新课标A版必修41.6《三角函数模型的简单应用》(学案)

曲靖市第二中学 第一章 三角函数 2010级高一数学备课组
1.6《三角函数模型的简单应用》
一、导学目标
1．通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法；
2．体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；
3．能够将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．
二、尝试练习
【案例1】（2002全国—文17）如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数 ( http: / / www. / wxc / )
(Ⅰ) 求这段时间的最大温差；
(Ⅱ) 写出这段曲线的函数解析式．
命题意图　本题以应用题的形式考查备考中的热点题型，要求考生把所学的三角函数知识与实际问题结合起来分析、思考，充分体现了“以能力立意”的命题原则 ( http: / / www. / wxc / )
知识依托　依据图象正确写出解析式．
错解分析　不易准确判断所给图象所属的三角函数式的各个特定系数和字母，忽视自变量的变化范围 ( http: / / www. / wxc / )
技巧与方法　数形结合的思想，以及运用待定系数法确定函数的解析式 ( http: / / www. / wxc / )
【解】 (Ⅰ)　由图可知，这段时间的最大温差是30－10=20(℃)；
(Ⅱ)　图中从6时到14时的图象是函数的半个周期的图象，由图可知
，
∴,
又，，这时
,
又在函数的图像上，所以
，即，
∴，即，
于是取．
综上所求的解析式为，．
【案例2】函数的周期是 ．　
【解析】　将函数的图象在轴上方的图像保留，并将轴下方的图像翻折到轴上方，这两部分图像共同构成了函数的图象（如下图所示），由图可知函数的周期是.
三、精点精评
【例1】 如图，设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射纬度，为该地的纬度值．当地夏半年取正值，冬半年取负值．
如果在北京地区(纬度数约为北纬)的一幢高为的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？
思考1：图中θ、δ、φ这三个角之间的关系是什么？
这三个量之间的关系是（当地夏半年取正值，冬半年取负值）．
思考2： 当太阳高度角为θ时，设高为h0的楼房在地面上的投影长为h，那么θ、h0、h三者满足什么关系？
h0 = h tanθ.
思考3：根据地理知识，北京地区一年中,正午太阳直射什么纬度位置时,物体的影子最短或影子最长？
太阳直射北回归线时物体的影子最短，直射南回归线时物体的影子最长．
思考4：如图，A、B、C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点．要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的临界距离应是图中哪两点之间的距离？
思考5：右图中∠C的度数是多少？MC的长度如何计算？
思考6：综上分析，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？
【解】如图，A、B、C分别太阳直射北回归线、赤道、南回归线时，楼顶在地面上的投影点，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况考虑，此时的太阳直射纬度为-23 26'，依题意两楼的间距应不小于MC.
根据太阳高度角的定义，有∠C=90 -|40 -(-23 26')|=26 34'所以，
即在盖楼时，为使后楼不被前楼遮挡，要留出相当于楼高两倍的间距。
【点拨】本题是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题，是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型，然后根据所得的模型解决问题。应当注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题。
【练习】 某市的纬度是北纬21°34′，小王想在某住宅小区买房，该小区的楼高7层，每层3米，楼与楼之间相距15米，要使所买楼房在一年四季正午的太阳不被前面的楼房遮挡，最低应该选择第 三 层的房？
【例2】 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深的关系表：
时刻 水深/米 时刻 水深/米 时刻 水深/米
0:00 5.0 9:00 2.5 18:00 5.0
3:00 7.5 12:00 5.0 21:00 2.5
6:00 5.0 15:00 7.5 24:00 5.0
（Ⅰ）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出整点时的水深的近似数值 (精确到0.001)．
（Ⅱ）一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离) ，该船何时能进入港口？在港口能呆多久？
（Ⅲ）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？
思考1：观察表格中的数据，每天水深的变化具有什么规律性？
水深的变化规律具有周期性．
思考2：以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图，根据图象，你认为可以考虑用那个类型的函数来拟合水深与时间之间的函数关系？
思考3: 用一条光滑曲线连结这些点，得到一个函数图象，该图象对应的函数解析式可以是哪种形式？
思考4：用函数来刻画水深和时间之间的对应关系，如何确定解析式中的参数值？
思考5：这个港口的水深与时间的关系可用函数近似描述，你能根据这个函数模型，求出各整点时水深的近似值吗？（精确到0.001）
时刻 0:00 1:00 2:00 3:00 4:00 5:00 6:00 7:00 8:00 9:00 10:00 11:00
水深
时刻 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00
水深
(Ⅱ) 货船需要的安全水深为4+1.5=5.5(米),所以当y≥5.5时就可以进港.令
即
在区间内函数的图像与直线有两个交点、，因此计算可得：
或
∴，
由函数的周期性易得： ， ．
思考6：所求出的进出港时间是否符合实际情况？如果不符合，应该如何修改？
因此，货船可以在0时30分左右进港，早晨5时30分左右出港；或在中午12时30分左右进港，下午17时30分左右出港．每次可以在港口停留5小时左右．
(Ⅲ) 设在时刻x货船的安全水深为y，那么y=5.5-0.3 (x-2)(x≥2)．在同一坐标系内作出这两个函数的图像，可以看到在6～7时之间两个函数图象有一个交点．
通过计算.在6时的水深约为5米，此时货船的安全水深约为4.3米；6.5时的水深约为4.2米,此时货船的安全小深约为4.1米；7时的小深约为3.8米,而货船的安全小深约为4米．因此为了安全，货船最好在6.5时之前停止卸货，将船驶向较深的水域．
思考７：右图中，设点P(x0，y0)，有人认为，由于P点是两个图象的交点，说明在x0时，货船的安全水深正好与港口水深相等，因此在这时停止卸货将船驶向较深水域就可以了，你认为对吗？
【点拨】本题的解答中，给出货船的进、出港时间，一方面要注意利用周期性以及问题的条件，另一方面还要注意考虑实际意义．关于课本第64页的 “思考”问题，实际上，在货船的安全水深正好与港口水深相等时停止卸货将船驶向较深的水域是不行的，因为这样不能保证船有足够的时间发动螺旋桨．
四、直击高考
1．（2009海南、宁夏—理14）已知函数y=sin（x+）（>0, -<）的图像如图所示，则=________________ ．
2．以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元，而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月随正弦曲线波动的，并已知5月份销售价最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设某商店每月购进这种商品m件，且当月售完，请估计哪个月盈利最大？并说明理由.
【解析】 由条件可得：出厂价格函数为,
销售价格函数为则利润函数为:
所以，当时，Y=（2+）m，即6月份盈利最大.
3．一根为Lcm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，组成一个单摆，小球摆动时，离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是，.
（Ⅰ）求小球摆动的周期和频率；
（Ⅱ）已知g=980cm/s2，要使小球摆动的周期恰好是1秒，线的长度l应当是多少？
【解析】 （Ⅰ）；
（Ⅱ）.
4．（2008广东—理16）已知函数，的最大值是1，其图像经过点．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）已知，且，，求的值．
5． (2009陕西—理) 已知函数（其中,,
）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为.
(Ⅰ) 求的解析式；
（Ⅱ）当，求的值域．
【解析】　（Ⅰ）由最低点为得A=2.
由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得=，即，
由点在图像上的
故
又
（Ⅱ）
当=，即时，取得最大值2；
当，即时，取得最小值-1，
故的值域为[-1,2]
我的感言
y
-
2
x
o
1
-1
3
（图Ⅰ）
y
x
o
1
-1
2
3
-
（图Ⅱ）
φ-δ
θ
δ
φ
太阳光
h0
B
C
A
M
40°
23°26
0°
-23°26
－
太阳光
1A
1B
21
1C
南回归线
北回归线
－
太阳光
C
B
x
8
6
4
2
12
6
24
18
o
y
∴或
ｘ
ｙ
Ｏ
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与你共勉：要想超越别人，就得先走在他人的前面。 2010-12-07