,CD;(2) 求AD的模AB CD1归纳小结1作业：P86 习题2—1
课后反思：1课件15张PPT。从力做的功到平面向量的数量积北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》法门高中姚连省制作1一、教学目标：1.知识与技能：（1）通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义.（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系. （3）掌握平面向量数量积的运算律和它的一些简单应用.（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.2.过程与方法：教材利用同学们熟悉的物理知识（“做功”）得到向量的数量积的含义及其物理意义、几何意义.为了帮助学生理解和巩固相应的知识，教材设置了4个例题；通过讲解例题，培养学生逻辑思维能力.3.情感态度价值观：通过本节内容的学习，使同学们认识到向量的数量积与物理学的做功有着非常紧密的联系；让学生进一步领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的数量积，有助于激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神.
二.教学重、难点 :重点: 向量数量积的含义及其物理意义、几何意义；运算律.难点: 运算律的理解
三.学法与教法
(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
四.教学过程 1一、知识复习1、数量积的定义：数量积的坐标公式：注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量.1 2、数量积的几何意义：3、数量积的物理意义：14、数量积的主要性质及其坐标表示：内积为零是判定两向量垂直的充要条件用于计算向量的模用于计算向量的夹角这就是平面内两点间的距离公式15、数量积的运算律：⑴交换律：⑵对数乘的结合律：⑶分配律：注意：数量积不满足结合律1二、基础训练题A. 4个 B.3个 C. 2个 D.1个DB⑵A．-1 B.0 C.1 D.2
（A）1三、典型例题分析进行向量数量积
计算时,既要考
虑向量的模,又
要根据两个向量
方向确定其夹角。1两个向量的数量积是否
为零,是判断相应的两条
直线是否垂直的重要方
法之一.1112．利用平面向量的数量积运算来解决一些实际问题.1．本节课主要复习了平面向量数量积定义、性质、运算律、几何意义及其在物理学上的应用。
1四、作业布置11再见！再见！再见！1课件16张PPT。从速度的倍数到数乘向量北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》法门高中姚连省制作1一、教学目标：1.知识与技能：（1）要求学生掌握实数与向量积的定义及几何意义.（2）了解数乘运算的运算律，理解向量共线的充要条件。（3）通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。2.过程与方法：教材利用同学们熟悉的物理知识引出实数与向量的积（强调：1．“模”与“方向”两点) 2．三个运算定律（结合律，第一分配律，第二分配律）），在此基础上得到数乘运算的几何意义。为了帮助学生消化和巩固相应的知识，教材设置了几个例题；通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.3.情感态度价值观：通过本节内容的学习，使同学们对实数与向量积有了较深的认识，让学生理解和领悟知识将各学科有机的联系起来了，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，有助于培养学生的发散思维和勇于创新的精神.
二.教学重、难点： 重点:实数与向量积的定义及几何意义.难点: 实数与向量积的几何意义的理解.
三.学法与教法： (1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
四.教学过程1复习提问:（1）向量加法的定义1++=ABCD1++=(- )(- )(- )-ABCD1复习提问:（2）实数乘法的运算律1、交换律：ab=ba2、结合律：a（bc）=（ab）c=b（ac）3、分配律：a（b+c）=ab+ac1一般地:=1一般地：1一般地:1例1：计算1 定理：向量 与非零向量 共线
的充要条件是有且只有一
个实数 , 使得思考：充分不必要应用：该定理是证明三点共线或直
线平行的重要依据。1例2：已知向量试判断，，是否共线.ABCDE变：证明A、C、E三点共线1例3：设 ， 是不共线的向量，而
和 共线，求实数
k的值解：1（1）实数与向量 的积小结：（2）实数与向量积的运算律（3）向量共线的充要条件（强调 ）退出1(1)若 则化简
(2)已知 是不共线向量,
则 与 共线的充要条件
是实数补充练习：1作业：习题2.3 A组第4、5、6、7题．
课后反思：1课件25张PPT。北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》平面向量小结与复习法门高中姚连省制作1一、教学目标：1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。2. 了解平面向量基本定理.3. 向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。 4. 了解向量形式的三角形不等式 和向量形式的平行四边形定理； 5. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：6. 向量的坐标概念和坐标表示法；7. 向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）；8. 数量积（点乘或内积）的概念， 注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”。
二、教学过程1平 面 向 量 小结与 复 习 表示 运算 实数与向量的积 向量加法与减法 向量的数量积 平行四边形法则向量平行的充要条件平面向量的基本定理三 角 形 法 则向量的三种表示1一、向量的相关概念:1)定义（1）零向量：（2）单位向量：（3）平行向量：（4）相等向量：（5）相反向量：2)重要概念：3)向量的表示4)向量的模（长度）1二、向量的运算1）加法：①两个法则 ②坐标表示
减法: ①法则 ②坐标表示
运算律12)实数λ与向量 a 的积3)平面向量的数量积：(1)两向量的交角定义(2)平面向量数量积的定义(4)平面向量数量积的几何意义(3)a在b上的投影(5)平面向量数量积的运算律1(6)平面向量数量积的性质? ③求距离? ①垂直的充要条件?? ②求夹角?1三、平面向量之间关系向量平行(共线)充要条件的两种形式:向量垂直充要条件的两种形式:（3）两个向量相等的充要条件是两个向量的坐标相等.四、平面向量的基本定理注:满足什么条件的向量可作为基底?1向量定义：既有大小又有方向的量叫向量。重要概念：（1）零向量：长度为0的向量，记作0.（2）单位向量：长度为1个单位长度的向量.（3）平行向量：也叫共线向量，方向相同或相反
的非零向量.（4）相等向量：长度相等且方向相同的向量.（5）相反向量：长度相等且方向相反的向量.1几何表示 : 有向线段向量的表示字母表示 坐标表示 : (x，y)若 A(x1,y1), B(x2,y2)则 AB = (x2 － x1 , y2 － y1)1向量的模（长度）1. 设 a = ( x , y ),则2. 若表示向量 a 的起点和终点的坐标分别
为A(x1,y1)、B (x2,y2) ，则1平 面 向 量 复 习1.向量的加法运算ABC AB+BC=三角形法则OABC OA+OB=平行四边形法则坐标运算:则a + b =重要结论：AB+BC+CA= 0设 a = (x1, y1), b = (x2, y2)( x1 + x2 , y1 + y2 )AC OC1平 面 向 量 复 习2.向量的减法运算1）减法法则：OABOA－OB =2）坐标运算:若 a=( x1, y1 ), b=( x2, y2 )则a － b= 3.加法减法运算率a+b=b+a（a+b)+c=a+(b+c)1）交换律：2）结合律：BA(x1 － x2 , y1 － y2)1平 面 向 量 复 习实数λ与向量 a 的积定义：坐标运算：其实质就是向量的伸长或缩短！λa是一个向量.它的长度 |λa| =|λ| |a|；它的方向(1) 当λ≥0时,λa 的方向与a方向相同；(2) 当λ＜0时,λa 的方向与a方向相反.若a = (x , y), 则λa = λ (x , y)= (λ x , λ y)11、平面向量的数量积
（1）a与b的夹角：
（2）向量夹角的范围：
（3）向量垂直：
[00 ，1800]共同的起点1（4）两个非零向量的数量积：
规定：零向量与任一向量的数量积为0a · b = |a| |b| cosθ几何意义：数量积 a ·b 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的投影 |b| cosθ的乘积。15、数量积的运算律：⑴交换律：⑵对数乘的结合律：⑶分配律：注意：数量积不满足结合律1平面向量数量积的重要性质 （1）e· a = a · e =| a | cosθ
（2）a ⊥ b的充要条件是 a · b =0
(3) 当 a与b同向时， a · b = |a | | b | ;
当 a 与b 反向时，a · b = - |a | | b |
特别地：a · a=| a | 2 或 | a | =
（4）cosθ= （5）| a·b | ≤ | a | | b |
ab为非零向量，e为单位向量1二、平面向量之间关系1三、平面向量的基本定理
如果 是同一平面内的两个不共线
向量，那么对于这一平面内的任一向
量 ，有且只有一对实数 使1练习1：判断正误，并简述理由。( √ ）( √ ）( √ ）( × ）( × ）( × ）1平 面 向 量 复 习2.设AB=2(a+5b)，BC= ?2a + 8b，CD=3(a ?b)，
求证：A、B、D 三点共线。 分析要证A、B、D三点共线，可证AB=λBD关键是找到λ解：∵BD=BC+CD= ?2a + 8b+ 3(a ?b)=a+5b∴AB=2 BD且AB与BD有公共点B∴ A、B、D 三点共线AB∥ BD例31
3、若向量 =（-3，4），则
按向量 =（2，-1）平移后的坐标
为
1例 已知直线 l 经过点 和 ，用向量方法求 l 的方程。解 设P（x，y）是直线l上任意一点，则因为 三点都在直线 l 上，所以这就是直线 l 的方程1思考已知两点 ， 试用向量的方法证明以AB为直径的圆的方程为作业布置：完成教材P126---127中A组习题第11---15题.（选做）复习题2的C组试题.
教后反思：1课件18张PPT。北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》平面向量数量积的坐标表示、模、夹角法门高中姚连省制作1教学目标：１、理解各公式的正向及逆向运用；
２、数量积的运算转化为向量的坐标运算；
３、掌握平行、垂直、夹角及距离公式，形成转化技能。1一、复习引入1二、新课学习
1、平面向量数量积的坐标表示
如图， 是x轴上的单位向量， 是y轴上的单位向量，
由于 所以 1 1 0 1设两个非零向量 =(x1,y1), =(x2,y2),则
1故两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即
根据平面向量数量积的坐标表示，向量的数量积的运算可转化为向量的坐标运算。12、向量的模和两点间的距离公式1（1）垂直3、两向量垂直和平行的坐标表示（2）平行14、两向量夹角公式的坐标运算1三、基本技能的形成与巩固1练习：课本P1191、2、3.1 例2 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，
试判断?ABC的形状，并给出证明.1 练习2：以原点和A（5，2）为两个顶点作等腰直角三角形OAB，?B=90?，求点B的坐标.yBAOx1四、逆向及综合运用 例3 （1）已知 =（4，3），向量 是垂直于 的单位向量，求 .1提高练习 2、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、D(5，8)，则四边形ABCD的形状是 .矩形 3、已知 = (1，2)， = (-3，2)，
若k +2 与 2 - 4 平行，则k = . - 11小结
１、理解各公式的正向及逆向运用；
２、数量积的运算转化为向量的坐标运算；
３、掌握平行、垂直、夹角及距离公式，
形成转化技能。1作业
课本Ｐ112 习题2-6Ａ组 2,3,4.
教学反思：1 学习
要有竹子样的坚韧的品质1课件10张PPT。怀 天 下 ， 求 真 知 ， 学 做 人什 么 也 不 问 的 人 什 么 也 学 不 到 !!!勤劳的孩子展望未来, 但懒惰的孩子享受现在!!!天 才 在 于 勤 奋，努 力 才 能 成 功！天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话少 小 不 学 习，老 来 徒 伤 悲 书 山 有 路 勤 为 径，学 海 无 崖 苦 作 舟向量的减法北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》法门高中姚连省制作1一、教学目标:1.知识与技能：（1）了解相反向量的概念；掌握向量的减法，会作两个向量的减向量；（2）通过实例，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义.（3）初步体会数形结合在向量解题中的应用.
2.过程与方法：教材利用同学们熟悉的物理知识引出向量的加法，一方面启发我们利用位移的合成去探索两个向量的和，另一方面帮助我们利用物理背景去理解向量的加法. 然后用“相反向量”定义向量的减法；最后通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.
3.情感态度价值观：通过本节内容的学习，使同学们对向量加法的三角形法则和平行四边形法则有了一定的认识，进一步让学生理解和领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的加法，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.
二.教学重难点：向量的减法转化为加法的运算.
三.学法与教法
学法与教法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
四.教学设想 11、 向量定义（向量的表示方法、零向量、单位向量 、共线向量与平行向量 、相等向量 ）复 习2、向量加法的三角形法则3、向量加法的平行四边形 法则4、 注：两个向量的和仍是向量。具有大小和方向的量1引 入首先介绍一个新的概念——相反向量规定：1.零向量的相反向量还是零向量。
2.任一向量和它相反向量的和是零向量
1向量减法 我们规定向量a加上向量b的相反向量，叫做a与b的差，记作a – b，
并且把求两个向量差的运算，叫做向量的减法。即：a – b = a +( - b)
如图所示：向量减法特点：从减向量的终点指向被减向量的终点的向量。若是平行向量又怎样？1OABCD例1、如图已知向量a、b、c，求作向量a-b、c-b。注意：两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同（否则无法相减），这样两个向量的差向量是以减向量的终点的字母为起点，以被减向量的终点的字母为终点。1变式一：当a, b满足什么条件时，a+b与a?b垂直？ （|a| = |b|） 变式二：当a, b满足什么条件时，|a+b| = |a?b|？ （a, b互相垂直） 变式三：a+b与a?b可能是相当向量吗？ （不可能，∵对角线方向不同） 1深化例题 已知OA=a,OB=b,且|a|=|b|=4,角AOB为600,
(1)求|a+b|,|a-b|
(2)求a+b与a的夹角,a-b与a的夹角11、理解向量减法的定义
2、掌握向量减法的三角形法则并能加以运用
课堂小结1作业：
习题2.2 A组第4、5、6题． 教学反思：1课件15张PPT。平面向量的坐标运算北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》法门高中姚连省制作1一、教学目标：
1.知识与技能：（1）掌握平面向量正交分解及其坐标表示.（2）会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算.（3）理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
2.过程与方法：教材利用正交分解引出向量的坐标，在此基础上得到平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示；最后通过讲解例题，巩固知识结论，培养学生应用能力.
3.情感态度价值观：通过本节内容的学习，使同学们对认识到在全体有序实数对与坐标平面内的所有向量之间可以建立一一对应关系（即点或向量都可以看作有序实数对的直观形象）；让学生领悟到数形结合的思想；培养学生勇于创新的精神.
二.教学重、难点
重点: 平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示.
难点: 平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示.
三.学法与教法： (1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况。找出未掌握的内容及其存在的差距.
四.教学过程1一、复习回顾3、平面向量基本定理： 如果 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 有且只有一对实数 使 我们把不共线的向量 叫做表示这一平面内所有向 量的一组基底。1、相等向量：长度相等方向相同的向量。2、向量平行的充要条件：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数使得1二、新课探析1、平面向量的坐标表示42-2-55XY0我们把（x,y)叫做向量 的（直角）坐标，记作其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标（2）（2）式叫作向量的坐标表示。1显然，42-2-55XY0A(x,y)xy在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示1例1 如图，用基底 分别表示向量并求出它们的坐标42-2-55XY0解：由图可知同理，12、平面向量的坐标运算已知则即同理可得：这就是说，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。1由此我们可以得到：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标xy0如图，已知有13、实数与向量积的坐标表示已知和实数则即即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。14、向量平行的坐标表示设其中由存在实数使消去得：1例2 已知求的坐标.解：1例3 已知(1)若求x;(2)若求x.解：解得：评述：对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等。1例4 平行四边形ABCD的对角线交于点O,且知求坐标.ADBCO 分析：的坐标，只要求得的坐标即可.解：由要求得 评述：向量的、加减法，实数与向量的积是向量的基本运算， 对于用坐标表示的向量需运用向量的坐标运算法则，而几何图形中的向量应结合向量加、减法的几何意义以方便寻找关系。1例5 下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底，正确的判断是 （ ）
A.(1) B.(1)(3) C.(2)(3) D.(1)(2)(3)AA1三、课堂小结 通过本节学习，要求大家掌握平面向量的坐标表示，熟练平面向量的坐标运算，并能进行简单的应用。四、课后作业习题2--4 A组第1，2，3，7，8题．
五、教后反思：1课件20张PPT。北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》平面向量基本定理 法门高中姚连省制作1一、教学目标：
（1）了解平面向量基本定理；
（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；
（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.
二、教学重点：平面向量基本定理.教学
难点：平面向量基本定理的理解与应用.
三、授课类型：新授课
四、教学过程：1问题提出1.平面向量的基本定理是什么？ 若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.2.用坐标表示向量的基本原理是什么？设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若a＝xi＋yj，则a＝(x，y).13.用坐标表示向量，使得向量具有代数特征，并且可以将向量的几何运算转化为坐标运算，为向量的运算拓展一条新的途径.我们需要研究的问题是，向量的和、差、数乘运算，如何转化为坐标运算，对于共线向量如何通过坐标来反映等.1平面向量的坐标运算
及向量共线的坐标表示1探究（一）：平面向量的坐标运算 思考1：设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若a=(x1，y1),b=(x2，y2),则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向量a＋b，a－b，λa（λ∈R）如何分别用基底i、j表示？a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，
a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j，
λa＝λx1i＋λy1j.1思考2：根据向量的坐标表示，向量 a＋b，a－b，λa的坐标分别如何？a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2); a－b＝(x1－x2，y1－y2); λa＝(λx1，λy1).a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，
a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j，
λa＝λx1i＋λy1j.1思考3：如何用数学语言描述上述向量的坐标运算？ 两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）；
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2); a－b＝(x1－x2，y1－y2); λa＝(λx1，λy1).1思考4：如图,已知点A(x1,y1),B(x2,y2)，
那么向量 的坐标如何？一般地，一个
任意向量的坐标如何计算？任意一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.1思考5：在上图中，如何确定坐标为(x2－x1，y2－y1)的点P的位置？11探究（二）：平面向量共线的坐标表示 思考1：如果向量a，b共线（其中b≠0），那么a，b满足什么关系？思考2：设a=(x1，y1),b=(x2，y2)，若向量a，b共线（其中b≠0），则这两个向量的坐标应满足什么关系？反之成立吗？ a＝λb.11思考4：已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若点P分别是线段P1P2的中点、三等分点，如何用向量方法求点P的坐标？11理论迁移 例1 已知a=(2,1), b=(－3,4),求 a＋b，a－b，3a＋4b的坐标. a＋b＝(－1，5)，
a－b＝(5，－3)，
3a＋4b＝(－6，19). 1 D（2，2） 1 例3 已知向量a=(4，2)，b=(6，y),且a∥b，求y的值.y＝3 例4 已知点A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，试判断A、B、C三点是否共线？1小结作业1. 向量的坐标运算是根据向量的坐标表示和向量的线性运算律得出的结论，它符合实数的运算规律，并使得向量的运算完全代数化. 2.对于两个非零向量共线的坐标表示，可借助斜率相等来理解和记忆. 3.利用向量的坐标运算，可以求点的坐标，判断点共线等问题，这是一种向量方法，体现了向量的工具作用. 1作业：P100练习：2，4.
P101习题A组：1，3，4，5.教学反思：1课件12张PPT。平面向量应用举例北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》法门高中姚连省制作1一.教学目标：
1.知识与技能：（1）经历用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具.（2）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识；发展运算能力和解决实际问题的能力.
2.过程与方法：通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具；和同学一起总结方法，巩固强化.
3.情感态度价值观：通过本节的学习，使同学们对用向量研究几何以及其它学科有了一个初步的认识；提高学生迁移知识的能力、运算能力和解决实际问题的能力.
二.教学重、难点
重点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用.
难点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用.
三.学法与教法
(1)自主性学习法+探究式学习法；(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
四.教学设想 1平面几何中的向量方法 向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为“代数”的计算，这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。1问题：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？猜想：1.长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？1例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和1你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗？（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何元素。用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：简述：形到向量 向量的运算 向量和数到形1猜想：
AR=RT=TC1解：设 则1故AT=RT=TC1练习、证明直径所对的圆周角是直角思考：能否用向量
坐标形式证明？1（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何元素。小结：用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：1课本P116 1,2作业：教学反思：1课件30张PPT。平面向量的数量积北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》法门高中姚连省制作1一、教学目标：1.知识与技能：（1）要求学生掌握实数与向量积的定义及几何意义.（2）了解数乘运算的运算律，理解向量共线的充要条件。（3）通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。
2.过程与方法：教材利用同学们熟悉的物理知识引出实数与向量的积（强调：1．“模”与“方向”两点) 2．三个运算定律（结合律，第一分配律，第二分配律）），在此基础上得到数乘运算的几何意义。为了帮助学生消化和巩固相应的知识，教材设置了几个例题；通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.
3.情感态度价值观：通过本节内容的学习，使同学们对实数与向量积有了较深的认识，让学生理解和领悟知识将各学科有机的联系起来了，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，有助于培养学生的发散思维和勇于创新的精神.
二.教学重、难点： 重点:实数与向量积的定义及几何意义.难点: 实数与向量积的几何意义的理解.
三.学法与教法： (1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
四.教学过程1 复 习例题讲解小结回顾 引 入
新课讲解性质讲解课堂练习1 复 习例题讲解小结回顾引 入
新课讲解性质讲解课堂练习我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）θS力F所做的功W可用下式计算
W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角
从力所做的功出发，我们引入向量数量积的概念。
1 复 习例题讲解小结回顾 引 入
新课讲解性质讲解课堂练习θ=180°θ =90°
向量的夹角已知两个非零向量a和b，作OA=a， OB=b，则∠AOB=θ （0°≤θ ≤180°）
叫做向量a与b的夹角。
θ=0°特殊情况OBAθ1 复 习例题讲解小结回顾 引 入
新课讲解性质讲解课堂练习已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a| |b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b
a·b=|a| |b| cosθ
规定:零向量与任一向量的数量积为0。 1 复 习例题讲解小结回顾 引 入
新课讲解性质讲解课堂练习解：a·b=|a||b|cosθ
=5×4×cos120°
=5×4×（-1/2）= －10.例1.已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角
θ=120°，求a·b.1 复 习例题讲解小结回顾 引 入
新课讲解性质讲解课堂练习我们得到a·b的几何意义：
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.1 复 习例题讲解小结回顾 引 入
新课讲解性质讲解课堂练习例1.已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角
θ=120°， 1 复 习例题讲解小结回顾 引 入
新课讲解性质讲解课堂练习设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则
（1）e·a=a·e = |a| cosθ重要性质:（5）|a·b|≤|a||b|1 复 习例题讲解小结回顾 引 入
新课讲解性质讲解课堂练习1 复 习例题讲解小结回顾 引 入
新课讲解性质讲解课堂练习1课堂练习判断下列各题是否正确(1)若a=0,则对任意向量b,有a·b=0-----
(2)若a≠0,则对任意非零向量b,有a·b≠0--
(3)若a≠0,且a·b=0,则b=0 -------------------
(4)若a·b=0,则a=0或b=0 ---------------------
(5)对任意向量a有a2=│a│2 ----------------
(6)若a≠0且a·b=a·c,则b=c -------------------
(√)(× )( ×)(× )(√ )(× )1 复 习例题讲解小结回顾 引 入
新课讲解性质讲解课堂练习111基础练习 1、判断下列命题的真假:1进行向量数量积
计算时,既要考
虑向量的模,又
要根据两个向量
方向确定其夹角。1例1、 已知（a – b）⊥（a + 3 b），
求证： | a + b |= 2 | b |.例2、已知a、b都是非零向量，且a + 3 b 与 7 a – 5 b 垂直，a – 4 b 与7 a – 2 b垂直， 求a与b的夹角. 11 复 习例题讲解小结回顾 引 入
新课讲解性质讲解课堂练习1作业布置： 复 习例题讲解小结回顾 引 入
新课讲解性质讲解课堂练习谢谢大家1当θ=0°时，a与b同向返回1当θ=180°时，a与b反向。
返回1θ =90°，a与b垂直，记作a⊥b。返回1返回当θ=0°时，它是|b|1返回当θ=180°时，它是－|b|。
1返回当θ=90°，它是0。
1当θ为锐角时，它是正值；
返回1当θ为钝角时，它是负值；
返回1
