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2.2.1对数与对数运算（三）
（一）教学目标 ( http: / / www. )
1．知识与技能：
（1）掌握换底公式，会用换底公式将一般的对数化为常用对数或自然对数，并能进行一些简单的化简和证明. ( http: / / www. )
（2）能将一些生活实际问题转化为对数问题并加以解答.
2．过程与方法： ( http: / / www. )
（1）结合实例引导学生探究换底公式，并通过换底公式的应用，使学生体会化归与转化的数学思想.
（2）通过师生之间、学生与学生之间互相交流探讨，培养学生学会共同学习的能力. ( http: / / www. )
（3）通过应用对数知识解决实际问题，帮助学生确立科学思想，进一步认识数学在现实生活、生产中的重要作用.
3．情感、态度与价值观 ( http: / / www. )
（1）通过探究换底公式的概念，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣，培养学生严谨的科学精神.
（2）在教学过程中，通过学生的相互交流，培养学生灵活运用换底公式的能力，增强学生数学交流能力，同时培养学生倾听并接受别人意见的优良品质. ( http: / / www. )
（二）教学重点、难点
1．教学重点： ( http: / / www. )
（1）换底公式及其应用.
（2）对数的应用问题. ( http: / / www. )
2．教学难点：
换底公式的灵活应用. ( http: / / www. )
（三）教学方法
启发引导式 ( http: / / www. )
通过实例研究引出换底公式，既明确学习换底公式的必要性，同时也在公式推导中应用对数的概念和对数的运算性质，在教学中可以根据学生的不同基础适当地增加具体实例，便于学生理解换底公式的本质，培养学生从具体的实例中抽象出一般公式的能力.
利用换底公式“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法，它在求值或恒等变形中起着重要作用，在解题过程中应注意：（1）针对具体问题，选择恰当的底数；（2）注意换底公式与对数运算性质结合使用；（3）换底公式的正用与逆用. ( http: / / www. )
（四）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
提出 ( http: / / www. )问题 我们学习了对数运算法则，可以看到对数的运算法则仅适用于对数的底数相同的情形，若在解题过程中，遇到对数的底数不相同时怎么办？ 师：从对数的定义可以知道，任何不等于1的正数都可以作为对数的底.数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数、自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数.这样，如果能将其他底的对数转换为以10或e为底的对数，就能方便地求出任意不为1的正数为底的对数. ( http: / / www. ) 产生认知冲突，激发学生的学习欲望.
概念形成 1. 探求换底公式，明确换底公式的意义和作用. ( http: / / www. ) ( http: / / www. )例如，求我国人口达到18亿的年份，就是计算x=log1.01的值，利用换底公式与对数的运算性质，可得 ( http: / / www. )x=log1.01==≈=32.8837≈33（年）.由此可得，如果人口年增长率控制在1%，那么从2000年初开始，大约经过33年，即到2032年底我国的人口总数可达到18亿. ( http: / / www. ) 师：你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？ ( http: / / www. )logaN=（a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；N＞0）.（师生讨论并完成） ( http: / / www. )当a＞0，且a≠1时，若ab=N， ① ( http: / / www. )则logaN=b. ②在①的两边取以c（c＞0，且c≠1）为底的对数， ( http: / / www. )则logcab=logcN，即blogca=logcN. ( http: / / www. )∴b=. ③由②③得logaN=（c＞0，且c≠1）. ( http: / / www. )一般地，logaN=（a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；N＞0），这个公式称为换底公式. 推导换底公式
应用 ( http: / / www. )举例 （多媒体显示如下例题，生板演，师组织学生进行课堂评价）例1 计算：（1）log34·log48·log8m=log416，求m的值. ( http: / / www. )（2）log89·log2732.（3）（log25+log4125）·. ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. )合作探究：现在我们来用已学过的对数知识解决实际问题. ( http: / / www. )例2 20世纪30年代，里克特（C.F.Richter）制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M=lgA－lgA0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）.（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1）； ( http: / / www. )（2）5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍（精确到1）.例3 科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14.碳14的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”.动植物在生长过程中衰变的碳14，可以通过与大气的相互作用得到补充，所以活着的动植物每克组织中的碳14含量保持不变.死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的碳14按确定的规律衰减，我们已经知道其“半衰期”为5730年.湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆古墓的年代.课堂练习1.课本P79练习第4题.2.在，，log，logan，（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，ab≠1，n∈N）中和logab相等的有A.2个 B.3个 C.4个 D.1个3.若log34·log48·log8m=log42，求m.4.（1）已知log53=a，log54=b，试用a、b表示log2512；（2）已知log1227=a，求log616. 例1分析：在利用换底公式进行化简求值时，一般情况是根据题中所给的对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果所给的对数式中的底数和真数互不相同，我们可以选择以10为底数进行换底.（1）解：原方程等价于××=2，即log3m=2，∴m=9.（2）解法一：原式=·=·=.解法二：原式=·=·=.（3）解：原式=（log25+log25）·=log225·log52=log25·log52=log25·log52=.小结（1）不同底的对数要尽量化为同底的对数来计算；（2）在第（3）小题的计算过程中，用到了性质logMn=logaM及换底公式logaN=.利用换底公式可以证明：logab=，即logablogba=1.例2解：（1）M=lg20－lg0.001=lg=lg20000=lg2+lg104≈4.3.因此，这是一次约为里氏4.3级的地震.（2）由M=lgA－lgA0可得M=lg=10MA=A0·10M.当M=7.6时，地震的最大振幅为A1=A0·107.6；当M=5时，地震的最大振幅为A2=A0·105.所以，两次地震的最大振幅之比是==107.6－5=102.6≈398.答：7.6级地震的最大振幅大约是5级地震的最大振幅的398倍.合作探究：可以看到，虽然7.6级地震和5级地震仅相差2.6级，但7.6级地震的最大振幅却是5级地震最大振幅的398倍.所以，7.6级地震的破坏性远远大于5级地震的破坏性.例3解：我们先推算生物死亡t年后每克组织中的碳14含量.设生物体死亡时，体内每克组织中的碳14的含量为1，1年后的残留量为x，由于死亡机体中原有的碳14按确定的规律衰减，所以生物体的死亡年数t与其体内每克组织的碳14含量P有如下关系：死亡年数t12碳14含量Pxx23…t…x3…xt…因此，生物死亡t年后体内碳14的含量P=xt.由于大约每过5730年，死亡生物体的碳14含量衰减为原来的一半，所以=x5730，于是x==（），这样生物死亡t年后体内碳14的含量P=（）.由对数与指数的关系，指数式P=（）可写成对数式t=logP.湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%，即P=0.767，那么t=log0.767，由计算器可得t≈2193.所以，马王堆古墓是近2200年前的遗址.课堂练习答案1.（1）1；（2）1；（3）.2. A3. .4. （1）.（2）. 掌握换底公式的应用.掌握利用对数知识解决实际问题.
归纳总结 1.换底公式及其应用条件（注意字母的范围）.2.解决实际问题的一般步骤： 学生先自回顾反思，教师点评完善． 形成知识体系.
课后作业 作业：2.2 第三课时 习案 学生独立完成 巩固新知提升能力
备选例题
例1 已知log189 = a，18b = 5，求log3645.
【解析】方法一：∵log189 = a，18b = 5，
∴log185 = b，
于是
=
=.
方法二：∵log189 = a，18b = 5，
∴lg9 = alg18，lg5 = blg8，
∴
=.
【小结】（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质；
（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数与对数互化，统一成一种形式.
例2 我们都处于有声世界里，不同场合，人们对音量会有不同的要求，音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，分贝的定义是：y = 10lg. 这里I0是人耳能听到的声音的最低声波强度，I0 = 10－12w/m2，当I = I0时，y = 0，即dB = 0.
（1）如果I = 1w/m2，求相应的分贝值；
（2）70dB时声音强度I是60dB时声音强度I′的多少倍？
【解析】（1）∵I=1w/m2，
∴y =10lg
（2）由70 = 10lg，即，∴，
又60 = 10lg，即lg=6，∴=106.
∴=10，即I = 10I′
答： （1）I = 1w/m2，相应的分贝值为；
（2）70dB时声音强度I是60dB时声音强度I′的10倍
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第4课时 集合的全集与补集
（一）教学目标 ( http: / / www. )
1．知识与技能
（1）了解全集的意义. ( http: / / www. )
（2）理解补集的含义，会求给定子集的补集.
2．过程与方法 ( http: / / www. )
通过示例认识全集，类比实数的减法运算认识补集，加深对补集概念的理解，完善集合运算体系，提高思维能力.
3．情感、态度与价值观 ( http: / / www. )
通过补集概念的形成与发展、理解与掌握，感知事物具有相对性，渗透相对的辨证观点.
（二）教学重点与难点 ( http: / / www. )
重点：补集概念的理解；难点：有关补集的综合运算.
（三）教学方法 ( http: / / www. )
通过示例，尝试发现式学习法；通过示例的分析、探究，培养发现探索一般性规律的能力.
（四）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
提出问题 ( http: / / www. )导入课题 示例1：数集的拓展示例2：方程(x – 2) (x2 – 3) = 0的解集. ①在有理数范围内，②在实数范围内. 学生思考讨论. ( http: / / www. ) 挖掘旧知，导入新知，激发学习兴趣.
形成概念 1．全集的定义.如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，称这个集合为全集，记作U. ( http: / / www. )示例3：A = {全班参加数学兴趣小组的同学}，B = {全班设有参加数学兴趣小组的同学}，U = {全班同学}，问U、A、B三个集关系如何.2．补集的定义 ( http: / / www. )补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作UA.即UA = {x | x∈U，且}， ( http: / / www. )Venn图表示 师：教学学科中许多时候，许 多问题都是在某一范围内进行研究. 如实例1是在实数集范围内不断扩大数集. 实例2：①在有理数范围内求解；②在实数范围内求解. 类似这些给定的集合就是全集. ( http: / / www. )师生合作，分析示例生：①U = A∪B， ( http: / / www. )②U中元素减去A中元素就构成B.师：类似②这种运算得到的集合B称为集合A的补集，生师合作交流探究补集的概念. 合作交流，探究新知，了解全集、补集的含义.
应用举例 ( http: / / www. )深化概念 例1 设U = {x | x是小于9的正整数}，A = {1，2，3}，B = {3，4，5，6}，求UA，UB.例2 设全集U = {x | x是三角形}，A = {x|x是锐角三角形}，B = {x | x是钝角三角形}. 求A∩B，U (A∪B). 学生先尝试求解，老师指导、点评. ( http: / / www. )例1解：根据题意可知，U = {1，2，3，4，5，6，7，8}，所以 UA = {4, 5, 6, 7, 8}， UB = {1, 2, 7, 8}. ( http: / / www. )例2解：根据三角形的分类可知 A∩B =，A∪B = {x | x是锐角三角形或钝角三角形}， ( http: / / www. )U (A∪B) = {x | x是直角三角形}. 加深对补集概念的理解，初步学会求集合的补集.
性质探究 补集的性质：①A∪(UA) = U， ( http: / / www. )②A∩(UA) =.练习1：已知全集U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}，A={2, 4, 5}，B = {1, 3, 5, 7}，求A∩(UB)，(UA)∩(UB). ( http: / / www. )总结：(UA)∩(UB) = U (A∪B)， ( http: / / www. )(UA)∪(UB) = U (A∩B). 师：提出问题生：合作交流，探讨 ( http: / / www. )师生：学生说明性质①、②成立的理由，老师点评、阐述.师：变式练习：求A∪B，求U (A∪B)并比较与(UA)∩(UB)的结果. ( http: / / www. )解：因为UA = {1, 3, 6, 7}，UB = {2, 4, 6}，所以A∩(UB) = {2, 4}，(UA)∩(UB) = {6}. ( http: / / www. ) 能力提升. 探究补集的性质，提高学生的归纳能力.
应用举例 例2 填空（1）若S = {2，3，4}，A = {4，3}，则SA = . ( http: / / www. )（2）若S = {三角形}，B = {锐角三角形}，则SB = .（3）若S = {1，2，4，8}，A =，则SA = . ( http: / / www. )（4）若U = {1，3，a2 + 3a + 1}，A = {1，3}，UA = {5}，则a .（5）已知A = {0，2，4}，UA = {–1，1}，UB = {–1，0，2}，求B = ( http: / / www. ) .（6）设全集U = {2，3，m2 + 2m – 3}，A = {|m + 1| ，2}，UA = {5}，求m. ( http: / / www. )（7）设全集U = {1，2，3，4}，A = {x | x2 – 5x + m = 0，x∈U}，求UA、m. 师生合作分析例题. ( http: / / www. )例2（1）：主要是比较A及S的区别，从而求SA .例2（2）：由三角形的分类找B的补集.例2（3）：运用空集的定义.例2（4）：利用集合元素的特征.综合应用并集、补集知识求解.例2（7）：解答过程中渗透分类讨论思想. 例2（1）解：SA = {2}例2（2）解：SB = {直角三角形或钝角三角形}例2（3）解：SA = S 例2（4）解：a2 + 3a + 1 = 5，a = – 4或1.例2（5）解：利用韦恩图由A设UA 先求U = {–1，0，1，2，4}，再求B = {1，4}.例2（6）解：由题m2 + 2m – 3 = 5且|m + 1| = 3，解之m = – 4或m = 2.例2（7）解：将x = 1、2、3、4代入x2 – 5x + m = 0中，m = 4或m = 6，当m = 4时，x2 – 5x + 4 = 0，即A = {1，4}，又当m = 6时，x2 – 5x + 6 = 0，即A = {2，3}.故满足条件：UA = {1，4}，m = 4；UB = {2，3}，m = 6. 进一步深化理解补集的概念. 掌握补集的求法.
归纳总结 1．全集的概念，补集的概念.2．UA ={x | x∈U，且}.3．补集的性质：①(UA)∪A = U，(UA)∩A =，②U= U，U U =，③(UA)∩(UB) = U (A∪B)， (UA)∪(UB) = U (A∩B) 师生合作交流，共同归纳、总结，逐步完善. 引导学生自我回顾、反思、归纳、总结，形成知识体系.
课后作业 1.1 第四课时习案 学生独立完成 巩固基础、提升能力
备选例题
例1 已知A = {0，2，4，6}，SA = {–1，–3，1，3}，SB = {–1，0，2}，用列举法写出集合B.
【解析】∵A = {0，2，4，6}，SA = {–1，–3，1，3}，
∴S = {–3，–1，0，1，2，3，4，6}
而SB = {–1，0，2}，∴B =S (SB) = {–3，1，3，4，6}.
例2 已知全集S = {1，3，x3 + 3x2 + 2x}，A = {1，|2x – 1|}，如果SA = {0}，则这样的实数x是否存在？若存在，求出x；若不存在，请说明理由.
【解析】∵SA = {0}，∴0∈S，但0A，∴x3 + 3x2 + 2x = 0，x(x + 1) (x + 2) = 0，
即x1 = 0，x2 = –1，x3 = –2.
当x = 0时，|2x – 1| = 1，A中已有元素1，不满足集合的性质；
当x= –1时，|2x – 1| = 3，3∈S； 当x = –2时，|2x – 1| = 5，但5S.
∴实数x的值存在，它只能是–1.
例3 已知集合S = {x | 1＜x≤7}，A = {x | 2≤x＜5}，B = {x | 3≤x＜7}. 求：
（1）(SA)∩(SB)；（2）S (A∪B)；（3）(SA)∪(SB)；（4）S (A∩B).
【解析】如图所示，可得
A∩B = {x | 3≤x＜5}，A∪B = {x | 2≤x＜7}，
SA = {x | 1＜x＜2，或5≤x≤7}，SB = {x | 1＜x＜3}∪{7}.
由此可得：（1）(SA)∩(SB) = {x | 1＜x＜2}∪{7}；
（2）S (A∪B) = {x | 1＜x＜2}∪{7}；
（3）(SA)∪(SB) = {x | 1＜x＜3}∪{x |5≤x≤7} = {x | 1＜x＜3，或5≤x≤7}；
（4）S (A∩B) = {x | 1＜x＜3}∪{x | 5≤x≤7} = {x | 1＜x＜3，或5≤x≤7}.
例4 若集合S = {小于10的正整数}，，，且(SA)∩B = {1，9}，A∩B = {2}，(SA)∩(SB) = {4，6，8}，求A和B.
【解析】由(SA)∩B = {1，9}可知1，9A，但1，9∈B，
由A∩B = {2}知，2∈A，2∈B.
由(SA)∩(SB) = {4，6，8}知4，6，8A，且4，6，8B
下列考虑3，5，7是否在A，B中：
若3∈B，则因3A∩B，得3A. 于是3∈SA，所以3∈(SA)∩B，
这与(SA)∩B = {1，9}相矛盾.
故3B，即3∈(SB)，又∵3(SA)∩(SB)，
∴3(SA)，从而3∈A；同理可得：5∈A，5B；7∈A，7B.
故A = {2，3，5，7}，B = {1，2，9}.
评注：此题Venn图求解更易.
A
UA
U
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2.1.1 指数与指数幂的运算（二）
（一）教学目标 ( http: / / www. )
1．知识与技能
（1）理解分数指数幂的概念； ( http: / / www. )
（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；
（3）掌握分数指数幂的运算性质； ( http: / / www. )
（4）培养学生观察分析、抽象等的能力.
2．过程与方法 ( http: / / www. )
通过与初中所学的知识进行类比，得出分数指数幂的概念，和指数幂的性质.
3．情感、态度与价值观 ( http: / / www. )
（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；
（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯； ( http: / / www. )
（3）让学生体验数学的简洁美和统一美.
（二）教学重点、难点 ( http: / / www. )
1．教学重点：（1）分数指数幂的理解；
（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质； ( http: / / www. )
2．教学难点：分数指数幂概念的理解
（三）教学方法 ( http: / / www. )
发现教学法
1．经历由利用根式的运算性质对根式的化简，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律. ( http: / / www. )
2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步推广到实数范围内.由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法.
（四）教学过程
教学 ( http: / / www. )环节 教学内容 师生互动 设计意图
提出问题 回顾初中时的整数指数幂及运算性质. ( http: / / www. ), ( http: / / www. ) ( http: / / www. )什么叫实数？ ( http: / / www. )有理数，无理数统称实数. 老师提问， ( http: / / www. )学生回答. 学习新知前的简单复习，不仅能唤起学生的记忆，而且为学习新课作好了知识上的准备.
复习引入 观察以下式子，并总结出规律：＞0 ( http: / / www. )① ② ( http: / / www. )③ ④ ( http: / / www. )小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）.根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如： ( http: / / www. ) ( http: / / www. )即： ( http: / / www. ) 老师引导学生“当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）”联想“根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.”.从而推广到正数的分数指数幂的意义. 数学中引进一个新的概念或法则时，总希望它与已有的概念或法则是相容的.
形成概念 ( http: / / www. ) 为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同.即：规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是 学生计算、构造、猜想，允许交流讨论，汇报结论．教师巡视指导． 让学生经历从“特殊一一般”，“归纳一猜想”，是培养学生“合情推理”能力的有效方式，同时学生也经历了指数幂的再发现过程，有利于培养学生的创造能力．
深化概念 由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：（1）（2）（3）若＞0，P是一个无理数，则P该如何理解？为了解决这个问题，引导学生先阅读课本P57——P58.即：的不足近似值，从由小于的方向逼近，的过剩近似值从大于的方向逼近.所以，当不足近似值从小于的方向逼近时，的近似值从小于的方向逼近.当的过剩似值从大于的方向逼近时，的近似值从大于的方向逼近，(如课本图所示) 所以，是一个确定的实数.一般来说，无理数指数幂是一个确定的实数，有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小.思考：的含义是什么？由以上分析，可知道，有理数指数幂，无理数指数幂有意义，且它们运算性质相同，实数指数幂有意义，也有相同的运算性质，即： 让学生讨论、研究，教师引导． 通过本环节的教学，进一步体会上一环节的设计意图．
应用举例 例题例1（P56，例2）求值；；；.例2（P56，例3）用分数指数幂的形式表或下列各式（＞0）；；.分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算.解：； ； .课堂练习：P59练习 第 1，2，3，4题补充练习：1. 计算：的结果；2. 若. 学生思考，口答，教师板演、点评．例1解：① ； ② ； ③ ；④.例2分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算.解：；；.练习答案：1.解：原式===512；2.解：原式==. 通过这二个例题的解答，巩固所学的分数指数幂与根式的互化，以及分数指数幂的求值，提高运算能力．
归纳总结 1．分数指数是根式的另一种写法.2．无理数指数幂表示一个确定的实数.3．掌握好分数指数幂的运算性质，其与整数指数幂的运算性质是一致的. 先让学生独自回忆，然后师生共同总结． 巩固本节学习成果，使学生逐步养成爱总结、会总结的习惯和能力．
课后作业 作业：2.1 第二课时 习案 学生独立完成 巩固新知提升能力
备选例题
例1计算
（1）
（1）；
【解析】
（1）原式
（2）原式=
=
=.
【小结】一般地，进行指数幂运算时，化负
指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的.
例2 化简下列各式：
（1）；
（2）.
【解析】
（1）原式=
=
=
=
=；
（2）原式=
.
【小结】（1）指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算. 负指数幂化为正指数幂的倒数. 底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质.
（2）根据一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理指数幂的运算性质进行运算. 在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解. 如
.
（3）利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式，但不能既有根式又有分数指数幂.
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3.1.3 用二分法求方程的近似解
（一）教学目标 ( http: / / www. )
1．知识与技能
掌握应用二分法求方程近似解的原理与步骤，会用二分法求方程的近似解. ( http: / / www. )
2．过程与方法
体会通过取区间中点，应用零点存在性定理，逐步缩小零点所属区间的范围，而获得零点的近似值即方程的近似解的过程中理解二分法的基本思想，渗透算法思想. ( http: / / www. )
3．情感、态度及价值观
在灵活调整算法，在由特殊到一般的认识过程中，养成良好的学习品质和思维品质，享受数学的无穷魅力. ( http: / / www. )
（二）教学重点与难点
重点：用二分法求方程的近似解； ( http: / / www. )
难点：二分法原理的理解
（三）教学方法 ( http: / / www. )
讲授法与合作交流相结合，通过老师恰当合理的讲授，师生之间默切的合作交流，认识二分法、理解二分法的实质，从而能应用二分法研究问题，达到知能有机结合的最优结果.
（四）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
提出问题引入课题 1问题：一元二次方程可用判别式判定根的存在性，可用求根公式求方程的根.但对于一般的方程，虽然可用零点存在性定理判定根的存在性，而没有公式. 求根：如何求得方程的根呢？ ( http: / / www. )①函数f (x) = lnx + 2x – 6在区间(2，3)内有零点.②如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值. ( http: / / www. )③通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围.④取区间(2，3)的中点2.5，用计算器算得f (2.5)≈–0.084.因为f (2.5)·f (3)＜0，所以零点在区间(2.5，3)内.再取内间(2.5，3)的中点2.75，用计算器算得f (2.75)≈0.512.因为f (2.5)·f (2.75)＜0，所以零点在区间(2.5，2.75)内. ( http: / / www. )⑤由于(2，3) (2.5，3) (2.5，2.75)，所以零点所在的范围确实越来越小了. ( http: / / www. )⑥例如，当精确度为0.01时，由于|2.539 062 5 – 2.531 25| = 0.007 812 5＜0.01，所以，我们可以将x = 2.531 25作为函数f (x) = lnx + 2x – 6零点的近似值，也即方程lnx + 2x – 6 = 0根的近似值. ( http: / / www. ) 师：怎样求方程lnx + 2x – 6 = 0的根.引导：观察图形 ( http: / / www. )生：方程的根在(2，3)区间内 ( http: / / www. )师：能否用缩小区间的方法逼近方程的根生：应该可用 ( http: / / www. )师：我们现用一种常见的数学方法—二分法，共同探究已知方程的根.师生合作，借助计算机探求方程根的近似值. ( http: / / www. )区间中点的值中点函数近似值(2,3)2.5–0.084(2.5,3)2.750.512(2.5,2.75)2.6250.215(2.5,2.625)2.56250.066(2.5,2.5625)2.53125–0.009(2.53125,2.5625)2.5468750.029(2.53125,2.546875)2.53906250.010(2.53125,2.5390625)2.535156250.001 由旧到新设疑、析疑导入课题，实例分析了解二分法、进一步师生合作尝试二分法.
形成概念 1．对于区间[a，b]上连续不断且f (a)·f (b)＜0的函数y = f (x)，通过不断地把函数f (x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.2．给定精确度，用二分法求函数f (x)零点近似值的步聚如下： ( http: / / www. )（1）确定区间[a，b]，验证f (a)·f (b)＜0，给定精确度；（2）求区间(a，b)的中点c； ( http: / / www. )（3）计算f (c)；①若f (c) = 0，则c就是函数的零点； ( http: / / www. )②若f (a)·f (c)＜0，则令b = c(此时零点x0∈(a，c))；③若f (c)·f (b)＜0，则令a = c(此时零点x0∈(c，b)). ( http: / / www. )（4）判断是否达到精确度：即若|a – b|＜，则得到零点近似值a(或b)；否则重复2~4. 师生合作回顾实例：求方程lnx + 2x – 6 = 0的近似解(精确度0.01)的操作过程.掌握二分法，总结应用二分法的步骤 ( http: / / www. )师：讲授二分法的定义.生：总结应用二分法的步骤. ( http: / / www. )学生交流总结，学生代表口述步骤，老师完善并板书. 由特殊到一般形成概念，归纳总结应用二分法的步骤.
应用举例 例1 借助计算器或计算机用二分法求方程2x + 3x = 7的近似解(精确度0.1). 师生合作应用二分法，遵循二分法的步骤求解，并借助函数图象检验. ( http: / / www. )例1 解：原方程即2x + 3x –7 = 0，令f (x) = 2x + 3x –7，用计算器或计算机作出函数f (x) = 2x + 3x –7的对应值表与图象x01234f(x)=2x+3x–7–6–231021x5678f(x)=2x+3x–74075142273 ( http: / / www. )观察图或表可知f(1)·f(2)＜0，说明这个函数在区间(1，2)内有零点x0.取区间(1，2)的中点x1=1.5，用计算器算得f(1.5)≈0.33.因为f(1)·f(1.5)＜0,所以x0∈(1，1.5). ( http: / / www. )再取(1，1.5)的中点x 2=1.25，用计算器算得f(1.25)≈–0.87.因为f(1.25)·f(1.5)＜0,所以x0∈(1.25，1.5).同理可得x0∈(1.375，1.5)，x0∈(1.375，1.4375)由于|1.375–1.4375| = 0.0625＜0.1，所以，原方程的近似解可取为1.4375. 尝试体验二分法，培养应用二分法从而固化基本理论技能
巩固练习 1．借助计算器或计算机，用二分法求函数f(x) = x3 + 1.1x2 + 0.9x– 1.4在区间(0，1)内的零点(精确度0.1).2．借助计算器或计算机，用二分法求方程x = 3 – lgx在区间(2，3)内的近似解(精确度0.1). 学生动手尝试练习，师生借助计算机合作完成求解.1．解：由题设可知f(0)= –1.4＜0，f(1)=1.6＞0，于是f(0)·f(1)＜0，所以，函数f(x)在区间(0，1)内有一个零点.下面用二分法求函数f(x) = x3 + 1.1x2 + 0.9x– 1.4在区间(0，1)内的零点取区间(0，1)的中点x1=0.5，用计算器可算得f(0.5)= –0.55.因为f(0.5)·f(1)＜0，所以x0∈(0.5，1).再取区间(0.5，1)的中点x2=0.75，用计算器可算得f(0.75)≈0.32.因为f(0.5)·f(0.75)＜0，所以x0∈(0.5，0.75).同理可得x0∈(0.625，0.75)，x0∈(0.625，0.6875)，x0∈(0.65625，0.6875)由于|0.6875–0.65625|=0.3125＜0.1，所以原方程的近似解可取为0.65625.2．解原方程即x + lgx– 3 = 0，令f(x) = x + lgx– 3，用计算器可算得f(2)≈–0.70，f(3)≈0.48，于是f(2)· f(3)＜0，所以，这个方程在区间(2，3)内有一个解.下面用二分法求方程x = 3 – lgx在区间(2，3)内的近似解.取区间(2，3)的中点x1 = 2.5，用计算器可算得f(2.5)≈–0.10.因为f(2.5)·f(3)＜0，所以x0 ∈(2.5，3).再取区间(2.5，3)的中点x2 = 2.75，用计算器可算得f(2.75)≈0.19.因为f(2.5)·f(2.75)＜0，所以x0 ∈(2.5，2.75).同理可得x0 ∈(2.5，2.625)，x0 ∈(2.5625，2.625).由于|2.625–2.5625|=0.0625＜0.1，所以原方程的近似解可取为2.5625. 进一步体验二分法，巩固应用二分法的方法与技巧及注意事项.
课后练习 3.1 第三课时 习案 学生独立完成 巩固二分法应用技能
备选例题
例1 用二分法求函数f (x) = x3 – 3的一个正实数零点(精确到0.1).
【解析】由于f (1) = –2＜0，f (2) = 5＞0，因此可以确定区间[1，2]作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：
端点或中点的横坐标 计算端点或中点的函数值 定区间
a0 = 1，b0 = 2 f(1)= –2，f(2)=5 [1，2]
f (x0) = 0.375＞0 [1，1.5]
f (x1) = –1.0469＜0 [1.25，1.5]
f (x2) = –0.4004＜0 [1.375，1.5]
f (x3) = –0.0295＜0 [1.4375，1.5]
f (x4) = 0.1684＞0 [1.4375，1.46875]
f (x5)＞0 [1.4375，1.453125]
x6 = 1.4453125 f (x6)＞0 [1.4375，1.4453125]
由上表的计算可知区间[1.4375，1.4453125]的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是1.4，所以1.4可作为所求函数的一个正实数零点的近似值.
≠
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3.2.3 函数模型的应用实例（一）
（一）教学目标 ( http: / / www. )
1．知识与技能：初步掌握一次和二次函数模型的应用，会解决较简单的实际应用问题.
2．过程与方法：经历运用一次和二次函数模型解决实际问题，提高学生的数学建模能力. ( http: / / www. )
3．情感、态度与价值观：了解数学知识来源于生活，又服务于实际，从而培养学生的应用意识，提高学习数学的兴趣.
（二）教学重点、难点 ( http: / / www. )
一次和二次函数模型的应用是本节的重点，数学建模是本节的难点.
（三）教学方法 ( http: / / www. )
本节内容主要是例题教学，因此采用学生探究解题方法，总结解题规律，教师启发诱导的方法进行教学.
（四）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 回顾一次函数和二次函数的有关知识. 教师提出问题，学生回答. ( http: / / www. )师：一次函数、二次函数的解析式及图象与性质.生：回答上述问题. 以旧引新，激发兴趣.
应用举例 1．一次函数模型的应用 ( http: / / www. )例1 某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km.火车出发10min开出13km后，以120km/h的速度匀速行驶.试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开北京2h内行驶的路程. 教师提出问题，让学生读题，找关键字句，联想学过的函数模型，求出函数关系式.学生根据要求，完成例1的解答.例1 解：因为火车匀速运动的时间为(200 – 13)÷120 = (h)， ( http: / / www. )所以.因为火车匀速行驶时间t h所行驶路程为120t，所以，火车运行总路程S与匀速行驶时间t之间的关系是 ( http: / / www. )2h内火车行驶的路程=233(km). 通过此问题背景，让学生恰当选择相应一次函数模型解决问题，加深对函数概念本质的认识和理解.让学生体验解决实际问题的过程和方法.
解题方法： ( http: / / www. )1．读题，找关键点；2．抽象成数学模型； ( http: / / www. )3．求出数学模型的解；4．做答. 学生总结，教师完善. 培养学生分析归纳、概括能力.从而初步体验解应用题的规律和方法.
2．二次函数模型的应用 ( http: / / www. )例2 某农家旅游公司有客房300间，每间日房租20元，每天都客满.公司欲提高档次，并提高租金.如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？ 让学生自己读题，并回答下列问题：①题目求什么，应怎样设未知量； ( http: / / www. )②每天客房的租金收入与每间客房的租金、客房的出租数有怎样的关系；③学生完成题目. ( http: / / www. )法一：用列表法求解.此法可作为学生探求思路的方法，但由于运算比较繁琐，一般不用，应以法二求解为重点.对法二让学生读题，回答问题.教师指导，学生自己动手解题.师生合作由实际问题建模，让学生尝试解答. ( http: / / www. )例2 解答：方法一 依题意可列表如下：xy0300×20 = 60001(300 – 10×1)(20 + 2×1) = 63802(300 – 10×2)(20 + 2×2) = 67203(300 – 10×3)(20 + 2×3) = 70204(300 – 10×4)(20 + 2×4) = 72805(300 – 10×5)(20 + 2×5) = 75006(300 – 10×6)(20 + 2×6) = 76807(300 – 10×7)(20 + 2×7) = 78208(300 – 10×8)(20 + 2×8) =79209(300 – 10×9)(20 + 2×9) = 798010(300 – 10×10)(20 + 2×10) = 800011(300 – 10×11)(20 + 2×11) = 798012(300 – 10×12)(20 + 2×12) = 792013(300 – 10×13)(20 + 2×13) = 7820……
由上表容易得到，当x = 10，即每天租金为40元时，能出租客房200间，此时每天总租金最高，为8000元.再提高租金，总收入就要小于8000元了.方法二 设客房租金每间提高x个2元，则将有10x间客房空出，客房租金的总收入为 ( http: / / www. )y = (20 + 2x) (300 – 10x ) = –20x2 + 600x – 200x + 6000 ( http: / / www. ) = –20(x2 – 20x + 100 – 100) + 6000 = –20(x – 10)2 + 8000. ( http: / / www. )由此得到，当x = 10时，ymax = 8000.即每间租金为20 + 10×2 = 40(元)时，客房租金的总收入最高，每天为8000元. 解应用题首先要读懂题意，设计出问题指导学生审题，建立正确的数学模型.同时，培养学生独立解决问题的能力.
3．分将函数模型的应用 ( http: / / www. )例3 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示.（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义； ( http: / / www. )（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km,试建立行驶这段路程时汽车里程表读数skm与时间th的函数解析式，并作出相应的图象. 生：解答： ( http: / / www. )（1）阴影部分的面积为50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360. ( http: / / www. )阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km.（2）根据图，有 ( http: / / www. )这个函数的图象如图所示. ( http: / / www. ) 实际应用用问题解决的一般步骤：理解问题简化假设数学建模解答模型检验模型评价与应用的进一步深体.
巩固练习 课堂练习习题1．如果一辆汽车匀速行驶，1.5h行驶路程为90km，求这辆汽车行驶路程与时间之间的函数关系，以及汽车3h所行驶的路程. ( http: / / www. )习题2．已知某食品5kg价格为40元，求该食品价格与重量之间的函数关系，并求8kg食品的价格是多少元.习题3．有300m长的篱笆材料，如果利用已有的一面墙(设长度够用)作为一边，围成一块矩形菜地，问矩形的长、宽各为多少时，这块菜地的面积最大？ ( http: / / www. )习题4．某市一种出租车标价为1.20元/km，但事实上的收费标准如下：最开始4km内不管车行驶路程多少，均收费10元(即起步费)，4km后到15km之间，每公里收费1.20元，15km后每公里再加收50%，即每公里1.80元.试写出付费总数f与打车路程x之间的函数关系. 学生练习，师生点评.1．设汽车行驶的时间为t h，则汽车行驶的路程Skm与时间t h之间的函数关系为S = vt.当t = 1.5时，S = 90，则v = 60.因此所求的函数关系为S=60t，当t = 3时，S = 180，所以汽车3h所行驶的路程为180km.2．设食品的重量为xkg，则食品的价格y元与重量xkg之间的函数关系式为y=8x，当x = 8时，y = 64，所以当8kg食品的价格为64元.3．设矩形菜地与墙相对的一边长为xcm，则另一组对边的长为m，从而矩形菜地的面积为：当x = 150时，Smax = 11250.即当矩形的长为150m，宽为75m时，菜地的面积最大.4．解：所求函数的关系式为 学生动手实践、体验所学方法，从而提升解应用题的技能.
归纳小结 课堂小结解决应用用问题的步骤：读题—列式—解答. 学生总结，师生完善 使学生养成归纳总结的好习惯.让学生初步掌握数学建模的基本过程.
布置作业 习题2—3B第1、3题：教材第71页“思考与讨论”. 学生练习 使学生巩固本节所学知识与方法.
备选例题
例1 某游艺场每天的盈利额y元与售出的门票数x张之间的关系如图所示，试问盈利额为750元时，当天售出的门票数为多少？
【解析】根据题意，每天的盈利额y元与售出的门票数x张之间的函数关系是：
（1）当0≤x≤400时，由3.75x=750，得x=200.
（2）当400≤x≤600时，由1.25x + 1000 = 750，得x = – 200 (舍去).
综合（1）和（2），盈利额为750元时，当天售出的门票数为200张.
答：当天售出的门票数为200张时盈利额为750元.
例2 某个经营者把开始六个月试销A、B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：
投资A种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6
获纯利润(万元) 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40
投资B种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6
获纯利润(万元) 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51
该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A、B两种商品各多少才最合算. 请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者获得最大的利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字).
【解析】以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图：
据此，可考虑用下列函数分别描述上述两组数据之间的对应关系.
y = – a (x – 4)2 + 2 (a＞0) ①
y = bx ②
把x = 1，y = 0.65代入①式，得
0.65 = – a (1 – 4)2 + 2，
解得a = 0.15.
故前六个月所获纯利润关于月投资A商品的金额的函数关系式可近似地用y = – 0.15(x – 4)2 + 2表示，再把x = 4，y = 1代入②式，得b = 0.25，故前六个月所获利润关于月投资B种商品的金额的函数关系可近似地用y = 0.25x表示.
设下月投资A种商品x万元，
则投资B种商品为(12 – x)万元，可获纯利润
y = – 0.15 (x – 4)2 + 2 + 0.25 (12 – x)
= – 0.15x2 + 0.95x + 2.6，
当≈3.2时，
≈4.1.
故下月分别投资A、B两种商品3.2万元和8.8万元，可获最大纯利润4.1万元.
【评析】幂函数模型的应用题经常以二次函数的形式出现，要注意y = x2变换到y = a (x – m)2 + b后发生的变化.
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第1课时 集合的含义与表示
（一）教学目标 ( http: / / www. )
1．知识与技能
（1）初步理解集合的含义，知道常用数集及其记法． ( http: / / www. )
（2）初步了解“属于”关系的意义．理解集合相等的含义.
（3）初步了解有限集、无限集的意义，并能恰当地应用列举法或描述法表示集合. ( http: / / www. )
2．过程与方法
（1）通过实例，初步体会元素与集合的“属于”关系，从观察分析集合的元素入手，正确地理解集合． ( http: / / www. )
（2）观察关于集合的几组实例，并通过自己动手举出各种集合的例子，初步感受集合语言在描述客观现实和数学对象中的意义．
（3）学会借助实例分析、探究数学问题（如集合中元素的确定性、互异性）． ( http: / / www. )
（4）通过实例体会有限集与无限集，理解列举法和描述法的含义，学会用恰当的形式表示给定集合掌握集合表示的方法.
3．情感、态度与价值观 ( http: / / www. )
（1）了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．
（2）在学习运用集合语言的过程中，增强学生认识事物的能力．初步培养学生实事求是、扎实严谨的科学态度． ( http: / / www. )
（二）教学重点、难点
重点是集合的概念及集合的表示．难点是集合的特征性质和概念以及运用特征性质描述法正确地表示一些简单集合. ( http: / / www. )
（三）教学方法
尝试指导与合作交流相结合．通过提出问题、观察实例，引导学生理解集合的概念，分析、讨论、探究集合中元素表达的基本要求，并能依照要求举出符合条件的例子，加深对概念的理解、性质的掌握．通过命题表示集合，培养运用数学符合的意识.
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
提出 ( http: / / www. )问题 一个百货商店，第一批进货是帽子、皮鞋、热水瓶、闹钟共计4个品种，第二批进货是收音机、皮鞋、尼龙袜、茶杯、闹钟共计5个品种，问一共进了多少品种的货 能否回答一共进了4 + 5 = 9种呢？ 学生回答（不能，应为7种），然后教师和学生共同分析原因：由于两次进货共同的品种有两种，故应为4 +5 – 2 = 7种．从而指出： ( http: / / www. ) ……这好像涉及了另一种新的运算．…… 设疑激趣，导入课题． ( http: / / www. )
复习引入 ①初中代数中涉及“集合”的提法． ( http: / / www. )②初中几何中涉及“集合”的提法． 引导学生回顾，初中代数中不等式的解法一节中提到的有关知识：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集． ( http: / / www. ) 几何中，圆的概念是用集合描述的． 通过复习回顾，引出集合的概念．
概念形成 第一组实例（幻灯片一）： ( http: / / www. ) （1）“小于l0”的自然数0，1，2，3，……，9． （2）满足3x – 2 ＞x + 3的全体实数． ( http: / / www. )（3）所有直角三角形．（4）到两定点距离的和等于两定点间的距离的点． ( http: / / www. )（5）高一（1）班全体同学．（6）参与中国加入WTO谈判的中方成员． ( http: / / www. )1．集合：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）． ( http: / / www. )2．集合的元素（或成员）： 即构成集合的每个对象（或成员）， 教师提问：①以上各例（构成集合）有什么特点 请大家讨论． ( http: / / www. )学生讨论交流，得出集合概念的要点，然后教师肯定或补充．②我们能否给出集合一个大体描述 ……学生思考后回答，然后教师总结． ( http: / / www. )③上述六个例子中集合的元素各是什么 ④请同学们自己举一些集合的例子． 通过实例，引导学生经历并体会集合（描 ( http: / / www. )述性）概念形成的过程，引导学 ( http: / / www. )生进一步明确集合及集合元素的概念，会用自然语言描述集合．
概念深化 第二组实例（幻灯片二）： ( http: / / www. )（1）参加亚特兰大奥运会的所有中国代表团的成员构成的集合．（2）方程x2 = 1的解的全体构成的集合． ( http: / / www. )（3）平行四边形的全体构成的集合．（4）平面上与一定点O的距离等于r的点的全体构成的集合． ( http: / / www. )3．元素与集合的关系： 教师要求学生看第二组实例，并提问：①你能指出各个集合的元素吗？②各个集合的元素与集合之间是什么关系？③例（2）中数0，–2是这个集合的元素吗 学生讨论交流，弄清元素与集合之间是从属关系，即“属于”或“不属于”关系． 引入集合语言描述集合．
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教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
念深化 集合通常用英语大写字母A、B、C…表示，它们的元素通常用英语小写字母a、b、c…表示． ( http: / / www. )如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A，读作“a属于A”． ( http: / / www. )如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作aA，读作“a不属于A”． ( http: / / www. )4．集合的元素的基本性质；（1）确定性：集合的元素必须是确定的．不能确定的对象不能构成集合． ( http: / / www. )（2）互异性：集合的元素一定是互异的．相同的几个对象归于同一个集合时只能算作一个元素．第三组实例（幻灯片三）： ( http: / / www. ) （1）由x2，3x + 1，2x2 – x + 5三个式子构成的集合．（2）平面上与一个定点O的距离等于1的点的全体构成的集合． ( http: / / www. )（3）方程x2 = – 1的全体实数解构成的集合． 5．空集：不含任何元素的集合，记作． ( http: / / www. )6．集合的分类：按所含元素的个数分为有限集和无限集．7．常用的数集及其记号（幻灯片四）． ( http: / / www. ) N：非负整数集（或自然数集）． N*或N+：正整数集（或自然数集去掉0）． ( http: / / www. )Z：整数集．Q：有理数集． ( http: / / www. )R：实数集． 教师提问：“我们班中高个子的同学”、“年轻人”、“接近数0的数”能否分别组成一个集合，为什么？学生分组讨论、交流，并在教师的引导下明确： ( http: / / www. )给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了．另外，集合的元素一定是互异的．相同的对象归于同一个集合时只能算作集合的一个元素．教师要求学生观察第三组实例，并提问：它们各有元素多少个 ( http: / / www. ) 学生通过观察思考并回答问题．然后，依据元素个数的多少将集合分类．让学生指出第三组实例中，哪些是有限集？哪些是无限集？…… 请同学们熟记上述符号及其意义． 通过讨论，使学生明确集合元素所具有的性质，从而进一步准确理解集合的概念．通过观察实例，发现集合的元素个数具有不同的类别，从而使学生感受到有限集、无限集、空集存在的客观意义．
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
应用举例 列举法：定义：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.例1 用列举法表示下列集合：（1）小于10的所有自然数组成的集合；（2）方程x2 = x的所有实数根组成的集合；（3）由1～20以内的所有质数组成的集合.描述法：定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法. 具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）方程x2 –2 = 0的所有实数根组成的集合；（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合. 师生合作应用定义表示集合.例1 解答：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A = {0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}.由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此集合A可以有不同的列举法. 例如：A = {9，8，7，6，5，4，3，2，1，0}.（2）设方程x2 = x 的所有实数根组成的集合为B，那么B = {0，1}.（3）设由1～20以内的所有质数组成的集合为C，那么C = {2，3，5，7，11，13，17，19}.例2 解答：（1）设方程x2 – 2 = 0的实数根为 x，并且满足条件x2 – 2 = 0，因此，用描述法表示为A = {x∈R| x2 –2 = 0}.方程x2 –2 = 0有两个实数根，，因此，用列举法表示为A = {，}.（2）设大于10小于20的整数为 x，它满足条件x∈Z，且10＜x＜20. 因此，用描述法表示为B = {x∈Z | 10＜x＜20}.大于10小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列举法表示为B = {11，12，13，14，15，16，17，18，19}.
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
应用举例 例3 已知由l，x，x2，三个实数构成一个集合，求x应满足的条件． 解：根据集合元素的互异性，得 所以x∈R且x≠±1，x≠0．课堂练习：教材第5页练习A1、2、3．例2 用∈、填空．① Q；② Z；③ R；④0 N；⑤0 N*；⑥0 Z． 学生分析求解，教师板书． 幻灯片五（练习答案），反馈矫正． 通过应用，进一步理解集合的有关概念、性质．
例4 试选择适当的方法表示下列集合：（1）由方程x2 – 9 = 0的所有实数根组成的集合；（2）由小于8的所有素数组成的集合；（3）一次函数y = x + 3与 y = –2x + 6的图象的交点组成的集合；（4）不等式4x – 5＜3的解集. 生：独立完成；题：点评说明.例4 解答：（1）{3，–3}；（2）{2，3，5，7}；（3）{(1，4)}；（4）{x| x＜2}.
归纳总结 ①请同学们回顾总结，本节课学过的集合的概念等有关知识；②通过回顾本节课的探索学习过程，请同学们体会集合等有关知识是怎样形成、发展和完善的．③通过回顾学习过程比较列举法和描述法. 归纳适用题型. 师生共同总结——交流——完善． 引导学生学会自己总结；让学生进一步（回顾）体会知识的形成、发展、完善的过程．
课后作业 1.1 第一课时习案 由学生独立完成． 巩固深化；预习下一节内容，培养自学能力．
备选例题
例1（1）利用列举法表法下列集合：①{15的正约数}；②不大于10的非负偶数集.
（2）用描述法表示下列集合：①正偶数集； ②{1，–3，5，–7，…，–39，41}.
【分析】考查集合的两种表示方法的概念及其应用.
【解析】（1）①{1，3，5，15}
②{0，2，4，6，8，10}
（2）①{x | x = 2n，n∈N*}
②{x | x = (–1) n–1·(2n –1)，n∈N*且n≤21}.
【评析】（1）题需把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合，多用于集合中的元素有有限个的情况.
（2）题是将元素的公共属性描述出来，多用于集合中的元素有无限多个的无限集或元素个数较多的有限集.
例2 用列举法把下列集合表示出来：
（1）A = {x∈N |∈N}；
（2）B = {∈N | x∈N }；
（3）C = { y = y = – x2 + 6，x∈N ，y∈N }；
（4）D = {(x，y) | y = –x2 +6，x∈N }；
（5）E = {x |= x，p + q = 5，p∈N ，q∈N*}.
【分析】先看五个集合各自的特点：集合A的元素是自然数x，它必须满足条件也是自然数；集合B中的元素是自然数，它必须满足条件x也是自然数；集合C中的元素是自然数y，它实际上是二次函数y = – x2 + 6 (x∈N )的函数值；集合D中的元素是点，这些点必须在二次函数y = – x2 + 6 (x∈N )的图象上；集合E中的元素是x，它必须满足的条件是x =，其中p + q = 5，且p∈N，q∈N*.
【解析】（1）当x = 0，6，8这三个自然数时，=1，3，9也是自然数.
∴ A = {0，6，9}
（2）由（1）知，B = {1，3，9}.
（3）由y = – x2 + 6，x∈N，y∈N知y≤6.
∴ x = 0，1，2时，y = 6，5，2 符合题意.
∴ C = {2，5，6}.
（4）点 {x，y}满足条件y = – x2 + 6，x∈N，y∈N，则有：
∴ D = {(0，6) (1，5) (2，2) }
（5）依题意知p + q = 5，p∈N，q∈N*，则
x 要满足条件x =，
∴E = {0，，，，4}.
【评析】用描述法表示的集合，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应该符合什么条件，从而准确理解集合的意义.
例3 已知–3∈A = {a –3，2a – 1，a2 + 1}，求a的值及对应的集合A.
–3∈A，可知–3是集合的一个元素，则可能a –3 = –3，或2a – 1 = –3，求出a，再代入A，求出集合A.
【解析】由–3∈A，可知，a –3 = –3或2a –1 = –3，当a –3 = –3，即a = 0时，A = {–3，–1，1}
当2a – 1 = –3，即a = –1时，A = {– 4，–3，2}.
【评析】元素与集合的关系是确定的，–3∈A，则必有一个式子的值为 –3，以此展开讨论，便可求得a.
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3.2.2 几类不同增长的函数模型
（一）教学目标 ( http: / / www. )
1．知识与技能
利用函数增长的快慢一般规律，借助函数模型，研究解决实际问题，培养数学的应用意识. ( http: / / www. )
2．进程与方法
在实例分析、解决的过程中，体会函数增长快慢的实际意义，从而提高学生应用数学解决实际问题的能力. ( http: / / www. )
3．情感、态度与价值观
在实际问题求解的过程中，享受数学为人们的生产和生活服务的乐趣，激发学生学习数学知识的兴趣. ( http: / / www. )
（二）教学重点与难点
重点：应用数学理论解决实际问题的兴趣培养和能力提升 ( http: / / www. )
难点：函数建模及应用函数探求问题的能力培养.
（三）教学方法 ( http: / / www. )
尝试指导与合作交流相结合，学生自主学习和老师引导相结合.解决实际问题范例，培养学生利用函数增长快慢的数学知识对实际问题进行探究和决策.
（四）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
回顾复习 ( http: / / www. )引入深题 ①增函数的增长快慢比较方法：利用列表与图象，借助二分法求根，探究快慢相应区间获得一般结论. 师：幂函数、指数函数、对数函数的增长快慢一般性规律.生：回顾总结，口述回答. 以旧引新导入课题
实例分析 例1 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： ( http: / / www. )方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； ( http: / / www. )方案三：第一天回报0.4元，以后每天回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？ ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. )例2 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y = 0.25x，y = log7x + 1，y = 1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？ 师生合作探究解答过程例1 解答：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y = 40 (x∈N*)进行描述；方案二可以用函数y = 10x(x∈N*)进行描述；方案三可以用函数y = 0.4×2x–1(x∈N*)进行描述. ( http: / / www. )三种方案所得回报的增长情况x/天方案一y/元增加量/元1402400340044005400640074008400940010400………30400x/天方案二y/元增加量/元11022010330104401055010660107701088010990101010010………3030010x/天方案三y/元增加量/元10.420.80.431.60.843.21.656.43.2612.86.4725.612.8851.225.69102.451.210204.8102.4………30214748364.8107374182.4再作三个函数的图象 ( http: / / www. )在第1~3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5~8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元.例2 解答：作出函数y=5，y=0.25x，y=log7x +1，y=1.002x的图象. ( http: / / www. )观察图象发现，在区间[10，1000]上，模型y=0.25x，y=1.002x的图象都有一部分在直线y=5的上方，只有模型y=log7x+1的图象始终在y=5的下方，这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励时才符合公司的要求. ( http: / / www. )首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万.对于模型y=0.25x，它在区间[10，1000]上递增，而且当x=20时，y=5，因此，当x＞20时，y＞5，所以该模型不符合要求； ( http: / / www. )对于模型y=log7x+1，它在区间[10，1000]上递增，而且当x=1000时，y=log71000+1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.再计算按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10，1000]时，是否有 ( http: / / www. )成立.令f(x)=log7 x+1– 0.25x，x∈[10,1000] 将实际问题转化为数学问题，利用图象、表格及恰当的推理，应用不同函数的增长快慢解决实际应用问题.
巩固练习 1．四个变量y1 ，y2 ，y3 ，y 4随变量x变化的数据如下表x051015y151305051130y2594.4781785.233733y35305580y452.31071.42951.1407x202530y1200531304505y26.37×1051.2×1072.28×108y3105130155y41.04611.01511.005关于x呈指数型函数变化的变量是 . ( http: / / www. )2．某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么它就会在下一轮病毒发作时传播一次病毒，并感染其他20台未感染病毒的计算机.现有10台计算机被第1轮病毒感染，问被第5轮病毒感染的计算机有多少台？ 1．解：y22．解：设第1轮病毒发作时有a1=10台被感染，第2轮，第3轮……依次有a2台，a3 台……被感染，依题意有a5=10×204=160. ( http: / / www. )答：在第5轮病毒发作时会有160万台被感染. 动手尝试提升解题能力
归纳总结 2．中学数学建模的主要步骤（1）理解问题：阅读理解，读懂文字叙述，认真审题，理解实际背景.弄清楚问题的实际背景和意义，设法用数学语言来描述问题. ( http: / / www. )（2）简化假设：理解所给的实际问题之后，领悟背景中反映的实质，需要对问题作必要的简化，有时要给出一些恰当的假设，精选问题中关键或主要的变量.（3）数学建模：把握新信息，勇于探索，善于联想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符号，构建数学模型，常用的数学模型有方程、不等式、函数. ( http: / / www. )（4）求解模型：以所学的数学性质为工具对建立的数学模型进行求解.（5）检验模型：将所求的结果代回模型之中检验，对模拟的结果与实际情形比较，以确定模型的有效性，如果不满意，要考虑重新建模.（6）评价与应用：如果模型与实际情形比较吻合，要对计算的结果作出解释并给出其实际意义，最后对所建立的模型给出运用范围.如果模型与实际问题有较大出入，则要对模型改进并重复上述步骤. 师生合作 反思归纳总结完善生：通过独立思考和必要的交流，分析归纳例1、例2的解题过程，简述建模的主要步骤.师：点评、总理学生的回答，然后完善归纳步骤.师生合作：结合上一课时总结函数增长快慢在实际应用问题中的应用体会. 培养整理知识的学习品质.通过知识整合培养数学应用能力.
课后练习 3.2 第二课时 习案 学生独立完成 强化基础提高能力
备选例题
例1 有一批影碟机（VCD）原销售价为每台800元，在甲、乙两家电商场均有销售. 甲商场用如下的方法促销，买一台单价为780元，买二台单价为760元，依次类推，每多买一台单价均减少20元，但每台最低不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费最小.
【解析】设单位购买x台影碟机，
在甲商场购买，每台的单价为800 – 20x，则总费用
在乙商场购买，费用y = 600x.
（1）当0＜x＜10时，(800x – 20x2)＞600x
∴购买影碟机低于10台，在乙商场购买.
（2）当x = 10时，(800x – 20x2) = 600x
∴购买10台影碟机，在甲商场或在乙商场费用一样.
（3）当10＜x≤18时，(800x – 20x2)＜600x
∴购买影碟机多于10台且不多于18台，在甲商场购买.
（4）当x≥18时，600x＞440x
∴购买影碟机多于18台，在甲商场购买.
答：若购买小于10台，去乙商场购买；若购买10台，在甲商场或在乙商场费用一样多；若购买多于10台，在甲商场购买.
【评析】实际应用问题求解，理解题意建立模型是关键，建好模型后实际问题使自然转化为数学问题.
例2 某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双. 由于产品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时，接受定单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量. 厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程. 厂里也暂时不准备增加设备和工人. 假如你是厂长，就月份x，产量为y给出四种函数模型：y = ax + b，y = ax2 + bx + c，y = a+ b，y = abx + c，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？
【解析】本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型.
由题意知A（1，1），B（2，1.2），C（3，1.3），D（4，1.37）.
（1）设模拟函数为y=ax+b，将B、C两点的坐标代入函数式，有，解得
所以得y=0.1x+1.
因此此法的结论是：在不增加工人和设备的条件下，产量会月月上升1000双，这是不太可能的.
（2）设y = ax2 + bx + c，将A、B、C三点代入，有，解得，
所以y= – 0.05x2+0.35x+0.7.
因此由此法计算4月份产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且，由二次函数性质可知，产量自4月份开始将月月下降（图象开口向下，对称轴x=3.5），不合实际.
（3）设y=+b，将A，B两点的坐标代入，有，解得，
所以y=.
因此把x = 3和4代入，分别得到y=1.35和1.48，与实际产量差距较大.
（4）设y = abx + c，将A，B，C三点的坐标代入，得，解得，
所以y= – 0.8×(0.5)x+1.4.
因此把x= 4代入得y= – 0.8×0.54+1.4=1.35.比较上述四个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，比如增产的趋势和可能性. 经过筛选，以指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于新建厂，开始随工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数函数模拟恰好反映了这种趋势.
因此，选用y= –0.8×0.54+1.4模拟比较接近客观实际.
【评析】本题是对数据进行函数模拟，选择最符合的模拟函数.一般思路要先画出散点图，然后作出模拟函数的图象，选择适合的几种函数类型后，再加以验证.函数模型的建立是最大的难点，另外运算量较大，必须借助计算机进行数据处理，函数模型的可靠性与合理性既需要数据检验，又必须与实际结合起来.
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第三章 单元小结（一）
（一）教学目标 ( http: / / www. )
1．知识与技能
整合函数与方程的基本知识和基本方法，进一步提升函数与方程思想. ( http: / / www. )
2．过程与方法
通过学生自我回顾、反思、整理、归纳所学知识，从而构建本节的知识体系 ( http: / / www. )
3．情感、态度与价值观
在学习过程中，学会整合知识，提升自我学习的品质，养成合作、交流、创新的良好学习品质. ( http: / / www. )
（二）教学重点与难点
重点：整合单元知识；难点：提升综合运用单元知识的能力. ( http: / / www. )
（三）教学方法
动手练习与合作交流相结合，在整合知识中构建单元知识体系，在综合练习中提升综合运用单元知识的能力. ( http: / / www. )
（四）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
回顾反思构建体系 1．函数与方程单元知识网络 ( http: / / www. )2．知识梳理①二次函数的零点与一元二次方程根的关系 ( http: / / www. )对于二次函数f (x) = ax2 + bx + c (a≠0)，当f (x) = 0时，就是一元二次方程ax2 + bx + c = 0，因此，二次函数f (x) = ax2 + bx + c (a≠0)的零点就是一元二次方程ax2 + bx + c = 0的根；也即二次函数f (x) = ax2 + bx + c的图象——抛物线与x轴相交时，交点的横坐标就是一元二次方程ax2 + bx + c = 0的根.②函数的零点的理解 ( http: / / www. )（1）函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零.(2)根据函数零点定义可知，函数f (x)的零点就是f (x) = 0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f (x) = 0是否有实根，有几个实根. ( http: / / www. )③函数零点的判定判断一个函数是否有零点，首先看函数f (x)在区间[a，b]上的图象是否连续，并且是否存在f (a)·f (b)＜0，若满足，那么函数y = f (x)在区间（a，b）内必有零点. ( http: / / www. )④用二分法求方程的近似解要注意以下问题：（1）要看清题目要求的精确度，它决定着二分法步骤的结束. ( http: / / www. )（2）初始区间的选定一般在两个整数间，不同的初始区间结果是相同的，但二分的次数却相差较大.（3）在二分法的第四步，由|a – b|＜，便可判断零点近似值为a或b. ( http: / / www. )⑤用二分法求曲线的近似交点应注意以下几点：（1）曲线的交点坐标是方程组的解，最终转化为求方程的根； ( http: / / www. )（2）求曲线y = f (x)和y = g(x)的交点的横坐标，实际上就是求函数y = f (x) – g (x)的零点，即求方程f (x) – g (x) = 0的实数解. 1．师生合作，绘制单元知识网络图2．学生回顾口述知识要点，老师总结、归纳，师生共同进行知识疏理. 整理知识，培养归纳能力；师生共同回顾、再现知识与方法.
经典例题剖析 ( http: / / www. )例1 利用计算器，求方程2x + 2x – 5 = 0的近似解. (精确到0.1) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. )例2 确定函数f (x) =+ x – 4 的零点个数. ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. )例3（1）试说明方程2x3 – 6x2 +3 = 0有3个实数解，并求出全部解的和（精确到0.01）（2）探究方程2x3 – 6x2 +5 = 0，方程2x3 – 6x2 +8 = 0全部解的和，你由此可以得到什么结论？ ( http: / / www. ) 1．学生自主完成例1、例2、例3，求解学生代表板书解答过程，老师点评，总结.例1【解析】设f (x) = 2x + 2x – 5，由于函数在R上是增函数，所以函数f (x)在R上至多一个零点. ( http: / / www. )∵f (1) = –1＜0，f (2) = 3＞0，∴f (1) f (2)＜0， ( http: / / www. )∴函数f (x) = 2x + 2x – 5在(1, 2)内有一个零点，则二分法逐次计算，列表如下：取区间中点值中点函数值(1, 2)1.50.83(正数)(1, 1, 5)1.25–0.12(负数)(1.25, 1.5)1.3750.34(正数)(1.25, 1.375)1.31250.11(正数)(1.25, 1.3125)∵|1.3125 – 1.25| = 0.0625＜0.1，∴函数f (x)的零点近似值为1.3125. ( http: / / www. )∴方程2x + 2x – 5 = 0的近似解是1.3125.例2【解析】设，则f (x)的零点个数即y1与y2的交点个数，作出两函数图象如图. ( http: / / www. )由图知，y1与y2在区间(0, 1)内有一个交点， ( http: / / www. )当x = 4时，y1 = –2，y2 = 0，当x = 8时，y1 = –3，y2 = – 4， ( http: / / www. )∴在(4, 8)内两曲线又有一个交点，又和y2 = x – 4均为单调函数.∴两曲线只有两个交点， ( http: / / www. )即函数有两个零点.例3【解析】（1）设函数 f (x) =2x3 – 6x2 +3， ( http: / / www. )∵f (–1) = –5＜0，f (0) = 3＞0，f (1) = –1＜0，f (2) = –5＜0，f (3) = 3＞0，函数y = f (x)的图象是连续的曲线，∴方程2x3 – 6x2 +3 = 0有3个实数解．首先以区间[–1，0]为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：端点或中点的横坐标a0 = –1，b0 = 0x0 = (–1+0) / 2 = – 0.5x1 = (–1– 0.5) /2 = – 0.75x2 = (– 0.75 – 0.5) / 2= – 0.625x3 = (– 0.75 – 0.625) / 2= – 0.687 5x4 = (– 0.687 5 – 0.625) / 2= – 0.656 25x5 = (– 0.656 25 – 0.625) / 2= – 0.640 625x6= (– 0.656 25 – 0.640 625) / 2= – 0.648 437 5x7= – 0.644 531 25计算端点或中点的函数值定区间f (–1) = –5，f (0) =3[–1，0]f (x0) = f (– 0.5) = 1.25＞0[–1，–0.5]f (x1) = f (– 0.75)＜0[– 0.75，–0.5]f (x2) = f (– 0.625)＞0[– 0.75，–0.625]f (x3) = f (– 0.687 5)＜0[– 0.687 5，–0.625]f (x4) = f (– 0.656 25)＜0[– 0.656 25，–0.625]f (x5) = f (– 0.640 625)＞0[– 0.656 25，–0.640 625]f (x6) = f (– 0.648 437 25)＜0[– 0.648 437 5，–0.640 625]f (x7)＜0[– 0.644 531 25，–0.640 625]由上表计算可知，区间[– 0.64453125，– 0.640625]的左、右两端点精确到0.01所取的近似值都是 – 0.64，所以– 0.64可以作为方程2x3 – 6x2 +3 = 0在区间[–1，0]上的一个近似解．同理可求得方程2x3 – 6x2 +3 = 0在区间[0，1]和[2，3]内且精确到0.01的近似解分别为0.83，2.81．所以方程2x3 – 6x2 +3 = 0全部解的和为– 0.64 + 0.83 + 2.81 = 3．（2）利用同样方法可求得方程2x3 – 6x2 +5 = 0和方程2x3 – 6x2 +8 = 0全部解的和也为3．由于3只与未知数的系数比相等，即 – (– 6÷2) = 3，所以猜想：一般地，对于一元三次方程ax3+ bx3 + cx +d = 0有三个根xl，x2，x3，则和为x1 +x2 +x3 =． 动手尝试练习提升综合应用知识的能力.
备选例题
例1 求函数y = x3 – 2x2 – x + 2的零点，并画出它的图象.
【解析】因为x3 – 2x – x + 2 = x2 (x – 2) – (x – 2) = (x – 2) (x2 – 1) = (x – 2) (x – 1) (x + 1)，
所以已知函数的零点为–1，1，2.
3个零点把x轴分成4个区间：
，[–1，1]，[1，2]，.
在这4个区间内，取x的一些值(包括零点)，列出这个函数的对应值表：
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 …
y … – 4.38 0 1.88 2 1.13 0 –0.63 0 2.63 …
在直角坐标系内描点连线，这个函数的图象如图所示.
例2 求函数f (x) = x3 + x2 – 2x – 2的一个为正实数的零点（误差不超过0.1）.
【解析】由于f (1) = –2＜0，f (2) = 6＞0，可以取区间[1，2]作为计算的初始区间.
用二分法逐次计算，列表如下：
端点（中点）坐标 计算中点的函数值 取区间 |an – bn|
[1，2] 1
x0 = (1 + 2)/2 = 1.5 f(x0)=0.625＞0 [1，1.5] 0.5
x1 = (1 + 1.5)/2 = 1.25 f(x1)= –0.984＜0 [1.25，1.5] 0.25
x2=(1.25+1.5)/2 =1.375 f(x2)= –0.260＜0 [1.375，1.5] 0.125
x3=(1.375+1.5)/2=1.438
由上表的计算可知，区间[1.375，1.5 ]的长度小于0.2，所以这个区间的中点x3 = 1.438可作为所求函数误差不超过0.1的一个正实数零点的近似值.
函数f (x) = x3 + x2 – 2x – 2的图象如图所示.
实际上还可用二分法继续算下去，进而得到这个零点精确度更高的近似值.
函数与方程
二分法求方程的近似 解
方程的根与函数零点的关系
函数零点的存在性判定
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2.1.2 指数函数及其性质（三）
（一）教学目标 ( http: / / www. )
1．知识与技能：
（1）熟练掌握指数函数概念、图象、性质； ( http: / / www. )
（2）掌握指数形式的函数定义域、值域的求法，以及单调性、奇偶性判断；
（3）培养学生数学应用意识 ( http: / / www. )
2．过程与方法：
（1）让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理； ( http: / / www. )
（2）培养学生观察问题，分析问题的能力.
3．情感、态度与价值观 ( http: / / www. )
（1） 认识从特殊到一般的研究方法.
（2） 了解数学在生产实际中的应用. ( http: / / www. )
（二）教学重点、难点
1．教学重点：指数形式的函数图象、性质的应用. ( http: / / www. )
2．教学难点：判断单调性.
（三）教学方法 ( http: / / www. )
启发学生运用证明函数单调性的基本步骤对指数形式的复合函数的单调性进行证明，但应在变形这一关键步骤帮助学生总结、归纳有关指数形式的函数变形技巧，以利于下一步判断.
（四）教学过程 ( http: / / www. )
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习 ( http: / / www. )引入 回顾1.指数函数的定义、图象、性质. ( http: / / www. )2.函数的单调性、奇偶性的定义，及其判定方法.3. 复合函数单调性的判定方法. ( http: / / www. ) 老师提问学生回答 ( http: / / www. )复合函数y=f［g（x）］是由函数u=g（x）和y=f（u）构成的，函数u=g（x）的值域应是函数y=f（u）的定义域的子集.在复合函数y=f［g（x）］中，x是自变量，u是中间变量.当u=g（x）和y=f（u）在给定区间上增减性相同时，复合函数y=f［g（x）］是增函数；增减性相反时，y=f［g（x）］是减函数. ( http: / / www. ) 为学习新课作好了知识上的准备.
应用举例 例1 当a＞1时，判断函数y=是奇函数. ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. )例2 求函数y=（）的单调区间，并证明之. ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. )课堂练习1. 求函数y=3的单调区间和值域.2. 设a是实数，试证明对于任意a,为增函数； 例1师：你觉得应该如何去判断一个函数的奇偶性？（生口答，师生共同归纳总结）方法引导：判断一个函数奇偶性的一般方法和步骤是：（1）求出定义域，判断定义域是否关于原点对称.（2）若定义域关于原点不对称，则该函数是非奇非偶函数.（3）若所讨论的函数的定义域关于原点对称，进而讨论f（－x）和f（x）之间的关系.若f（－x）=f（x），则函数f（x）是定义域上的偶函数；若f（－x）=－f（x），则函数f（x）是定义域上的奇函数；若f（－x）=f（x）且f（－x）=－f（x），则函数f（x）在定义域上既是奇函数又是偶函数.师：请同学们根据以上方法和步骤，完成例题1.（生完成引发的训练题，通过实物投影仪，交流各自的解答，并组织学生评析，师最后投影显示规范的解答过程，规范学生的解题）证明：由ax－1≠0，得x≠0，故函数定义域为{x|x≠0}，易判断其定义域关于原点对称.又f（－x）====－f（x），∴f（－x）=－f（x）.∴函数y=是奇函数.例2师：证明函数单调性的方法是什么 （生口答，师生共同归纳总结）方法引导：（1）在区间D上任取x1＜x2.（2）作差判断f（x1）与f（x2）的大小：化成因式的乘积，从x1＜x2出发去判断.（3）下结论：如果f（x1）＜f（x2），则函数f（x）在区间D上是增函数；如果f（x1）＞f（x2），则函数f（x）在区间D上是减函数.解：在R上任取x1、x2，且x1＜x2，则==（）=（）.∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.当x1、x2∈（－∞，1］时，x1+x2－2＜0.这时（x2－x1）（x2+x1－2）＜0，即＞1.∴y2＞y1，函数在（－∞，1］上单调递增.当x1、x2∈［1，+∞）时，x1+x2－2＞0，这时（x2－x1）（x2+x1－2）＞0，即＜1.∴y2＜y1，函数在［1，+∞上单调递减. 综上，函数y在（－∞，1］上单调递增，在［1，+∞）上单调递减.合作探究：在填空、选择题中用上述方法就比较麻烦，因此我们可以考虑用复合函数的单调性来解题. 解法二、（用复合函数的单调性）：设： 则：对任意的，有，又∵是减函数∴ ∴在是减函数对任意的，有，又∵是减函数∴ ∴在是增函数小结：在讨论比较复杂的函数的单调性时，首先根据函数关系确定函数的定义域，进而分析研究函数解析式的结构特征，将其转化为两个或多个简单初等函数在相应区间上的单调性的讨论问题.在该问题中先确定内层函数（）和外层函数（）的单调情况，再根据内外层函数的单调性确定复合函数的单调性.课堂练习答案1.解：由题意可知，函数y=3的定义域为实数R.设u=－x2+2x+3（x∈R），则f（u）=3u，故原函数由u=－x2+2x+3与f（u）=3u复合而成.∵f（u）=3u在R上是增函数，而u=－x2+2x+3=－（x－1）2+4在x∈（－∞，1］上是增函数，在［1，+∞）上是减函数.∴y=f（x）在x∈（－∞，1］上是增函数，在［1，+∞）上是减函数.又知u≤4，此时x=1，∴当x=1时，ymax=f（1）=81，而3＞0，∴函数y=f（x）的值域为（0，81］.2.分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明还应要求学生注意不同题型的解答方法（1）证明：设∈R,且则 由于指数函数 y=在R上是增函数,且,所以即<0，又由>0得+1>0, +1>0所以<0即因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数，为增函数小结：上述证明过程中，在对差式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性 掌握指数形式函数奇偶性的判断.掌握指数形式函数单调性的判断.
归纳总结 1.复合函数单调性的讨论步骤和方法；2.复合函数奇偶性的讨论步骤和方法. 学生先自回顾反思，教师点评完善． 形成知识体系.
课后作业 作业：2.1 第六课时 习案 学生独立完成 巩固新知提升能力
备选例题
例1已知且，讨论的单调性.
【分析】这是一道与指数函数有关的复合函数讨论单调性题，
指数，当≥时是减函数，≤时是增函数，
而的单调性又与和两种范围有关，应分类讨论.
【解析】设
，
则当≥时，是减函数，
当≤时，是增函数，
又当时，是增函数，
当时，是减函数，
所以当时，原函数在上是减函数，在上是增函数.
当时，原函数在上是增函数，在上是减函数.
【小结】一般情况下，两个函数都是增函数或都是减函数，则其复合函数是增函数；如果两个函数中一增一减，则其复合函数是减函数，但一定注意考虑复合函数的定义域.
例2已知函数 求函数的定义域、值域
解：作出函数图像，观察分析讨论，教师引导、整理.
定义域为 R
由得
∵xR, ∴△0, 即 , ∴, 又∵，∴
∴值域为.
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第二章 基本初等函数（Ⅰ）
一、课标要求： ( http: / / www. )
教材把指数函数，对数函数，幂函数当作三种重要的函数模型来学习，强调通过实例和图象的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系，体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体函数模型解决一些实际问题.
1. 了解指数函数模型的实际背景. ( http: / / www. )
2. 理解有理数指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.
3. 理解指数函数的概念和意义，掌握f(x)=ax的符号、意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）. ( http: / / www. )
4. 通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型.
5. 理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用. ( http: / / www. )
6. 通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握f(x)=logax符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型，能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）.
7. 知道指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数（a＞0, a≠1），初步了解反函数的概念和f- -1(x)的意义. ( http: / / www. )
8. 通过实例，了解幂函数的概念，结合五种具体函数的图象，了解它们的变化情况 .
二、编写意图与教学建议： ( http: / / www. )
1. 教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念，所举例子比较全面，有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望. 教学中要充分发挥课本的这些材料的作用，并尽可能联系一些熟悉的事例，以丰富教学的情景创设.
2. 在学习对数函数的图象和性质时，教材将它与指数函数的有关内容做了比较，让学生体会两种函数模型的增长区别与关联，渗透了类比思想. 建议教学中重视知识间的迁移与互逆作用.
3、教材对反函数的学习要求仅限于初步知道概念，目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模型的学习，教学中不宜对其定义做更多的拓展 .
4. 教材对幂函数的内容做了削减，仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数，并且安排的顺序向后调整，教学中应防止增加这部分内容，以免增加学生学习的负担.
5. 通过运用计算机绘制指数函数的动态图象,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能 ..
6. 教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.
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3.1.1 方程的根与函数的零点
（一）教学目标 ( http: / / www. )
1．知识与技能
（1）理解函数零点的意义，了解函数零点与方程根的关系. ( http: / / www. )
（2）由方程的根与函数的零点的探究，培养转化化归思想和数形结合思想.
2．过程与方法 ( http: / / www. )
由一元二次方程的根与一元二次函数的图象与x轴的交点情况分析，导入零点的概念，引入方程的根与函数零点的关系，从而培养学生的转化化归思想和探究问题的能力.
3．情感、态度与价值观 ( http: / / www. )
在体验零点概念形成过程中，体会事物间相互转化的辨证思想，享受数学问题研究的乐趣.
（二）教学重点与难点 ( http: / / www. )
重点：理解函数零点的概念，掌握函数零点与方程根的求法.
难点：数形结合思想，转化化归思想的培养与应用. ( http: / / www. )
（三）教学方法
在相对熟悉的问题情境中，通过学生自主探究，合作交流中完成的学习任务.尝试指导与自主学习相结合. ( http: / / www. )
（四）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 观察下列三组方程与函数方 程函 数x2–2x–3 = 0y=x2–2x–3x2–2x+1 = 0y=x2–2x+1x2–2x+3 = 0y=x2–2x+3利用函数图象探究方程的根与函数图象与x轴的交点之间的关系 师生合作师：方程x2 – 2x –3 = 0的根为–1，3函数y = x2 – 2x – 3与x轴交于点(–1，0) (3，0) ( http: / / www. )生：x2 – 2x + 1 = 0有相等根为1.函数y= x2 – 2x + 1与x轴有唯一交点 (1，0). ( http: / / www. )x2 – 2x + 3 = 0没有实根函数y = x2 – 2x + 3与x轴无交点 以旧引新，导入课题
概念形成 1.零点的概念 ( http: / / www. )对于函数y=f (x),称使 y=f (x)= 0的实数x为函数 y=f (x)的零点2.函数的零点与方程根的关系 ( http: / / www. )方程f (x) = 0有实数根函数y = f (x)的图象与x轴有交点函数y = f (x)的零点 ( http: / / www. )3.二次函数零点的判定对于二次函数y = ax2 + bx + c与二次方程ax2 + bx + c，其判别式△= b2 – 4ac判别 ( http: / / www. )式方程ax2 + bx + c = 0的根函数y = ax2 + bx + c的零点△＞0两不相等实根两个零点△=0两相等实根一个零点△＜0没有实根0个零点 师:我们通俗地称函数与x轴交点的横坐标为函数的零点,请同学归纳零点的定义师：考察函数①y = lgx ( http: / / www. )②y = lg2(x + 1) ③y = 2x④y = 2x – 2的零点 ( http: / / www. )生：①y = lgx的零点是x = 1②y = lg2(x + 1)的零点是x=0 ( http: / / www. )③y = 2x没有零点④y = 2x – 2的零点是x = 1 归纳总结 ( http: / / www. )感知概念分析特征 ( http: / / www. )形成概念
概念深化 引导学生回答下列问题①如何求函数的零点？ ( http: / / www. )②零点与图象的关系怎样？ 师生合作，学生口答，老师点评，阐述生①零点即函数为零对应的自变量的值,零点即对应方程的根 ( http: / / www. )②零点即函数图象与x轴交点的横坐标③求零点可转化为求方程的根 以问题讨论代替老师的讲援
应用举例 练习1.求函数y = –x2 – 2x + 3的零点，并指出y＞0，y = 0的x的取值范围练习2.求函数y =x3 – 2x2 – x + 2的零点，并画出它的图象练习3.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：（1） –x2+3x+5 = 0；（2）2x (x–2) = –3；（3）x2 = 4x – 4；（4）5x2+2x=3x2+5. 学生自主尝试练习完成练习1、2、3生：练习1解析：零点–3，1x∈(–3，1)时y＞0时y＜0练习2解析：因为x3–2x2–x+2 = x2 (x – 2) – (x – 2) = (x–2) (x2–1) = (x – 2) (x – 1) (x + 1)，所以已知函数的零点为–1，1，2.3个零点把x轴分成4个区间：，[–1，1]，[1，2]，在这4个区间内，取x的一些值（包括零点），列出这个函数的对应值表：x…–1.5–1–0.500.511.522.5…y…–4.3801.8821.130–0.6302.63…在直角坐标系内描点连线，这个函数的图象如图所示练习3解析：（1）令f (x) = –x2 + 3x + 5，作出函数f (x)的图象，它与x轴有两个交点，所以方程–x2 + 3x + 5 = 0有两个不相等的实数根.（2）2x (x – 2) = –3可化为2x2–4x+3=0令f (x) = 2x2–4x+3作出函数f (x)的图象，它与x轴没有交点，所以方程2x (x – 2) = –3无实数根（3）x2 = 4x – 4可化为x2 – 4x + 4 = 0,令f (x) = x2 – 4x + 4，作出函数f (x)的图象，它与x轴只有一个交点（相切），所以方程x2 = 4x – 4有两个相等的实数根（4）5x2+2x=3x2+5可化为2x2 + 2x – 5 = 0，令f (x) = 2x2 + 2x–5，作出函数f (x)的图象，它与x轴有两个交点，所以方程5x2+2x=3x2+5有两个不相等的实数根师：点评板述练习的解答过程 让学生动手练习或借助多媒体演示，加深对概念的说明，培养思维能力
归纳总结 （1）知识方面零点的概念、求法、判定（2）数学思想方面函数与方程的相互转化，即转化思想借助图象探寻规律，即数形结合思想 学生归纳，老师补充、点评、完善 回顾、反思、归纳知识，提高自我整合知识的能力
课后作业 3.1 第一课时 习案 学生独立完成 固化知识，提升能力
备选例题
例：已知a∈R讨论关于x的方程|x2 – 6x + 8| = a的实数解的个数.
【解析】令f (x) = |x2 – 6x + 8|，g (x) = a，在同一坐标系中画出f (x)与g (x)的图象，如图所示，
f (x) = | (x – 3)2 – 1|，
下面对a进行分类讨论，由图象得，
当a＜0时，原方程无实数解；
当a = 0时，原方程实数解的个数为3；
当0＜a＜1时，原方程实数解的个数为4；
当a＞1或a = 0时，原方程实数解的个数为2.
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第3课时 集合的并集和交集
（一）教学目标 ( http: / / www. )
1．知识与技能
（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集. ( http: / / www. )
（2）能使用Venn图表示集合的并集和交集运算结果，体会直观图对理解抽象概念的作用。
（3）掌握的关的术语和符号，并会用它们正确进行集合的并集与交集运算。 ( http: / / www. )
2．过程与方法
通过对实例的分析、思考，获得并集与交集运算的法则，感知并集和交集运算的实质与内涵，增强学生发现问题，研究问题的创新意识和能力. ( http: / / www. )
3．情感、态度与价值观
通过集合的并集与交集运算法则的发现、完善，增强学生运用数学知识和数学思想认识客观事物，发现客观规律的兴趣与能力，从而体会数学的应用价值. ( http: / / www. )
（二）教学重点与难点
重点：交集、并集运算的含义，识记与运用. ( http: / / www. )
难点：弄清交集、并集的含义，认识符号之间的区别与联系
（三）教学方法 ( http: / / www. )
在思考中感知知识，在合作交流中形成知识，在独立钻研和探究中提升思维能力，尝试实践与交流相结合.
（四）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
提出问题引入新知 思考：观察下列各组集合，联想实数加法运算，探究集合能否进行类似“加法”运算. ( http: / / www. )（1）A = {1，3，5}，B = {2，4，6}，C = {1，2，3，4，5，6}（2）A = {x | x是有理数}， ( http: / / www. ) B = {x | x是无理数}， C = {x | x是实数}. 师：两数存在大小关系，两集合存在包含、相等关系；实数能进行加减运算，探究集合是否有相应运算. ( http: / / www. )生：集合A与B的元素合并构成C.师：由集合A、B元素组合为C，这种形式的组合就是为集合的并集运算. 生疑析疑， ( http: / / www. )导入新知
形成概念 思考：并集运算. ( http: / / www. )集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的，称C为A和B的并集.定义：由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合. 称为集合A与B的并集；记作：A∪B；读作A并B，即A∪B = {x | x∈A，或x∈B}，Venn图表示为： ( http: / / www. ) 师：请同学们将上述两组实例的共同规律用数学语言表达出来.学生合作交流：归纳→回答→补充或修正→完善→得出并集的定义. 在老师指导下，学生通过合作交流，探究问题共性，感知并集概念，从而初步理解并集的含义.
应用举例 例1 设A = {4，5，6，8}，B = {3，5，7，8}，求A∪B. ( http: / / www. )例2 设集合A = {x | –1＜x＜2}，集合B = {x | 1＜x＜3}，求A∪B. ( http: / / www. ) 例1解：A∪B = {4, 5, 6, 8}∪{3, 5, 7, 8} = {3, 4, 5, 6, 7, 8}.例2解：A∪B = {x |–1＜x＜2}∪{x|1＜x＜3} = {x = –1＜x＜3}. ( http: / / www. )师：求并集时，两集合的相同元素如何在并集中表示. ( http: / / www. )生：遵循集合元素的互异性.师：涉及不等式型集合问题. ( http: / / www. )注意利用数轴，运用数形结合思想求解.生：在数轴上画出两集合，然后合并所有区间. 同时注意集合元素的互异性. 学生尝试求解，老师适时适当指导，评析. ( http: / / www. )固化概念提升能力
探究性质 ①A∪A = A， ②A∪= A， ( http: / / www. )③A∪B = B∪A，④∪B，∪B. 老师要求学生对性质进行合理解释. 培养学生数学思维能力.
形成概念 自学提要： ( http: / / www. )①由两集合的所有元素合并可得两集合的并集，而由两集合的公共元素组成的集合又会是两集合的一种怎样的运算？②交集运算具有的运算性质呢？ ( http: / / www. )交集的定义.由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集；记作A∩B，读作A交B. ( http: / / www. )即A∩B = {x | x∈A且x∈B}Venn图表示 ( http: / / www. ) 老师给出自学提要，学生在老师的引导下自我学习交集知识，自我体会交集运算的含义. 并总结交集的性质.生：①A∩A = A； ( http: / / www. )②A∩=；③A∩B = B∩A； ( http: / / www. )④A∩，A∩.师：适当阐述上述性质. 自学辅导，合作交流，探究交集运算. 培养学生的自学能力，为终身发展培养基本素质.
应用举例 例1 （1）A = {2，4，6，8，10}， ( http: / / www. )B = {3，5，8，12}，C = {8}.（2）新华中学开运动会，设 ( http: / / www. )A = {x | x是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学}，B = {x | x是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学}，求A∩B.例2 设平面内直线l1上点的集合为L1，直线l2上点的集合为L2，试用集合的运算表示l1，l2的位置关系. 学生上台板演，老师点评、总结.例1 解：（1）∵A∩B = {8}，∴A∩B = C.（2）A∩B就是新华中学高一年级中那些既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学组成的集合. 所以，A∩B = {x | x是新华中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学}.例2 解：平面内直线l1，l2可能有三种位置关系，即相交于一点，平行或重合.（1）直线l1，l2相交于一点P可表示为 L1∩L2 = {点P}；（2）直线l1，l2平行可表示为L1∩L2 =；（3）直线l1，l2重合可表示为L1∩L2 = L1 = L2. 提升学生的动手实践能力.
归纳总结 并集：A∪B = {x | x∈A或x∈B}交集：A∩B = {x | x∈A且x∈B}性质：①A∩A = A，A∪A = A，②A∩=，A∪= A，③A∩B = B∩A，A∪B = B∪A. 学生合作交流：回顾→反思→总理→小结老师点评、阐述 归纳知识、构建知识网络
课后作业 1.1第三课时 习案 学生独立完成 巩固知识，提升能力，反思升华
备选例题
例1 已知集合A = {–1，a2 + 1，a2 – 3}，B = {– 4，a – 1，a + 1}，且A∩B = {–2}，求a的值.
【解析】法一：∵A∩B = {–2}，∴–2∈B，
∴a – 1 = –2或a + 1 = –2，
解得a = –1或a = –3，
当a = –1时，A = {–1，2，–2}，B = {– 4，–2，0}，A∩B = {–2}.
当a = –3时，A = {–1，10，6}，A不合要求，a = –3舍去
∴a = –1.
法二：∵A∩B = {–2}，∴–2∈A，
又∵a2 + 1≥1，∴a2 – 3 = –2，
解得a =±1，
当a = 1时，A = {–1，2，–2}，B = {– 4，0，2}，A∩B≠{–2}.
当a = –1时，A = {–1，2，–2}，B = {– 4，–2，0}，A∩B ={–2}，∴a = –1.
例2 集合A = {x | –1＜x＜1}，B = {x | x＜a}，
（1）若A∩B =，求a的取值范围；
（2）若A∪B = {x | x＜1}，求a的取值范围.
【解析】（1）如下图所示：A = {x | –1＜x＜1}，B = {x | x＜a}，且A∩B=，
∴数轴上点x = a在x = – 1左侧.
∴a≤–1.
（2）如右图所示：A = {x | –1＜x＜1}，B = {x | x＜a}且A∪B = {x | x＜1}，
∴数轴上点x = a在x = –1和x = 1之间.
∴–1＜a≤1.
例3 已知集合A = {x | x2 – ax + a2 – 19 = 0}，B = {x | x2 – 5x + 6 = 0}，C = {x | x2 + 2x – 8 = 0}，求a取何实数时，A∩B 与A∩C =同时成立？
【解析】B = {x | x2 – 5x + 6 = 0} = {2，3}，C = {x | x2 + 2x – 8 = 0} = {2，– 4}.
由A∩B 和A∩C =同时成立可知，3是方程x2 – ax + a2 – 19 = 0的解. 将3代入方程得a2 – 3a – 10 = 0，解得a = 5或a = –2.
当a = 5时，A = {x | x2 – 5x + 6 = 0} = {2，3}，此时A∩C = {2}，与题设A∩C =相矛盾，故不适合.
当a = –2时，A = {x | x2 + 2x – 15 = 0} = {3，5}，此时A∩B 与A∩C =，同时成立，∴满足条件的实数a = –2.
例4 设集合A = {x2，2x – 1，– 4}，B = {x – 5，1 – x，9}，若A∩B = {9}，求A∪B.
【解析】由9∈A，可得x2 = 9或2x – 1 = 9，解得x =±3或x = 5.
当x = 3时，A = {9，5，– 4}，B = {–2，–2，9}，B中元素违背了互异性，舍去.
当x = –3时，A = {9，–7，– 4}，B = {–8，4，9}，A∩B = {9}满足题意，故A∪B = {–7，– 4，–8，4，9}.
当x = 5时，A = {25，9，– 4}，B = {0，– 4，9}，此时A∩B = {– 4，9}与A∩B = {9}矛盾，故舍去.
综上所述，x = –3且A∪B = {–8，– 4，4，–7，9}.
A
B
–1 0 1 2 3
x
A
B
A∩B
≠
≠
≠
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1.3.1函数的单调性
（一）教学目标 ( http: / / www. )
1．知识与技能
（1）理解函数单调性的定义、明确增函数、减函数的图象特征. ( http: / / www. )
（2）能利用函数图象划分函数的单调区间，并能利用定义进行证明.
2．过程与方法 ( http: / / www. )
由一元一次函数、一元二次函数的图象，让学生从图象获得“上升”“下降”的整体认识. 利用函数对应的表格，用自然语言描述图象特征“上升”“下降”最后运用数学符号将自然语言的描述提升到形式化的定义，从而构造函数单调性的概念.
3．情感、态度与价格观 ( http: / / www. )
在形与数的结合中感知数学的内在美，在图形语言、自然语言、数学语言的转化中感知数学的严谨美.
（二）教学重点和难点 ( http: / / www. )
重点：理解增函数、减函数的概念；难点：单调性概念的形成与应用.
（三）教学方法 ( http: / / www. )
讨论式教学法. 在老师的引导下，学生在回顾旧知，细心观察、认真分析、严谨论证的学习过程中生疑与析疑，合作与交流，归纳与总结的过程中获得新知，从而形成概念，掌握方法.
（四）教学过程
教学 ( http: / / www. )环节 教学内容 师生互动 设计意图
提出问题 观察一次函数f (x) = x的图象： ( http: / / www. )函数f (x) = x的图象特征由左到右是上升的. 师：引导学生观察图象的升降. ( http: / / www. )生：看图. 并说出自己对图象 的直观认识.师：函数值是由自变量的增大而增大，或由自变量的增大而减小，这种变化规律即函数的单调性. 在函数图象的观察中获取函数单调性的直观认识.
引入深题 观察二次函数f (x) = x2 的图象： ( http: / / www. )函数f (x) = x2 在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的.列表：x…– 4–3–2–10f (x) =x21694101234…14916…x∈(–∞，0]时，x增大，f (x)减少，图象下降. ( http: / / www. )x∈(0，+∞)时，x增大，f (x)也增大， 图象上升. 师：不同函数，其图象上升、下降规律不同. 且同一函数在不同区间上的变化规律也不同. 这是“形”的方面，从“数”的方面如何反映.生：函数作图时列表描点过程中，从列表的数据变化可知自变量由 – 4到0变化，函数值随着变小；而自变量由0到4变化，函数值随着自变量的变大而变大. ( http: / / www. )师：表格数值变化的一般规随是：自变量x增大，函数值y也增大，函数图象上升，称函数为增函数；自变量x增大，函数值y反而减少，函数图象下降. 称函数为减函数. 体会同一函数在不同区间上的变化差异.引导学生从“形变”过渡到“数变”. 从定性分析到定量分析.
形成概念 函数单调性的概念 ( http: / / www. )一般地，设函数f (x)的定义域为I：如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f (x1)＜f (x2)，那么就说函数f (x)在区间D上是增函数（increasing function）； ( http: / / www. )如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f (x1)＞f (x2)，那么就说函数f (x)在区间D上是减函数（decreasing function）. ( http: / / www. ) 师：增函数、减函数的函数值随自变量的变化而变化怎么用数学符号表示呢？师生合作： ( http: / / www. )对于函数f (x) = x2 在区间(0，+∞)上. 任取x1、x2. 若x1＜x2，则f (x1)＜f (x2)，即x12＜x22.师：称f (x) = x2在(0，+∞)上为增函数. 由实例探究规律从而获得定义的数学符号表示.
应用 ( http: / / www. )举例 例1 如图是定义在区间[–5，5]上的函数y = f (x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？ ( http: / / www. )训练题1：（1）请根据下图描述某装配线的生产率与生产线上工人数量间的关系. ( http: / / www. )（2）整个上午（8∶00～12∶00）天气越来越暖，中午时分（12∶00～13∶00）一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多. 暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山（18∶00）才又开始转凉. 画出这一天8∶00～20∶00期间气温作为时间函数的一个可能的图象，并说出所画函数的单调区间. ( http: / / www. )（3）根据下图说出函数单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数. ( http: / / www. )例2 物理学中的玻意耳定律(k为正常数) 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大. 试用函数的单调性证明之.训练题2：证明函数f (x) = –2x +1在R上是减函数. 师：投影例1.生：合作交流完成例1.师：引导学生完成教材P36练习的第1题、第2题. 师：投影训练题1生：学生通过合作交流自主完成.例1【解】：y= f (x)的单调区间有[–5，–2），[–2，1），[1，3），[3，5]. 其中y = f (x) 在区间[–5，–2），[1，3）上是减函数，在区间[–2，1），[3，5]上是增函数.训练题1 答案：（1）在一定范围内，生产效率随着工人数的增加而提高，当工人数达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率又随着工人的增加而降低. 由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高.（2）增区间为[8，12]，[13，18]；减区间为：[12，13]，[18，20].（3）函数在[–1，0]上是减函数，在[0，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数，在[4，5]是增函数.师：打出例2，请学生阐明应用定义证明（判定）并总结证明单调性的基本步骤.生：学生代表板书证明过程，教师点评.例2 分析：按题意，只要证明函数在区间（0，+∞）上是减函数即可.证明：根据单调性的定义，设V 1，V2是定义域（0，+∞）上的任意两个实数，且V1＜V2，即.由V1，V2∈(0，+∞)，得V1V2＞0.由V1＜V2，得V2 – V1＞0.又k＞0，于是p (V1) – p (V2)＞0，即 p (V1) ＞p (V2).所以，函数，V?(0，+∞)是减函数，也就是说，当体积V减小时，压强p将增大.师：投影训练题2生：自主完成训练题2 证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，因为f (x1) – f (x2) =2 (x2 –x1)＞0，即f (x1)＞f (x2)，所以f (x) = –2x +1在R上是减函数. 掌握利用图象划分函数单调区间的方法.掌握单调性证明步骤及原理.内化定义，强化划分单调区间的方法.强化记题步骤与格式.
归纳小结 1°体会函数单调性概念的形成过程.2°单调性定义.3°利用图象划分单调区间.4°利用定义证明单调性步骤. 师生合作：回顾单调性概念的形式与发展.师：阐述单调性的意义与作用. 反思回顾 整理知识，提升能力.
课后练习 1.3第一课时 习案 学生独立完成 巩固知识培养能力
备选例题：
例1 证明函数f (x) =3x +2在R上是增函数.
【证明】设任意x1、x2?R，且x1＜x2，
则f (x1) – f (x2) = (3x1 +2) – (3x2 +2) = 3(x1–x2).
由x1＜x2得x1 –x2＜0. ∴f (x1) – f (x2)＜0，即f (x1)＜f (x2).
∴f (x) =3x +2在R上是增函数.
例2 证明函数f (x) =在（0，+∞）上是减函数.
【证明】设任意x1、x2?(0，+ ∞)且x1＜x2，
则f (x1) – f (x2) =，
由x1，x2?(0，+∞)得，x1x2＞0，又x1＜x2，得x2 – x1＞0，
∴f (x1) – f (x2) ＞0，即f (x1)＜f (x 2).
∴f (x) =在（0，+∞）上是减函数.
y
x
1
1
O
O
x
y
x
x1
x2
O
y
f (x1)
f (x2)
y=f (x)
x
x1
x2
O
y
f (x1)
f (x2)
y=f (x)
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3.1.2 函数零点的存在性定理
（一）教学目标 ( http: / / www. )
1．知识与技能
体验零点存在性定理的形成过程，理解零点存在性定理，并能应用它探究零点的个数及存在的区间. ( http: / / www. )
2．过程与方法
经历由特殊到一般的过程，在由了解零点存在性定理到理解零点存在性定理，从而掌握零点存在性定理的过程中，养成研究问题的良好的思维习惯. ( http: / / www. )
3．情感、态度与价值观
经历知识发现、生成、发展、掌握、理解的过程，学会观察问题，发现问题，从而解决问题；养成良好的科学态度，享受探究数学知识的乐趣. ( http: / / www. )
（二）教学重点与难点
重点：掌握零点存在性定理并能应用. ( http: / / www. )
难点：零点存在性定理的理解
（三）教学方法 ( http: / / www. )
通过问题发现生疑，通过问题解决析疑，从而获取知识形成能力；应用引导与动手尝试结合教学法，即学生自主探究与教师启发，引导相结合.
（四）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习回顾提出问题 1．函数零点的概念 ( http: / / www. )2．函数零点与方程根的关系3．实例探究 ( http: / / www. )已知函数y= x2+4x– 5，则其零点有几个？分别为多少？ 生：口答零点的定义，零点与根的关系师：回顾零点的求法 ( http: / / www. )生：函数y= x2+4x– 5的零点有2个，分别为–5，1 回顾旧知，引入新知
示例探究引入课题 1．探究函数y = x2 + 4x – 5的零点所在区间及零点存在区间的端点函数值的正负情况的关系 师：引导学生利用图象观察零点的所在区间，说明区间端一般取整数. ( http: / / www. )生：零点–5∈(–6，–4)零点1∈(0，2) ( http: / / www. )且f (–6)·f (–4)＜0f (0)·f (2)＜0 ( http: / / www. )师：其它函数的零点是否具有相同规律呢？观察下列函数的零点及零点所在区间.①f (x) = 2x – 1， ( http: / / www. )②f (x) = log2(x – 1)生：函数f (x) = 2x – 1的零点为且f (0) f (1)＜0. ( http: / / www. )函数f (x) = log2(x – 1)的零点为2∈(1，3)且f (1) f (3)＜0 由特殊到一般，归纳一般结论，引入零点存在性定理
发现定理 零点存在性定理如果函数y = f (x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a)·f (b)＜0那么，函数y = f (x)在区间[a，b]内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f (c) = 0这个c也就是方程f (x) = 0的根 师生合作分析，并剖析定理中的关键词 ( http: / / www. )①连续不断②f (a)·f (b)＜0 ( http: / / www. )师：由于图象连续不断，若f (a)＞0，f (b)＜0，则y = f (x)的图象将从x轴上方变化到下方，这样必通过x轴，即与x轴有交点 形成定理，分析关键词，了解定理.
深化理解 定理的理解 ( http: / / www. )（1）函数在区间[a，b]上的图象连续不断，又它在区间[a，b]端点的函数值异号，则函数在[a，b]上一定存在零点（2）函数值在区间[a，b]上连续且存在零点，则它在区间[a，b]端点的函数值可能异号也可能同号 ( http: / / www. )（3）定理只能判定零点的存在性，不能判断零点的个数 师：函数y = f (x) = x2 – ax + 2在(0，3)内，①有2个零点.②有1个零点，分别求a的取值范围. ( http: / / www. )生：①f(x)在(0，1)内有2个零点，则其图象如下 ( http: / / www. )则②f(x)在(0，3)内有1个零点 ( http: / / www. )则 通过实例分析，从而进一步理解 ( http: / / www. )定理，深化定理.
应用举例 ( http: / / www. )例1 求函数f (x) = lnx + 2x – 6的零点的个数. 师生合作探求解题思路，老师板书解答过程例1 解：用计算器或计算机作出x，f (x)的对应值表和图象.x12345f (x)–4–1.03691.09863.38635.6094x6789f (x)7.79189.945912.079414.1972 ( http: / / www. )由表和图可知，f (2)＜0，f (3)＞0，则f (2)· f (3)＜0，这说明函数f (x)在区间(2，3)内有零点.由于函数f (x)在定义域内是增函数，所以它仅有一个零点. 师生合作交流，体会定理的应用
练习巩固 练习1.利用信息技术作出函数的图象，并指出下列函数零点所在的大致区间：（1）f (x) = –x3 –3x + 5；（2）f (x) = 2x·ln(x – 2) – 3；（3）f (x) =ex–1 + 4x – 4；（4）f (x) = 3 (x + 2) (x – 3) (x + 4) + x. 学生尝试动手练习，老师借助计算机作图，师生合作交流分析，求解问题.练习1解：（1）作出函数图象，因为f (1) = 1＞0，f (1,5 ) = –2.875＜0所以f (x) = –x3 –3x + 5在区间(1，1.5)上有一个零点.又因为 f(x)是上的减函数，所以f(x) = –x3 –3x + 5在区间(1，1.5)上有且只有一个零点.（2）作出函数图象，因为f(3)＜0，f(4)＞0，所以f(x)=2x·ln(x–2) –3在区间(3，4)上有一个零点.又因为f(x)=2x·ln(x–2) –3在上是增函数，所以f(x) 在上有且仅有一个(3，4)上的零点（3）作出函数图象，因为f(0)＜0，f(1)＞0，所以f (x) =ex–1 + 4x – 4在区间(0，1)上有一个零点又因为f(x) =ex–1 + 4x – 4在上是增函数，所以f(x)在上有且仅有一个零点.（4）作出函数图象，因为f (–4)＜0，f (–3)＞0，f (–2)＜0，f (2)＜0，f (3)＞0，所以f (x) = 3 (x + 2) (x – 3) (x + 4) + x在(–4，–3)，(–3, –2)，(2，3)上各有一个零点. 尝试学生动手模仿练习，老师引导、启发，师生合作完成问题求解，从而固化知识与方法，提升思维能力.
归纳总结 1．数形结合探究函数零点2．应用定理探究零点及存在区间.3．定理应用的题型：判定零点的存在性及存在区间. 学生总结师生完善补充 学会整理知识，培养自我归纳知识的能力
课后练习 3.1第二课时 习案 学生自主完成 整合知识，提升能力
备选例题
例1 已知集合A = {x∈R|x2 – 4ax + 2a + 6 = 0}，B = { x∈R|x＜0}，若A∩B≠，求实数a的取值范围.
【解析】设全集U = {a|△= (–4a)2 – 4 (2a + 6)≥0}
=
=
若方程x2 – 4ax + 2a + 6 = 0的两根x1，x2均非负，则
因为在全集U中集合的补集为{a|a≤–1}，所以实数a的取值范围是{a|a≤–1}.
例2 设集合A = {x | x2 + 4x = 0，x∈R}，B = {x | x2 + 2 (a + 1) x + a2 – 1 = 0， x∈R}，若A∪B = A，求实数a的值.
【解析】∵A = {x | x2 + 4x = 0，x∈R}，∴A = {–4，0}.
∵A∪B=A，∴BA.
1°当B = A，即B = {–4，0}时，由一元二次方程根与系数的关系得
2°当B=，即方程x2 + 2 (a + 1)x + a2 –1 = 0无实解.
∴△= 4 (a + 1)2 – 4 (a2 – 1) = 8a + 8＜0.
解得，a＜–1.
3°当B = {0}，即方程x2 + 2(a + 1)x + a2 – 1 = 0有两个相等的实数根且为零时，
4°当B = {–4}时，即需
无解.
综上所述，若A∪B=A，则a≤–1或a = 1.
3
y
x
O
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第三章 单元小结（二）
（一）教学目标 ( http: / / www. )
1．知识与技能.
整合函数模型及其应用的基本知识与基本方法. 进一步提升研究函数和应用函数解决实际应用问题的技能. ( http: / / www. )
2．过程与方法
通过学生自我回顾、反思、整理、归纳所学知识，从而构建本节的知识体系. ( http: / / www. )
3．情感、态度与价值观
在学习过程中，学会整合知识，提升自我学习的品质，养成合作、交流、创新的良好学习品质. ( http: / / www. )
（二）教学重点与难点
重点：整合单元知识；难点：提升综合运用单元知识能力 ( http: / / www. )
（三）教学方法
动手练习与合作交流相结合. 在整合知识中构建体系，在综合练习中提升能力. ( http: / / www. )
（四）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
回顾反思构建体系 1．函数模型及其应用章文知识网络. ( http: / / www. )2．知识梳理（1）常见函数模型 ( http: / / www. )①直线模型即一次函数模型，现实生活中很多事例可以用直线模型表示，例如匀速直线运动的时间和位移的关系，弹簧的伸长量与拉力的关系等，其增长特点是直线上升（x的系数k＞1），通过图象可以直观地认识它. ( http: / / www. )②指数函数模型能用指数函数表示的函数模型. 指数函数增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数a＞1），常形象地称为“指数爆炸”. ( http: / / www. )③对数函数模型能用对数函数表达的函数模型叫对数函数模型. 对数增长的特点是随着自变量的增大（底数a＞1），函数值增大的速度越来越慢. 对数增大在现实生活中也有广泛的应用. ( http: / / www. )④幂函数模型能用幂函数表达的函数模型，叫做幂函数模型. 幂函数模型中最常见的是二次函数y = x2 的模型，它的应用最为广泛. ( http: / / www. )（2）函数模型的选择和建立①根据实际问题提供的两个变量的数量关系可构建和选择正确的函数模型. 同时，要注意利用函数图象的直观性，作出散点图，来确定适合题意的函数模型. ( http: / / www. )②建立数学模型的三关a．事理关：通过阅读、理解，明白问题讲什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口； ( http: / / www. )b．文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系；c．数理关：在构建数学模型中，对已有的数学知识进行检索，从而认定或构建相应数学问题. ( http: / / www. ) 1．题生合作，绘制网络图.2．学生回顾口述知识要点，老师总结，归纳进行知识疏理. 整理知识培养归纳能力. ( http: / / www. )师生共同回顾，再现知识与方法.
( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. )经典例题 例1 某工厂生产某产品所需要的费用为P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P = 1000 + 5x +，Q = a +，若生产出的产品能够全部卖掉，且在产量为150吨时利润最大，此时每吨价格为40元，求实数a，b的值. ( http: / / www. )例2 某地投资建印染厂，为了保护环境，需制定治污方案. 甲方案为永久性治污方案，需一次投入100万元；乙方案为分期治污方案，需每月投资5万元，若投资额以月利润1%的复利计算，试比较投产几个月后甲方案与乙方案的优势. (必须时可用以下数据：lg1.010 = 0.0043，lg1.253 = 0.0980，lg1.250 = 0.0969，lg1.235 = 0.0917) ( http: / / www. )注：1 + q + q2 +…+qn =. ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. )例3 为了估计上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y，现有连续10年的实测资料，如下表所示.年序最大积雪深度x (cm)灌溉面积 ( http: / / www. )y (公顷)115.228.6210.421.1321.240.5418.636.6526.449.8623.445.0713.529.2816.734.1924.045.81019.136.9（1）描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象；（2）建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象； ( http: / / www. )（3）根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为25cm，可以灌溉土地多少公顷？ 例1解析：根据题意得利润函数解析式为： ( http: / / www. ) .依题意得， ( http: / / www. )解得.【评析】已给出函数模型的实际应用题，关键是考虑该题考查的是何种函数，并要注意定义域，最后结合其实际意义作出解答. ( http: / / www. )例2解析：设经过x个月后，甲、乙两方案总的本息分别为y，z，则y = 100 (1 + 1%)x z = 5 [1 + (1+1%) + (1+1%)2 +…+(1+1%)x–1] ( http: / / www. ) =.设100 (1+1%)x＜500(1.01x–1)，则1.01x＞,两边取常用对数得，x＞故工厂投产23个月后，甲方案优于乙方案，投产1至22个月乙方案优于甲方案.【评析】不同的函数模型能够刻画现实世界不同的变化规律，函数模型可以处理生产生活中很多实际问题. 常见的函数模型有：（1）一次函数型模型：y = kx + b (k≠0)；（2）二次函数型模型：y = ax2+bx+c (a≠0)；（3）指数函数型模型：y = a·bx + c；（4）对数函数型模型：y = m·logax + n；（5）幂函数型模型：y = axn + b.例3：【解析】（1）利用计算机几何画板软件，描点如图甲.（2）从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型y = a + bx.取其中的两组数据(10.4, 21.1)，(24.0, 45.8)，代入y = a + bx，得，用计算器可得a≈2.4，b≈1.8.这样，我们得到一个函数模型；y = 2.4 + 1.8x. 作出函数图象如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映积雪深度与灌溉面积的关系.（3）由y = 2.4 + 1.8×25，求得y = 47.4，即当积雪深度为25cm时，可以灌溉土地47.4公顷.【评析】拟合函数模型解决实际问题要根据数据特点作函数点图，然后选择函数模型，这反映了一个较为完整的建立函数模型解决问题的过程.
备选例题
例3 我国农业科学家研究玉米的生长阶段与植株高度的函数关系的例子，这里我们再进一步研究此例，引导大家学习建立数学模型的方法.
下表给出了某地区玉米在不同生长阶段的高度数据：
生长阶段 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
植株高度(cm) 0.67 0.85 1.28 1.75 2.27 2.75 3.69 4.71 6.36 7.73 9.91 12.75 16.55 20.1 27.35 32.55
生长阶段 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
植株高度(cm) 37.55 44.75 53.38 71.61 83.89 97.46 112.73 135.12 153.6 160.32 167.05 174.9 177.87 180.19 180.79
（1）作出函数图象，近似地写出一个函数关系式表达两个变量之间的关系；
（2）利用得出的关系式列表；
（3）与表中实际数据比较，说出关系式给出的一些信息.
【解】（1）作出函数图形，如图所示.函数的图形近似于“S”形.
以我们现有的知识很难找出一个函数关系式来近似地表达这个图象，但我们仔细观察第1个生长阶段至第25个生长阶段图象后会发现，它与我们比较熟悉的指数函数的图象相象.
下面我们来考虑给出第1至第25个生长阶段的一个指数函数关系式.
假设指数函数为 y = ae bx ，
并且通过点（2，0.85）和（23，112.73）. 把这两个点的坐标代入函数关系式，解方程组得
a = 0.534，b = 0.233.
因此，用指数函数近似得到的关系式为
y = f (x) = 0.534e 0.233x.
（2）由得到的关系式计算出各个生长阶段的近似值如下：
生长阶段x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
植株高度f (x) 0.67 0.85 1.07 1.36 1.71 2.16 2.73 3.44 4.34 5.48 6.92 8.74 11.03
生长阶段x 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
植株高度f (x) 13.93 17.58 22.2 28.02 35.37 44.66 56.37 71.16 89.84 113.41 143.17 180.73
（3）从表中我们可以清楚地看出. 第1到第6个生长阶段与实际得到的数据相差很小，后面除第23生长阶段外的其它生长阶段数据相差较大.
这个指数函数在玉米生长后几个阶段增长较快，与实际数据中稳定于某一数值附近不符.
要得到效果更好的关系式，我们需要更多的数学知识.
人们在实际生活中发现生物种群的增长也有类似玉米株高生长的“S”形曲线. 如SARS（非典型肺炎）病的传播，时间与病例数的关系，科学家们研究发现这类曲线近似于以下函数： y =.
这类函数称为Logistic模型.
对于玉米生长的这组数据，也可以建立Logistic模型，玉米的整个生长过程近似于函数
y =.
Logistic模型在现实生活中有很多应用. 例如，它可以预测生物生长状况，这对我们了解生物生长发育情况，控制和预防疾病都有很大的帮助.
函数模型及其应用
模型应用举例
指数函数对数函数幂函数增长速度比较
直线上升指数爆炸对数增长
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1.2.1函数的概念
（一）教学目标 ( http: / / www. )
1．知识与技能
（1）理解函数的概念；体会随着数学的发展，函数的概念不断被精炼、深化、丰富. ( http: / / www. )
（2）初步了解函数的定义域、值域、对应法则的含义.
2．过程与方法 ( http: / / www. )
（1）回顾初中阶段函数的定义，通过实例深化函数的定义.
（2）通过实例感知函数的定义域、值域，对应法则是构成函数的三要素，将抽象的概念通过实例具体化. ( http: / / www. )
3．情感、态度与价值观
在函数概念深化的过程中，体会数学形成和发展的一般规律；由函数所揭示的因果关系，培养学生的辨证思想. ( http: / / www. )
（二）教学重点与难点
重点：理解函数的概念；难点：理解函数符号y = f (x)的含义. ( http: / / www. )
（三）教学方法
回顾旧知，通过分析探究实例，深化函数的概念；体会函数符号的含义. 在自我探索、合作交流中理解函数的概念；尝试自学辅导法. ( http: / / www. )
（四）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
回顾复习提出问题 函数的概念：（初中）在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与对应. 那么就说y是x的函数，其中x叫做自变量. 师：初中学习了函数，其含义是什么.生：回忆并口述初中函数的定义.(师生共同完善、概念) 由旧知引入函数的概念.
形成概念 示例分析 ( http: / / www. )示例1：一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标. 炮弹的射高①为845m，且炮弹距地面的高度h (单位：m)随时间t (单位：s)变化的规律是h = 130t – 5t2. ( http: / / www. )示例2：近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空沿问题. 下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年的变化情况. ( http: / / www. )示例3 国际上常用恩格尔系数②反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高，下表中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化.“八五”计划以来我国城镇居民 ( http: / / www. )恩格尔系数变化情况时间(年)199119921993199419951996城镇居民家庭恩格尔系数(%)53.852.950.149.949.948.6时间(年)19971998199920002001城镇居民家庭恩格尔系数(%)46.444.541.939.237.9函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f (x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作 ( http: / / www. )y = f (x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域(domain)；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f (x) | x∈A}叫做函数的值域(range). 显然，值域是集合B的子集. ( http: / / www. )老师引导、分析三个示例，师生合作交流揭示三个示例中的自变量以及自变量的变化范围，自变量与因变量之间的对应关系. ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. )师生共同探究利用集合与对应的语言描述变量之间的因果关系. 利用示例，探究规律，形成并深化函数的概念.体会函数新定义的精确性及实质.
应用举例 下列例1、例2、例3是否满足函数定义例1 若物体以速度v作匀速直线运动，则物体通过的距离S与经过的时间t的关系是S = vt.例2 某水库的存水量Q与水深h(指最深处的水深)如下表：水深h(米)0510152025存水量Q(立方)0204090160275例3 设时间为t，气温为T(℃)，自动测温仪测得某地某日从凌晨0点到半夜24点的温度曲线如下图. 老师引导学生分析例1、例2、例3是否满函数的定义. 并指明对应法则和定义域.例1的对应法则f：t→s = Vt，定义域t∈[0, +∞).例2的对应法则一个表格h→Q，定义域h∈{0, 5, 10, 15, 20, 25}.例3的对应法则f：一条曲线，t∈[0，24]. 对任意t，过t作t轴的垂线与曲线交于一点P (t, T)，即t→T. 通过三个实例反映函数的三种表示形式.
深化概念 表示函数的方法：1．解析式：把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来，得到的式子叫做解析式.2．列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.3．图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 师：请同学另举例说明函数用图象法和列表法表示的.生：平方表、平方根表、三角函数表、火车站的时间车次表、股市走势图. 归纳总结函数的三种常见表示法.
归纳总结 1．函数的概念；2．函数的三要素；3．函数的表达式. 师生共同回顾总结，并简要阐述. 总结知识，形成系统
课后作业 1.2第一课时习案 独立完成 巩固知识
备选例题
例1 函数y = f (x)表示（ C ）
A．y等于f与x的乘积 B．f (x)一定是解析式
C．y是x的函数 D．对于不同的x，y值也不同
例2 下列四种说法中，不正确的是（ B ）
A．函数值域中每一个数都有定义域中的一个数与之对应
B．函数的定义域和值域一定是无限集合
C．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了
D．若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素
例3 已知f (x) = x2 + 4x + 5，则f (2) = 2.7 ，f (–1) = 2 .
例4 已知f (x) = x2 (x∈R)，表明的“对应关系”是 平方 ，它是 R → R 的函数.
例5 向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系如右图示，那么水瓶的形状是下图中的（ B ）
【解析】取水深，注水量V′＞，即水深为一半时，实际注水量大小水瓶总水量的一半，A中V′＜，C、D中V′=，故排除A、C、D.
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2.2.2 对数函数及其性质（二）
（一）教学目标 ( http: / / www. )
1．知识技能
（1）掌握对数函数的单调性. ( http: / / www. )
（2）会进行同底数对数和不同底数的对数的大小比较.
2．过程与方法 ( http: / / www. )
（1）通过师生双边活动使学生掌握比较同底对数大小的方法.
（2）培养学生的数学应用的意识. ( http: / / www. )
3．情感、态度与价值观
（1）用联系的观点分析、解决问题. ( http: / / www. )
（2）认识事物之间的相互转化.
（二）教学重点、难点 ( http: / / www. )
1、重点：利用对数函数单调性比较同底对数大小.
2、难点：不同底数的对数比较大小. ( http: / / www. )
（三）教学方法
启发式教学 ( http: / / www. )
利用对数函数单调性比较同底对数的大小，而对数函数的单调性对底数分和两种情况，学生应能根据题目的具体形式确定所要考查的对数函数；如果题目中含有字母，即对数底数不确定，则应该分两种情形讨论.
对于不同底数的对数大小的比较，应插入中间数，转化为两组同底数的对数大小的比较，从而使问题得以解决. ( http: / / www. )
（四）教学过程
教学 ( http: / / www. )环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 ( http: / / www. ) 回顾对数函数的定义、图象、性质. 师：上一节，大家学习了对数函数y=logax的图象和性质，明确了对数函数的单调性，即当a＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a＜1时，在（0，+∞）上是减函数.这一节，我们主要通过对数函数的单调性解决有关问题. 为学习新课作好了知识上的准备.
应用 ( http: / / www. )举例 例1 比较下列各组数中两个值的大小：（投影显示）（1）log23.4，log23.8； ( http: / / www. )（2）log0.51.8，log0.52.1；（3）loga5.1，loga5.9； ( http: / / www. )（4）log75，log67.请同学们回顾一下我们利用指数函数的有关性质比较大小的方法和步骤，并完成以下练习. ( http: / / www. )（生板演前三题，师组织学生进行课堂评价，师生共同讨论完成第四题） ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. )例2 判断函数 ( http: / / www. )f（x）=ln（－x）的奇偶性. ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. )例3（1）证明函数f（x）=log2（x2+1）在（0，+∞）上是增函数； ( http: / / www. )（2）问：函数f（x）=log2（x2+1）在（－∞，0）上是减函数还是增函数？ ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. )例4 已知f（logax）=，其中a＞0，且a≠1. ( http: / / www. )（1）求f（x）；（2）求证：f（x）是奇函数； ( http: / / www. )（3）求证：f（x）在R上为增函数. ( http: / / www. )课堂练习课本P85练习3. 例1解：（1）对数函数y=log2x在（0，+∞）上是增函数，且3.4＜3.8.于是log23.4＜log23.8.（2）对数函数y=log0.5x在（0，+∞）上是减函数，且1.8＜2.1，于是log0.51.8＞log0.52.1.（3）当a＞1时，对数函数y=logax在（0，+∞）上是增函数，于是loga5.1＜loga5.9；当0＜a＜1时，对数函数y=logax在（0，+∞）上是减函数，于是loga5.1＞loga5.9.（4）因为函数y=log7x和函数y=log6x都是定义域上的增函数，所以log75＜log77=1=log66＜log67.所以log75＜log67.小结：本例是利用对数函数的单调性来比较两个对数式的大小的问题，一般是根据所给对数式的特征，确定一个目标函数，把需要比较大小的对数式看作是对应函数中两个能比较大小的自变量的值对应的函数值，再根据所确定的目标函数的单调性比较两个对数式的大小.当底数为变量时，要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小.若题中所给的对数式的底数和真数都不相同时，可以找一个中间量作为桥梁，通过比较中间量与这两个对数式的大小来比较对数式的大小，一般选择“0”或“1”作为中间量进行比较.例2解：∵＞x恒成立，故（x）的定义域为（－∞，+∞），又∵f（－x）=ln（+x）=－ln=－ln=－ln（－x）=－f（x），∴f（x）为奇函数.在根据函数的单调性的定义判断函数单调性的时候，首先应该根据函数的解析式确定函数的定义域，当所给函数的定义域关于原点对称时，再判断f（x）和f（－x）之间的关系.f（x）为奇函数f（－x）=－f（x）f（x）+f（－x）=0=－1〔f（x）≠0〕，f（x）为偶函数f（－x）=f（x）f（－x）－f（x）=0=1〔f（x）≠0〕.在解决具体问题时，可以根据函数解析式的具体特点选择不同的方式来判断.例3分析：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对数函数单调性比较同底数对数大小的方法.（1）证明：设x1、x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）=log2（x12+1）－log2（x22+1），∵0＜x1＜x2，∴x12+1＜x22+1.又∵y=log2x在（0，+∞）上是增函数，∴log2（x12+1）＜log2（x22+1），即f（x1）＜f（x2）.∴函数f（x）=log2（x2+1）在（0，+∞）上是增函数.（2）解：是减函数，证明可以仿照上述证明过程.小结：利用定义证明函数的单调性是研究单调性问题的重要方法.例4分析：利用换元法，可令t=logax，求出f（x），从而求出f（x）.证明奇函数及增函数可运用定义.（1）解：设t=logax，则t∈R，∴x=at（x＞0）.则f（t）==（at－a－t）.（2）证明：∵f（－x）=（a－x－ax）=－（ax－a－x）=－f（x），∴f（x）为奇函数.（3）证明：设x1、x2∈R，且x1＜x2，则f（x2）－f（x1）=[（a－a－）－（a－a－）］=[（a－a）+a－a－（a－a）］=（a－a）（1+a－a－）.若0＜a＜1，则a2－1＜0，a＞a，∴f（x2）＞f（x1）.∴y=f（x）在R上为增函数；若a＞1，则a2－1＞0，a＜a.∴f（x2）＞f（x1）.∴y=f（x）在R上为增函数.综上，a＞0，且a≠1时，y=f（x）是增函数.课堂练习答案：（1）＜ （2）＜ （3）＞ （4）＞ 掌握对数函数知识的应用.
归纳总结 通过本节的学习，大家要掌握利用对数函数的增减性比较两对数大小的方法，并能掌握分类讨论思想. 学生先自回顾反思，教师点评完善． 形成知识体系.
课后作业 作业：2.2 第五课时 习案 学生独立完成 巩固新知提升能力
备选例题
例1 比较下列各组数的大小：
（1）log0.7 1.3和log0.71.8；
（2）log35和log64.
（3）(lgn)1.7和(lgn)2 (n＞1)；
【解析】（1）对数函数y = log0.7x在(0, +∞)内是减函数. 因为1.3＜1.8，所以log0.71.3＞log0.71.8.
（2）log35和log64的底数和真数
都不相同，需找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性即可求解.
因为log35＞log33 = 1 = log66＞log64，所以log35＞log64.
（3）把lgn看作指数函数的底，本题归为比较两个指数函数的函数值的大小，故需对底数lgn讨论.
若1＞lnn＞0，即1＜n＜10时，y = (lgn)x在R上是减函数，
所以(lgn)1.7＞(lgn)2；
若lgn＞1，即n＞10时，y = (lgn)2在R上是增函数，
所以(lgn)1.7＜(lgn)2.
若lnn = 1，即n = 10时，(lnn)1.7 = (lnn)2.
【小结】两个值比较大小，如果是同一函数的函数值，则可以利用函数的单调性来比较. 在比较时，一定要注意底数所在范围对单调性的影响，即a＞1时是增函数，0＜a＜1时是减函数，如果不是同一个函数的函数值，就可以对所涉及的值进行变换，尽量化为可比较的形式，必要时还可以“搭桥”——找一个与二者有关联的第三量，以二者与第三量（一般是–1、0、1）的关系，来判断二者的关系，另外，还可利用函数图象直观判断，比较大小方法灵活多样，是对数学能力的极好训练.
例2 求证：函数f (x) =在(0, 1)上是增函数.
【分析】根据函数单调性定义来证明.
【解析】设0＜x1＜x2＜1，
则f (x2) – f (x1) =
= ∵0＜x1＜x2＜1，
∴＞1，＞1.
则＞0，
∴f (x2)＞f (x1). 故函数f (x)在(0, 1)上是增函数.
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第一章 单元小结（二）
(一)教学目标 ( http: / / www. )
1．知识与技能
整合函数性质建构知识网络，以便于进一步理解和掌握函数的性质.提升综合运用函数性质的能力. ( http: / / www. )
2．过程与方法
在整合函数性质、综合运用函数性质的过程中，培养学生分析、观察、思考的教学能力、提升学生的归纳、推理能力. ( http: / / www. )
3．情感、态度与价值观
在学习过程中，通过知识整合，能力培养，激发学生的学习兴趣. 养成合作、交流的良好学习品质. ( http: / / www. )
(二)教学重点与难点
重点：整合知识、构建单元知识系统. ( http: / / www. )
难点：提升综合应用能力.
(三)教学方法 ( http: / / www. )
动手练习与合作交流相结合. 在回顾、反思中整合知识，在综合问题探究、解答中提升能力. 加深对知识的准确、到位的理解与应用.
(四)教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
回顾反思 ( http: / / www. )构建体系 函数性质单元知识网络 生：借助课本.并回顾学习过程. 整理函数掌握函数的有关性质归纳知识的纵横联系. ( http: / / www. )师生合作：学生口述单元基本知识及相互联系，老师点评、阐述、板书网络图. 整理知识，培养归纳能力. 形成知识网络系统.
经典例题 ( http: / / www. )剖 析升华能力 ( http: / / www. )例1试讨论函数f (x) =，x(–1，1)的单调性(其中a≠0). ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. )例2 试计论并证明函数y = f (x) = x +(a＞0)在定义域上的单调性，函数在(0，+∞)上是否有最小值？ ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. )例3 已知f (x)是定义在(0，+∞)上的增函数，且满足f (xy) = f (x) + f (y)，f (2) =1. ( http: / / www. )（1）求证：f (8) =3；（2）解不等式 ( http: / / www. )f (x) – f (x–2) ＞3. ( http: / / www. ) ( http: / / www. )例4 已知函数f (x)，当x、y∈R时，恒有f (x + y) = f (x) + f ( y). ( http: / / www. )（1）求证：f (x)是奇函数；（2）如果x∈R+ ，f (x)＜0，并且f (1) =，试求f (x)在区间[–2，6]上的最值. ( http: / / www. ) 师生合作：学生独立尝试完成例1 ~ 例4并由学生代表板书解答过程. 老师点评. 师生共同小结解题思络.例1【解析】设–x＜x 1＜x2＜1，即△x = x2–x1＞0，则△y = f (x2) – f (x2) ==∵–1＜x1＜x2＜1，∴x1–x2＜0，–1＜0，–1＜0.|x1x2|＜1，即 –1＜x1x2＜1，x1x2 +1＞0，∴＜0.因此，当a＞0时，△y = f (x2) – f (x1)＜0，即f (x1)＞f (x2)，此时函数为减函数；当a＜0时，△y = f (x2) – f (x1) ＞0，即f (x1)＜f (x2)，此时函数为增函数.例2【解析】函数y = x +(a＞0)在区间(–∞，–)上是增函数，在区间[–，0]上是减函数，在区间 (0，]上是减函数，在区间(，+∞)上是增函数.先证明y = x +(a＞0)在(0，+∞)上的增减性，任取0＜x1＜x2，则△x = x1–x2＜0，△y = f (x1) – f (x2)= (x1 +) – (x2 +)= (x1–x2) + (–)= (x1–x2) += (x1–x2) (1–)=△x.∵0＜x1＜x2，∴△x = x1–x2＜0，x1x2＞0.（1）当x1，x2∈(0，)时，0＜x1x2＜a，∴x1x2 – a＜0，此时①＞0时，△y = f (x1) – f (x2)＞0，∴f (x)在(0，)上是减函数.（2）当x1，x2∈[，+∞）时，x1x2＞a，∴x1x2 – a＞0，此时①＜0，△y= f (x1) – f (x2)＜0，∴f (x)在[，+∞）上是增函数，同理可证函数f (x)在(–∞，–)上为增函数，在[–，0)上为减函数.由函数f (x) = x +在[0，)上为减函数，且在[，+∞)上为增函数知道，f (x)≥f () =2，其中x∈(0，+ ∞)，∴f (x)min=2，也可以配方求f (x) = x +(a＞0)在(0，+∞)上的最小值，∴f (x) = x += ()2 + 2，当且仅当x =时，f (x)min =2.例3【解析】（1）在f (xy) = f (x) + f (y)中，设x = y =2，则有f (4)=f (2)+f (2)，设x= 4，y =2，则有f (8) = f (4) + f (2)=3 f (2) = 3.（2）由f (x) – f (x–2)＞3，得f (x)＞f (8) + f (x–2) = f [8 (x–2)]，∵f (x) 是(0，+∞)上的增函数，∴，解得2＜x＜，故原不等式的解集为{x|2＜x＜}.例4【解析】（1）∵函数定义域为R，其定义域关于原点对称，∵f (x + y) = f (x) + f ( y)，令y = –x，x、– x∈R，代入f (x + y) = f (x) + f ( y)，∴f (0) = f (0) + f (0)，得f (0) = 0，∴f (x) + f (–x) = 0，得f (–x) = – f (x)，∴f (x)为奇函数.（2）设x、y∈R+，∵f (x+y) = f (x) + f ( y)，∴f (x+y) – f (x) = f ( y)，∵x∈R+，f (x)＜0，∴f (x+y) – f (x)＜0，∴f (x+y)＜f (x).∵x+y＜x，∴f (x)在(0，+∞)上是减函数.又∵f (x)为奇函数，f (0) = 0，∴f (x)在(–∞，+∞)上是减函数.∴在区间[–2，6]上f (–2)为最大值，f (6)为最小值.∵f (1) =，∴f (–2)= – f (2) = –2 f (1) =1，f (6) = 2 f (3)=2[ f (1) + f (2)]= –3，∴f (x)在区间[–2，6]上的最大值为1，最小值为–3. 动手尝试练习，培养并提高解题能力.
备选例题
例1 用定义证明函数y = f (x) =是减函数.
【解析】∵x2 +1＞0对任意实数x均成立，
∴函数y = f (x) =的定义域是R，
任取x1、x2∈R，且x1＜x2，则△x = x2–x1＞0，
△y = f (x2) – f (x1)
=
=
=– (x2–x1)
=(x2 + x1––)，
∵x1∈R，x2∈R，且x1＜x2，
∴x2–x1＞0，＞= |x1|≥x1，
∴x1–＜0，同理x2–＜0，
x1 + x2––＜0，
+＞| x1| + | x2 |＞0，
∴f (x2) – f (x1) ＜0，
∴y = f (x) =在R上是减函数.
例2 已知函数f (x)的定义域为R，满足f (–x) =＞0，且g (x) = f (x) + c（c为常数）在区间[a，b]上是减函数. 判断并证明g (x)在区间[– b，– a]上的单调性.
解析：设– b≤x1＜x2≤– a，
则△x = x2 – x1＞0，b≥–x1＞–x2≥a，
∵g (x)在区间[a，b]上是减函数，
∴g (–x1)＜g (–x2)，即f (–x1) + c＜f (–x2) + c，
则f (–x1)＜f (–x2)，又∵f (–x) =＞0，
∴，即f (x1)＞f (x2)
∴f (x1) + c＞f (x2) + c，即g (x1)＞g(x2)，
△y = g (x2) – g (x1)＜0，
∴g (x)在区间[– b，– a]上是减函数.
函数性质
奇偶性
单调性
定义及单调性判定
解不等式
求最值值域
定义及奇偶性判定
应用奇偶性等价转换
综合应用
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1.2.3函数的表示法（一）
（一）教学目标 ( http: / / www. )
1．知识与技能
（1）了解函数的三种表示法的各自优点，掌握用三种不同形式表示函数. ( http: / / www. )
（2）提高在不同情境中用不同形式表示函数的能力.
2．过程与方法 ( http: / / www. )
通过示例的分析和求解，明确函数三种不同表示法的优点，从而培养学生恰当选用函数的表示形式表示函数的能力.
3．情感、态度与价值观 ( http: / / www. )
在恰当应用不同形式表示函数的过程，感受数与形结合的动态美，体会应用辨证思维的乐趣.
（二）教学重点与难点 ( http: / / www. )
重点：选用恰当形式表示函数；难点：体会函数三种表示形式的优点.
（三）教学方法 ( http: / / www. )
尝试指导与合作交流相结合，通过示例的探究，使学生感知“三种形式”的各自优点. 从而培养学生恰当选用不同形式表示不同情境下的函数的能力.
（四）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习回顾 ( http: / / www. )引入课题 1．回顾函数的有关概念.2．函数的表示方法. ( http: / / www. )解析式：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. ( http: / / www. )列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 师：函数的概念中的关键词是什么？生：集合A中任何一个元素在B中都有唯一元素与之对应. ( http: / / www. )师生：共同回顾函数三种表示形式. 将新、旧知识有机整合
示例剖析 例1 某种笔记本的单价是5元，买x (x∈{1, 2, 3, 4, 5})个笔记本需要y元. 试用函数的三种表示法表示函数y = f (x).解析：这个函数的定义域是数集{1，2，3，4，5}. ( http: / / www. )用解析法可将函数y = f (x)表示为y = 5x, x∈{1, 2, 3, 4, 5}. ( http: / / www. )用列表法可将函数y = f (x)表示为笔记本数x12345钱数y510152025用图象法可将函数y = f (x)表示为下图. ( http: / / www. )知识总结：①解析法的优点：（1）简明，全面地概括了变量间的关系；（2）通过解析式能求出任意一个自变量的值所对应的函数值. ( http: / / www. )②图象法的优点：直观形象地表示自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，有利于通过图象来研究函数的某些性质.③列表法的优点：不需计算便可以直接看出自变量的值相对应的函数值. ( http: / / www. )例2 下表是某校高一（1）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.第 ( http: / / www. )1次第 ( http: / / www. )2次第 ( http: / / www. )3次第 ( http: / / www. )4次第 ( http: / / www. )5次第 ( http: / / www. )6次王 伟988791928895张 城907688758680赵 磊686573727582班级平均分88.278.385.480.375.782.6请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析. 师：同一函数用三种形式表示，它们各自有何特点. ( http: / / www. )师生合作总结三种形式的特点即优点.师：举例说明在我们的日常生活中用三种形式表示的函数 ( http: / / www. )生：（1）年级日誌表——列表法；（2）工厂生产图——图象法；（3）银行利率表——列表法；（4）医务室的各年级身高统计图——不是图象法.一元一次函数 图象—图象法 ( http: / / www. )一元二次函数 解析式—解析法反比例函数 ( http: / / www. )师：是否所有函数均能用三种方法表示呢？自示例2生：例2不方便使用解析法表示. ( http: / / www. )例2 解析：从表中可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但不太容易分析每位同学的成绩变化情况. 如果将“成绩”与“测试序号”之间的关系用函数图象表示出来，如下图，那么就能比较直观地看到成绩变化的情况. 这对我们的分析很有帮助. ( http: / / www. )从上图我们看到，王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀. 张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大. 赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高. ( http: / / www. )师生合作总结三种方法的优点. 通过范例分析体会三种表示法的优点，感知不是所有函数均能用三种形式表示.
应用举例 例3 画出函数y = |x|的图象.例4 某中学高一年级学生李鹏，对某蔬菜基地的收益作了调查，该蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场销售与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示，试解答下列问题.（注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天）（1）写出图一表示的市场售价间接函数关系P = f (t). 写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q = g (t).（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？ 师生合作、讨论、探究函数的图象法与解析法的互相转化途径，并能利用图象求值域.例3解：由绝对值的概念，我们有所以，函数y = |x|的图象如图所示.例4解：（1）由图一可得市场售价间接函数关系为，f (t) =由图二可得种植成本间接函数关系式为g (t) =(t – 150)2 + 100，(0≤t≤300)（2）设t时刻的纯收益为h (t)，则由题意得： h (t) = f (t) – g (t).即h (t) = 当0≤t≤200时，得h (t) = (t – 50)2 + 100.∴当t = 50时，h(t)取得在t∈[0，200]上的最大值100；当200＜t≤300时，得h (t) =(t – 350)2 + 100.∴当t = 300时，h (t)取得在t∈(200, 300]上的最大值87.5.综上所述由100＞87.5可知，h(t)在t∈[0, 300]上可以取得最大值是100，此时t = 50，即从2月1日开始的第50天时，上市的西红柿收益最大. 能力提升(表示法的转化及函数图象的应用) 培养形与数的转化能力和数形结合思想应用意识.
形成映射的概念 映射的定义：设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有惟一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射.例5 以下给出的对应是不是从集合A到B的映射？（1）集合A = {P | P是数轴上的点}，集合B = R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）集合A = {P | P是平面直角坐标系中的点，集合B = {(x | y) | x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（3）集合A = {x | x是三角形}，集合B = {x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）集合A = {x | x是新华中学的班级}，集合B = {x | x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生. 师：讲授映射的定义.生：由映射观点定义函数.师生合作解答例5.例5解析：（1）按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有惟一的实数与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（2）按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有惟一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（3）由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（4）新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f：A→B不是从集合A到B的一上映射. 了解映射的含义.通过例题分析加深映射概念的理解.
归纳总结 1．函数的表示法：解析式、图象法、列表法.2．解析式与图象法能进行相互转化.3．优点：解析式简明、全面、实用、图象法和列表法直观、直接、方便函数与映射的关系：函数是实数集到实数集的特殊映射. 师生合作完成学生回顾总结，老师引导点评、阐述. 反思总结提升对函数表示的理解与掌握
课后作业 1.2第三课时习案 学生独立完成 巩固知识，提升能力
备选例题
例1 下图中可作为函数y = f (x)的图象是（ D ）
例2 函数的图象为下图中的（ C ）
例3 作出下列函数的图象：（1）y = |x – 1| + 2 |x – 2|；（2）y = |x2 – 4x + 3|.
【解析】（1）y = |x – 1| + 2 |x – 2| =
函数的图象如图（1）所示.
（2）y = |x2 – 4x + 3| =图象如图（2）所示
图（1） 图（2）
例4 已知y = f (x)的图象如右图所示，求f (x).
【解析】
测试
序号
成绩
姓名
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2.2.1对数与对数运算（一）
（一）教学目标 ( http: / / www. )
1．知识技能：
①理解对数的概念，了解对数与指数的关系； ( http: / / www. )
②理解和掌握对数的性质；
③掌握对数式与指数式的关系 . ( http: / / www. )
2. 过程与方法：
通过与指数式的比较，引出对数定义与性质 . ( http: / / www. )
3．情感、态度、价值观
（1）学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳能力. ( http: / / www. )
（2）通过对数的运算法则的学习，培养学生的严谨的思维品质 .
（3）在学习过程中培养学生探究的意识. ( http: / / www. )
（4）让学生理解平均之间的内在联系，培养分析、解决问题的能力.
（二）教学重点、难点 ( http: / / www. )
（1）重点：对数式与指数式的互化及对数的性质
（2）难点：推导对数性质的 ( http: / / www. )
（三）教学方法
启发式 ( http: / / www. )
启发学生从指数运算的需求中，提出本节的研究对象——对数，从而由指数与对数的关系认识对数，并掌握指数式与对数式的互化、而且要明确对数运算是指数运算的逆运算.
引导学生在指数式与对数式的互化过程中，加深对于定义的理解，为下一节学习对数的运算性质打好基础. ( http: / / www. )
（四）教学过程
教学 ( http: / / www. )环节 教学内容 师生互动 设计意图
提出问题 1．提出问题 ( http: / / www. )（P72思考题）中，哪一年的人口数要达到10亿、20亿、30亿……，该如何解决？即：在个式子中，分别等于多少？ ( http: / / www. )象上面的式子，已知底数和幂的值，求指数，这就是我们这节课所要学习的对数（引出对数的概念）. 老师提出问题， ( http: / / www. )学生思考回答.启发学生从指数运算的需求中，提出本节的研究对象——对数， 由实际问题引入，激发学生的学习积极性.
概念 ( http: / / www. )形成 合作探究：若1.01x=，则x称作是以1.01为底的的对数.你能否据此给出一个一般性的结论？一般地，如果ax=N（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. ( http: / / www. )举例：如：，读作2是以4为底，16的对数.，则，读作是以4为底2的对数. ( http: / / www. ) 合作探究师：适时归纳总结，引出对数的定义并板书. ( http: / / www. ) 让学生经历从“特殊一一般”，培养学生“合情推理”能力，有利于培养学生的创造能力．
概念深化 1. 对数式与指数式的互化 ( http: / / www. )在对数的概念中，要注意：（1）底数的限制＞0，且≠1 ( http: / / www. )（2）指数式对数式 ( http: / / www. )幂底数←→对数底数指 数←→对数 ( http: / / www. )幂 ←N→真数说明：对数式可看作一记号，表示底为（＞0，且≠1），幂为N的指数工表示方程（＞0，且≠1）的解. 也可以看作一种运算，即已知底为（＞0，且≠1）幂为N，求幂指数的运算. 因此，对数式又可看幂运算的逆运算. ( http: / / www. )2. 对数的性质：提问：因为＞0，≠1时，则 由１、0=1 ２、1= 如何转化为对数式②负数和零有没有对数？③根据对数的定义，=？（以上三题由学生先独立思考，再个别提问解答）由以上的问题得到① （＞0，且≠1）② ∵＞0，且≠1对任意的力，常记为. 恒等式：=N3. 两类对数① 以10为底的对数称为常用对数，常记为.② 以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数，常记为.以后解题时，在没有指出对数的底的情况下，都是指常用对数，如100的对数等于2，即. 掌握指数式与对数式的互化、而且要明确对数运算是指数运算的逆运算. 通过本环节的教学，培养学生的用联系的关点观察问题.
应用举例 例1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）54=625；（2）2－6=；（3）（）m=5.73；（4）log16=－4；（5）lg0.01=－2；（6）ln10=2.303.例2：求下列各式中x的值（1） （2） （3） （4）课本P74练习第1，2，3，4题. 例1分析：进行指数式和对数式的相互转化，关键是要抓住对数与指数幂之间的关系，以及每个量在对应式子中扮演的角色.（生口答，师板书）解：（1）log5625=4；（2）log2=－6；（3）log5.73=m；（4）（）－4=16；（5）10－2=0.01；（6）e2.303=10.例2分析：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.解：（1）（2） （3） （4） 所以练习（生完成，师组织学生进行课堂评价）解答：1.（1）log28=3；（2）log232=5；（3）log2=－1；（4）log27=－.2.（1）32=9；（2）53=125；（3）2－2=；（4）3－4=.3.（1）设x=log525，则5x=25=52，所以x=2；（2）设x=log2，则2x==2－4，所以x=－4；（3）设x=lg1000，则10x=1000=103，所以x=3；（4）设x=lg0.001，则10x=0.001=10－3，所以x=－3.4.（1）1；（2）0；（3）2；（4）2；（5）3；（6）5. 通过这二个例题的解答，巩固所学的指数式与对数式的互化，提高运算能力．
归纳总结 1.对数的定义及其记法；2.对数式和指数式的关系；3.自然对数和常用对数的概念. 先让学生回顾反思，然后师生共同总结，完善． 巩固本节学习成果，形成知识体系.
课后作业 作业：2.2 第一课时 习案 学生独立完成 巩固新知提升能力
备选例题
例1 将下列指数式与对数式进行互化.
（1） （2） （3） （4）
【分析】利用ax = Nx = logaN，将（1）（2）化为对数式，（3）（4）化为指数式.
【解析】（1）∵，∴x =64
（2）∵，∴
（3）∵，∴
（4）∵logx64 = –6，∴x－6 = 64.
【小结】对数的定义是对数形式与指数形式互化的依据，同时，教材的“思考”说明了这一点. 在处理对数式与指数式互化问题时，依据对数的定义ab = Nb = logaN进行转换即可.
例2 求下列各式中的x.
（1）；
（2）；
（3）；
【解析】（1）由
得= 2–2，即 .
（2）由，得，
∴.
（3）由log2 (log5x) = 0得log5x = 20 = 1.
∴x = 5.
【小结】（1）对数式与指数式的互化是求真数、底数的重要手段.
（2）第（3）也可用对数性质求解.如（3）题由log2(log5x) = 0及对数性质loga1=0.
知log 5 x = 1，又log55 = 1. ∴x = 5.
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第2课时 集合间的基本关系
（一）教学目标； ( http: / / www. )
1．知识与技能
（1）理解集合的包含和相等的关系. ( http: / / www. )
（2）了解使用Venn图表示集合及其关系.
（3）掌握包含和相等的有关术语、符号，并会使用它们表达集合之间的关系. ( http: / / www. )
2．过程与方法
（1）通过类比两个实数之间的大小关系，探究两个集合之间的关系. ( http: / / www. )
（2）通过实例分析，获知两个集合间的包含与相等关系，然后给出定义.
（3）从自然语言，符号语言，图形语言三个方面理解包含关系及相关的概念. ( http: / / www. )
3．情感、态度与价值观
应用类比思想，在探究两个集合的包含和相等关系的过程中，培养学习的辨证思想，提高学生用数学的思维方式去认识世界，尝试解决问题的能力. ( http: / / www. )
（二）教学重点与难点
重点：子集的概念；难点：元素与子集，即属于与包含之间的区别. ( http: / / www. )
（三）教学方法
在从实践到理论，从具体到抽象，从特殊到一般的原则下，一方面注意利用生活实例，引入集合的包含关系. 从而形成子集、真子集、相等集合等概念. 另一方面注意几何直观的应用，即Venn图形象直观地表示、理解集合的包含关系，子集、真子集、集合相等概念及有关性质. ( http: / / www. )
（四）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
创设情境提出问题 思考：实数有相关系，大小关系，类比实数之间的关系，联想集合之间是否具备类似的关系. 师：对两个数a、b，应有a＞b或a = b或a＜b.而对于两个集合A、B它们也存在A包含B，或B包含A，或A与B相等的关系. 类比生疑， ( http: / / www. )引入课题
概念形成 分析示例：示例1：考察下列三组集合，并说明两集合内存在怎样的关系 ( http: / / www. )（1）A = {1，2，3} B = {1，2，3，4，5} ( http: / / www. )（2）A = {新华中学高（一）6班的全体女生}B = {新华中学高（一）6 班的全体学生} ( http: / / www. )（3）C = {x | x是两条边相等的三角形}D = {x | x是等腰三角形} ( http: / / www. )1．子集：一般地，对于两个集合A、B，如果A中任意一个元素都是B的元素，称集合A是集合B的子集，记作，读作：“A含于B”（或B包含A） ( http: / / www. )2．集合相等：若，且，则A=B. 生：实例（1）、（2）的共同特点是A的每一个元素都是B的元素. ( http: / / www. )师：具备（1）、（2）的两个集合之间关系的称A是B的子集，那么A是B的子集怎样定义呢？学生合作：讨论归纳子集的共性. ( http: / / www. )生：C是D的子集，同时D是C的子集.师：类似（3）的两个集合称为相等集合. ( http: / / www. )师生合作得出子集、相等两概念的数学定义. 通过实例的共性探究、感知子集、相等概念，通过归纳共性，形成子集、相等的概念.初步了解子集、相等两个概念.
概念 ( http: / / www. )深化 示例1：考察下列各组集合，并指明两集合的关系：（1）A = Z，B = N； ( http: / / www. )（2）A = {长方形}，B = {平行四边形}；（3）A={x| x2–3x+2=0}，B ={1，2}. ( http: / / www. )1．Venn图用平面上封闭曲线的内部代表集合. ( http: / / www. )如果，则Venn图表示为： ( http: / / www. )2．真子集如果集合，但存在元素x∈B，且xA，称A是B的真子集，记作A ( http: / / www. )B (或B A).示例3 考察下列集合. 并指出集合中的元素是什么？ ( http: / / www. )（1）A = {(x，y) | x + y =2}.（2）B = {x | x2 + 1 = 0，x∈R}. ( http: / / www. )3．空集称不含任何元素的集合为空集，记作.规定：空集是任何集合的子集；空集是任何非空集合的真子集. 示例1 学生思考并回答.生：（1） （2） （3）A = B师：进一步考察（1）、（2）不难发现：A的任意元素都在B中，而B中存在元素不在A中，具有这种关系时，称A是B的真子集.示例3 学生思考并回答.生：（1）直线x+y=2上的所有点（2）没有元素师：对于类似（2）的集合称这样的集合为空集.师生合作归纳空集的定义. 再次感知子集相等关系，加深对概念的理解，并利用韦恩图从“形”的角度理解包含关系，层层递进形成真子集、空集的概念.
能力提升 一般结论：①.②若，，则.③A = B，且. 师：若a≤a，类比.若a≤b，b≤c，则a≤c类比.若，，则.师生合作完成：（1）对于集合A，显然A中的任何元素都在A中，故.（2）已知集合，同时，即任意x∈Ax∈Bx∈C，故. 升华并体会类比数学思想的意义.
应用举例 例1（1）写出集合{a、b}的所有子集；（2）写出集合{a、b、c}的所有子集；（3）写出集合{a、b、c、d}的所有子集；一般地：集合A含有n个元素则A的子集共有2n个. A的真子集共有2n – 1个. 学习练习求解，老师点评总结.师：根据问题（1）、（2）、（3），子集个数的探究，提出问题：已知A = {a1，a2，a3…an}，求A的子集共有多少个？ 通过练习加深对子集、真子集概念的理解.培养学生归纳能力.
归纳总结 子集：任意x∈Ax∈B真子集：A B 任意x∈Ax∈B，但存在x0∈B，且x0A.集合相等：A = B且空集（）：不含任何元素的集合性质：①，若A非空，则 A.②.③，. 师生合作共同归纳—总结—交流—完善.师：请同学合作交流整理本节知识体系 引导学生整理知识，体会知识的生成，发展、完善的过程.
课后作业 1.1 第二课时习案 学生独立完成 巩固基础提升能力
备选训练题
例1 能满足关系{a，b}{a，b，c，d，e}的集合的数目是（ A ）
A．8个 B．6个 C．4个 D．3个
【解析】由关系式知集合A中必须含有元素a，b，且为{a，b，c，d，e}的子集，所以A中元素就是在a，b元素基础上，把{c，d，e}的子集中元素加上即可，故A = {a，b}，A = {a，b，c}，A = {a，b，d}，A = {a，b，e}，A = {a，b，c，d}，A = {a，b，c，e}，A = {a，b，d，e}，A = {a，b，c，d，e}，共8个，故应选A.
例2 已知A = {0，1}且B = {x |}，求B.
【解析】集合A的子集共有4个，它们分别是：，{0}，{1}，{0，1}.
由题意可知B = {，{0}，{1}，{0，1}}.
例3 设集合A = {x – y，x + y，xy}，B = {x2 + y2，x2 – y2，0}，且A = B，求实数x和y的值及集合A、B.
【解析】∵A = B，0∈B，∴0∈A.
若x + y = 0或x – y = 0，则x2 – y2 = 0，这样集合B = {x2 + y2，0，0}，根据集合元素的互异性知：x + y≠0，x – y≠0.
∴ （I） 或 （II）
由（I）得：或或
由（II）得：或或
∴当x = 0，y = 0时，x – y = 0，故舍去.
当x = 1，y = 0时，x – y = x + y = 1，故也舍去.
∴或，
∴A = B = {0，1，–1}.
例4 设A = {x | x2 – 8x + 15 = 0}，B = {x | ax – 1 = 0}，若，求实数a组成的集合，并写出它的所有非空真子集.
【解析】A = {3，5}，∵，所以
（1）若B =，则a = 0；
（2）若B≠，则a≠0，这时有或，即a =或a =.
综上所述，由实数a组成的集合为.
其所有的非空真子集为：{0}，共6个.
A
B
≠
≠
≠
≠
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第二章小结与复习
（一）教学目标 ( http: / / www. )
1.知识与技能
掌握指数函数、对数函数、幂函数的概念和性质.对复合函数、抽象函数有一个新的认识. ( http: / / www. )
2.过程与方法
归纳、总结、提高. ( http: / / www. )
3.情感、态度、价值观
培养学生分析问题、解决问题和交流的能力及分类讨论、抽象理解能力. ( http: / / www. )
（二）教学重点、难点
重点：指数函数、对数函数的性质的运用. ( http: / / www. )
难点：分类讨论的标准、抽象函数的理解.
（三）教学方法 ( http: / / www. )
讲授法、讨论法.
（四）教学过程 ( http: / / www. )
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习 ( http: / / www. )引入 （多媒体投影）1.本章知识结构 ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. )2.方法总结 ( http: / / www. ) 学生总结，老师完善.师：请同学们总结本章知识结构. ( http: / / www. )生：（1）指数式和对数式：①整数指数幂；②方根和根式的概念；③分数指数幂；④有理指数幂的运算性质；⑤无理数指数幂；⑥对数概念；⑦对数的运算性质；⑧指数式与对数式的互化关系.（2）指数函数：①指数函数的概念；②指数函数的定义域、值域；③指数函数的图象（恒过定点（0，1），分a＞1，0＜a＜1两种情况）；④不同底的指数函数图象的比较；⑤指数函数的单调性（分a＞1，0＜a＜1两种情况）；⑥图象和性质的应用. ( http: / / www. )（3）对数函数：①对数函数的概念；②对数函数的定义域、值域；③对数函数的图象（恒过定点（0，1），分a＞1和0＜a＜1两种情况）；④不同底的对数函数图象的比较；⑤对数函数的单调性（分a＞1，0＜a＜1两种情况）；⑥图象和性质的应用；⑦反函数的有关知识. ( http: / / www. )（4）幂函数：①幂函数的概念；②幂函数的定义域、值域（要结合指数来讲）；③幂函数的图象（过定点情况，图象要结合指数来讲）；④幂函数的性质（奇偶性、单调性等，同样要结合指数）；⑥图象和性质的应用.师：请同学们归纳本章解题方法. ( http: / / www. )生：（1）函数的定义域的求法：列出使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.（2）函数值域的求法：①配方法（二次或四次）；②判别式法；③反函数法；④换元法；⑤函数的单调性法. ( http: / / www. )（3）单调性的判定法：①设x1、x2是所研究区间内的任两个自变量，且x1＜x2；②判定f（x1）与f（x2）的大小；③作差比较或作商比较.（注：做有关选择、填空题时，可采用复合函数单调性判定法，做解答题时必须用单调性定义和基本函数的单调性） ( http: / / www. )（4）图象的作法与平移：①据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；②利用熟知函数的图象的平移、翻转；③利用函数图象的对称性或互为反函数图象的对称描绘函数图象.（5）常用函数的研究、总结与推广： ( http: / / www. )①研究函数y=（ax±a－x）（a＞0，且a≠1）的定义域、值域、单调性、反函数；②研究函数y=loga（±x）（a＞0，且a≠1）的定义域、单调性、反函数. ( http: / / www. )（6）抽象函数〔即不给出f（x）的解析式，只知道f（x）具备的条件〕的研究.①若f（a+x）=f（a－x），则f（x）关于直线x=a对称. ( http: / / www. )②若对任意的x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），则f（x）可与指数函数类比.③若对任意的x、y∈（0，+∞）都有f（xy）=f（x）+f（y），则f（x）可与对数函数类比. ( http: / / www. ) 对本章知识、方法形成体系.
应用 ( http: / / www. )举例 例1 设a＞0，x=（a－a），求（x+）n的值. ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. )例2 已知函数f（x）=（m＞0，且m≠1）. ( http: / / www. )（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）判断f（x）的奇偶性； ( http: / / www. )（3）讨论函数f（x）的单调性. ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. )【例3】 己知f（x）=1+log2x（1≤x≤4），求函数g（x）=f 2（x）+f（x2）的最大值和最小值. ( http: / / www. ) ( http: / / www. )【例4】 求函数y=loga（x－x2）（a＞0，a≠1）的定义域、值域、单调区间. ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. )【例5】 设x≥0，y≥0，且x+2y=1，求函数y=log（8xy+4y2+1）的值域.例6 函数f（x）=lg［（a2－1）x2+（a+1）x+1］.（1）若f（x）的定义域为（－∞，+∞），求实数a的取值范围；（2）若f（x）的值域为（－∞，+∞），求实数a的取值范围. 例1解：1+x2=1+（a－2+a）=（a）+2+a）=［（a+a）］2.∵a＞0，∴a＞0，a＞0.∴a+a＞0.∴x+=x+（a+a）=（a－a）+（a+a）=a.∴（x+）n=a.小结：本题考查了分数指数幂的运算性质，技巧是把根号大的式子化成完全平方的形式.例2解：（1）∵mx＞0，mx+1≠0恒成立，∴函数的定义域为R.∵y=，∴mx=＞0.∴－1＜y＜1.∴函数f（x）的值域为（－1，1）.（2）∵函数的定义域为R，关于原点对称，又∵f（－x）===－f（x），∴函数f（x）是奇函数.（3）任取x1＜x2，则f（x1）－f（x2）=－=.∵m+1＞0，m+1＞0，∴当m＞1时，m－m＜0，f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）；当0＜m＜1时，m－m＞0，f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）.综上，当m＞1时，函数f（x）为增函数；当0＜m＜1时，函数f（x）为减函数.小结：求值域用了反表示法，函数表达式中有指数式mx，它具有大于0的范围，注意反表示法求值域这类题型的特征.函数的单调性要注意分类讨论.例3解：∵f（x）的定义域为［1，4］，∴g（x）的定义域为［1，2］.∵g（x）=f 2（x）+f（x2）=（1+log2x）2+（1+log2x2）=（log2x+2）2－2，又1≤x≤2，∴0≤log2x≤1，∴当x=1时，g（x）min=2；当x=2时，g（x）max=7.小结：这是一道易错题，首先要考虑定义域是本题防错的关键.其实研究函数问题考虑定义域应该成为一种习惯.例4解：（1）定义域：由x－x2＞0，得0＜x＜1，∴定义域为（0，1）.（2）∵0＜x－x2=－（x－）2+≤，∴当0＜a＜1时，loga（x－x2）≥loga，函数的值域为［loga，+∞）；当a＞1时，loga（x－x2）≤loga，函数的值域为（－∞，loga］.（3）令u=x－x2，在区间（0，1）内，u=x－x2在（0，］上递增，在［，1）上递减.∴当0＜a＜1时，函数在（0，］上是减函数，在［，1）上是增函数；当a＞1时，函数在（0，］上是增函数，在［，1）上是减函数.小结：复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性的研究通常由里向外，本题讨论的分界线是对数的底.例5解：∵x+2y=1，∴x=1－2y≥0.又y≥0，∴0≤y≤.∴8xy+4y2+1=8（1－2y）y+4y2+1=－12y2+8y+1.∵0≤y≤，∴1≤－12y2+8y+1=－12（y－）2+≤.∴log≤log（8xy+4y2+1）≤log1=0.∴函数的值域为［log，0］.小结：本题的易错点是代换时没有注意到通过x求出y的范围.所以我们在代换时要注意等价代换，即考虑到字母的取值范围.例6解：（1）∵f（x）的定义域为（－∞，+∞），∴（a2－1）x2+（a+1）x+1＞0对一切x∈R恒成立.当a2－1≠0时，即∴a＜－1或a＞.当a2－1=0时，若a=－1，则f（x）=0，定义域也是（－∞，+∞）；若a=1，则f（x）=lg（2x+1），定义域不是（－∞，+∞）.故所求a的取值范围是（－∞，－1］∪（，+∞）.（2）∵f（x）的值域为（－∞，+∞），∴只要t=（a2－1）x2+（a+1）x+1能取到（0，+∞）内的任何一个值.∴即∴1＜a≤.又当a2－1=0时，若a=1，则f（x）=lg（2x+1），其值域也是（－∞，+∞）；若a=－1，则f（x）=0，不合题意.∴所求a的取值范围是［1，］.小结：本题考查了换元转化思想和分类讨论思想，理解对数函数概念，特别是把握定义域、值域的含义是解题的关键.特别是（2）中，f（x）的值域是R的含义是真数部分即t=（a－1）x2+（a+1）x+1在x取值时需取满足（0，+∞）的每一个值，否则f（x）的值域就不是R，这就要求t关于x的二次函数不能有比零大的最小值.因此Δ≥0，这时要注意f（x）的定义域不是R的集合了，而是（－∞，x1）∪（x2，+∞），其中x1、x2分别为相应二次方程的小根、大根. 进一步掌握指数函数、对数函数、幂函数的概念和性质等知识.培养学生分析问题、解决问题和交流的能力及分类讨论、抽象理解能力.
归纳总结 1.我们从正整数指数幂出发，经过推广得到了有理数指数幂，又由“有理数逼近无理数”的思想，认识了实数指数幂.这个过程体现了数学概念推广的基本思想.有理数指数幂、实数指数幂的运算性质是从正整数指数幂推广得到的.从对数与指数的相互联系出发，根据指数幂的运算性质，我们推出了对数运算性质.2.函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型描述.本章学习的三种不同类型的函数模型，刻画了客观世界中三类具有不同变化规律，因而具有不同对应关系的变化现象.指数函数、对数函数和幂函数是描述客观世界中许多事物发展变化的三类重要的函数模型，这三类函数的图象和性质是我们解决相关问题的重要工具.3.研究函数时，函数图象的作用要充分重视.另外，计算器或计算机可以帮助我们方便地作出函数图象，并可以动态地演示函数的变化过程，这对我们研究函数性质很有帮助. 学生先自回顾反思，教师点评完善． 形成知识体系.
课后作业 作业：小结与复习 习案 学生独立完成 巩固新知提升能力
备选例题
例1 已知f (x) = lgx，则y = |f (1 – x)|的图象是下图中的（ A ）
【解析】方法一：y = |f (1 – x)| = |lg(1 – x)|，显然x≠1，故排除B、D；又因为当x = 0时，y = 0，故排除C.
方法二：从图象变换得结果：
y = lg(–x)
y = lg[– (x–1)]y = |lg(1 – x)|.
【小结】（1）y = lgx变成y = lg (1 – x)过程不会变换，不知道关于什么轴对称导致误解.
（2）解决有关图象的选择问题，方法比较灵活，可用特值排除法，也可直接求解，但一定要注意图象的特点，对于图象的对称、平移问题一定要注意对称轴是什么. 平移是左移还是右移，移动的单位是多少，这是移动的关键.
例2 设a＞0，a≠1，t＞0，比较与的大小，并证明你的结论.
【解析】∵t＞0，∴可比较与的大小，
即比较与的大小.
∵当t = 1时，，∴.
当t≠1时，
∵= ＞0，
∴t + 1＞，∴＞.
∴当0＜a＜1时，＞，
即＞.
当a＞1时，＜，
即＜.
综上知：当t = 1时，；
当t＞0且t≠1时，若0＜a＜1，
有＞；
若a＞1，则有＜.
【小结】解决此类比较大小的题目，要注意结合函数的单调性，作差比较一定要判断差值与0的大小，从而作出大小的比较，注意分类讨论的思想应用，本题中的t +1和的比较. 可由t + 1 – 2≥0，所以t + 1≥ (t=1时取等号)，从而得出0＜≤1和≥.
或
或
≥
≤
≤
或
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1.2.4函数的表示法（二）
（一）教学目标 ( http: / / www. )
1．知识与技能
（1）能根据不同情境，选用恰当的方法，求出已知函数的解析式； ( http: / / www. )
（2）会利用函数的图象求函数值域.
2．过程与方法 ( http: / / www. )
（1）经历在分析、求解求有关函数的解析式的过程，熟练掌握求解析式的基本题型及方法；
（2）在运用函数图象求函数值域的过程，体会数形结合思想. ( http: / / www. )
3．情感、态度与价值观
在学习过程中进一步体会发现规律，应用规律的学习乐趣，从而提高学习数学的兴趣，提高学生的求知欲. ( http: / / www. )
（二）教学重点与难点
重点：求函数解析式的基本题型及方法. ( http: / / www. )
难点：函数图象的应用.
（三）教学方法 ( http: / / www. )
指导启发式学习法，通过自我尝试与实践，获得知识，形成技能，通过老师的合理恰当的指导启发，克服学习障碍；学会突破难点，调整和寻找最佳解题方案.
（四）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习回顾 ( http: / / www. )整合知识 函数的表示法有三种：解析式、图象法、列表法；它们之间可相互转化，常见形式有：解析式图象法，解析式列表法. 师生合作总结上节课的基本知识及基本方法.重新体会对于特殊函数可进行三种形式之间的互相转化. ( http: / / www. )师：分析实现不同形式的转化的意义. 复习回顾、整合知识
进入课题(求函数解析式) 例1 （1）已知f (x)是一次函数，且f [f (x)] = 4x – 1，求f (x)及f (2)；（2）已知，求f (x)的解析式； ( http: / / www. )（3）已知f (x) = x (x≠0)，求f (x)的解析式；（4）已知3f (x5) + f (–x5) = 4x，求f (x)的解析式. ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. )例2 设f (x)是R上的函数，且满足f (0) = 1，并且对任意实数x，y，有f (x – y) = f (x) – y (2x – y + 1)，求f (x)的表达式. ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. )例3 已知f (x)为二次函数，且f (x+1)+f (x–1) = 2x2–4x，求f (x)的表达式. ( http: / / www. )小结：求解析式的基本方法：（1）待定系数法 ( http: / / www. )（2）换元法（3）配方法（4）函数方程法. 学习尝试练习求解，老师指导、点评. 师生合作归纳题型特点及适用方法.例1解：（1）设f (x) = ax + b (a≠0).则f [f (x)] = f (ax + b) = a (ax + b) + b = a2x + ab + b.又f [f (x)] = 4x – 1，∴a2x + ab + b = 4x – 1.即或∴f (x) = 2x –，或f (x) = –2x + 1.则，或f (2) = –3.（2）解法一：∵===，∴f (x) ===.解法二：设t = 1+，则.又，∴==，∴.（3）令x = a (a≠0)，则+ f (a) = a；令x =(a≠0)，则2 f (a) +.联立上述两式得f (a) = .∴f (x) =(x≠0).（4）令x = a，或x = –a，分别可得解之得f (a5) = 2a.又令a5 = t，∴，∴f (t) = 2，∴f (x) = 2.例2解：法一：由f (0) = 1，f (x – y) = f (x) – y(2x+y+1).设x=y，得f (0)= f (x)–x (2x–x+1).∵f (0) = 1，∴f (x)–x (2x–x+1) = 1，∴f (x) = x2 + x + 1.法二：令x = 0，得f (0–y) = f (0) – y (–y + 1)，即f (–y) = 1 – y (–y + 1).又令–y = x代入上式得f (x) = 1– (–x) (x + 1) = 1 + x (x + 1) = x2 + x + 1.即f (x) = x2 + x + 1.例3解：设f (x)=ax2+bx+c (a≠0)，则f (x+1) + f (x – 1) = a (x+1)2 + b (x + 1) + c + a (x – 1) + c + a (x – 1)2 + b (x – 1) + c = 2ax2 + 2bx + 2a + 2c = 2x2 – 4x.∴∴f (x) = x2 – 2x – 1. 掌握求函数解析式的基本类型及对应方法.
应用举例(函数应用问题) 例4 用长为l的铁丝变成下部为矩形，上部为半圆形的框架如图所示，若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并指出其定义域.例5 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：（1）5公里以内（含5公里），票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的按5公里计算）.如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象. 我们把像例4这样的函数称为分段函数.即在函数的定义域内，对于自变量x的值的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫分段函数. 生活中，有很多可以用分段函数描述的实际问题，如出租车的计费、个人所得税纳税额等等. 师生合作解析例3、例4.师：反映实际问题的函数定义域怎样确定？生：解析式有意义和实际问题自身条件确定.例4解：矩形的长AB = 2x，宽为a，则有2x + 2a +x = l，∴.半圆的直径为2x，半径为x，所以·2x =，由实际意义得0＜x＜.即，定义域为.例5解：设票价为y，里程为x，由题意可知，自变量x的取值范围是(0, 20].由“招手即停”公共汽车票价的制定规则，可得到以下函数解析式：根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图. 培养学生应用数学知识，解决实际问题的能力.
归纳总结 1．求函数解析式的方法：换元法、配方法、待定系数法、赋值法.2．求实际问题函数解析式，关键找具有因果关系的两个变量的联系式. 师生合作总结.学生整理、小结，老师点评、归纳. 整合知识形成技能.
课后作业 1.2 第四课时习案 学生独立完成 巩固基础、提高能力
备选例题
例1 经市场调查，某商品在近100天内，其销售量和价格均是时间t的函数，且销售量近似地满足关系g (t) = (t∈N*，0＜t≤100)，在前40天内价格为f (t) =+ 22(t∈N*，0≤t≤40)，在后60天内价格为(t∈N*，40＜t≤100)，求这种商品的日销售额的最大值(近似到1元).
【解析】前40天内日销售额为：
=
∴
后60天内日销售额为：
=.
∴
∴得函数关系式
由上式可知：对于0＜t≤40且t∈N*，有当t = 10或11时，Smax≈809.
对于40＜t≤100且t∈N*，有当t = 41时，Smax = 714.
综上所述得：当t = 10或11时，Smax≈809.
答：第10天或11天日售额最大值为809元.
2x
D
C
A
B
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2.1.1 指数与指数幂的运算（三）
（一）教学目标 ( http: / / www. )
1．知识与技能：
能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简，求值. ( http: / / www. )
2．过程与方法：
通过训练点评，让学生更能熟练指数幂运算性质. ( http: / / www. )
3．情感、态度、价值观
（1）培养学生观察、分析问题的能力； ( http: / / www. )
（2）培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.
（二）教学重点、难点 ( http: / / www. )
1．重点：运用有理指数幂性质进行化简，求值.
2．难点：有理指数幂性质的灵活应用. ( http: / / www. )
（三）教学方法
1.启发学生认识根式与分数指数幂实质是相同的.并能熟练应用有理指数幂的运算性质对根式与分数指数幂进行互化. ( http: / / www. )
2.引导学生在化简求值的过程中，注意将根式转化为分数指数幂的形式和积累一些常用技巧.如凑完全平方、分解因式、化小数为分数等等.另外，在运用有理指数幂的运算性质化简变形时，应注意根据底数进行分类，以精简解题的过程.
（四）教学过程
教学 ( http: / / www. )环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 复习 ( http: / / www. )1.分数指数幂的概念. ( http: / / www. )2.分数指数幂的运算性质. ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) 师：提出问题生：复习回顾 ( http: / / www. )师：总结完善 复习旧知，为新课作铺垫.
应用举例 例1．（P56，例4）计算下列各式（式中字母都是正数） ( http: / / www. )（1）（2） ( http: / / www. ) ( http: / / www. )例2．（P57 例5）计算下列各式（1）（2）＞0）课堂练习：化简：（1）；（2）；（3） . 学生思考，口答，教师板演、点评．例1 （先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析、提问、解答）分析：四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号的. 整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序.我们看到（1）小题是单项式的乘除运算；（2）小题是乘方形式的运算，它们应让如何计算呢？其实，第（1）小题是单项式的乘除法，可以用单项式的运算顺序进行.第（2）小题是乘方运算，可先按积的乘方计算，再按幂的乘方进行计算.解：（1）原式===4（2）原式= =例2 分析：在第（1）小题中，只含有根式，且不是同类根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数幂再计算，这样就简便多了，同样，第（2）小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算.解：（1）原式= = = = = （2）原式=.小结：运算的结果不强求统一用哪一种形式表示，但不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母，又含有负指数.练习答案：解（1）原式==；（2）原式==2；（3）原式===. 通过这二个例题的解答，巩固所学的分数指数幂与根式的互化，以及分数指数幂的求值，提高运算能力．强化解题技巧.
归纳总结 1.熟练掌握有理指数幂的运算法则，化简的基础.2.含有根式的式子化简，一般要先把根式转化为分数指数幂后再计算. 先让学生回顾反思，然后师生共同总结，完善． 巩固本节学习成果，形成知识体系.
课后作业 作业：2.1 第三课时 习案 学生独立完成 巩固新知提升能力
备选例题
例1 已知，求下列各式的值.
【分析】从已知条件中解出a的值，然后再代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入求值.
【解析】（1）将两边平方，
得
即
（2）将上式平方，有
（3）由于
【小结】对“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值.
例2 化简
【分析】根据本题的特点，须注意到
，
，
应对原式进行因式分解.
【解析】原式
【小结】解这类题，要注意运用下列公式：
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2.2.2 对数函数及其性质（三）
（一）教学目标 ( http: / / www. )
1．知识与技能
（1）了解反函数的概念，加深对函数思想的理解. ( http: / / www. )
（2）能根据对数函数的图象，画出含有对数式的函数的图象，并研究它们的有关性质.
2．过程与方法 ( http: / / www. )
（1）熟练利用对数函数的性质进行演算，通过交流，使学生学会共同学习.
（2）综合提高指数、对数的演算能力. ( http: / / www. )
（3）渗透运用定义、数形结合、分类讨论等数学思想.
3. 情感、态度、价值观 ( http: / / www. )
（1）用联系的观点分析、解决问题.
（2）认识事物之间的相互转化. ( http: / / www. )
（3）加深对对数函数和指数函数的性质的理解，深化学生对函数图象变化规律的理解，培养学生数学交流能力.
（二）教学重点、难点 ( http: / / www. )
重点：对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用.
难点：反函数概念的理解. ( http: / / www. )
（三）教学方法
通过对应关系与图象的对称性，理解同底的对数函数与指数函数互为反函数. ( http: / / www. )
（四）教学过程
教学 ( http: / / www. )环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习 ( http: / / www. )引入 1.复习函数及反函数的定义域、值域、图象之间的关系.2.指数式与对数式比较. ( http: / / www. )3.画出函数y=2x与函数y=log2x的图象. 老师提问，学生回答. 为学习新知作准备.
形成 ( http: / / www. )概念 反函数概念 ( http: / / www. )指数函数y=ax（x∈R）与对数函数y=logax（x∈（0，+∞））互为反函数. ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. )课堂练习： ( http: / / www. )求下列函数的反函数：（1）y=0.2－x+1； ( http: / / www. )（2）y=loga（4－x）. 师：在指数函数y=2x中，x为自变量（x∈R），y是x的函数（y∈（0，+∞）），而且它是R上的单调递增函数.可以发现，过y轴正半轴上任意一点作x轴的平行线，与y=2x的图象有且只有一个交点.另一方面，根据指数与对数的关系，由指数式y=2x可得到对数式x=log2y.这样，对于任意一个y∈（0，+∞），通过式子x=log2y，x在R中都有唯一确定的值和它对应.也就是说，可以把y作为自变量，x作为y的函数，这时我们就说x=log2y（y∈（0，+∞））是函数y=2x（x∈R）的反函数. ( http: / / www. )师：请同学仿照上述过程，说明对数函数y=logax（a＞0，且a≠1）和指数函数y=ax（a＞0，且a≠1）互为反函数.生：在函数x=logay中，y是自变量，x是函数.但习惯上，我们通常用x表示自变量，y表示函数.为此，我们常对调函数x=logay中的字母x、y，把它写成y=logax.这样，对数函数y=logax（x∈（0，+∞））是指数函数y=ax（x∈R）的反函数. ( http: / / www. )由上述讨论可知，对数函数y=logax（x∈（0，+∞））是指数函数y=ax（x∈R）的反函数；同时，指数函数y=ax（x∈R）也是对数函数y=logax（x∈（0，+∞））的反函数.因此，指数函数y=ax（x∈R）与对数函数y=logax（x∈（0，+∞））互为反函数.课堂练习答案 ( http: / / www. )（1）；（2） 理解反函数的概念.
应用举例 例1 已知函数y=loga（1－ax） ( http: / / www. )（a＞0，a≠1）.（1）求函数的定义域与值域； ( http: / / www. )（2）求函数的单调区间；（3）证明函数图象关于y=x对称. ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. )例2 已知函数f（x）=（）x（x＞0）和定义在R上的奇函数g（x）.当x＞0时，g（x）=f（x），试求g（x）的反函数.例3 探究函数y=log3（x+2）的图象与函数y=log3x的图象间的关系. 例1分析：有关于对数函数的定义域要注意真数大于0；函数的值域取决于1－ax的范围，可应用换元法，令t=1－ax以减小思维难度；运用复合函数单调性的判定法求单调区间；函数图象关于y=x对称等价于原函数的反函数就是自身，本题要注意对字母参数a的范围讨论.解：（1）1－ax＞0，即ax＜1，∴a＞1时，定义域为（－∞，0）；0＜a＜1时，定义域为（0，+∞）.令t=1－ax，则0＜t＜1，而y=loga（1－ax）=logat.∴a＞1时，值域为（－∞，0）；0＜a＜1时，值域为（0，+∞）.（2）∵a＞1时，t=1－ax在（－∞，0）上单调递减，y=logat关于t单调递增，∴y=loga（1－ax）在（－∞，0）上单调递减.∵0＜a＜1时，t=1－ax在（0，+∞）上单调递增，而y=logat关于t单调递减，∴y=loga（1－ax）在（0，+∞）上单调递减.（3）∵y=loga（1－ax），∴ay=1－ax.∴ax=1－ay，x=loga（1－ay）.∴反函数为y=loga（1－ax），即原函数的反函数就是自身.∴函数图象关于y=x对称.例2分析：分段函数的反函数应注意分类讨论.由于f（x）为奇函数，故应考虑x＞0，x＜0，x=0三种情况.解：∵g（x）是R上的奇函数，∴g（－0）=－g（0），g（0）=0.设x＜0，则－x＞0，∴g（－x）=（）－x.∴g（x）=－g（－x）=－（）－x=－2x.∴g（x）= 当x＞0时，由y=（）x得0＜y＜1且x=logy，∴g－1（x）=logx（0＜x＜1＝；当x=0时，由y=0，得g－1（x）=0（x=0）；当x＜0时，由y=－2x，得－1＜y＜0，且x=log2（－y），∴g－1（x）=log2（－x）（－1＜x＜0＝.综上，g（x）的反函数为g－1（x）=例3分析：函数的图象实际上是一系列点的集合，因此研究函数y=log3（x+2）的图象与函数y=log3x的图象间的关系可以转化为研究两个函数图象上对应点的坐标之间的关系. 解：将对数函数y=log3x的图象向左平移2个单位长度，就得到函数y=log3（x+2）的图象.小结：由函数y=f（x）的图象得到函数y=f（x+a）的图象的变化规律为：当a＞0时，只需将函数y=f（x）的图象向左平移a个单位就可得到函数y=f（x+a）的图象；当a＜0时，只需将函数y=f（x）的图象向右平移|a|个单位就可得到函数y=f（x+a）的图象.（2）由函数y=f（x）的图象得到函数y=f（x）+b的图象的变化规律为：当b＞0时，只需将函数y=f（x）的图象向上平移b个单位就可得到函数y=f（x）+b的图象；当b＜0时，只需将函数y=f（x）的图象向下平移|b|个单位就可得到函数y=f（x）+b的图象. 进一步掌握对数函数的应用.掌握根据奇偶性求函数表达式.掌握函数图象之间的变换关系
归纳总结 （1）指数函数与对数函数互为反函数，其图象关于直线y=x对称.（2）求对数函数的定义域、值域、单调区间、及奇偶性的判定都依赖于定义法、数形结合及函数本身的性质.应熟练掌握对数函数的相关性质. 学生先自回顾反思，教师点评完善． 形成知识体系.
课后作业 作业：2.2 第六课时 习案 学生独立完成 巩固新知提升能力
备选例题
例1 函数的反函数的图象经过点（1，4），求的值.
【解析】根据反函数的概念，知函数
的反函数的图象经过点（4，1），
∴，
∴.
【小结】若函数的图象经过点
，则其反函数的图象经过点.
例2 求函数y = log4 (7 + 6 x – x2)的单调区间和值域.
【分析】考虑函数的定义域，依据单调性的定义确定函数的单调区间，同时利用二次函数的基本理论求得函数的值域.
【解析】由7 + 6 x – x2＞0，得(x – 7) (x + 1)＜0，解得–1＜x＜7.
∴函数的定义域为{x|–1＜x＜7.
设g (x) = 7 + 6x – x2 = – (x – 3)2 + 16. 可知，x＜3时g (x)为增函数，x＞3时，g (x)为减函数.
因此，若–1＜x1＜x2＜3. 则g (x1)＜g (x2)
即7 + 6x1 – x12＜7 + 6x2 – x22，
而y = log4x为增函数.
∴log4 (7 + 6 x1 – x12)＜log4 (7 + 6x2 – x22)，
即y1＜y2.
故函数y = log4 (7 + 6x – x2)的单调增区间
为(–1, 3)，
同理可知函数y = log4 (7 + 6x – x2)的单调减区
间为(3, 7).
又g (x) = – (x – 3)2 + 16在(–1, 7)上的值域为
(0, 16.
所以函数y = log4(7 + 6x – x2)的值域为
(–∞, 2.
【小结】我们应明白函数的单调区间必须使函数有意义. 因此求函数的单调区间时，必先求其定义域，然后在定义域内划分单调区间. 求函数最值与求函数的值域方法是相同的，应用函数的单调性是常用方法之一.
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3.2.4 函数模型的应用实例（二）
（一）教学目标 ( http: / / www. )
1．知识与技能
掌握应用指数型，拟合型函数模型解答实际应用问题的题型特征，提升学生解决简单的实际应用问题的能力. ( http: / / www. )
2．过程与方法
经历实际应用问题的求解过程，体验指数函数模型、拟合函数模型的题型特征，学会运用函数知识解决实际问题. ( http: / / www. )
3．情感、态度与价值观
了解数学知识来源于生活，又服务于实际，从而培养学生的数学应用意识，提高学生学习数学的兴趣. ( http: / / www. )
（二）教学重点与难点
重点：指数函数模型、拟合函数模型的应用 ( http: / / www. )
难点：依据题设情境，建立函数模型.
（三）教学方法 ( http: / / www. )
师生合作探究解题方法，总结解题规律.老师启发诱导，学生动手尝试相结合.从而形式应用指数函数模型，似合函数模型解决实际问题的技能.
（四）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 例1 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元.销售单价与日均销售量的关系如表所示：销售单价/元6789日均销售量/桶480440400360销售单价/元101112日均销售量/桶320280240请据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？ 师生合作回顾一元一次函数，一元二次函数.分段函数建模实际问题的求解思路“审、建、解、检” ( http: / / www. )生：尝试解答例1解：根据表，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶.设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y 元，而在此情况下的日均销售量就为 ( http: / / www. )480–40(x–1)=520–40x(桶) 由于x＞0且520–40x＞0，即0＜x＜13，于是可得 ( http: / / www. )y=(520–40x)x–200 = –40x2+520x–200，0＜x＜13 ( http: / / www. )易知，当x=6.5时，y有最大值.所以，只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润. ( http: / / www. )师：帮助课本剖析解答过程，回顾反思上节课的学习成果 以旧引新激发兴趣，再现应用技能.
应用举例 4．指数型函数模型的应用例1 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,1766—1834)就提出了自然状态下的人口增长模型：y=y0ert， ( http: / / www. )其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.下表是1950~1959年我国的人口数据资料：年份19501951195219531954人数/万人5519656300574825879660266年份19551956195719581959人数/万人6145662828645636599467207（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符； ( http: / / www. )（2）如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？例2 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表身高/cm60708090100110体重/kg6.137.909.9012.1515.0217.50身高/cm120130140150160170体重/kg20.9226.8631.1138.8547.2555.05（1）根据表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式. ( http: / / www. )（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？例2 解答： ( http: / / www. )（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图.根据点的分布特征，可考虑以y=a·bx作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型. ( http: / / www. )如果取其中的两组数据(70，7.90)，(160，47.25)，代入y=a·bx得：，用计算器算得a≈2，b≈1.02.这样，我们就得到一个函数模型：y=2×1.02x. ( http: / / www. )将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系.（2）将x=175代入y=2×1.02x得y=2×1.02175， ( http: / / www. )由计算器算得y≈63.98.由于78÷63.98≈1.22＞1.2， ( http: / / www. )所以，这个男生偏胖.归纳总结： ( http: / / www. )通过建立函数模型，解决实际实际问题的基本过程： 师：形如y=bacx函数为指数型函数，生产生活中以此函数构建模型的实例很多（如例1） ( http: / / www. )生：在老师的引导下审题、建模、求解、检验、尝试完成此例师生合作总结解答思路及题型特征 ( http: / / www. )师生：共同完成例1 解答：（1）设1951~1959年的人口增长率分别为r1，r2，…，r9.由55196(1 + r1) = 56300，可得1951年的人口增长率 ( http: / / www. )r1≈0.0200.同理可得， ( http: / / www. )r2≈0.0210，r3≈0.0229，r4≈0.0250，r5≈0.0197，r6≈0.0223，r7≈0.0276，r8≈0.0222，r9≈0.0184. ( http: / / www. )于是，1951~1959年期间，我国人口的年均增长率为r(r1+r2+…+r9)÷9≈0.0221. ( http: / / www. )令y 0=55196，则我国在1950~1959年期间的人口增长模型为y=55196e0.0221t，t∈N.根据表中的数据作出散点图并作出函数 ( http: / / www. )y=55196e0.0221t (t∈N)的图象 ( http: / / www. )由图可以看出，所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合.（2）将y=130000代入 ( http: / / www. )y=55196e0.0221t，由计算器可得t≈38.76. ( http: / / www. )所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国的人口就已达到13亿.由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力. 通过实例求解，提炼方法整合思路提升能力.
巩固练习 练习1已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%；1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%.（1）用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍？什么时候世界人口是1970年的2倍？（2）实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿；而2003年世界人口还没有达到72亿.你对同样的模型得出的两个结果有何看法？ 解答：（1）已知人口模型为y = y0en，其中y0表示t = 0时的人口数，r表示人口的年增长率.若按1650年世界人口5亿，年增长率为0.3%估计，有y = 5e0.003t.当y = 10时，解得t≈231.所以，1881年世界人口约为1650年的2倍.同理可知，2003年世界人口数约为1970年的2倍.（2）由此看出，此模型不太适宜估计跨度时间非常大的人口增长情况. 固化能力强化技巧
应用举例 4．拟合函数模型例3 某皮鞋厂从今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双.由于产品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时，接受定单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量.厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程.厂里也暂时不准备增加设备和工人.假如你是厂长，就月份x，产量y 给出四种函数模型：y=ax+b，y=ax2+bx+c，,y=abx+c，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？归纳总结：所以y= –0.8×0.54+1.4=1.35本题是对数据进行函数模拟，选择最符合的模拟函数.一般思路要画出散点图，然后作出模拟函数的图象，选择适合的几种函数类型后，再加以验证.函数模型的建立是最大的难点，另外运算量较大，必须借助计算机进行数据处理，函数模型的可靠性与合理性既需要数据检验，又必须与具体实际结合起来. 生：动手实践解题此例学生四个代表分别板书四种函数模型.师：点评学生解答，总结，回答问题解析：本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数的变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型.由题知A(1，1)，B(2，1.2)，C (3，1.3)，D(4，1.37).（1）设模拟函数为y=ax+b，将B、C两点的坐标代入函数式，有所以得y = 0.1x + 1.（2）设y=ax2+bx+c，将A，B，C三点代入，有所以y= –0.05x2+0.35x+0.7.（3）设，将A，B两点的坐标代入，有所以（4）设y=abx+c，将A，B，C三点的坐标代入，得 用已学函数模型综合求解问题，提升综合应用模型的能力.
巩固练习 练习2 某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，61，68.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型y=ax2+bx+c，乙选择了模型y=pqx+r，其中y为患病人数，x为月份数，a,b,c,p,q,r都是常数.结果4月，5月，6月份的患病人分别为74,78，83，你认为谁选择的模型较好？ 学生口述解题思路老师借助电脑解答问题（1）列表（2）画散点图.（3）确定函数模型.甲：y1= –x2 +12x+41，乙：y2 = –52.07×0.778x + 92.5（4）做出函数图象进行比较.计算x = 6时，y1 = 77，y2 = 80.9.可见，乙选择的模型较好. 固化解题技巧
归纳总结 1．数学模型所谓数学模型是指对客观实际的特征或数量关系进行抽象概括，用形式化的数学语言表述的一种数学结构.数学模型剔除了事物中一切与研究目标无本质联系的各种属性，在纯粹状态下研究数量关系和空间形式，函数就是最重要的数学模型，用函数解决方程问题，使求解变得容易进行，这是数学模型间的相互转换在发挥作用.而用函数解决实际问题，则体现了数学模型是联系数学与现实世界的桥梁.2．关于数学建模中的假设就一般的数学建模来说，是离不开假设的，如果在问题的原始状态下不作任何假设，将所有的变化因素全部考虑进去，对于稍复杂一点的问题就无法下手了.假设的作用主要表现在以下几个方面：（1）进一步明确模型中需要考虑的因素和它们在问题中的作用.通常，初步接触一个问题，会觉得围绕它的因素非常多，经仔细分析筛查，发现有的因素并无实质联系，有的因素是无关紧要的，排除这些因素，问题则越发清晰明朗.在假设时就可以设这些因素不需考虑.（2）降低解题难度.由于每一个解题者的能力不同，经过适当的假设就可以有能力建立数学模型，并且得到相应的解.一般情况下，是先在最简单的情形下组建模型，然后通过不断地调整假设使模型尽可能地接近实际，得到更满意的解. 师生合作交流归纳知识，整合解题体会 整合理论培养学习能力
课后练习 3.2 第四课时 习案 学生独立完成 固化知识提高能力
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1.3.2 函数的最大（小）值
（一）教学目标 ( http: / / www. )
1．知识与技能
（1）理解函数的最大（小）值的概念及其几何意义. ( http: / / www. )
（2）理解函数的最大（小）值是在整个定义域上研究函数. 体会求函数最值是函数单调性的应用之一.
2．过程与方法 ( http: / / www. )
借助函数的单调性，结合函数图象，形成函数最值的概念. 培养应用函数的单调性求解函数最值问题.
3．情感、态度与价值观 ( http: / / www. )
在学生获取知识的过程中培养学生的数形结合思想，感知数学问题求解途径与方法，探究的基本技巧，享受成功的快乐.
（二）教学重点与难点 ( http: / / www. )
重点：应用函数单调性求函数最值；难点：理解函数最值可取性的意义.
（三）过程与方法 ( http: / / www. )
合作讨论式教学法. 通过师生合作、讨论，在示例分析、探究的过程中，获得最值的概念. 从而掌握应用单调性求函数最值这一基本方法.
（四）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
提出问题 1．函数f (x) = x2. 在( – ∞，0)上是减函数，在[0，+∞）上是增函数. 当x≤0时，f (x)≥f (0)， x≥0时， f (x)≥f (0). ( http: / / www. )从而x?R. 都有f (x) ≥f (0).因此x = 0时，f (0)是函数值中的最小值. ( http: / / www. )2．函数f (x) = –x2同理可知x?R. 都有f (x)≤f (0). 即x = 0时，f (0)是函数值中的最大值. 师生合作回顾增函数、减函数的定义及图象特征； ( http: / / www. )师生合作定性分析函数f (x)的图象特征，通过图象观察，明确函数图象在整个定义域上有最低点和最高点，从而认识到最低点和最高点的函数值是函数的最小值和最大值. 应用单调性的定义和函数图象感知函数的最小值和最大值.
形成概念 函数最大值概念：一般地，设函数y = f (x)的定义域为I. 如果存在实数M满足： ( http: / / www. )（1）对于任意x都有f (x) ≤M.（2）存在x0?I，使得f (x0) = M. ( http: / / www. )那么，称M是函数y = f (x) 的最大值. 师：对于函数y = f (x)、f (x0)为其最大值. 即f (x0)≤ f (x)意味着什么？ ( http: / / www. )生：f (x0)为函数的最大值，必须满足：①x0?定义域； ( http: / / www. )②f (x0) ?值域；③f (x0)是整个定义域上函数值最大的. 由实例共性抽象获得最大值概念.
形成概念 函数最小值概念. ( http: / / www. )一般地：设函数y = f (x)的定义域为I，如果存在实数M，满足：（1）对于任意x?I，都有f (x)≥M. ( http: / / www. )（2）存在x0?I，使得f (x0) = M.那么，称M是函数y = f (x)的最小值. 师：怎样理解最大值. ( http: / / www. )生：最大值是特别的函数值，具备存在性、确定性.师：函数最小值怎样定义？ ( http: / / www. )师生合作，学生口述，老师评析并板书定义. 由最大值定义类比最小值定义.
应用举例 例1 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一. 制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为h (t) = – 4.9t 2 + 14.7t + 18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？训练题1： ( http: / / www. )已知函数f (x) = x2 – 2x – 3，若x?[t，t +2]时，求函数f (x)的最值.例2 已知函数y =(x?[2，6])，求函数的最大值和最小值. ( http: / / www. )训练题2：设f (x)是定义在区间[–6，11]上的函数. 如果f (x) 在区间[–6，–2]上递减，在区间[–2，11]上递增，画出f (x) 的一个大致的图象，从图象上可以发现f (–2)是函数f (x)的一个 . ( http: / / www. )训练题3：甲、乙两地相距s km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本(单位：元)由可变部分和固 定部分组成，可变部分与速度x (km / h)的平方成正比，比例系数为a，固定部分为b元，请问，是不是汽车的行驶速度越快，其全程成本越小？如果不是，那么为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？ 师生合作讨论例1、例2的解法思想，并由学生独立完成训练题1、2、3. 老师点评. 阐述解题思想，板书解题过程. ( http: / / www. )例1解：作出函数h(t) = – 4.9t 2 + 14.7t + 18的图象(如图). 显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度. ( http: / / www. )由二次函数的知识，对于函数h (t) = – 4.9t 2 + 14.7t +18，我们有：当t ==1.5时，函数有最大值 ( http: / / www. )h =≈29.于是，烟花冲出后1.5 s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29m. ( http: / / www. )师：投影训练题1、2.生：学生相互讨论合作交流完成. ( http: / / www. )训练题1解：∵对称轴x = 1，（1）当1≥t +2即t≤–1时， ( http: / / www. )f (x)max = f (t) = t 2 –2t –3，f (x)min = f (t +2) = t 2 +2t –3. ( http: / / www. )（2）当≤1＜t +2，即–1＜t≤0时，f (x)max = f (t) = t 2 –2t–3， ( http: / / www. )f (x)min= f (1) = – 4.（3）当t≤1＜，即0＜t≤1， ( http: / / www. )f (x)max = f (t +2) = t 2 + 2t – 3，f (x)min = f (1) = – 4. ( http: / / www. )（4）当1＜t，即t＞1时，f (x)max = f (t +2) = t 2 +2t –3， ( http: / / www. )f (x)min = f (t) = t 2 –2t –3.设函数最大值记为g(t)，最小值记为(t)时，则有 ( http: / / www. )g (t) = ( http: / / www. )例2分析：由函数y =(x?[2，6])的图象可知，函数y =在区间[2，6]上递减. 所以，函数y =在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值和最小值.解：设x1，x2是区间[2，6]上的任意两个实数，且x1＜x2，则f (x1) – f (x2) ===. 由2≤x1＜x2≤6，得x2 –x1＞0，(x1–1) (x2–1)＞0，于是 f (x1) – f (x2)＞0，即 f (x1)＞f (x2).所以，函数y =是区间[2，6]上是减函数. 因此，函数y =在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即在x =2时取得的最大值，最大值是2，在x = 6时的最小值，最小值是0.4.训练题2答案：最小值.训练题3分析：根据汽车运输成本y元与行驶速度x km / h之间的关系，建立函数模型，结合函数式的特点，运用函数有关知识去解决.解：设汽车运输成本为y元，依题意得汽车运输成本y与汽车行驶速度x之间的关系为：y = b·+ ax2·.∴y = s (a x +) . （其中x?(0，+∞). 即将此时的问题转化成：“函数y = s(ax +)是否随着x的不断增大而减小？当x取何值时，y 取最小值？”下面讨论函数y = s (ax +)[x?(0，+∞)，a＞0，b＞0]在其定义域内的单调性.设x1，x2?(0，+∞)，且x1＜x2，则f (x1) – f (x2) = s[(ax1 +)– (ax2 +)]= s[a (x1– x2) +]==∵x1，x2＞0，且x1＜x2∴x1x2＞0，a (x1 – x2)＜0∴当x1，x2?(0，)时，x1，x2＜，x1x2 –＜0，∴f (x1)＞f (x2)，当x1，x2?[，+∞]时，x1x2＞，x1x2 –＞0，∴f (x1)＜ f (x2).综上所述，我们看到函数y = s(ax +) (a＞0，b＞0)并不是整个区间（0，+∞）上是随着x的不断增大而减小的，而且由上述分析可看出当x =时，y取得最小值即y min =2s. 那么，在这个实际问题当中可回答为：并不是汽车的行驶速度越快，其全程运输成本越小；并且为了使全程运输成本最小，汽车应以x =km / h的速度行驶. 自学与指导相结合，提高学生的学习能力.讲练结合，形成技能固化技能.深化概念能力培养进一步固化求最值的方法及步骤.（1）以上实际问题考查了学生灵活应用数学知识于实践的能力，可见“逐渐增强函数的应用意识”应及早实现.（2）对函数关系式的处理需要有扎实的基本功才能顺利完成，可见从不同角度不同方向去思考问题在教学中尤为重要，并且应指导学生养成多分析失败原因，多总结成功经验的好习惯.
归纳总结 1．最值的概念2．应用图象和单调性求最值的一般步骤. 师生交流合作总结、归纳. 培养学生的概括能力
课后作业 1.3第二课时 习案 学生独立完成 能力培养
备选例题
例1 已知函数f (x ) =，x∈[1，+∞).
（Ⅰ）当a =时，求函数f (x)的最小值；
（Ⅱ）若对任意x∈[1，+∞)，f (x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围.
分析：对于（1），将f (x)变形为f (x) = x +2 + = x ++2，然后利用单调性求解. 对于（2），运用等价转化(x?[1，+∞)恒成立，等价于x2 + 2x + a＞0 恒成立，进而解出a的范围.
解：（1）当a =时，f (x) = x ++2
因为f (x)在区间[1，+∞）上为增函数，
所以f (x)在区间[1，+∞）上的最小值为f (1) =.
（2）解法一：在区间[1，+∞）上，f (x) =恒成立x2 + 2x + a＞0恒成立.
设y = x2 +2x+a，∵(x + 1) 2 + a –1在[1，+∞)上递增.
∴当x =1时，ymin =3 + a，于是当且仅且ymin =3 + a＞0时，函数f (x)＞0恒成立，
∴a＞–3.
解法二：f (x) = x ++2 x[1，+∞).
当a≥0时，函数f (x)的值恒为正；当a＜0时，函数f (x)递增. 故当x =1时，f (x)min = 3+a.
于是当且仅当f (x)min =3 +a＞0时，函数f (x)＞0恒成立. 故a＞–3.
例2 已知函数f (x)对任意x，y?R，总有f (x) + f ( y) = f (x + y)，且当x＞0时，f (x)＜0，f (1) =.
（1）求证f (x)是R上的减函数；
（2）求f (x)在[–3，3]上的最大值和最小值.
分析：抽象函数的性质要紧扣定义，并同时注意特殊值的应用.
证明：（1）令x = y =0，f (0) = 0，令x = – y可得： f (–x) = – f (x)，
在R上任取x1＞x2，则f (x1) – f (x2) = f (x1) + f (– x2) = f (x1–x2).
∵x1＞x2，∴x1–x2＞0. 又∵x＞0时，f (x)＜0，∴f (x1–x2)＜0， 即f (x1) – f (x2)＞0.
由定义可知f (x)在R上为单调递减函数.
（2）∵f (x)在R上是减函数，∴f (x)在[–3，3]上也是减函数， ∴f (–3)最大，f (3)最小.
f (3) = f (2) + f (1) = f (1) + f (1) + f (1) =3×() = –2. ∴f (–3) = – f (3) =2.
即f (–3)在[–3，3]上最大值为2，最小值为–2.
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2.1.2 指数函数及其性质（一）
（一）教学目标 ( http: / / www. )
1．知识与技能
了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象． ( http: / / www. )
2．过程与方法
能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索指数函数图象特征． ( http: / / www. )
3．情感、态度与价值观
在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型，激发学生学习数学的兴趣，努力培养学生的创新意识． ( http: / / www. )
（二）教学重点、难点
1．教学重点：指数函数的概念和图象． ( http: / / www. )
2．教学难点：指数函数的概念和图象．
（三）教学方法 ( http: / / www. )
采用观察、分析、归纳、抽象、概括，自主探究，合作交流的教学方法，通过各种教学媒体（如计算机或计算器），调动学生参与课堂教学的主动性和积极性．
（四）教学过程
教学 ( http: / / www. )环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 1. 在本章的开头，问题（1）中时间与GDP值中的 ( http: / / www. ) ( http: / / www. )，请问这两个函数有什么共同特征. ( http: / / www. ) 2. 这两个函数有什么共同特征，从而得出这两个关系式中的底数是一个正数，自变量为指数，即都可以用（＞0且≠1来表示）. 学生思考回答函数的特征． 由实际问题引入，不仅能激发学生的学习兴趣，而且可以培养学生解决实际问题的能力．
形成概念 ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. )理解概念 ( http: / / www. ) 指数函数的定义一般地，函数（＞0且≠1）叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为R. ( http: / / www. )回答：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？（1） ( http: / / www. )（2） （3） ( http: / / www. )（4） （5） ( http: / / www. )（6）（7） ( http: / / www. )（8） （＞1，且）小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为＞0，是任意一个实数时，是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R. ( http: / / www. )若＜0， ( http: / / www. )如在实数范围内的函数值不存在.若=1, 是一个常量，没有研究的意义，只有满足 ( http: / / www. )的形式才能称为指数函数， 如： ( http: / / www. )不符合 . 学生独立思考，交流讨论，教师巡视，并注意个别指导， ( http: / / www. )学生探讨分析，教师点拨指导． 由特殊到一般，培养学生的观察、归纳、概括的能力． ( http: / / www. )使学生进一步理解指数函数的概念.
深化概念 我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究. 下面我们通过先来研究（＞1）的图象，用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数的图象124再研究先来研究（0＜＜1）的图象，用计算机完成以下表格并绘出函数的图象.124 从图中我们看出通过图象看出实质是上的讨论：的图象关于轴对称，所以这两个函数是偶函数，对吗？②利用电脑软件画出的函数图象. 问题：从画出的图象中，你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律.从图上看（＞1）与两函数图象的特征——关于轴对称. 学生列表计算，描点、作图．教师动画演示．学生观察、归纳、总结，教师诱导、点评． 通过列表、计算使学生体会、感受指数函数图象的化趋势，通过描点，作图培养学生的动手实践能力．不同情况进行对照，使学生再次经历从特殊到一般，由具体到抽象的思维过程．培养学生的归纳概括能力．
应用举例 例1：（P66 例6）已知指数函数（＞0且≠1）的图象过点（3，π），求 学生思考、解答、交流，教师巡视，注意个别指导，发现带有普遍性的问题，应及时提到全体学生面前供大家讨论．例1分析：要求再把0，1，3分别代入，即可求得解：将点（3，π），代入得到，即，解得：，于是，所以，，. 巩固所学知识，培养学生的数形结合思想和创新能力．
归纳总结 1、理解指数函数2、解题利用指数函数的图象，可有利于清晰地分析题目，培养数型结合与分类讨论的数学思想 . 学生先自回顾反思，教师点评完善． 通过师生的合作总结，使学生对本节课所学知识的结构有一个明晰的认识，形成知识体系.
课后作业 作业：2.1 第四课时 习案 学生独立完成 巩固新知提升能力
备选例题
例1 指出下列函数哪些是指数函数：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
（7）； （8）且.
【分析】 根据指数函数定义进行判断.
【解析】 （1）、（5）、（8）为指数函数；
（2）是幂函数（后面2.3节中将会学习）；
（3）是与指数函数的乘积；
（4）底数，不是指数函数；
（6）指数不是自变量，而底数是的函数；
（7）底数不是常数.
它们都不符合指数函数的定义.
【小结】准确理解指数函数的定义是解好本问题的关键.
例2 用计算机作出的图像，并在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y=的图象的关系，
⑴y=与y=.
⑵y=与y=.
解：⑴作出图像，显示出函数数据表
x -3 -2 -1 0 1 2 3
0.125 0.25 0.5 1 2 4 8
0.25 0.5 1 2 4 8 16
0.5 1 2 4 8 16 32
比较函数y=、y=与y=的关系：将指数函数y=的图象向左平行移动1个单位长度，就得到函数y=的图象，将指数函数y=的图象向左平行移动2个单位长度，就得到函数y=的图象
⑵作出图像，显示出函数数据表
x -3 -2 -1 0 1 2 3
0.125 0.25 0.5 1 2 4 8
0.625 0.125 0.25 0.5 1 2 4
0.3125 0.625 0.125 0.25 0.5 1 2
比较函数y=、y=与y=的关系：将指数函数y=的图象向右平行移动1个单位长度，就得到函数y=的图象，将指数函数y=的图象向右平行移动2个单位长度，就得到函数y=的图象
小结：⑴当m>0时，将指数函数y=的图象向右平行移动m个单位长度，就得到函数y=的图象；当m>0时，将指数函数y=的图象向左平行移动m个单位长度，就得到函数y=的图象
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1.3.3 函数的奇偶性
（一）教学目标 ( http: / / www. )
1．知识与技能：
使学生理解奇函数、偶函数的概念，学会运用定义判断函数的奇偶性. ( http: / / www. )
2．过程与方法：
通过设置问题情境培养学生判断、推断的能力. ( http: / / www. )
3．情感、态度与价值观：
通过绘制和展示优美的函数图象来陶冶学生的情操. 通过组织学生分组讨论，培养学生主动交流的合作精神，使学生学会认识事物的特殊性和一般性之间的关系，培养学生善于探索的思维品质. ( http: / / www. )
（二）教学重点与难点
重点：函数的奇偶性的概念； ( http: / / www. )
难点：函数奇偶性的判断.
（三）教学方法 ( http: / / www. )
应用观察、归纳、启发探究相结合的教学方法，通过设置问题引导学生观察分析归纳，形成概念，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得对函数奇偶性的全面的体验和理解. 对于奇偶性的应用采取讲练结合的方式进行处理，使学生边学边练，及时巩固.
（四）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 复习在初中学习的轴对称图形和中心对称图形的定义 教师提出问题，学生回答. 为学生认识奇、偶函数的图象特征做好准备.
概念形成 1．要求学生同桌两人分别画出函数f (x) =x3与g (x) = x2的图象. ( http: / / www. )2．多媒体屏幕上展示函数f (x) =x3和函数g (x) = x2的图象，并让学生分别求出x =±3，x =±2，x =±，… 的函数值，同时令两个函数图象上对应的点在两个函数图象上闪现，让学生发现两个函数的对称性反映到函数值上具有的特性：f (–x) = – f (x)，g (–x) = g (x). 然后通过解析式给出证明，进一步说明这两个特性对定义域内的任意一个x都成立. ( http: / / www. )3．奇函数、偶函数的定义：奇函数：设函数y = f (x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有 ( http: / / www. )f (–x) = – f (x)，则这个函数叫奇函数. ( http: / / www. )偶函数：设函数y = g (x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有g (– x) = – g (x)， ( http: / / www. )则这个函数叫做偶函数. 1．教师指导，学生作图，学生作完图后教师提问：观察我们画出的两个函数的图象，分别具有怎样的对称性？学生回答：f (x) =x3关于原点成中心对称图形；g (x) = x2关于y轴成轴对称图形. ( http: / / www. )2．老师边让学生计算相应的函数值，边操作课件，引导学生发现规律，总结规律，然后要求学生给出证明；学生通过观察和运算逐步发现两个函数具有的不同特征：f (–x) = – f (x)， ( http: / / www. )g (–x) = – g (x).3.教师引导归纳：这时我们称函数f (x) = x3这样的函数为奇函数，像函数g (x) = x2这样的函数为偶函数，请同学们根据对奇函数和偶函数的初步认识加以推广，给奇函数和偶函数分别下一个定义. ( http: / / www. )学生讨论后回答，然后老师引导使定义完善. 在屏幕展示奇函数和偶函数的定义.老师：根据定义，哪些同学能举出另外一些奇函数和偶函数的例子？ ( http: / / www. )学生：f (x) = ，f (x) = –x6 – 4x4，…. 1．要求学生动手作图以锻炼学生的动手实践能力，为下一步问题的提出做好准备. 并通过问题来引导学生从形的角度认识两个函数各自的特征. ( http: / / www. )2．通过特殊值让学生认识两个函数各自对称性实质：是自变量互为相反数时，函数值互为相反数和相等这两种关系.3．通过引例使学生对奇函数和偶函数的形和数的特征有了初步的认识，此时再让学生给奇函数和偶函数下定义应是水到渠成. ( http: / / www. )
概念深化 （1）强调定义中“任意”二字，说明函数的奇偶性在定义域上的一个整体性质，它不同于函数的单调性 .（2）奇函数与偶函数的定义域的特征是关于原点对称. ( http: / / www. )（3）奇函数与偶函数图象的对称性：如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象以坐标原点为对称中心的中心对称图形. 反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. ( http: / / www. )如果一个函数是偶函数，则它的图形是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. 教师设计以下问题组织学生讨论思考回答.问题1：奇函数、偶函数的定义中有“任意”二字，说明函数的奇偶性是怎样的一个性质？与单调性有何区别？ ( http: / / www. )问题2：–x与x在几何上有何关系？具有奇偶性的函数的定义域有何特征？问题3：结合函数f (x) =x3的图象回答以下问题： ( http: / / www. )（1）对于任意一个奇函数f (x)，图象上的点P (x，f (x))关于原点对称点P′的坐标是什么？点P′是否也在函数f (x)的图象上？由此可得到怎样的结论.（2）如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，能否判断它的奇偶性？ ( http: / / www. )学生通过回答问题3 可以把奇函数图象的性质总结出来，然后老师让学生自己研究一下偶函数图象的性质. 通过对三个问题的探讨，引导学生认识到：（1）函数的奇偶性 是函数在定义域上的一个整体性质，它不同于单调性.（2）函数的定义域关于原点对称是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件.（3）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.
应用举例 例1 判断下列函数的奇偶性； ( http: / / www. )（1）f (x) = x + x3 +x5；（2）f (x) = x2 +1； ( http: / / www. )（3）f (x) = x + 1；（4）f (x) = x2，x∈[–1，3]； ( http: / / www. )（5）f (x) = 0.学生练习： ( http: / / www. )判断下列函数的是否具有奇偶性：(1) f (x) = x + x3； ( http: / / www. )(2) f (x) = – x2；(3) h (x) = x3 +1； ( http: / / www. )(4) k (x) =，x[–1，2]；(5) f (x) = (x + 1) (x – 1)； ( http: / / www. )(6) g (x) = x (x + 1)；(7) h (x) = x +； ( http: / / www. )(8) k (x) =.例2 研究函数y =的性质并作出它的图象. ( http: / / www. )学生练习：1．判断下列论断是否正确： ( http: / / www. )（1） 如果一个函数的定义域关于坐标原点对原对称，则这个函数关于原点对称；则这个函数为奇函数；（2）如果一个函数为偶函数，则它的定义关于坐标原点对称， ( http: / / www. )（3）如果一个函数定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数；（4）如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数为偶函数.2．如果f (0) = a≠0，函数f (x)可以是奇函数吗？可以是偶函数吗？为什么？3.如果函数f (x)、g (x)为定义域相同的偶函数，试问F (x) =f (x) + g (x)是不是偶函数？是不是奇函数？为什么？4．如图，给出了奇函数y = f (x)的局总图象，求f (– 4).5．如图，给出了偶函数y = f (x)的局部图象，试比较f (1)与 f (3) 的大小. 1．选例1的第（1）小题板书来示范解题的步骤，其他例题让几个学生板演，其余学生在下面自己完成，针对板演的同学所出现的步骤上的问题进行学生做好总结归纳.2．例2可让学生来设计如何研究函数的性质和图象的方案，并根据学生提供的方案，点评方案的可行性，并比较哪种方案简单.3．做完例1和例2后要求学生做练习，及时巩固. 在学生练习过程中，教师做好巡视指导.例1 解答案（1）奇函数（2）偶函数（3）非奇非偶函数（4）非奇非偶函数（5）既奇又偶函数学生练习答案（1）奇函数（2）偶函数（3）非奇非偶函数（4）非奇非偶函数（5）偶函数（6）非奇非偶函数（7）奇函数（8）偶函数例2 偶函数（图略）学生练习1．（1）错（2）错（3）错（4）对2．不能为奇函数但可以是偶函数3．偶函数∵f (–x ) = f (x)g (–x) = g (x)∴F (–x) = F (x)4．f (–4) = – f (4) = –2.5．∵f (–3)＞f (–1)又f (–3) = f (3)f (–1) = f (1)∴f (3)＞f (1) 1．通过例1解决如下问题：①根据定义判断一个函数是奇函数还是偶函数的方法和步骤是：第一步先判断函数的定义域是否关于原点对称；第二步判断f (–x) = f (x)还是判断f (–x) = – f (x).②通过例1中的第（3）小题说明判断函数既不是奇函数也不是偶函数.③ 例1中的第（4）小题说明判断函数的奇偶性先要看一下定义域是否关于原点对称.④ f (x) = 0既不奇函数又是偶函数的函数是函数值为0的常值函数. 前提是定义域关于原点对称.⑤总结：对于一个函数来说，它的奇偶性有四种可能：是奇函数但不是偶函数；是偶函数但不是奇函数；既是奇函数又是偶函数；既不是奇函数也不是偶函数.2．对于例2主要让学生体会学习了函数的奇偶性后为研究函数的性质带来的方便. 在此问题的处理上要先求一下函数的定义域，这是研究函数性质的基础，然后判断函数图象的对称性，再根据奇、偶函数在y轴一侧的图象和性质就可以知道在另一侧的图象和性质.
归纳总结 从知识、方法两个方面来对本节课的内容进行归纳总结. 让学生谈本节课的收获，并进行反思. 关注学生的自主体验，反思和发表本堂课的体验和收获.
布置作业 1.3第三课时 习案. 学生独立完成 通过分层作业使学生进一步巩固本节课所学内容. 并为学有余力和学习兴趣浓厚的学生提供进一步学习的机会.
备选例题.
例1 判断下列函数的奇偶性：
（1）f (x) =；
（2）f (x) =.
解析：（1）函数的定义域是（–∞，+∞），将函数式分子有理化，得
f (x) =
=，
f (–x) =
=
= – f (x)，
∴f (x)是奇函数.
（2）函数定义域为（–∞，+∞），
f (–x) === f (x).
∴f (x)为偶函数.
例2 （1）设f (x)是偶函数，g (x)是奇函数，且f (x) + g (x) =，求函数f (x)，g (x)的解析式；
（2）设函数f (x)是定义在(–∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，又f (x)在(0，+∞)上是减函数，且f (x)＜0，试判断函数F (x) =在(–∞，0)上的单调性，并给出证明.
解析：（1）∵f (x)是偶函数，g (x)是奇函数，
∴f (–x) = f (x)，g (– x) = –g (x)，
由f (x) + g (x) = ①
用–x代换x得f (–x) + g (– x) =，
∴f (x) –g (x) =， ②
(① + ②)÷2 = 得f (x) =； (① – ②)÷2 = 得g (x) =.
（2）F (x)在（–∞，0）是中增函数，以下进行证明：
设x1，x2?(–∞，0)，且x1＜x2.
则△x = x2 – x1＞0且–x1，–x2?(0，+∞)，
且–x1＞– x2，
则△(–x) = (–x2) – (–x1) = x1–x2 = –△x＜0，
∵f (x)在（0，+∞）上是减函数，∴f (–x2) – f (–x1)＞0 ①
又∵f (x)在 (–∞，0)∪(0，+∞)上是奇函数，∴f (–x1) = – f (x1)，f (–x2) = – f (x2)，
由①式得 – f (x2) + f (x1) ＞0，
即f (x1) – f (x2)＞0. 当x1＜x2＜0时，F (x2) – F (x1) =，
又∵f (x) 在(0，+∞)上总小于0，
∴f (x1) = – f (–x1)＞0，f (x2) = – f (–x2)＞0，f (x1)·f (x2)＞0，
又f (x1) – f (x2)＞0，∴F (x2) – F (x1)＞0且△x = x2 – x1＞0，
故F (x) =在(–∞，0)上是增函数.
x
y
O
4
2
x
y
O
– 3
2
– 1
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2.1.2 指数函数及其性质（二）
（一）教学目标 ( http: / / www. )
1．知识与技能：
（1）理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质. ( http: / / www. )
（2）体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想；
2．过程与方法： ( http: / / www. )
展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质.
3．情感、态度与价值观 ( http: / / www. )
（1）让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理.
（2）培养学生观察问题，分析问题的能力. ( http: / / www. )
（二）教学重点、难点
1．教学重点：指数函数的概念和性质及其应用. ( http: / / www. )
2．教学难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用.
（三）教学方法 ( http: / / www. )
采用观察、分析、归纳、抽象、概括，自主探究，合作交流的教学方法，利用多媒体教学，使学生通过观察图象，总结出指数函数的性质，调动学生参与课堂教学的主动性和积极性．从而培养学生的观察能力，概括能力.
（四）教学过程 ( http: / / www. )
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习 ( http: / / www. )引入 复习指数函数的概念和图象.1.指数函数的定义 ( http: / / www. )一般地，函数（＞0且≠1）叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为R.2.指数函数的图象 ( http: / / www. )问题：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性. 生：复习回顾 ( http: / / www. )师：总结完善 复习旧知，为新课作铺垫.
形成概念 ( http: / / www. ) 图象特征＞10＜＜1向轴正负方向无限延伸图象关于原点和轴不对称函数图象都在轴上方函数图象都过定点（0，1）自左向右，图象逐渐上升自左向右， ( http: / / www. )图象逐渐下降在第一象限内的图象纵坐标都大于1在第一象限内的图 ( http: / / www. )象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图 ( http: / / www. )象纵坐标都大于1 师：引导学生观察指数函数的图象，归纳出图象的特征.生：从渐进线、对称轴、特殊点、图象的升降等方面观察指数函数的图象，归纳出图象的特征. ( http: / / www. )师：帮助学生完善. 通过分析图象，得到图象特征，为进一步 得到指数函数的性质作准备.
概念深化 函数性质＞10＜＜1函数的定义域为R非奇非偶函数函数的值域为R+=1增函数减函数＞0，＞1＞0，＜1＜0，＜1＜0，＞1 ( http: / / www. )问题：指数函数（＞0且≠1），当底数越大时，函数图象间有什么样的关系. 生：从定义域、值域、定点、单调性、范围等方面研究指数函数的性质. ( http: / / www. )师：帮助学生完善. ( http: / / www. ) ( http: / / www. )师：画出几个提出问题.生：画出几个底数不同的指数函数图象，得到指数函数（＞0且≠1），当底数越大时，在第一象限的函数图象越高. ( http: / / www. )（底大图高） 获得指数函数的性质. ( http: / / www. ) ( http: / / www. )明确底数是确定指数函数的要素.
应用举例 例1 求下列函数的定义域、值域（1）（2）课堂练习（P64 2）例2（P62例7）比较下列各题中的个值的大小（1）1.72.5 与 1.73( 2 )与( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1课堂练习：1.已知按大小顺序排列；2. 比较（＞0且≠0）.例3（P63例8）截止到1999年底，我们人口哟13亿，如果今后，能将人口年平均均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？ 例1分析：此题要利用指数函数的定义域、值域，并结合指数函数的图象.解：（1）由得所以函数定义域为.由得，所以函数值域为.（2）由得所以函数定义域为.由得，所以函数值域为.例2解法1：用数形结合的方法，如第（1）小题，用图形计算器或计算机画出的图象，在图象上找出横坐标分别为2.5, 3的点，显然，图象上横坐标就为3的点在横坐标为2.5的点的上方，所以 .解法2：用计算器直接计算： 所以，解法3：由函数的单调性考虑因为指数函数在R上是增函数，且2.5＜3，所以，仿照以上方法可以解决第（2）小题 .注：在第（3）小题中，可以用解法1，解法2解决，但解法3不适合 .由于1.70.3=0.93.1不能直接看成某个函数的两个值，因此，在这两个数值间找到1，把这两数值分别与1比较大小，进而比较1.70.3与0.93.1的大小 .练习答案1. ；2. 当时，则.当时，则.分析：可以先考试一年一年增长的情况，再从中发现规律，最后解决问题：1999年底 人口约为13亿经过1年 人口约为13（1+1%）亿经过2年 人口约为13（1+1%）（1+1%）=13(1+1%)2亿经过3年 人口约为13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3亿经过年 人口约为13(1+1%)亿经过20年 人口约为13(1+1%)20亿解：设今后人口年平均增长率为1%，经过年后，我国人口数为亿，则当=20时，答：经过20年后，我国人口数最多为16亿.小结：类似上面此题，设原值为N，平均增长率为P，则对于经过时间后总量，＞0且≠1）的函数称为指数型函数 . 掌握指数函数的应用.
归纳总结 本节课研究了指数函数性质及其应用，关键是要记住＞1或0＜＜1时的图象，在此基础上研究其性质 .本节课还涉及到指数型函数的应用，形如（a＞0且≠1）. 学生先自回顾反思，教师点评完善． 形成知识体系.
课后作业 作业：2.1 第五课时 习案 学生独立完成 巩固新知提升能力
备选例题
例1 求下列函数的定义域与值域
（1）；
（2）；
（3）；
【分析】由于指数函数且的定义域是，所以函数（且）与函数的定义域相同.利用指数函数的单调性求值域.
【解析】（1）令得
定义域为且.
，
∴的值域为且.
（2）定义域为.
≥0，
≥
故的值域为≥.
（3）定义域为.
且.
故的值域为.
【小结】求与指数函数有关的函数的值域时，要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性.
例2用函数单调性定义证明a＞1时，y = ax是增函数.
【解析】设x1，x2∈R且x 1＜x2，并令x2 = x1 + h (h＞0，h∈R)，
则有，
∵a＞1，h＞0，∴，
∴，即
故y = ax (a＞1)为R上的增函数，
同理可证0＜a＜1时，y = ax是R上的减函数.
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2.2.1对数与对数运算（二）
（一）教学目标 ( http: / / www. )
1．知识与技能：理解对数的运算性质．
2．过程与方法：通过对数的运算性质的探索及推导过程，培养学生的“合情推理能力”、“等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法，以及创新意识． ( http: / / www. )
3．情感、态态与价值观
通过“合情推理”、“等价转化”和“演绎归纳”的思想运用，培养学生对立统一、相互联系，相互转化以及“特殊—一般”的辩证唯物主义观点，以及大胆探索，实事求是的科学精神． ( http: / / www. )
（二）教学重点、难点
1．教学重点：对数运算性质及其推导过程. ( http: / / www. )
2．教学难点： 对数的运算性质发现过程及其证明.
（三）教学方法 ( http: / / www. )
针对本节课公式多、思维量大的特点，采取实例归纳，诱思探究，引导发现等方法．
（四）教学过程 ( http: / / www. )
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习 ( http: / / www. )引入 复习：对数的定义及对数恒等式 ( http: / / www. ) （＞0，且≠1，N＞0），指数的运算性质. ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) 学生口答，教师板书． 对数的概念和对数恒等式是学习本节课的基础，学习新知前的简单复习，不仅能唤起学生的记忆，而且为学习新课做好了知识上的准备．
提出问题 探究：在上课中，我们知道，对数式可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？如我们知道，那如何表示，能用对数式运算吗？ ( http: / / www. )如：. ( http: / / www. )于是 由对数的定义得到 ( http: / / www. ) ( http: / / www. )即：同底对数相加，底数不变，真数相乘 ( http: / / www. )提问：你能根据指数的性质按照以上的方法推出对数的其它性质吗？ 学生探究，教师启发引导． ( http: / / www. )
概念形成 （让学生探究，讨论） ( http: / / www. )如果＞0且≠1，M＞0，N＞0，那么：（1） ( http: / / www. )（2）（3） ( http: / / www. )证明：（1）令 ( http: / / www. ) 则： ( http: / / www. )又由 ( http: / / www. )即：（3） ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) ( http: / / www. )即当=0时，显然成立. ( http: / / www. ) ( http: / / www. )让学生多角度思考，探究，教师点拨．让学生讨论、研究，教师引导． 让学生明确由“归纳一猜想”得到的结论不一定正确，但是发现数学结论的有效方法，让学生体会“归纳一猜想一证明”是数学中发现结论，证明结论的完整思维方法，让学生体会回到最原始（定义）的地方是解决数学问题的有效策略．通过这一环节的教学，训练学生思维的广阔性、发散性，进一步加深学生对字母的认识和利用，体会从“变”中发现规律．通过本环节的教学，进一步体会上一环节的设计意图．
概念 ( http: / / www. )深化 合作探究：1. 利用对数运算性质时，各字母的取值范围有什么限制条件？ ( http: / / www. ) ( http: / / www. )2. 性质能否进行推广？ ( http: / / www. ) ( http: / / www. ) （师组织，生交流探讨得出如下结论）底数a＞0，且a≠1，真数M＞0，N＞0；只有所得结果中对数和所给出的数的对数都存在时，等式才能成立. ( http: / / www. )（生交流讨论）性质（1）可以推广到n个正数的情形，即loga（M1M2M3…Mn）=logaM1+logaM2+logaM3+…+logaMn（其中a＞0，且a≠1，M1、M2、M3…Mn＞0）.
应用举例 例1 用，，表示下列各式（1） （2） 例2 求下列各式的值.（1） （2）例3计算：（1）lg14－2lg+lg7－lg18；（2）；（3）.课本P79练习第1，2，3.补充练习：若a＞0，a≠1，且x＞y＞0，N∈N，则下列八个等式：①（logax）n=nlogx；②（logax）n=loga（xn）；③－logax=loga（）；④=loga（）；⑤=logax；⑥logax=loga；⑦an=xn；⑧loga=－loga.其中成立的有________个. 学生思考，口答，教师板演、点评．例1分析：利用对数运算性质直接化简.（1） （2） =小结：此题关键是要记住对数运算性质的形式，要求学生不要记住公式.例2解（1）（2）例3（1）解法一：lg14－2lg+lg7－lg18=lg（2×7）－2（lg7－lg3）+lg7－lg（32×2）=lg2+lg7－2lg7+2lg3+lg7－2lg3－lg2=0.解法二：lg14－2lg+lg7－lg18=lg14－lg（）2+lg7－lg18=lg=lg1=0.（2）解：===.（3）解：===.小结：以上各题的解答，体现对数运算法则的综合运用，应注意掌握变形技巧，每题的各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系，要避免错用对数运算性质.课本P79练习第1，2，3.答案：1.（1）lg（xyz）=lgx+lgy+lgz；（2）lg=lg（xy2）－lgz=lgx+lgy2－lgz=lgx+2lgy－lgz；（3）lg=lg（xy3）－lg=lgx+lgy3－lgz=lgx+3lgy－lgz；（4）lg=lg－lg（y2z）=lgx－lgy2－lgz=lgx－2lgy－lgz.2.（1）7；（2）4；（3）－5；（4）0.56.3.（1）log26－log23=log2=log22=1；（2）lg5－lg2=lg；（3）log53+log5=log53×=log51=0；（4）log35－log315=log3 =log3=log33－1=－1.补充练习答案：4 通过例题的解答，巩固所学的对数运算法则，提高运算能力．
归纳总结 1.对数的运算性质.2.对数运算法则的综合运用，应掌握变形技巧：（1）各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系；（2）要避免错用对数运算性质.3.对数和指数形式比较：式子ab=N名称a——幂的底数b——幂的指数N——幂值运算性质am·an=am+nam÷an=am－n（am）n=amn（a＞0，且a≠1，m、n∈R）式子logaN=b名称a——对数的底数b——以a为底的N的对数N——真数运算性质loga（MN）=logaM+logaNloga=logaM－logaNlogaMn=nlogaM（n∈R）（a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0） 学生先自回顾反思，教师点评完善． 通过师生的合作总结，使学生对本节课所学知识的结构有一个明晰的认识，形成知识体系.
课后作业 作业：2.1 第四课时 习案 学生独立完成 巩固新知提升能力
备选例题
例1 计算下列各式的值：
（1）；
（2）.
【解析】（1）方法一：
原式=
=
=
=.
方法二：原式=
=
=.
（2）原式=2lg5 + 2lg2 + lg5 (2lg2 + lg5) + (lg2)2
=2lg10 + (lg5 + lg2)2
= 2 + (lg10)2
= 2 + 1 = 3.
【小结】易犯lg52 = (lg5)2的错误.
这类问题一般有两种处理方法：一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；
另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值. 计算对数的值时常用到lg2 + lg5 = lg10 = 1.
例2：（1）已知lg2 = 0.3010，lg3 = 0.4771，求lg；
（2）设logax = m，logay = n，用m、n表示；
（3）已知lgx = 2lga + 3lgb – 5lgc，求x.
【分析】由已知式与未知式底数相同，实现由已知到未知，只须将未知的真数用已知的真数的乘、除、幂表示，借助对数运算法则即可解答.
【解析】（1）
0.4771+0.5 – 0.1505
= 0.8266
（2）
（3）由已知得：
，
∴.
【小结】①比较已知和未知式的真数，并将未知式中的真数用已知式的真数的乘、除、乘方表示是解题的关键，并且应注意对数运算法则也是可逆的；②第（3）小题利用下列结论：同底的对数相等，则真数相等. 即logaN = logaMN = M.
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第一章 单元小结(一)
(一)教学目标 ( http: / / www. )
1．知识与技能
（1）通过回顾集合与函数的概念及表示法，构建单元知识网络；整合知识，使知识系统化. ( http: / / www. )
（2）进一步提升学生的集合思想与函数思想.
2．过程与方法 ( http: / / www. )
通过知识的整理，知识与方法的综合应用，加深对知识的理解.提升应用基本方法的能力.，从而使学生系统地掌握的知识与方法.
3．情感、态度与价值观 ( http: / / www. )
在知识的回顾、整理过程中体会数学知识的整体性和关联性. 感受数学的系统化与结构化的特征.
(二)教学重点与难点 ( http: / / www. )
重点：构建知识体系；难点：整合基本数学知识、数学思想和数学方法.
(三)教学方法 ( http: / / www. )
自主探究与合作交流相结合. 自主探究知识的纵模联系，合作交流归纳整理知识，构建单元知识体系.
(四)教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
回顾反思 ( http: / / www. )构建体系 师：要求学生借助课本回顾第一章的第1、2节的基本知识. 生：独立回顾总结第1、2节的基本知识. ( http: / / www. )师生合作：学生口述单元知识，老师用网络图的形式板书知识构造体系图. 整合知识，形成单元知识系统.培养归纳概括能力.
示例剖析 ( http: / / www. )升华能力(I) ( http: / / www. )例1 设A、B、I均为非空集合，且满足A?B?I，则下列各式中错误的是（ ） ( http: / / www. )A．()∪B = IB．()∪() =I ( http: / / www. )C．A∩() =D．()∩() = ( http: / / www. ) ( http: / / www. )例2 已知集合A = {x| –2＜x＜–1或x＞0}，B = {x| a≤x≤b}，满足A∩B = {x | 0＜x≤2}，A∪B = {x| x＞– 2}.求a、b的值. ( http: / / www. )例3 集合P = {x | x2 + x – 6 = 0}， ( http: / / www. )Q = {x | mx– 1 = 0}，且QP，求实数m的取值集合. 生：尝试完成例1~例3. 并由学生代表板书例1 ~ 例3的解题过程. ( http: / / www. )师生合作点评学生代表的解答，并分析解题思路的切入点和寻找解题的最优途径.例1解析：本题主要考查子集及运算. ( http: / / www. )答案：B如图 ( http: / / www. )例2解析：将集合A、A∩B、A∪B分别在数轴上表示，如图所示，由A∩B = {x | 0＜x≤2}知b =2且–1≤a≤0； ( http: / / www. )由A∪B = {x | x＞– 2}，知–2＜a≤–1，综上所知，a = –1，b =2. ( http: / / www. )例3解析：P = {2，– 3}，QP，∴Q =，Q = {2}或Q = {– 3}.①当Q = Q 时，m = 0； ( http: / / www. )②当Q = {2}时，2m – 1= 0，即m =；③当Q = {– 3}时，–3m –1 = 0，即m =.综上知，m的取值的集合为{0，，}. 通过尝试练习，训练思维.通过合作交流探索题途径
经典例题 例4 求下列函数的定义域：（1）y =+；（2）y =.例5 求下列函数的值域：（1）y = x2 –2x，x?[0，3]；（2）y = x +，x?[0，+∞]；（3）y = x +；（4）y = |x+1| + |x– 2|.例6 已知函数f (x)的解析式为：.（1）求f ()，f ()，f (–1)的值；（2）画出这个函数的图象；（3）求f (x)的最大值. 例4解析：（1）由，得x = 1，∴函数的定义域为{1}.（2）由题意知，有不等式组，即x＜–3或–3＜x＜3或3＜x≤5.故函数y =的定义域为(–∞，–3)∪(–3，3)∪(3，5].例5解析：（1）y = x2 –2x = (x – 1)2 –1，如图所示，y ?[–1，3]为所求.（2）配方得y = x +，当且仅当，即x = 1时，y =2，∴y?[2，+∞]为所求.（3）换元法令= t，t≥0，则x =，函数化为y =t2 +=(t +1) 2，∵t≥0，∴y≥，∴函数y = x +的值域为[，+∞].（4）方法一：运用绝对值的几何意义.|x +1| + |x– 2|的几何意义表示数轴上的动点x与–1以及2的距离的和，结合数轴，易得|x + 1| + |x– 2|≥3，∴函数的值域为y?[3，+∞）.方法二：转化为函数图象，运用数形结合法. 函数y = |x +1| + |x– 2|的零点为–1，2，把定义域分成三区间 (– ∞，–1]，(–1，2]，[2，+∞).∴.该函数图象如图所示，由图象知函数的值域为[3，+∞].例6解析：（1）∵＞1，∴f () = –2×() + 8 =5，∵f () =+5 =.∵–1＜0，∴f (–1) = –3+5 =2.如图在函数y =3x +5图象上截取x≤0的部分，在函数y = x +5图象上截取0＜x≤1的部分，在函数y = –2x +8图象上截取x＞1的部分.图中实线组成的图形就是函数f (x)的图象.（3）由函数图象可知当x = 1时，f (x)的最大值为6. 通过尝试练习，训练思维.通过合作交流探索题途径.归纳总结求函数定义域的题型及方法.归纳总结求函数值域的题型及方法.
布置作业 见单元小结1的习案 学生独立完成 巩固旧知提升能力
备选例题
例1 对于集合A = {x|x2 – 2a x + 4a – 3 = 0}，B ={x| x2 –ax + a 2 + a + 2 = 0}，是否存在实数a，使A∪B =？若a不存在，说明理由，若a存在，求出a的值.
分析：A∪B =，即A =且B =，只要两个方程能同时无解即可.
∵A∪B =，∴A =且B =.
由△1＜0且△2＜0得
.
所以存在这样的实数a?(1，2)使得A∪B =.
例2（1）已知函数f (2x–1)的定义域为[0，2]，求f (x)的定义域；
（2）已知函数f (x)的定义域为[–1，3]，求f (2x–1)定义域.
【解析】（1）由f (2x–1)的定义域为[0，2]，
即x∈[0，2]，∴2x–1∈[–1，3].
令t =2x–1，则f (t)与f (x)为同一函数，
∴t的范围[–1，3]即f (t)的定义域，∴f (x)的定义域为[–1，3].
（2）求f (2x–1)的定义域，
即由2x–1∈[–1，3]求x的范围，
解得x∈[0，2].
综合应用
含义与表示
集合
基本关系
函数的概念
函数基础
函数的表示
基本运算
元素的特性
集合的表示
元素与集合的关系
集合与集合的关系
交 集
并 集
补 集
映射
定义域
对应法则
值 域
解析法
图象法
列表法
?
≠
?
≠
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2.3 幂函数
（一）教学目标 ( http: / / www. )
1．知识与技能
（1）理解幂函数的概念，会画幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=x－1，y=x的图象. ( http: / / www. )
（2）结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质.
2．过程与方法 ( http: / / www. )
（1）通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力.
（2）使学生进一步体会数形结合的思想. ( http: / / www. )
3. 情感、态度、价值观
（1）通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到数学在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣. ( http: / / www. )
（2）利用计算机，了解幂函数图象的变化规律，使学生认识到现代技术在数学认知过程中的作用，从而激发学生的学习欲望.
（二）教学重点、难点 ( http: / / www. )
重点：常见幂函数的概念、图象和性质.
难点：幂函数的单调性及比较两个幂值的大小. ( http: / / www. )
（三）教学方法
采用师生互动的方式，由学生自我探索、自我分析，合作学习，充分发挥学生的积极性与主动性. ( http: / / www. )
利用实物投影仪及计算机辅助教学.
（四）教学过程 ( http: / / www. )
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习 ( http: / / www. )引入 （多媒体显示以下5个问题，同时附注相关图象，每个问题的结论由学生说出，然后再在多面体屏幕上弹出）问题1：如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要付的钱数p=w元，这里p是w的函数. ( http: / / www. )问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数.问题3：如果正方体的边长为a，那么正方体的体积V=a3，这里V是a的函数. ( http: / / www. )问题4：如果正方形场地的面积为S，那么正方形的边长a=S，这里a是S的函数.问题5：如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v=t－1 km/s，这里v是t的函数. ( http: / / www. ) 学生阅读、思考、交流、口答，教师板演．师：观察上述例子中函数模型，这几个函数表达式有什么共同特征？ ( http: / / www. )生：解析式的右边都是指数式，且底数都是变量. 变量在底数位置，解析式右边又都是幂的形式，我们把这种函数叫做幂函数.（引入新课，书写课题） ( http: / / www. ) 培养学生的观察、归纳、概括能力，
形成概念 ( http: / / www. ) 幂函数的定义一般地，形如（R）的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数. ( http: / / www. ) 师：请同学们举出几个具体的幂函数. ( http: / / www. )生：如等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 理解幂函数的定义. ( http: / / www. )
深化概念 ( http: / / www. ) 1.研究幂函数的图像（1） ( http: / / www. )（2） （3） ( http: / / www. )（4） （5） ( http: / / www. )2.通过观察图像，填P86探究中的表格定义域RR奇偶性奇奇在第Ⅰ象限单调增减性在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增定点（1，1）（1，1）R奇非奇非偶奇在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递减（1，1）（1，1）（1，1）3.幂函数性质 （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：）； ( http: / / www. ) （2）＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）. 特别地，当＞1，＞1时，∈（0，1），的图象都在图象的下方，形状向下凸越大，下凸的程度越大（你能找出原因吗？） ( http: / / www. ) 当0<α＜1时，∈（0，1），的图象都在的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大（你能说出原因吗？） （3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. ( http: / / www. )在第一家限内，当向原点靠近时，图象在轴的右方无限逼近轴正半轴，当慢慢地变大时，图象在轴上方并无限逼近轴的正半轴. 引导学生用列表描点法，应用函数的性质，如奇偶性，定义域等，画出函数图像，最后，教师利用电脑软件画出以上五个数数的图像. ( http: / / www. )让学生通过观察图像，分组讨论，探究幂函数的性质和图像的变化规律，教师注意引导学生用类比研究指数函数，对函数的方法研究幂函数的性质. ( http: / / www. ) ( http: / / www. )探究幂函数的性质和图像的变化规律， ( http: / / www. )
应用举例 例1 求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性. ( http: / / www. )（1）y=x；（2）y=x；（3）y=x－2. ( http: / / www. ) ( http: / / www. )例2 证明幂函数f（x）=在［0，+∞）上是增函数.请同学们回顾一下如何证明一个函数是增函数，然后请一个学生作答，师板书.合作探究：【例3】 比较下列各组数的大小：（1）1.5，1.7，1；（2）（－），（－），1.1；（3）3.8，3.9，（－1.8）；（4）31.4，51.5.课堂练习1.下列函数中，是幂函数的是A.y=－x B.y=3x2 C.y= D.y=2x2.下列结论正确的是A.幂函数的图象一定过（0，0）和（1，1）B.当α＜0时，幂函数y=xα是减函数C.当α＞0时，幂函数y=xα是增函数D.函数y=x2既是二次函数，也是幂函数3.函数y=x的图象大致是 4.幂函数f（x）=ax（m∈Z）的图象与x轴和y轴均无交点，并且图象关于原点对称，求a和m. 例1分析：解决有关函数求定义域的问题时，可以从以下几个方面来考虑，列出相应不等式（组），解不等式（组）即可得到所求函数的定义域.①若函数解析式中含有分母，分母不能为0；②若函数解析式中含有根号，要注意偶次根号下非负；③0的0次幂没有意义；④若函数解析式中含有对数式，要注意对数的真数大于0.解：（1）函数y=x，即y=，其定义域为R，是偶函数，它在［0，+∞）上单调递增，在（－∞，0］上单调递减.（2）函数y=x，即y=，其定义域为（0，+∞），它既不是奇函数，也不是偶函数，它在（0，+∞）上单调递减.（3）函数y=x－2，即y=，其定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），是偶函数.它在区间（－∞，0）和（0，+∞）上都单调递减.例2证明：设0≤x1＜x2，则f（x1）－f（x2）=－==，因为x1－x2＜0，+＞0，所以f（x1）＜f（x2），即幂函数f（x）=在［0，+∞）上是增函数.小结：以上是用作差法证明函数的单调性，还可以用作商法证明函数的单调性，作简要分析，提出注意点：在证得＜1后，要比较f（x1）与f（x2）的大小，要注意分母的符号.例3分析：比较两个或多个数值的大小，一般情况下是将所要比较的两个或多个数值转化为比较某一函数的不同函数值的大小问题，进而根据所确定的函数的单调性，比较自变量的大小即可.若所给的数值不能转化为比较同一函数的不同函数值的大小问题，可以找出中间量来作为桥梁间接地进行比较，确定出它们的大小关系，一般情况下是根据具体情况选择常数“1”“－1”或“0”这些数作为中间量来进行比较.解：（1）∵所给的三个数之中1.5和1.7的指数相同，且1的任何次幂都是1，因此，比较幂1.5、1.7、1的大小就是比较1.5、1.7、1的大小，也就是比较函数y=x中，当自变量分别取1.5、1.7和1时对应函数值的大小关系，因为自变量的值的大小关系容易确定，只需确定函数y=x的单调性即可，又函数y=x在（0，+∞）上单调递增，且1.7＞1.5＞1，所以1.7＞1.5＞1.（2）（－）=（），（－）=（），1.1=［（1.1）2］=1.21.∵幂函数y=x在（0，+∞）上单调递减，且＜＜1.21，∴（）＞（）＞1.21，即（－）＞（－）＞1.1.（3）利用幂函数和指数函数的单调性可以发现0＜3.8＜1，3.9＞1，（－1.8）＜0，从而可以比较出它们的大小.（4）它们的底和指数也都不同，而且都大于1，我们插入一个中间数31.5，利用幂函数和指数函数的单调性可以发现31.4＜31.5＜51.5.小结：（1）当底数相异，指数相同的数比较大小，可以转化为比较同一幂函数的不同函数值的大小问题，根据函数的单调性，只要比较自变量的大小就可以了.（2）当底和指数都不同，插入一个中间数，综合利用幂函数和指数函数的单调性来比较.课堂练习答案：1. C 2. D 3. D 4. a=1，m=1，3，5，7. 掌握幂函数知识的应用.
归纳总结 1.幂函数的概念以及它和指数函数表达式的区别.2.常见幂函数的图象和性质.3.幂值的大小比较方法. 学生先自回顾反思，教师点评完善． 形成知识体系.
课后作业 作业：2.3 第一课时 习案 学生独立完成 巩固新知提升能力
备选例题
例1 已知是幂函数，求m，n的值.
【解析】由题意得，
解得， 所以.
【小结】做本题时，常常忽视m2 + 2m – 2 = 1且2n – 3 = 0这些条件.
表达式y =(x∈R)的要求比较严格，系数为1，底数是x，∈R为常数，如，y = 1 = x0为幂函数，而如y = 2x2，y = (x – 1)3等都不是幂函数.
例2 比例下列各组数的大小.
（1）；
（2）(–2)–3和(–2.5)–3；
（3）(1.1)–0.1和(1.2)–0.1；
（4）.
【解析】（1），函数在
(0, +∞)上为增函数，又，则，
从而.
（2）幂函数y = x–3在(–∞, 0)和(0, +∞)上为减函数，
又∵–2＞–2.5，∴(–2)–3＜(–2.5)–3.
（3）幂函数y = x–0.1在(0, +∞)上为减函数，
又∵1.1＜1.2，∴1.1–0.1＞1.2–0.1.
（4）＞= 1；0＜＜= 1；
＜0，
∴＜＜.
【小结】比较大小题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善于用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的“桥梁”.
y=x-1
y=x3
0
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1.2.2函数的三要素
（一）教学目标 ( http: / / www. )
1．知识与技能
（1）了解函数三要素的含义，掌握根据函数的三要素判定两个函数是否为同一个函数的方法. ( http: / / www. )
（2）会求简单函数的定义域和函数值.
2．过程与方法 ( http: / / www. )
通过示例分析，让学生掌握求函数定义域的基本题型及方法，进一步加深对函数概念的理解.通过求出函数的函数值，加深对应法则的认识.
3．情感、态度与价值观 ( http: / / www. )
通过动手实践研究数学问题，提高分析问题，解决问题能力；体会成功地解答数学问题的学习乐趣，培养钻研精神.
（二）教学重点与难点 ( http: / / www. )
重点：掌握函数定义域的题型及求法.
难点：理解函数由定义域与对应法则确定函数这一基本原则. ( http: / / www. )
（三）教学方法
启发式教学，在老师引导，学生在合作的状态下理解知识、应用知识，提升学生应用知识和基本技能探究解决问题的能力. ( http: / / www. )
（四）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习回顾范例分析 ( http: / / www. )强化概念 1．回顾函数的定义.2．示例剖析 ( http: / / www. )例1 已知函数f (x) =+ .（1）求函数的定义域； ( http: / / www. )（2）求f (–3)，的值；（3）当a＞0时，求f (a)，f (a – 1)的值. ( http: / / www. )例2 下列函数中哪个与函数y = x相等？（1）； ( http: / / www. )（2）；（3）； ( http: / / www. )（4）.2．函数定义的理解. ( http: / / www. )由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域. 由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.3．区间的概念： ( http: / / www. )（1）不等式a≤x≤b，用闭区间[a，b]表示；（2）不等式a＜x＜b，用开区间(a, b)表示； ( http: / / www. )（3）不等式a≤x＜b (或a＜x≤b)用半开半闭区间[a，b](或(a，b])表示；（4）x≥a，x＞a，x≤b，x＜b分别表示为[a，+∞)，(a, +∞)，(–∞, b]，(–∞, b). 1．老师引导学生分析例1函数解析式的结构特征. 结合函数的定义，感知函数定义域即使解析式有意义的自变量的取值范围. ( http: / / www. )2．分析例2的题型特点，结合函数的定义，阐明确定函数的因素为定义域和对应法则，并了解值域由这二要素决定.例1解：使根式有意义的实数x的集合是{x | x≥–3}，使分式有意义的实数x的集合是{x | x≠–2}. 所以，这个函数的定义域就是 {x | x≥–3}∩{x|x≠–2} ( http: / / www. )={x|x≥–3，且x≠–2}.(2)= –1； ( http: / / www. )=+= =. ( http: / / www. )（3）因为a＞0，所以f (a)，f (a – 1)有意义.； ( http: / / www. )f (a–1) =+ =+. ( http: / / www. )例2解：（1）= x (x≥0)，这个函数与函数y = x (x∈R)虽然对应关系相同，但是定义域不相同. 所以，这个函数与函数y = x (x∈R)不相等.（2）(x∈R)，这个函数与函数y = x(x∈R)不仅对应关系相同，而且定义域也相同. 所以，这个函数与函数y = x(x∈R)相等. ( http: / / www. )（3）= 这个函数与函数y = x(x∈R)的定义域都是实数集R，但是当x＜0时，它的对应关系与函数y = x(x∈R)不相同. 所以，这个函数与函数y = x(x∈R)不相等.（4）的定义域是{x | x≠0}，与函数y = x (x∈R)的对应关系相同但定义域不相同. 所以，这个函数与函数y = x(x∈R)不相等. 从回顾概念入手，引入求定义域的思考方法及求定义域的基本原则.
应用举例 训练题1：求下列函数的定义域. ( http: / / www. )（1）；（2）； ( http: / / www. )（3）.小结：从上例可以看出，求用解析式y = f (x)表示的函数的定义域，常有以下几种情况： ( http: / / www. )1．函数的定义域即使函数解析式有意义的实数集.2．已知函数y = f (x) ( http: / / www. )（1）若f (x)为整式，则定义域为R.（2）若f (x)为分式，则定义域是使分母不为零的实数的集合；（3）若f (x)是偶次根式，那么函数的定义域是根号内的式子不小于零的实数的集合；（4）若f (x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合（即使每个部分有意义的实数的集合的交集）；（5）若f (x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合.训练题2：（1）已知f (x) = 2x + 3，求f (1)，f (a)，f (m + n)，f [f (x)].（2）①已知f (x) = x2 + 1，则f (3x + 2) = ；②已知f (x) = 2x3 – 1，则f (–x) = .（3）已知函数f (x) =，则f {f [f (–1)]} = .（4）在函数f (x) =中，若f (x) = 3，则x的值是（ ）A．1 B．1或C．± D． 学生合作交流完成训练题1并说明解法原理.老师点评学生的解法及总结、题型.师生合作小结求定义域的方法及求解步骤.训练题1解：（1）x – 2≠0，即x≠2时，有意义，∴这个函数的定义域是{x | x≠2}.（2）3x + 2≥0，即x≥时，有意义，∴函数y =的定义域是，+∞).（3），∴这个函数的定义域是{x | x≥–1}∩{x | x≠2} = [–1，2)∪(2，+∞).注意：函数的定义域常用二种方法表示：集合、区间.学生自主完成训练题2，体会求函数值与对应法则之间的关系. 训练题2解：（1）f (1) = 2×1+3=5.f (a) = 2×a + 3 = 2a + 3.f (m + n) = 2×(m + n) + 3 = 2 (m+n) + 3.f [f (x)] = 2×f (x) + 3 = 2 (2x + 3) + 3 = 4 x + 9.（2）①9x2 + 12x + 5；②–2x3–1.（3）；（4）D. 固化定义域的求法及求解原理.强化函数值的基本求法、加深对函数三要素含义的理解.
归纳总结 1．求函数定义域的原理：使函数解析式有意义的自变量取值范围.2．求函数值的方法：代入法. 师生合作归纳小结 训练归纳概括能力
课后作业 1.2 第二课时习案 学生独立完成 固化技能
备选例题
例1 求下列函数的定义域
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）(a为常数).
【解析】（1）x∈R；
（2）要使函数有意义，必须使x2 – 4≠0，得原函数定义域为{x | x∈R且x≠±2}；
（3）要使函数有意义，必须使x + |x|≠0，得原函数定义域为{x | x＞0}；
（4）要使函数有意义，必须使得原函数的定义域为{x | 1≤x≤4}；
（5）要使函数有意义，必须使得原函数定义域为{x | –2≤x≤2}；
（6）要使函数有意义，必须使ax – 3≥0，得
当a＞0时，原函数定义域为{x | x≥}；
当a＜0时，原函数定义域为{x | x≤}；
当a = 0时，ax – 3≥0的解集为，故原函数定义域为.
例2 （1）已知函数f (x)的定义域为(0, 1)，求f (x2)的定义域.
（2）已知函数f (2x + 1)的定义域为(0, 1)，求f (x)的定义域.
（3）已知函数f (x + 1)的定义域为[–2, 3]，求f (2x2 – 2)的定义域.
【解析】（1）∵f (x)的定义域为(0, 1)，
∴要使f (x2)有意义，须使0＜x2＜1，即–1＜x＜0或0＜x＜1，∴函数f (x2)的定义域为{x| –1＜x＜0或0＜x＜1}.
（2）∵f (2x + 1)的定义域为(0, 1)，即其中的函数自变量x的取值范围是0＜x＜1，令t = 2x + 1，∴1＜t＜3，∴f (t)的定义域为1＜x＜3，∴函数f (x)的定义域为{x | 1＜x＜3}.
（3）∵f (x + 1)的定义域为–2≤x≤3，
∴–2≤x≤3.
令t = x + 1，∴–1≤t≤4，
∴f (t)的定义域为–1≤t≤4.
即f (x)的定义域为–1≤x≤4，要使f (2x2 – 2)有意义，须使–1≤2x2 – 2≤4，
∴≤x≤或≤x≤.
函数f (2x2 – 2)的定义域为{x |–≤x≤或≤x≤}.
注意：对于以上（2）（3）中的f (t)与f (x)其实质是相同的.
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2.2.2 对数函数及其性质（一）
（一）教学目标 ( http: / / www. )
1．知识技能
（1）理解对数函数的概念. ( http: / / www. )
（2）掌握对数函数的性质.了解对数函数在生产实际中的简单应用.
2．过程与方法 ( http: / / www. )
（1）培养学生数学交流能力和与人合作精神.
（2）用联系的观点分析问题.通过对对数函数的学习，渗透数形结合的数学思想. ( http: / / www. )
3．情感、态度与价值观
（1）通过学习对数函数的概念、图象和性质，使学生体会知识之间的有机联系，激发学生的学习兴趣. ( http: / / www. )
（2）在教学过程中，通过对数函数有关性质的研究，培养观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力，增强学习的积极性，同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质.
（二）教学重点、难点 ( http: / / www. )
1、重点：
（1）对数函数的定义、图象和性质； ( http: / / www. )
（2）对数函数性质的初步应用.
2、难点：底数a对图象的影响. ( http: / / www. )
（三）教学方法
通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现对数函数的图象的特点. ( http: / / www. )
（四）教学过程
教学 ( http: / / www. )环节 教学内容 师生互动 设计意图
提出问题 师：如2.2.1的例6，考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡物体的残留物，利用t=logP估算出土文物或古遗址的年代.根据问题的实际意义可知，对于每一个碳14含量P，通过对应关系t=logP，都有唯一确定的年代t与它对应，所以，t是P的函数. ( http: / / www. ) 师：你能据此得到此类函数的一般式吗？生：y=logax. ( http: / / www. )师：这样就得到了我们生活中的又一类与指数函数有着密切关系的函数模型——对数函数.这就是我们下面将要研究的知识. 由实际问题引入，不仅能激发学生的学习兴趣，而且可以培养学生解决实际问题的能力．
概念 ( http: / / www. )形成 对数函数概念一般地，函数y=logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，由对数概念可知，对数函数y=logax的定义域是（0，+∞），值域是R. ( http: / / www. )探究：（1）在函数的定义中，为什么要限定＞0且≠1．（2）为什么对数函数（＞0且≠1）的定义域是（0，+∞）． ( http: / / www. ) ( http: / / www. )组织学生充分讨论、交流，使学生更加理解对数函数的含义，从而加深对对数函数的理解. ( http: / / www. )生答：①根据对数与指数式的关系，知可化为，由指数的概念，要使有意义，必须规定＞0且≠1．②因为可化为，不管取什么值，由指数函数的性质， ( http: / / www. )＞0，所以． 掌握对数函数概念
概念 ( http: / / www. )深化 1. 对数函数的图象.借助于计算器或计算机在同一坐标系中画出下列两组函数的图象，并观察各组函数的图象，探求它们之间的关系. ( http: / / www. )（1）y=2x，y=log2x；（2）y=（）x，y=logx. ( http: / / www. )2.当a＞0，a≠1时，函数y=ax，y=logax的图象之间有什么关系？ ( http: / / www. ) ( http: / / www. )对数函数图象有以下特征图象的特征（1）图象都在轴的右边（2）函数图象都经过（1，0）点（3）从左往右看，当＞1时，图象逐渐上升，当0＜＜1时，图象逐渐下降 .（4）当＞1时，函数图象在（1，0）点右边的纵坐标都大于0，在（1，0）点左边的纵坐标都小于0. 当0＜＜1时，图象正好相反，在（1，0）点右边的纵坐标都小于0，在（1，0）点左边的纵坐标都大于0 .对数函数有以下性质0＜a＜1a＞1图 象定义域（0，+∞）值域R性 质（1）过定点（1，0），即x=1时，y=0（2）在（0，+∞）上是减函数（2）在（0，+∞）上是增函数 ( http: / / www. )师：用多媒体演示函数图象，揭示函数y=2x，y=log2x图象间的关系及函数y=（）x，y=logx图象间的关系.学生讨论总结如下结论.（1）函数y=2x和y=log2x的图象关于直线y=x对称；（2）函数y=（）x和y=logx的图象也关于直线y=x对称.一般地，函数y=ax和y=logax（a＞0，a≠1）的图象关于直线y=x对称.师生共同分析所画的两组函数的图象，总结归纳对数函数图象的特征，进一步推出对数函数性质. 由特殊到一般，培养学生的观察、归纳、概括的能力．掌握对数函数图象特征，以及性质.
应用举例 例1 求下列函数的定义域：（1）y=logax2；（2）y=loga（a＞0，a≠1）.例2 求证：函数f（x）=lg是奇函数.例3 溶液酸碱度的测量.溶液酸碱度是通过pH刻画的.pH的计算公式为pH=－lg［H+］，其中［H+］表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.（1）根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；（2）已知纯净水中氢离子的浓度为［H+］=10－7摩尔/升，计算纯净水的pH.课堂练习课本第85页练习1，2. 例1分析：求函数定义域时应从哪些方面来考虑？学生回答：①分母不能为0；②偶次根号下非负；③0的0次幂没有意义.④若函数解析式中含有对数式，要注意对数的真数大于0.（师生共同完成该题解答，师规范板书）解：（1）由x2＞0，得x≠0.∴函数y=logax2的定义域是{x|x≠0}.（2）由题意可得＞0，又∵偶次根号下非负，∴x－1＞0，即x＞1.∴函数y=loga（a＞0，a≠1）的定义域是{x|x＞1}.小结：求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组.例2分析：根据函数奇偶性的定义来证明.证明：设f（x）=lg，由＞0，得x∈（－1，1），即函数的定义域为（－1，1），又对于定义域（－1，1）内的任意的x，都有f（－x）=lg=－lg=－f（x），所以函数y=lg是奇函数.注意：函数奇偶性的判定不能只根据表面形式加以判定，而必须进行严格的演算才能得出正确的结论.例3解：根据对数的运算性质，有pH=－lg［H+］=lg［H+］－1=lg.在（0，+∞）上，随着［H+］的增大，减小，相应地，lg也减小，即pH减小.所以，随着［H+］的增大，pH减小，即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸度就越小.（2）当［H+］=10－7时，pH=－lg10－7，所以纯净水的pH是7.事实上，食品监督监测部门检测纯净水的质量时，需要检测很多项目，pH的检测只是其中一项.国家标准规定，饮用纯净水的pH应该在5.0～7.0之间.课堂练习答案1.函数y=log3x及y=logx的图象如图所示.相同点：图象都在y轴的右侧，都过点（1，0）.不同点：y=log3x的图象是上升的，y=logx的图象是下降的.关系：y=log3x和y=logx的图象关于x轴对称.2.（1）（－∞，1）；（2）（0，1）∪（1，+∞）；（3）（－∞，）；（4）［1，+∞）. 掌握对数函数知识的应用.
归纳总结 1.对数函数的定义.2.对数函数的图象和性质. 学生先自回顾反思，教师点评完善． 形成知识体系.
课后作业 作业：2.2 第四课时 习案 学生独立完成 巩固新知提升能力
备选例题
例1 求函数的定义域.
【解析】由，
得.
∴所求函数定义域为{x| –1＜x＜0或0＜x＜2}.
【小结】求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑真数大于零，底数大于零且不等于1.
例2 求函数y = log2|x|的定义域，并画出它的图象.
【解析】函数的定义域为{x|x≠0，x∈R}.
函数解析式可化为y =，
其图象如图所示（其特征是关于y轴对称）.
0
1 2
x
y
–2
·
·
·
·
·
·
–1
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3.2.1 几种函数增长快慢的比较
（一）教学目标 ( http: / / www. )
1．知识与技能
（1）掌握几种常用函数增长快慢的比较方法 ( http: / / www. )
（2）熟悉几种常用函数增长快慢的一般规律
2．过程与方程 ( http: / / www. )
利用函数图象，借助计算机列出自变量和函数值的对照表，比较几种常用函数增长的快慢，从而熟知常见函数增长快慢的一般性结论.
3．情感、态度与价值观 ( http: / / www. )
通过几种常见函数增长快慢的比较，感受“绝对与相对”的内涵和处延，培养思维的发散性.
（二）教学重点与难点 ( http: / / www. )
重点：函数增长快慢比较的常用途径；
难点：了解影响函数增长快慢的因素. ( http: / / www. )
（三）教学方法
合作交流与知识讲授相结合，通过学习熟悉的几种常见函数增长快慢的比较，体会比较方法，掌握基本结论，从而培养应用基本方法比较函数增长快慢的能力.
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
提出问题引入课题 观察函数在 [0，+∞）上的图象，说明在不同区间内，函数增长的快慢情况. ( http: / / www. )在同一坐标中函数图象如下 ( http: / / www. )结论：若0＜x＜16则 ( http: / / www. )若x＞16则 师：增函数的共同特点是函数值y随自变量x的增长而增长，但不同函数在同一区间内的增长快慢是否相同？ ( http: / / www. )师生合作观察研究函数的增长快慢.①x∈(0，16)时，的图象在图象上方 ( http: / / www. )可知增长较快②时，的图在图象下方， ( http: / / www. )可知增长较快 由问题引入课题，激发学习兴趣.
幂、指对函数增长快慢比较形成比较方法. 1．实例探究：比较函数y=2x，y= x2，y = log2x的增长快慢. ( http: / / www. )方法：①作图，列表比较、验证②应用二分法求2x = x2的根，即y = 2x与y = x2的交点横坐标. ( http: / / www. )2．规律总结①一般地，对于指数函数y=ax(a＞1)和幂函数y=xn(n＞0)，在区间上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0 ，当x＞x0 时，就会有ax＞xn. ( http: / / www. )②对于对数函数y=logax(a＞1)和幂函数y = xn(n＞0)在区间上，随着x的增大，logax增长得越来越慢.在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn.③在区间上，尽管函数y = ax(a＞1)，y = logax(a＞1)和y = xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x的增长，y = ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y = xn(n＞0)的增长速度，而y = logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢.因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就有logax＜xn＜ax. 师生合作：借助计算机作图，列表，进行探究 ( http: / / www. )①列表x0.20.61.01.41.8y =2x1.1491.51622.6393.482y =x20.040.3611.963.24y=log 2 x–2.322–0.73700.4850.848x2.22.63.03.4…y=2x4.5956.063 810.556…y=x24.846.76911.56…y=log 2 x1.1381.3791.5851.766…②作图 ( http: / / www. )③结论x∈R时log2x＜x2，且log2x＜2x. ( http: / / www. )进一步探究y = x2与y = 2x的增长快慢.①列表x01234y=2x124816y=x2014916x5678…y=2x3264128256…y=x225364964…②作图③结论x∈(0，2)时2x＞x2，x∈(2，4)时，2x＜x2，x∈时2x＞x2 由特殊到一般探究规律
巩固练习 在同一平面直角坐标系内作出下列函数的图象，并比较它们的增长情况：（1）y=0.1ex–100,x∈[1,10]；（2）y=20lnx+100,x∈[1,10]；（3）y=20x, x∈[1,10]. 三个函数图象如下：由图象可以看到，函数（1）以“爆炸”式的速度增长；函数（2）增长缓慢，并渐渐趋于稳定；函数（3）以稳定的速率增加. 进一步熟悉函数增长快慢的比较方法及步骤.
课后作业 3.2 第一课时 习案 学生独立完成 巩固知识，培养能力
备选例题
例1 某人现在一笔资金x万元用于投资，经过市场调查研究，有三种方案：
第一种方案：存入银行，年利润Q1 = 0.018x；
第二种方案：借给朋友投资，年利润Q2 = 0.02x + 0.2；
第三种方案：办工厂，年利润Q3 = 0.2x2 + 2x – 35；
问：(1)投资4万元，选择哪种投资方案.
(2)投资10万元，选择哪种投资方案.
【解析】 (1)投资4万元，则有：
Q1 = 0.072；Q2 = 0.28；Q3 = – 23.8，
∴Q2＞Q1＞Q3
∴选择第二种方案
(2)投资10万元，则有：Q1 = 0.18；Q2 = 0.4；Q3 = 5，
∴Q3＞Q2＞Q1，
∴选择第三种方案.
例2 为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围每月（30天）的通话时间x（分），与通话费y(元)的关系如图所示.
（1）分别求出通话费y1， y2 与通话时间x之间的函数关系式；
（2）请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜.
【分析】（1）由图象可设y1 = k1x +29，y2 = k2x，把点B (30, 35)，C (30, 15)分别代入y1，y2得.
∴.
（2）令y1 = y2，即，则.
当x = 96时，y1 = y2，两种卡收费一致；
当x＜96时，y1＞y 2，即如意卡便宜；
当x＞96时，y1＜y2，即便民卡便宜.
【评析】本题中的图形为直线，这就说明变量x，y之间满足一次函数关系，为此可采取待定系数法，求出具体的函数关系式，最后运用方程的思想求出关键点从而使问题得以解决. 图表题目的处理关键就在于正确理解其全部信息，运用合理的方法解决问题.
y
y
x
O
16
如意卡
便民卡
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2.1.1 指数与指数幂的运算（一）
（一）教学目标 ( http: / / www. )
1．知识与技能
（1）理解n次方根与根式的概念； ( http: / / www. )
（2）正确运用根式运算性质化简、求值；
（3）了解分类讨论思想在解题中的应用. ( http: / / www. )
2．过程与方法
通过与初中所学的知识（平方根、立方根）进行类比，得出次方根的概念，进而学习根式的性质. ( http: / / www. )
3．情感、态度与价值观
（1）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯； ( http: / / www. )
（2）培养学生认识、接受新事物的能力.
（二）教学重点、难点 ( http: / / www. )
1．教学重点：（1）根式概念的理解；
（2）掌握并运用根式的运算性质. ( http: / / www. )
2．教学难点：根式概念的理解.
（三）教学方法 ( http: / / www. )
本节概念性较强，为突破根式概念的理解这一难点，使学生易于接受，故可以从初中已经熟悉的平方根、立方根的概念入手，由特殊逐渐地过渡到一般的n次方根的概念，在得出根式概念后，要引导学生注意它与n次方根的关系，并强调说明根式是n次方根的一种表示形式，加强学生对概念的理解，并引导学生主动参与了教学活动.故本节课可以采用类比发现，学生合作交流，自主探索的教学方法.
（四）教学过程
教学 ( http: / / www. )环节 教学内容 师生互动 设计意图
提出问题 先让我们一起来看两个问题（见教材P52—53）. ( http: / / www. )在问题2中，我们已经知道…是正整数指数幂，它们的值分别为….那么，的意义是什么呢？这正是我们将要学习的知识.下面，我们一起将指数的取值范围从整数推广到实数.为此，需要先学习根式的知识. ( http: / / www. ) 老师提出问题，学生思考回答. 由实际问题引入，激发学生的学习积极性.
复习 ( http: / / www. )引入 什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？归纳：在初中的时候我们已经知道：若，则叫做a的平方根.同理，若，则叫做a的立方根. ( http: / / www. )根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如4的平方根为，负数没有平方根，一个数的立方根只有一个，如―8的立方根为―2；零的平方根、立方根均为零. 师生共同回顾初中所学过的平方根、立方根的定义. 学习新知前的简单复习，不仅能唤起学生的记忆，而且为学习新课作好了知识上的准备.
形成 ( http: / / www. )概念 类比平方根、立方根的概念，归纳出n次方根的概念. ( http: / / www. )n次方根：一般地，若，则x叫做a的n次方根（throot），其中n ＞1，且n∈Ｎ＊, 当n为偶数时，正数a的n次方根中，正数用表示，如果是负数，用表示. ( http: / / www. )当n为奇数时，a的n次方根用符号表示，叫做根式.其中n称为根指数，a为被开方数. ( http: / / www. ) 老师点拨指导，由学生观察、归纳、概括出n次方根的概念. 由特殊到一般，培养学生的观察、归纳、概括的能力.
深化概念 类比平方根、立方根，猜想：当n为偶数时，一个数的n次方根有多少个？当n为奇数时呢？零的n次方根为零，记为举例：16的次方根为，等等，而的4次方根不存在.小结：一个数到底有没有n次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数和偶数两种情况.根据n次方根的意义，可得：肯定成立，表示an的n次方根，等式一定成立吗？如果不一定成立，那么等于什么？让学生注意讨论，n为奇偶数和a的符号，充分让学生分组讨论.通过探究得到：n为奇数，n为偶数, 如小结：当n为偶数时，化简得到结果先取绝对值，再在绝对值算具体的值，这样就避免出现错误. 让学生对n为奇偶数进行充分讨论.通过探究得到：n为奇数，；n为偶数, .举出实例，加深理解. 通过分n为奇数和偶数两种情况讨论，掌握n次方根概念，培养学生掌握知识的准确性、全面性，同时培养学生的分类讨论的能力
应用举例 例题：求下列各式的值 思考：是否成立，举例说明.课堂练习：1. 求出下列各式的值 ；；.2．若.3．计算 学生思考，口答，教师版演、点评.例题分析：当n为偶数时，应先写，然后再去绝对值.解：= —8；=|—10|=10； = ；=课堂练习1.解：（1）—7；（2）；（3）=.2.解：.3.解：原式=—8+1+=. 通过例题的解答，进一步理解根式的概念、性质.
归纳总结 1．根式的概念：若n＞1且，则.为偶数时，；2．掌握两个公式： 先让学生独自回忆，然后师生共同总结. 通过小结使学生加强对知识的记忆，加深对数学思想方法的理解，养成总结的好习惯.
课后作业 作业：2.1 第一课时 习案 学生独立完成 巩固新知提升能力
备选例题
例1 计算下列各式的值.
（1）；
（2） （，且）
（3）（，且）
【解析】（1）.
（2）当为奇数时，=；
当为偶数时，=.
（3）=，
当时，=；
当时，=.
【小结】（1）当n为奇数时，；
当n为偶数时，
（2）不注意n的奇偶性对式子值的影响，是导致错误出现的一个重要原因.故要在理解的基础上，记准、记熟、会用、活用.
例2 求值：
【分析】需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质；
【解析】
【小结】开方后带上绝对值，然后根据正负去掉绝对值.
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