课件26张PPT。第六章 不等式6.1 不等式的性质(1)1.不等式的定义：用不等号表示不等关系的式子叫不等式。2.初中所学不等式的性质：①不等式的两边都加上（或减去）同一个数或
同一个整式，不等号的方向不变。②不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，
不等号的方向不变。
③不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，
不等号的方向改变。
3.如何表示数轴上两个点所对数的大小：数轴上右边的点所对的数大于左边的点所对的数。4.如图，A、B是数轴上的两个点，A、B所对数
分别为a、b，试比较a-b与0的大小例题选讲练习1：用不等号填空：0__________________≥<<>练习2：练习3：P5 1、2、35、不等式的性质证明：由正数的相反数是负数，得即后半部分同学们自己证即 （对称性）把不等式左右两边交换，所得不等式与原不等式为异向不等式.定理2.如果证明：∵两个正数的和仍是正数 ∴ ∴这种传递性可以推广到n个的情形.(传递性)证明：∵∴从而可得移项法则： 不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到
另一边。如a+b>c,则a+b+(-b)>c+(-b)，即a>c-b证明： 证明： ∵ ∴ 问:如果a>b，且c>d，则a+c与b+d有怎样的关系？并加以证明问:如果a>b，且c
⑶性质：练习：比较下列各式的大小6.1 不等式的性质（2）回顾1、比较两个实数的大小常采用的方法，它的理论依据是什么？2、同向不等式与异向不等式3、不等式的性质1，2，3定理4、如果a>b且c>0，那么ac>bc；
如果a>b且c<0，那么acb 即a-b>0根据同号相乘为正，异号相乘为负，可得：当c>0时，(a-b)c>0,即ac>bc当c<0时，(a-b)c<0,即acb且c>0，那么ac>bc；
如果a>b且c<0，那么acb>0,且c>d>0，那么ac>bd(相乘法则)证法一：证法二：ac-bd=ac-bc+bc-bd=c(a-b)+b(c-d)因为a>b>0,c>d>0，所以a-b>0,c-d>0
c(a-b)>0,b(c-d)>0所以c(a-b)+b(c-d)>0,即ac>bd定理4、如果a>b且c>0，那么ac>bc；
如果a>b且c<0，那么acb>0,且c>d>0，那么ac>bd(相乘法则)推论2、如果a>b>0,那么an>bn(n N ,且n>1)定理5、如果a>b>0，那么例1、判断下列命题是否正确，并说明理由假假真假真真例2、（1）若ab，那么下列不等式①a3>b3 ②
③2a>2b,④lga>lgb其中恒成立的是（ ）A. ① ② B. ① ③ C. ① ④ D. ② ③（3）若a,b是任意实数，且a>b，则（ ）（4）若角 满足 则 的取值范围为（ ）DBDA例3、若－6b且c>0，那么ac>bc；
如果a>b且c<0，那么acb>0,且c>d>0，那么ac>bd(相乘法则)推论2、如果a>b>0,那么an>bn(n N ,且n>1)定理5、如果a>b>0，那么小结：1、不等式性质定理中，有同向不等式相加，得同向不等式，并无相减， 不妨记作“大减小大于小减大”2、不等式性质定理有均为正数得同向不等式相乘得同向不等式，并无相除， 不妨记作“大除小大于小除大”课件34张PPT。6.2算数平均数
与几何平均数（2）知识回顾：
1.重要定理：如果a,b∈R,那么a2+b2 2ab(当且仅当a=b时取“=”号)已知a、b为正数平方平均数算术平均数几何平均数调和平均数(一)公式的延伸:(二)公式的变形： 注意:”一正,二定,三相等”(三)公式的常用典例： 例1 已知x,y都是正数，求证：
（1）如果积xy是定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值
（2）如果和x+y是定值S,那么当x=y时，积xy有最大值极值定理:证明:极值定理可以理解为:用极值定理求最值的三个必要条件 :一“正”、二“定”、三“相等”例2 已知：
(a＋b)(x＋y)＞2(ay＋bx)，
求证： 提示:作差法定理：如果 ,那么 (当且仅当a=b=c时取“=”号)推论：如果 ,那么 (当且仅当a=b=c时取“=”号)课堂练习： 1．已知a、b、c都是正数，
求证（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc 习题课(一)(1)“a＋b≥2 ”是“a∈R＋，b∈R＋”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．即不充分也不必要条件 (2)设b＞a＞0，且a＋b＝1，则此四个数 ，2ab，a2＋b2，b中最大的是( )
A．b B．a2＋b2
C．2ab D． (5)若a＞b＞0，则下面不等式正确的是( )
A． B．
C． D．(8)已知x＞y＞0，xy＝1，求证：(9)已知a＞2，求证：
loga（a－1）·loga（a＋1）＜1．(10)已知a，b∈R，证明：(11)若a,b,c∈R＋,且a＋b＋c＝1(12)已知方程ax2＋bx＋c＝0有一根x1＞0,求证：方程cx2＋bx＋a＝0必有一根x2,使得x1＋x2≥2．例1 已知a,b,c为两两不相等的实数，求证： 习题课(二)例2 已知a,b,c,d都是正数,求证： 例3 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元?课堂练习： 1．已知x≠0，当x取什么值时，x2＋ 的值最小?最小值是多少? 2．一段长为L m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?3.设0＜x＜2,求函数
的最大值,并求出相应的x值.课后作业： 1.求函数y＝2x2＋ （x＞0）的最小值． 2.求函数y＝x2＋ （x＞0）的最小值． 3.求函数y＝3x2－2x3
（0＜x＜ ）的最大值． 4.求函数y＝x（1－x2）
（0＜x＜1)的最大值． 5.设a＞0，b＞0，且a2＋ ＝1,
求 的最大值． 课件42张PPT。6.2算数平均数
与几何平均数（1）复习引入： 1．同向不等式 与异向不等式 2．不等式的性质：定理1：如果a>b，那么bb．(对称性)
即：a>b?bb定理2：如果a>b，且b>c，那么a>c．(传递性)
即a>b，b>c?a>c定理3：如果a>b，那么a+c>b+c.
即a>b?a+c>b+c推论：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．(相加法则)
即a>b， c>d? a+c>b+d． 定理4：
如果a>b，且c>0，那么ac>bc；
如果a>b，且c<0，那么acb >0，且c>d>0，那么ac>bd．(相乘法则) 推论2 : 若a>b>0,则定理5 .若a>b>0,则 新课：1．重要不等式： 两个正数的算术平均数
不小于它们的几何平均数 注意:算术平均数与几何平均数 3．均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”．ABD/DCab6.2算数平均数
与几何平均数（2）知识回顾：
1.重要定理：如果a,b∈R,那么a2+b2 2ab(当且仅当a=b时取“=”号)1.公式的等价变形： 已知a、b为正数平方平均数算术平均数几何平均数调和平均数例1 已知x,y都是正数，求证：
（1）如果积xy是定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值
（2）如果和x+y是定值S,那么当x=y时，积xy有最大值极值定理:证明:极值定理可以理解为:用极值定理求最值的三个必要条件 :一“正”、二“定”、三“相等”例2 已知：
(a＋b)(x＋y)＞2(ay＋bx)，
求证： 提示:作差法课堂练习： 1．已知a、b、c都是正数，
求证（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc 习题课(一)(1)“a＋b≥2 ”是“a∈R＋，b∈R＋”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．即不充分也不必要条件 (2)设b＞a＞0，且a＋b＝1，则此四个数 ，2ab，a2＋b2，b中最大的是( )
A．b B．a2＋b2
C．2ab D． (5)若a＞b＞0，则下面不等式正确的是( )
A． B．
C． D．(8)已知x＞y＞0，xy＝1，求证：(9)已知a＞2，求证：
loga（a－1）·loga（a＋1）＜1．(10)已知a，b∈R，证明：(11)若a,b,c∈R＋,且a＋b＋c＝1(12)已知方程ax2＋bx＋c＝0有一根x1＞0,求证：方程cx2＋bx＋a＝0必有一根x2,使得x1＋x2≥2．例1 已知a,b,c为两两不相等的实数，求证： 习题课(二)例2 已知a,b,c,d都是正数,求证： 例3 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元?课堂练习： 1．已知x≠0，当x取什么值时，x2＋ 的值最小?最小值是多少? 2．一段长为L m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?3.设0＜x＜2,求函数
的最大值,并求出相应的x值.课后作业： 1.求函数y＝2x2＋ （x＞0）的最小值． 2.求函数y＝x2＋ （x＞0）的最小值． 3.求函数y＝3x2－2x3
（0＜x＜ ）的最大值． 4.求函数y＝x（1－x2）
（0＜x＜1)的最大值． 5.设a＞0，b＞0，且a2＋ ＝1,
求 的最大值． 课件30张PPT。6.3不等式的证明一、比较法比较法是证明不等式最基本的方法也是最常用的方法。两种形式①作差法：
②作商法： 几点说明①作较法证明不等式的思路:作差(商),变形,判断；
②作差法证题时, 通常是进行因式分解,利用各因式的符号进行判断,或进行配方,利用非负数的性质进行判断；
③作商法证题时,通常要考虑式子的正负,尤其是作为除式式子的值必须确定符号;证幂指数、根式或乘积不等式时常用比商法。二、综合法利用已知条件或某些已证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要证的不等式，这种证明方法称为综合法。1、定义2、证明思路综合法的证题思路是由因导果，也就是从已知的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直接推导出所要证的不等式。已知a,b,c均为正数，证明下列不等式: 4、若a、b、c是不全相等得正数求证：lg ＋lg ＋lg
＞lga+lgb+lgc 三、分析法1、定义从求证的不等式出发，层层推出使这个不等式成立的充分条件，直到得到一个明显成立的不等式或一个比较容易证明的不等式为止，这种证明方法叫做分析法。2、证明思路分析法的证题思路是执果索因，也就是从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。这种方法在探求不等式的证明思路时是最有效的方法之一。典型练习证明方法一：比
较
法
证明方法二：综合
法
证明方法三：分析
法
比较法（作商）分析法 综合法分析综合法四、换元法换元法是指结构较为复杂、量与量之间关系不很明显的命题，通过恰当引入新变量，代换原题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式。用换元法证明不等式时一定要注意新元的取值范围。1、定义2、两种形式（1）三角换元对于条件不等式的证明问题，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，可考虑用三角代换，将复杂的代数问题转化为三角问题．（2）增量代换在对称式(任意互换两个字母,代数式不变)和给定字母顺序(如a＞b＞c)的不等式,常用增量进行代换,代换的目的是减少变量的个数,使要证的结论更清晰,思路更直观,这样可以使问题化难为易,化繁为简。 增量代换典型例题增量代换练习:是根据已知或构造出来的一元二次方程，
一元二次不等式，二次函数的根、解集、函数的性质等特征确定出判别式所应满足的不等式，从而推出要证的不等式的方法.五、判别式法1、定义2、注意考虑二次项系数是否可以为零六、反证法从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。1、定义2、证明思路反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证法都是不完全的．七、放缩法1、定义欲证不等式A≤B，可通过适当放大或缩小，借助一个(或多个)中间量C作比较，使得A≤C与C≤B同时成立，由不等式的传递性知A≤B显然成立，这种方法叫做放缩法。 利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特征及已知条件，采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母、把式子中的某些项换以较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的．此类证法是一种技巧性较强的不等变形，必须时刻注意放缩的跨度，进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩(放的过大或过小)都会导致推证的失败。2、证明思路提示：放缩法八、构造法根据函数的性质证明不等式的方法.1、定义2、证明思路（1）构造函数
（2）探讨函数的单调性
（3）利用单调性证明不等式由面积关系即得：课件17张PPT。6.4不等式的解法举例
（3）无理不等式的解法一、无理不等式的基本类型：｛x|x＜2｝ 二、例题选讲：含参数的不等式解法含有参数的不等式问题主要有三种主要类型 第一种类型：解含有参数的不等式；第二种类型：已知含有参数的不等式成立的条件，求参数的范围； 第三种类型：已知含有参数的不等式在某个条件下恒成立,能成立,恰成立或部分成立，
求参数的范围.一、一元一次不等式含参数问题二、一元二次不等式含参数问题1、解关于x的不等式三、绝对值不等式含参数问题四、分式不等式含参数问题课件10张PPT。6.4不等式的解法举例
（1）复习1. 绝对值的定义： 3.最简单的绝对值不等式：∣x∣>a(a>0) x<-a或x>a ∣x∣0) -a-x,x<0课堂练习： 解不等式：（1）∣x2-5x+5∣<1 （2） ∣ x+3∣≥2x+1提升演练 （1）∣x+1∣>∣x-1∣ （2）∣x-1∣+∣x+1∣>4 解不等式：分析：借助不等式性质：
若a>b≥0，则 an>bn(n∈N,且n>1) 可把原不等式化为(x+1)2>（x-1)2 x-1的符号x+1的符号———+++（2）∣x-1∣+∣x+1∣>4 解：①当x<-1时，原不等式可化为②当-1≤x<1时，原不等式可化为③当x≥1时，原不等式可化为-(x-1)-(x+1)>4,∴{x∣x<-1}∩{x∣x<-2}={x∣x<-2}-(x-1)+(x+1)>4,∴{x∣-1≤ x<1}∩φ=φ(x-1)+(x+1)>4,因此，原不等式的解集是={x∣x<-2或x>2}不等式解集为φ分段讨论法（2）∣x-1∣+∣x+1∣>4 提示：利用几何意义求解求解绝对值不等式的一般步骤： 1.去绝对值符号，转化为不等式（组）基本方法：∣x∣>a(a>0)x<-a或x>a ∣x∣0) -a∣g(x)∣ f2(x) >g2(x)解下列不等式：
(1)∣x2-48∣>16;
(2)∣4x2-10x-3∣<3. 巩固练习：１、 不等式∣x-a∣< b的解集是{x∣-3 求实数a,b.
2. 解不等式∣x2-2x-3∣>x2-2x-3.３. 若关于x的不等式∣x-1∣-∣x+1∣>a
恒成立，求a的取值范围. 创新作业：4. 若关于x的不等式∣x-1∣-∣x+1∣>a
有解，求a的取值范围.课件9张PPT。6.4不等式的解法举例
（2）6.4不等式的解法举例(2)— 分式与高次不等式○○○-112总结——根轴法1、将根按照从小到大的顺序排列在数轴上。2、从右到左，从上到下依次穿根。
★奇次重根，依次穿过；偶次重根，穿而不过。3、数轴上方为正，下方为负，写出不等式的解集。注意：1、各因式中x的系数必须为正。
2、该法适用于高次不等式和分式不等式。例2.解不等式 将方程(x2-3x+2)(x2-2x-3)=0的根按照从小到大的顺序排列在数轴上（如图），-1123○从图中可知，原不等式的解集为{x|-1P19 1、2题课件21张PPT。6.5含绝对值的不等式当 时，则有那么 与 及 的大小关系怎样？绝对值的定义:一、复习：分类讨论：当综上可知：当当定理如果a,b是实数，则前一个等号成立条件：后一个等号成立条件：几何意义：三角形两边之和大于第三边，
两边之差小于第三边.二、新课： 定理变式变形: 把定理中的a换为b,b换为a,定理可变式为|b|-|a|≤|a+b| ≤|a|+|b|变形:结合定理和变形又可变式为︱|a|-|b|︱≤|a+b|≤|a|+|b|
|a|-|b| ≤|a+b| ≤|a|+|b|提示：把定理中的b换为-b可变形为|a|-|-b|≤|a-b| ≤|a|+|-b|所以定理可推广为：≤≤≤≤ 练习1：A提示：|a|= |a-c+c|≤|a-c|+|c|<1+|c| 练习2：3、如果a,b,c是实数，证明：的是( )BA 练习3：例题选讲练习：求证： 例5 已知函数y=|x|-|x-3| ,求函数的值域解法1 : 利用函数法通过图像观察函数的值域为[-3，3]解法2 利用不等式法由 | |x|-|x-3| |≤| x-(x-3) |=3得：-3≤|x|-|x-3|≤3∴-3≤y≤3, 即y∈[-3,3]＜＜[-3，3][-1，1]课后练习：